2021年高中数学专题:抛物线
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抛物线专题复习
欧阳光明(2021.03.07)
一、抛物线的知识点:
标准方程
图形
顶点
对称轴
焦点
准线
离心率
焦半径
焦点弦公式
()
022
>=p px
y
x
y
O
F
l
()
0,0
x 轴 ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p 2
p x -= 1=e 0
2x p
PF +=
)(21x x p AB ++=
()
022>-=p px
y
x
y
O F l
()
0,0
x 轴 ⎪⎭⎫
⎝⎛-0,2p
2
p x = 1=e 0
2
x p PF -=
)(21x x p AB +-=
()
022>=p py
x
()
0,0
y
轴
⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p 2
p y -= 1=e 02y p
PF +=
)(21y y p AB ++=
()
022>-=p py
x
()
0,0
y
轴
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-2,0p
2
p y = 1=e 0
2
y p
PF -=
)(21y y p AB +-=
通径:过焦点且垂直于对称轴的相交弦通径:p
d 2=
AB 为抛物线px y
22
=的焦点弦,则=
B A x x 4
2
p ,=B A y y 2p -,
||AB =p x x B A ++
考点1 抛物线的定义
[例1 ]已知点P 在抛物线x y 42=上,则点P 到点)1,2(-Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为 考点2 抛物线的标准方程
[例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程:
(1)过点)2,3(-;(2)焦点在直线240x y --=上 考点3 抛物线的几何性质
[例3 ]设B A ,为抛物线px y 22=上的点,且O AOB (2
π
=∠为原点),则直线
AB 必过的定点坐标为_______
[例4 ]设F 是抛物线2:4G x y =的焦点.(I )过点(04)P -,作抛物线G 的切线,求切线方程;
(II )设A B ,为抛物线G 上异于原点的两点,且满足,0=⋅→
→
FB FA 延长
AF ,BF 分别交抛物线G 于点C D ,,求四边形ABCD 面积的最小值.
二.基本题型
1.过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点,如果621=+x x ,那么||AB =( )
(A )10 (B )8 (C )6 (D )4 2.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,点111222()()P x y P x y ,,,,
333()P x y ,在抛物线上,且||1F P 、||2F P 、||3F P
成等差数列, 则有 ( ) A .321x x x =+
B . 321y y y =+
C .2312x x x =+ D. 2312y y y =+
3.已知M 为抛物线x y 42=上一动点,F 为抛物线的焦点,定点()1,3P ,则||||MF MP +的最小值为( )
(A )3 (B )4 (C )5 (D )6 4.过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点,则
=+|
|1
||1QF PF ( )
(A )a 2 (B )a 21 (C )a 4 (D )a
4
5.已知抛物线C :24y x =的焦点为,F 准线为,l 过抛物线C 上的点
A
作准线l 的垂线,垂足为M ,若△AMF 与△AOF(其中O 为坐标原点)的面积之比为3:1,则点A 的坐标为( )
A .(2,22)
B .(2,-22)
C .(2,±2)
D .(2,±22)
6.过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A 、B,若A 、B 在抛物
线准线上的射影为11,B A ,则=∠11FB A ( ) A. 45 B. 60 C. 90 D. 120
7.两个正数a 、b 的等差中项是9
2
,一个等比中项是,b a >则抛物线2()y b a x =-的焦点坐标为( )
A .1(0,)4
-B .1(0,)4C .1(,0)2-D .1(,0)4
-
8.抛物线,42F x y 的焦点为=准线为l l ,与x 轴相交于点,E 过F 且倾斜角等于3
π的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点,,l AB A ⊥垂足为,B 则四边形ABEF 的面积等于( )
A .33
B .34
C .36
D .38
9.已知抛物线C :21
2
x y =,过点(0,4)A -和点(,0)B t 的直线与抛物线C 没有公共点,则实数t 的取值范围是( )
A
.
(,1)(1,)
-∞-+∞ B.
2
(,(,)22
-∞+∞C .(,(22,)-∞-+∞D .(,(2,)-∞-+∞ 10.如果1P ,2P ,…,8P 是抛物线24y x =上的点,它们的横坐标依次为1x ,2x ,…,8x ,F 是抛物线的焦点,若)(,,,21*∈N n x x x n 成等差数列且45921=+++x x x ,则||5F P =( ).
A .5
B .6
C . 7
D .9