静力学的基本概念和受力分析
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[证] ∵ F1 , F2 , F3为平衡力系， ∴ R , F3 也为平衡力系。
又∵ 二力平衡必等值、反向、共线，
∴ 三力 F1 , F2 , F3必汇交，且共面。
12
公理4 作用和反作用定律
两物体间的相互作用力即作用力与反作用力，总是大小相等、 方向相反、作用线重合，并分别作用在这两个物体上。 [例] 吊灯
15
（2）力与轴不共面：
过力 F 的起点 和终点分别作 平面垂直于x轴，
则 X=±ABˊ
= ± ab
（3）正负号规定：
若a为F 与x轴正向的夹角，则X=Fcos a 若a为锐角，则X=±Fcos a ，用观察法确定正负，即：
如果从力的起点的投影到终点的投影与投影轴的正向一致 者为正，反之为负。
16
6
1.2静力学公理
公理：是人类经过长期实践和经验而得到的结论，它被反复的 实践所验证，是无须证明而为人们所公认的结论。
7
公理1 力的平行四边形法则
作用于物体上同一点的两个力可合成 一个合力，此合力也作用于该点，合力的 大小和方向由以原两力矢为邻边所构成的
平行四边形的对角线来表示。即 R F1 F2
1.1.1力、刚体、平衡
（1）力的概念
1）定义：力是物体间的相互机械作用，这种作用使物体的 运动状态发生改变或使物体产生变形。
2） 力的效应： ①运动效应(外效应) ②变形效应(内效应)。 （如无特别声明，本课程只研究力的外效应）
3）力的三要素：大小，方向，作用点。
表示为：F，手写为 F F
力是矢量 力的单位： 国际单位制：牛顿(N) 千牛顿(kN)
Fx X Fy Y Fz Z
21
Fx Xi , Fy Yj , Fz Zk
F Fx Fy FZ
∴∵ 力的解析表达式为： F X i Y j Zk
5）力的投影和力的分力的区别
力的投影和力的分力是两个不同的概念，不得混淆：
投影
分力
代数量
矢量
只能求出力的大小和方向 完全可以确定力的大小、方 向及作用点的位置
吉大《工程力学（工）》第一 章 静力学的基本知识 拓展资源
1
第1章 力学基本知识和物体的受力分析
1.1 静力学的基本知识 1.2 静力学公理 1.3 力在坐标轴上的投影 1.4 力对点之矩 1.5 平面力偶 1.6 空间力偶 1.7 约束和约束反力 1.8 物体的受力分析和受力图
2
1.1 静力学基本知识
力三角形→
8
公理2 二力平衡条件
作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是： 这两个力大小相等、方向相反、作用线共线，作用于同一 个物体上。
(简称等值、反向、共线） 注意： F1 F2 F1 F 2
9
说明：①对刚体来说，上面的条件是充要的 ②对变形体来说，上面的条件只是必要条件(或多体中) ③二力构件：只在两个力作用下平衡的刚体叫二力构件。
力的投影是向轴作垂线而得，力的分力则是利用平行四边
形法则而得。关系式
Fx X Fy Y Fz Z 22
1.4 力对点之矩
力的效应：移动效应和转动效应 1.4.1力对点的矩：度量力使刚体绕某点转动效应的物理量。
(1)在平面问题中，力对点的矩为代数量（因为所有力矩的作用 面都在同一平面内，只要确定了力矩的大小和转向，就可完全 表明力使物体绕矩心转动的效应）。大小等于力与力臂的乘积
r Mz (F) Fy x Fx y
rr
r
M r
O
(
Fr)
x
yFz
zFy
M x (F ) r
MO (F ) y zFx xFz M y (F )
rr
r
MO (F)z xFy yFx M z (F)
27
1.4.4合力矩定理
FR 0 MO 0
合力，作用线距简化中心
MO FR
d
M O
F
R
合力矩定理
MO FRd
FR FR F
Mo (FR ) MO MO (Fi )
28
1.5平面力偶
1.力偶：大小相等、方向相反、 作用线平行但不重合的两个力。
力偶是常见的一种特殊力系。 2.力偶矩：力偶对物体的转动效
应用力偶矩度量。
17
2.力平面上的投影 F ' 为力 F 在平面上的投影，大小：
Fˊ=Fcosj
注意：力在轴上的投影是代数 量，而在平面上的投影是矢量。
18
1.3.2力在直角坐标轴上的投影 1)一次投影法（直接投影法）
若已知力与坐标轴正向的
夹角α、β、γ，则
X Fcosa, Y Fcos , Z Fcos
13
公理5 刚化原理
变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体变成 刚体（刚化为刚体），则平衡状态保持不变。
公理5告诉我们：处 于平衡状态的变形体， 可用刚体静力学的平 衡理论。
14
1.3 力在坐标轴上的投影
1.3.1力的轴上投影 1.力 F 在任一轴上的投影 （1）力 F 与轴共面： 以X表示力F 在x轴上的投影，则 X=±ab。
●力偶在作用面内的转向：力偶 矩矢与力偶的转向符合右手螺旋 法则 。 力偶对刚体的作用完全决定于力偶矩矢。
3.力偶的基本性质 ①力偶只能使物体转动。因此，力偶不能与一个力等效，它既 不能合成一个力，也不能与一个力平衡。力偶只能用力偶来平衡
。
30
②力偶对任一点之矩恒等于力偶矩而与矩心位置无关，因此
力偶对物体的转动效应完全决定于力偶矩。 ③只要保持力偶矩矢的大小和方向不变，力 偶可以在其作用面内任意移动，也可以移动 到与其作用面相互平行的平面中去；或同时 改变力偶中力和力偶臂的大小，而不改变力
3
（2）刚体
刚体：在力的作用下，大小和形状都不变的物体。 注意： 1. 力作用于可变形的物体时，既有内效应，也会有外效应。 2. 力作用于刚体时，只有外效应。
4
（3）平衡
平衡：是指物体相对于惯性参考系保持静止或作匀速直线运 动的状态。 力系：是指作用在物体上的一群力。
若把与地球固结的参考系作为惯性参考系，则相对于地 球保持静止或作匀速直线运动的物体，就处于平衡状态。
=
=
F1 F1 F2
F2 F3 F3
=
=
37
定位矢量 滑移矢量 自由矢量 力偶矩矢是自由矢量 力偶矩相等的力偶等效
(5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
38
一、概念
1.7 约束与约束力
自由体：在空间的运动不受任何限制的物体。
非自由体：在空间的运动受到限制的物体，也称被约束体。 约束：阻碍物体某些方向运动的限制条件 。
注意：运动是绝对的平衡是相对的。 平衡力系：物体在力系作用下处于平衡，我们称这个力系为 平衡力系。
5
1.1.2静力学的两个基本问题： 1.作用在刚体上的力系的简化（或合成）：用最简单 的力系代替复杂的力系。
用一个力系代替另一个力系，而不改变原力系 对刚体的效应，称此两力系等效或互为等效力系。 2.力系的平衡条件及应用：物体平衡时，作用于其 上的力系应满足的条件。
=
40N
4cm =
60N
m=240N·cm
32
1.6Fra Baidu bibliotek空间力偶
1、力偶矩以矢量表示－－力偶矩矢
F1 F2 F1 F2
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。
33
rr r M rBA F
34
2、力偶的性质
(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 .
20
3）若已知力在直角坐标轴上的投影X、Y、Z，则
力的大小： F X 2 Y 2 Z 2
方向余弦：cosa X cos Y cos Z
F
F
F
α、β、γ为力与x、y、z轴正向的夹角。
4）力沿直角坐标轴分解的解析表示 在直角坐标系下，力的分力与其投影 之间有下列关系：分力的模等于力在 相应坐标轴上的投影的绝对值，即
MO(F) Fh 2OAB 面积
①O—矩心，h —力臂
②当F=0或h=0时，M o (F ) 0
③单位N.m或kN.m ④正负号:逆时针转动为正，反 之为负
23
（2）在空间问题中，力对点的矩为矢量(为了表示力使物体绕 矩心的转动效应，须表示出三个要素：力矩的大小、力矩作用 面的方位及力矩在其作用面内的转向，这三个要素必须用一个
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内）， 力对该轴的矩为零.
26
1.4.3力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
r
r
r
r
Mx (F) Mx (Fx ) Mx (Fy ) Mx (Fz ) Fz y Fy z
r
r
r
r
M y (F) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz ) Fx z Fz x
（1）平面问题中的力偶矩是代数量，大小等于力偶中的力的 大小与力偶臂的乘积：
'
m m(F, F ) F d 规定：逆时针转向为正，反之为负 。
单位：N.m，kN.m 29
（2）空间问题中的力偶矩是矢量，其对物体的作用决定于力 偶三要素：
●力偶矩的大小 ：m Fd
●力偶作用面在空间的方位
（这里，约束是名词，而不是动词的约束。） 约束力（或约束反力、反力）：约束给被约束物体的作用力。
39
约束力特点： ①大小是未知的。故称为被动力。 ②方向总是与所限制的物体的位移方向相反； ③作用点在物体与约束相接触的那一点。
40
二、常见约束及约束力： 1.柔索约束（不计重的绳索、链条或皮带等） 由于柔索只能阻碍物体沿柔索伸长的方向运动，故柔索的约 束力通过柔索与物体的连接点，方位沿柔索而指向背离物体。 即恒为拉力。
偶对刚体的效应。
FFx F
F
2a
a
a
A
B
x
F
FF 2
31
由此可知，力偶矩矢是自由矢量。
在研究力偶问题时可以不考虑力偶的作用位置及力偶中力 的大小和力偶臂的长度，而只需考虑力偶的力偶矩，故常在 力偶作用面内将力偶用带箭头的弧线表示，箭头表示力偶的 转向，旁边的数字表示力偶矩的大小。
40N 60N 6cm
=
=
=
r M
(
r FR
,
r FR
)
r rBA rrBA r rBA
r FrR Fr1 F1
rrrBrrBAArFr(2Frr1 M (F1, F1)
r F2
)
36
(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面 移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体 的作用效果不变.
19
2）二次投影法（间接 投影法）
当力与各轴正向夹 角不易确定时，可先将 F 投影到xy面上，然后 再投影到x、y轴上， 即
Fxy F sin
X Fxy cosj F sin cosj Y Fxy sinj F sin sin j Z F cos
10
公理2 加减平衡力系公理
在已知力系上加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原 力系对刚体的效应。 推论：力的可传递性
作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内的任一 点，而不改变该力对刚体的效应。
因此，对刚体来说，力的三要素为：大小、方向、作用线 力是滑移矢量
11
推论：三力平衡汇交定理
当刚体受到三力作用而平衡时，若 有两力的作用线相交，则此三力必 构成平面汇交力系。
（2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改 变而改变。
r rr r r r r
M
O
(F
,
F
)
M rrA
O
(
F r
F
) rrBMOFr(F
)
rr F F
rr MO (F,
r F)
(rrA
rrB )
r F
r M
35
（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内 任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小 与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变.
矢量表示）
M O(F) r F
①力对点之矩依赖于矩心的 位置，所以空间力对点的矩
是定位矢量。 ②力矩的大小
M O (F) F h 2OAB面积
力对一点的矩不因力沿其作用线移动而改变。这再以次证明
了力是滑移矢量。
24
③矢量 mo (F ) 的指 向按右手法则确定。
④力对点之矩的解析式 以O点为原点建立直角坐标系，则力
作用点的矢径及力可表示为解析式：
r xi y j zk F X i Y j Z k
i jk 于是： MO (F) r F x y z
XYZ 注意：力作用点的坐标及力的投影有正负。
25
1.4.2力对轴的矩
r
r
Mz (F) MO(Fxy ) Fxy h
又∵ 二力平衡必等值、反向、共线，
∴ 三力 F1 , F2 , F3必汇交，且共面。
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公理4 作用和反作用定律
两物体间的相互作用力即作用力与反作用力，总是大小相等、 方向相反、作用线重合，并分别作用在这两个物体上。 [例] 吊灯
15
（2）力与轴不共面：
过力 F 的起点 和终点分别作 平面垂直于x轴，
则 X=±ABˊ
= ± ab
（3）正负号规定：
若a为F 与x轴正向的夹角，则X=Fcos a 若a为锐角，则X=±Fcos a ，用观察法确定正负，即：
如果从力的起点的投影到终点的投影与投影轴的正向一致 者为正，反之为负。
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1.2静力学公理
公理：是人类经过长期实践和经验而得到的结论，它被反复的 实践所验证，是无须证明而为人们所公认的结论。
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公理1 力的平行四边形法则
作用于物体上同一点的两个力可合成 一个合力，此合力也作用于该点，合力的 大小和方向由以原两力矢为邻边所构成的
平行四边形的对角线来表示。即 R F1 F2
1.1.1力、刚体、平衡
（1）力的概念
1）定义：力是物体间的相互机械作用，这种作用使物体的 运动状态发生改变或使物体产生变形。
2） 力的效应： ①运动效应(外效应) ②变形效应(内效应)。 （如无特别声明，本课程只研究力的外效应）
3）力的三要素：大小，方向，作用点。
表示为：F，手写为 F F
力是矢量 力的单位： 国际单位制：牛顿(N) 千牛顿(kN)
Fx X Fy Y Fz Z
21
Fx Xi , Fy Yj , Fz Zk
F Fx Fy FZ
∴∵ 力的解析表达式为： F X i Y j Zk
5）力的投影和力的分力的区别
力的投影和力的分力是两个不同的概念，不得混淆：
投影
分力
代数量
矢量
只能求出力的大小和方向 完全可以确定力的大小、方 向及作用点的位置
吉大《工程力学（工）》第一 章 静力学的基本知识 拓展资源
1
第1章 力学基本知识和物体的受力分析
1.1 静力学的基本知识 1.2 静力学公理 1.3 力在坐标轴上的投影 1.4 力对点之矩 1.5 平面力偶 1.6 空间力偶 1.7 约束和约束反力 1.8 物体的受力分析和受力图
2
1.1 静力学基本知识
力三角形→
8
公理2 二力平衡条件
作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是： 这两个力大小相等、方向相反、作用线共线，作用于同一 个物体上。
(简称等值、反向、共线） 注意： F1 F2 F1 F 2
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说明：①对刚体来说，上面的条件是充要的 ②对变形体来说，上面的条件只是必要条件(或多体中) ③二力构件：只在两个力作用下平衡的刚体叫二力构件。
力的投影是向轴作垂线而得，力的分力则是利用平行四边
形法则而得。关系式
Fx X Fy Y Fz Z 22
1.4 力对点之矩
力的效应：移动效应和转动效应 1.4.1力对点的矩：度量力使刚体绕某点转动效应的物理量。
(1)在平面问题中，力对点的矩为代数量（因为所有力矩的作用 面都在同一平面内，只要确定了力矩的大小和转向，就可完全 表明力使物体绕矩心转动的效应）。大小等于力与力臂的乘积
r Mz (F) Fy x Fx y
rr
r
M r
O
(
Fr)
x
yFz
zFy
M x (F ) r
MO (F ) y zFx xFz M y (F )
rr
r
MO (F)z xFy yFx M z (F)
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1.4.4合力矩定理
FR 0 MO 0
合力，作用线距简化中心
MO FR
d
M O
F
R
合力矩定理
MO FRd
FR FR F
Mo (FR ) MO MO (Fi )
28
1.5平面力偶
1.力偶：大小相等、方向相反、 作用线平行但不重合的两个力。
力偶是常见的一种特殊力系。 2.力偶矩：力偶对物体的转动效
应用力偶矩度量。
17
2.力平面上的投影 F ' 为力 F 在平面上的投影，大小：
Fˊ=Fcosj
注意：力在轴上的投影是代数 量，而在平面上的投影是矢量。
18
1.3.2力在直角坐标轴上的投影 1)一次投影法（直接投影法）
若已知力与坐标轴正向的
夹角α、β、γ，则
X Fcosa, Y Fcos , Z Fcos
13
公理5 刚化原理
变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体变成 刚体（刚化为刚体），则平衡状态保持不变。
公理5告诉我们：处 于平衡状态的变形体， 可用刚体静力学的平 衡理论。
14
1.3 力在坐标轴上的投影
1.3.1力的轴上投影 1.力 F 在任一轴上的投影 （1）力 F 与轴共面： 以X表示力F 在x轴上的投影，则 X=±ab。
●力偶在作用面内的转向：力偶 矩矢与力偶的转向符合右手螺旋 法则 。 力偶对刚体的作用完全决定于力偶矩矢。
3.力偶的基本性质 ①力偶只能使物体转动。因此，力偶不能与一个力等效，它既 不能合成一个力，也不能与一个力平衡。力偶只能用力偶来平衡
。
30
②力偶对任一点之矩恒等于力偶矩而与矩心位置无关，因此
力偶对物体的转动效应完全决定于力偶矩。 ③只要保持力偶矩矢的大小和方向不变，力 偶可以在其作用面内任意移动，也可以移动 到与其作用面相互平行的平面中去；或同时 改变力偶中力和力偶臂的大小，而不改变力
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（2）刚体
刚体：在力的作用下，大小和形状都不变的物体。 注意： 1. 力作用于可变形的物体时，既有内效应，也会有外效应。 2. 力作用于刚体时，只有外效应。
4
（3）平衡
平衡：是指物体相对于惯性参考系保持静止或作匀速直线运 动的状态。 力系：是指作用在物体上的一群力。
若把与地球固结的参考系作为惯性参考系，则相对于地 球保持静止或作匀速直线运动的物体，就处于平衡状态。
=
=
F1 F1 F2
F2 F3 F3
=
=
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定位矢量 滑移矢量 自由矢量 力偶矩矢是自由矢量 力偶矩相等的力偶等效
(5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
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一、概念
1.7 约束与约束力
自由体：在空间的运动不受任何限制的物体。
非自由体：在空间的运动受到限制的物体，也称被约束体。 约束：阻碍物体某些方向运动的限制条件 。
注意：运动是绝对的平衡是相对的。 平衡力系：物体在力系作用下处于平衡，我们称这个力系为 平衡力系。
5
1.1.2静力学的两个基本问题： 1.作用在刚体上的力系的简化（或合成）：用最简单 的力系代替复杂的力系。
用一个力系代替另一个力系，而不改变原力系 对刚体的效应，称此两力系等效或互为等效力系。 2.力系的平衡条件及应用：物体平衡时，作用于其 上的力系应满足的条件。
=
40N
4cm =
60N
m=240N·cm
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1.6Fra Baidu bibliotek空间力偶
1、力偶矩以矢量表示－－力偶矩矢
F1 F2 F1 F2
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。
33
rr r M rBA F
34
2、力偶的性质
(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 .
20
3）若已知力在直角坐标轴上的投影X、Y、Z，则
力的大小： F X 2 Y 2 Z 2
方向余弦：cosa X cos Y cos Z
F
F
F
α、β、γ为力与x、y、z轴正向的夹角。
4）力沿直角坐标轴分解的解析表示 在直角坐标系下，力的分力与其投影 之间有下列关系：分力的模等于力在 相应坐标轴上的投影的绝对值，即
MO(F) Fh 2OAB 面积
①O—矩心，h —力臂
②当F=0或h=0时，M o (F ) 0
③单位N.m或kN.m ④正负号:逆时针转动为正，反 之为负
23
（2）在空间问题中，力对点的矩为矢量(为了表示力使物体绕 矩心的转动效应，须表示出三个要素：力矩的大小、力矩作用 面的方位及力矩在其作用面内的转向，这三个要素必须用一个
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内）， 力对该轴的矩为零.
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1.4.3力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
r
r
r
r
Mx (F) Mx (Fx ) Mx (Fy ) Mx (Fz ) Fz y Fy z
r
r
r
r
M y (F) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz ) Fx z Fz x
（1）平面问题中的力偶矩是代数量，大小等于力偶中的力的 大小与力偶臂的乘积：
'
m m(F, F ) F d 规定：逆时针转向为正，反之为负 。
单位：N.m，kN.m 29
（2）空间问题中的力偶矩是矢量，其对物体的作用决定于力 偶三要素：
●力偶矩的大小 ：m Fd
●力偶作用面在空间的方位
（这里，约束是名词，而不是动词的约束。） 约束力（或约束反力、反力）：约束给被约束物体的作用力。
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约束力特点： ①大小是未知的。故称为被动力。 ②方向总是与所限制的物体的位移方向相反； ③作用点在物体与约束相接触的那一点。
40
二、常见约束及约束力： 1.柔索约束（不计重的绳索、链条或皮带等） 由于柔索只能阻碍物体沿柔索伸长的方向运动，故柔索的约 束力通过柔索与物体的连接点，方位沿柔索而指向背离物体。 即恒为拉力。
偶对刚体的效应。
FFx F
F
2a
a
a
A
B
x
F
FF 2
31
由此可知，力偶矩矢是自由矢量。
在研究力偶问题时可以不考虑力偶的作用位置及力偶中力 的大小和力偶臂的长度，而只需考虑力偶的力偶矩，故常在 力偶作用面内将力偶用带箭头的弧线表示，箭头表示力偶的 转向，旁边的数字表示力偶矩的大小。
40N 60N 6cm
=
=
=
r M
(
r FR
,
r FR
)
r rBA rrBA r rBA
r FrR Fr1 F1
rrrBrrBAArFr(2Frr1 M (F1, F1)
r F2
)
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(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面 移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体 的作用效果不变.
19
2）二次投影法（间接 投影法）
当力与各轴正向夹 角不易确定时，可先将 F 投影到xy面上，然后 再投影到x、y轴上， 即
Fxy F sin
X Fxy cosj F sin cosj Y Fxy sinj F sin sin j Z F cos
10
公理2 加减平衡力系公理
在已知力系上加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原 力系对刚体的效应。 推论：力的可传递性
作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内的任一 点，而不改变该力对刚体的效应。
因此，对刚体来说，力的三要素为：大小、方向、作用线 力是滑移矢量
11
推论：三力平衡汇交定理
当刚体受到三力作用而平衡时，若 有两力的作用线相交，则此三力必 构成平面汇交力系。
（2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改 变而改变。
r rr r r r r
M
O
(F
,
F
)
M rrA
O
(
F r
F
) rrBMOFr(F
)
rr F F
rr MO (F,
r F)
(rrA
rrB )
r F
r M
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（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内 任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小 与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变.
矢量表示）
M O(F) r F
①力对点之矩依赖于矩心的 位置，所以空间力对点的矩
是定位矢量。 ②力矩的大小
M O (F) F h 2OAB面积
力对一点的矩不因力沿其作用线移动而改变。这再以次证明
了力是滑移矢量。
24
③矢量 mo (F ) 的指 向按右手法则确定。
④力对点之矩的解析式 以O点为原点建立直角坐标系，则力
作用点的矢径及力可表示为解析式：
r xi y j zk F X i Y j Z k
i jk 于是： MO (F) r F x y z
XYZ 注意：力作用点的坐标及力的投影有正负。
25
1.4.2力对轴的矩
r
r
Mz (F) MO(Fxy ) Fxy h