指数函数__和_对数函数公式_(全)
指数函数与对数函数
第四讲指数函数与对数函数指数、对数以及指数函数与对数函数，是高中代数非常重要的内容。
无论在高考及数学竞赛中，都具有重要地位。
熟练掌握指数对数概念及其运算性质，熟练掌握指数函数与对数函数这一对反函数的性质、图象及其相互关系，对学习好高中函数知识，意义重大。
一、指数概念与对数概念：指数的概念是由乘方概念推广而来的。
相同因数相乘a·a……a(n个)=an导出乘方，这里的n为正整数。
从初中开始，首先将n推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来，推广为有理指数；最后，在实数范围内建立起指数概念。
欧拉指出：“对数源出于指数”。
一般地，如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
ab=N与b=logaN是一对等价的式子，这里a是给定的不等于1的正常数。
当给出b求N 时，是指数运算，当给出N求b时，是对数运算。
指数运算与对数运算互逆的运算。
二、指数运算与对数运算的性质1．指数运算性质主要有3条：, ,（a>0,a≠1,b>0,b≠1）2．对数运算法则（性质）也有3条：（1）（2）logaM/N=logaM-logaN（3）logaMn=nlogaM(n∈R)(a>0,a≠1,M>0,N>0)3．指数运算与对数运算的关系：X=alogax；mlogan=nlogam4．负数和零没有对数；1的对数是零，即loga1=0；底的对数是1，即logaa=15．对数换底公式及其推论：换底公式：logaN=logbN/logba推论1：logamNn=(n/m)logaN推论2：三、指数函数与对数函数函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数。
它的基本情况是：（1）定义域为全体实数（-∞，+∞）（2）值域为正实数（0，+∞），从而函数没有最大值与最小值，有下界，y>0（3）对应关系为一一映射，从而存在反函数--对数函数。
三角函数指数函数与对数函数公式
三角函数指数函数与对数函数公式三角函数、指数函数和对数函数都是数学中重要的函数类型。
它们在各个科学领域中都有广泛的应用。
本文将从定义、性质、公式和应用等方面对三角函数、指数函数和对数函数进行详细介绍。
一、三角函数1.定义和性质三角函数是以单位圆上的点为基础，通过对角度的测量来定义的函数。
常见的三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan），以及它们的倒数函数：余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）。
三角函数的定义和性质如下：- 正弦函数的定义：在单位圆上，点P的横坐标就是角度弧度的正弦值，即sinθ = y；- 余弦函数的定义：在单位圆上，点P的纵坐标就是角度弧度的余弦值，即cosθ = x；- 正切函数的定义：在单位圆上，点P的横纵坐标比值就是角度弧度的正切值，即tanθ = y /x；- 周期性：三角函数均具有周期性，即sin(θ + 2πk) = sinθ、cos(θ + 2πk) = cosθ、tan(θ + πk) = tanθ，其中k为整数。
2.重要公式三角函数有很多重要的公式，包括和差公式、倍角公式、半角公式等。
这些公式在解三角函数方程、化简三角函数表达式等方面非常有用。
以下是三角函数的一些重要公式：-和差公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβcos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβtan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)-倍角公式：sin2α = 2sinαcosαcos2α = cos^2α - sin^2αtan2α = (2tanα) / (1 - tan^2α)-半角公式：sin(α/2) = ±√[(1- cosα) / 2]cos(α/2) = ±√[(1 + cosα) / 2]二、指数函数1.定义和性质指数函数是以正实数为底数、以自然对数e为底的指数幂函数。
几种常见指数函数和对数函数奇函数
几种常见指数函数和对数函数奇函数下载温馨提示：该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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指数函数与对数函数知识总结及练习
指数函数与对数函数知识点：x比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象：3. 研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制4. 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。
复合函数的单调性法则是：同增异减 步骤：（1）球定义域并分解复合函数（2）在定义与范围内分别讨论分解后的函数的单调性 （3）很据复合函数的单调性法则得出结论【典型例题】例1. （1）下图是指数函数（1）y ＝a x ，（2）y ＝b x ，（3）y ＝c x ，（4）y ＝d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是（ ）y x1O(4)(3)(2)(1)A. a ＜b ＜1＜c ＜dB. b ＜a ＜1＜d ＜cC. 1＜a ＜b ＜c ＜dD. a ＜b ＜1＜d ＜c剖析：可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较c 、d 的大小，从（1）（2）中比较a 、b 的大小。
解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且底数越大，图象向上越靠近于y 轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x 轴.得b ＜a ＜1＜d ＜c 。
故选B 。
解法二：令x ＝1，由图知c 1＞d 1＞a 1＞b 1，∴b ＜a ＜1＜d ＜c 。
例2. 已知2x x +2≤（41）x －2，求函数y ＝2x －2－x 的值域。
解：∵2x x +2≤2－2（x －2），∴x 2＋x ≤4－2x ， 即x 2＋3x －4≤0，得－4≤x ≤1。
又∵y ＝2x －2－x 是［－4，1］上的增函数，∴2－4－24≤y ≤2－2－1。
对数函数与指数函数的相互关系
指数函数的性质
定义域：所有实数 值域：正实数集 函数图像：在第一象限内单调递增 函数值永远大于0
对数函数与指数函数的图像
对数函数图像：以10为底的对数函数图像是单调递增的，随着x的增大，y值也增大。 指数函数图像：以2为底的指数函数图像是单调递减的，随着x的增大，y值减小。 对数函数与指数函数图像关系：对数函数和指数函数互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称。 图像性质：对数函数和指数函数的图像都是连续的，并且在定义域内是单调的。
对数函数与指数函数的 相互关系
汇报人：XX
目录
对数函数与指数函数的定 义
01
对数函数与指数函数的性 质
02
对数函数与指数函数的相 互转换
03
对数函数与指数函数的应 用
04
对数函数与指数函数的比 较
05
对数函数与指数 函数的定义
对数函数的定义
定义：对数函数是指数函数的反函数，即以底数为自变量，指数为因变量的函数。
对数函数与指数 函数的相互转换
指数函数转换为对数函数
公式：a^x = y 可以转换为 log(a,y) = x
意义：将指数函 数的形式转换为 对数函数的形式， 可以更好地理解 和分析函数的性 质和变化规律
应用：在数学、 物理、工程等领 域中，经常需要 将指数函数转换 为对数函数进行 计算和分析
注意：转换时需 要注意函数的定 义域和值域，以 及选择合适的底 数和真数
实际应用：在实际应用中，对数函数和指数函数可以相互转化，通过对数运算或指数运算进行计算 和分析。
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汇报人：XX
对数函数与指数函数的表示方法
对数函数表示为 y = log_a(x)，其中 a 是底数， x 是自变量
指数函数 和 对数函数公式 (全)
指数函数和对数函数重点、难点：重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。
难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y a y xxa ==，l o g 在a >1及01<<a 两种不同情况。
1、指数函数：定义：函数()y aa a x=>≠01且叫指数函数。
定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。
为什么要求函数y ax=中的a 必须a a >≠01且。
因为若a <0时，()y x=-4，当x =14时，函数值不存在。
a =0，y x=0，当x ≤0，函数值不存在。
a =1时，y x=1对一切x 虽有意义，函数值恒为1，但y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x=中的a a >≠01且。
1、对三个指数函数y y y x xx==⎛⎝ ⎫⎭⎪=21210，，的图象的认识。
图象特征与函数性质：图象特征函数性质（1）图象都位于x 轴上方； （1）x 取任何实数值时，都有a x>0； （2）图象都经过点（0，1）；（2）无论a 取任何正数，x =0时，y =1；（3）yy xx==210，在第一象限内的纵坐标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，y x=⎛⎝ ⎫⎭⎪12的图象正好相反；（3）当a >1时，x a x a x x>><<⎧⎨⎪⎩⎪0101，则，则 当01<<a 时，x a x a x x><<>⎧⎨⎪⎩⎪0101，则，则（4）y y x x==210，的图象自左到右逐渐（4）当a >1时，y a x=是增函数，上升，y x=⎛⎝ ⎫⎭⎪12的图象逐渐下降。
当01<<a 时，y a x=是减函数。
对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y x=2和y x=10相交于()01，，当x >0时，y x=10的图象在y x=2的图象的上方，当x <0，刚好相反，故有10222>及10222--<。
指数和对数怎么互换
指数和对数怎么互换？
指数和对数的转换公式是a^y=xy=log(a)(x)。
1.对数函数的一般形式为y=logax，它实际上就是指数函数的反函数，图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数，可表示为x=a^y。
因此指数函数里对于a存在规定——a>0且a≠1，对于不同大小a会形成不同的函数图形关于X轴对称、当a>1时，a越大，图像越靠近x轴、当0<a<1时，a越小，图像越靠近x轴。
2.可通过指数函数或对数函数的单调性来比较两个指数式或对数式的大小。
求函数
y=afx的单调区间，应先求出fx的单调区间，然后根据y=au的单调性来求出函数y=afx 的单调区间．求函数y=logafx的单调区间，则应先求出fx的单调区间，然后根据y=logau
的单调性来求出函数y=logafx的单调区间。
3.如果b^nx，则记n=logbx，其中b叫做底数，x叫做真数。
n叫做以b为底的x的对数，log(b)(x)函数中x的定义域是x>0，零和负数没有对数，b的定义域是b>0且b≠1，当01时，图象上显示函数为(0，+∞)单，，随着a的减小，图象逐渐以(1.0)点为轴逆时针转动，但不超过X=1。
函数的性质指数和对数公式
函数的性质指数和对数公式
(1)定义域、值域、对应法那么
(2)单调性
对于任意x1,x2^D
假设x1
假设X1f(X2),称f(x)在D上是减函数
(3)奇偶性
对于函数f(x)的定义域内的任一X,假设f(r)=f(x),称f(x)是偶函数假设f(-x)Ef(X),称f(x)是奇函数
(4)周期性
对于函数f(x)的定义域内的任一X,假设存在常数T,使得f(x+T)=f(x),那么称f(x)是周期函数(1)分数指数累
正分数指数暴的意义是
负分数指数嘉的意义是
(2)对数的性质和运算法那么
Ioga(MN)-IogaM+IogaN
IogaMn=nIogaM(n∈R)
指数函数对数函数
(1)y=ax(a>0,a≠1)叫指数函数
(2)x∈R,y>0
图象经过(0,1)
a>1时,x>0,y>1；x1时，y=ax是增函数
(2)x>0,y∈R
图象经过(1,0)
a>1时,x>1,y>0；0
a>1时，y=1ogax是增函数
指数方程和对数方程
根本型
Iogaf(x)=bf(x)=ab(a>0,高中生物,a≠1)
同底型
Iogaf(x)-Iogag(x)f(x)-g(x)>0(a>0,a≠1)换元型f(ax)=O或f(Iogax)=O。
指数函数和对数函数知识点总结
指数函数和对数函数知识点总结一、指数函数：1.基本概念：指数函数是形如y=a^x（a>0，且a≠1）的函数，其中a称为底数，x 称为指数，a^x称为底数a的x次幂。
2.基本性质：（1）a^0=1，任何数的0次幂等于1；（2）a^x*a^y=a^(x+y)，相同底数的指数幂相乘，底数不变，指数相加；（3）a^x÷a^y=a^(x-y)，相同底数的指数幂相除，底数不变，指数相减；（4）(a^x)^y=a^(x*y)，指数幂的乘积再乘方，指数相乘；（5）a^(-x)=1/(a^x)，任何数的负指数满足倒数规律。
3.常见指数函数：（1）指数函数y=2^x：以2为底的指数函数，可以用来描述2的x 次幂关系，是一种常见的指数型增长函数，图像逐渐向上凸起。
二、对数函数：1.基本概念：对数函数是指y=loga(x)，其中a>0，且a≠1，a称为底数，x称为真数，y称为以a为底x的对数。
2.基本性质：（1）loga(1)=0，底数为任何正数时，1的对数都是0；（2）loga(a)=1，底数为任何正数时，底数的对数都是1；（3）loga (x*y) = loga(x) + loga(y)，对数相乘，真数取乘积，对数相加；（4）loga (x/y) = loga(x) - loga(y)，对数相除，真数取商，对数相减；（5）loga(x^k) = k * loga(x)，对数乘方，真数取底数的k次方，对数乘以指数。
3.常见对数函数：（1）常用对数函数：y=log10(x)，其中底数为10，对数函数可以简写为y=log(x)。
常用对数函数是以10为底的对数函数，输入一个正实数x，输出满足10^y=x的y值。
（2）自然对数函数：y=ln(x)，其中底数为e。
自然对数函数是以e 为底的对数函数，输入一个正实数x，输出满足e^y=x的y值。
三、指数函数与对数函数的关系：四、指数函数与对数函数的应用：1.科学中的指数增长：指数函数常常用于描述原子衰变、细胞分裂和放射性物质的衰变等过程。
对数与指数的转换公式
对数与指数的转换公式
【示例范文仅供参考】
---------------------------------------------------------------------- 指数和对数的转换公式表示为x=a^y。
1、指数函数的定义域为R，这里的前提是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况则必然使得函数的定义域不连续，因此我们不予考虑，同时a等于0函数无意义一般也不考虑，指数函数的值域为(0，+)，函数图形都是上凹的。
2、对数函数的一般形式为y=logax，它实际上就是指数函数的反函数（图像关于直线y=x对称的两函数互为反函数）可表示为x=a^y，因此指数函数里对于a存在规定a>0且a≠1，对于不同大小a会形成不同的函数图形关于X轴对称、当a>1时a越大，图像越靠近x轴、当0<a<1时a越小，图像越靠近x轴。
3、转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行这两种形式的相互转化，熟练应
用公式1oga1=0，1ogaa=1，alogaM=M，logaan=n，有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算。
对数公式的推导全
对数公式的推导全首先，我们需要了解指数函数和对数函数的定义。
指数函数定义：对于任意实数a和正整数n，我们定义指数函数a^n为连乘的结果，即a^n=a*a*a*...*a(共n个a)。
对数函数定义：对于任意正实数 a、b 和正整数 n，我们定义对数函数 log_a b 为 a^n = b 的等价表达式，其中 a 称为底数，b 称为真数，n 称为对数指数。
特别地，当 a = 10 时，log_a b 可以简写为 log b。
推导一：指数函数和对数函数的互逆关系假设a是一个正实数，b是a的正整数指数，即a^b中的a和b。
根据指数函数的定义，a^b=a*a*a*...*a(共b个a)。
如果我们定义对数函数 log_a，使得 log_a a^b = b，则根据对数函数的定义，我们有 a^b = a^(log_a a^b) = a^(b * log_a a)。
根据指数函数和对数函数的定义，我们可以得出指数函数和对数函数的互逆关系：a^b = a^(log_a a^b) = b * log_a a。
推导二：对数函数之间的运算规则根据指数函数和对数函数的互逆关系，我们可以推导出对数函数之间的运算规则。
假设a是一个正实数，b和c是两个正实数，则有以下运算规则：1. log_a (b * c) = log_a b + log_a c：两数相乘等于其对数相加。
证明：a^(log_a b + log_a c) = a^(log_a b) * a^(log_a c) = b* c。
2. log_a (b / c) = log_a b - log_a c：两数相除等于其对数相减。
证明：a^(log_a b - log_a c) = a^(log_a b) / a^(log_a c) = b/ c。
3. log_a (b^c) = c * log_a b：一个数的幂等于其对数乘以指数。
证明：a^(c * log_a b) = (a^(log_a b))^c = b^c。
指数函数和对数函数的关系
指数函数和对数函数的关系指数函数和对数函数是数学中非常重要的两类函数，它们有着密切的关系。
指数函数是具有形如f(x)=a^x的函数，其中a是一个常数且a>0且不等于1，x是自变量；而对数函数是具有形如f(x)=loga(x)的函数，其中a是一个常数且a>0且不等于1，x是自变量。
接下来，我们来详细探讨指数函数和对数函数的关系。
1.定义关系：f(g(x))=a^(loga(x))=xg(f(x))=loga(a^x)=x也就是说，对于指数函数f(x)和对数函数g(x)，当它们的自变量和函数的定义域和值域匹配时，它们的函数值相互等于自变量。
2.特点对比：- 指数函数f(x)=a^x是增长的函数，也就是说随着x的增大，函数值也随之增大；而对数函数g(x)=loga(x)是上升的函数，它的函数值随着x的增大而增加。
- 当a>1时，指数函数f(x)=a^x的图像是上升的且没有上界；而对数函数g(x)=loga(x)的图像是上升的且有一个水平渐近线y=0。
- 当0<a<1时，指数函数f(x)=a^x的图像是下降的且没有下界；而对数函数g(x)=loga(x)的图像是下降的且有一个水平渐近线y=0。
-指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集(0,+∞)；而对数函数的定义域为正实数集(0,+∞)，值域为实数集R。
3.换底公式：另一个重要的关系是指数函数和对数函数的换底公式。
对于任意两个正实数a和b，以及a不等于1，b不等于1，有以下换底公式：loga(b) = logc(b) / logc(a)其中，c是一个任意正实数且不等于1、换底公式的含义是，以任意底c取对数的结果都是等价的，只是在数值上有所差异。
4.解方程与求导关系：- 解指数方程通常需要利用对数函数，例如求解a^x=b的x时，可以取对数得到x=loga(b)。
- 解对数方程通常需要利用指数函数，例如求解loga(x)=b的x时，可以取指数得到x=a^b。
指数函数对数函数公式
指数函数对数函数公式
指数函数和对数函数是高中数学中比较重要的概念，它们有着紧密
的关系，下面我们将详细介绍它们的相关知识。
一、指数函数
指数函数是一种以确定底数为底的幂次函数，其定义域可以是实数集，也可以是复数集，其一般形式可以表示为：
y = a^x
其中，a为底数，x为幂次，y为函数值。
指数函数的图像一般呈现出指数增长的趋势，当底数a大于1时，函数值随着幂次x的增大而成指数增长，当底数a介于0和1之间时，函数值随着幂次x的增大而成指数衰减。
二、对数函数
对数函数是指数函数的反函数，其定义域为正实数集，其一般形式可
以表示为：
y = loga(x)
其中，a为底数，x为函数值，y为幂次。
对数函数的图像通常为单调递增的曲线，当底数a大于1时，函数值随着自变量x的增大而增大，当底数a介于0和1之间时，函数值随着自变量x的增大而减小。
三、指数函数与对数函数的关系
对数函数是指数函数的反函数，因此指数函数和对数函数是互逆的。
对于底数为a的指数函数和以a为底的对数函数，它们之间存在以下等式：
a^(loga(x)) = x
loga(a^x) = x
这些等式将指数函数和对数函数联系起来，可以更方便地进行计算。
总之，指数函数和对数函数是高中数学中的重要概念，其关系密切，相互补充。
通过学习这些知识，我们可以更好地理解数学中的许多问题。
指数函数和对数函数公式
指数函数和对数函数公式一、指数函数公式指数函数是形如y=a^x的函数，其中a是一个正实数且不等于1，x 可以是实数。
指数函数具有以下常见的公式：1.以自然对数e为底的指数函数：y=e^x2.以底数为a的指数函数：y=a^xa是一个大于0且不等于1的实数。
a^x的图像也是一个逐渐增长的曲线，但斜率的增长速度取决于底数a的大小。
当0<a<1时，曲线倾斜向下；当a>1时，曲线倾斜向上。
指数函数有许多重要的性质：1.指数函数一定经过点(0,1)，因为a^0=12.当x为正无穷大时，指数函数趋于正无穷大，当x为负无穷大时，指数函数趋于0。
3.指数函数的值在整个实数范围内都是正的。
4.指数函数具有指数律，即a^(x+y)=a^x*a^y，a^(x-y)=a^x/a^y，以及(a^x)^y=a^(x*y)。
二、对数函数公式对数函数是指以一些正实数为底的对数函数，常用的底数有10和自然对数e。
对数函数的公式如下：1.以底数为10的对数函数：y=log10x (也可以写成y=logx)这个函数的定义域是正实数，值域是实数。
对数函数的图像是一个逐渐增长的曲线，当x增大时，函数值增长速度变慢。
当x=1时，函数值为0。
对数函数的斜率随着x的增大而减小。
2.以自然对数e为底的对数函数：y=lnx这个函数的定义域是正实数，值域是实数。
自然对数函数的图像与以10为底的对数函数非常相似，但是斜率变化的速度更慢。
当x=1时，函数值为0。
自然对数函数在数学和科学中有广泛的应用。
对数函数具有以下重要性质：1. 对数函数的反函数是指数函数。
即如果y=logax，则x=a^y。
2.对数函数的值随着x的增大而增大，但增长速度逐渐减慢。
3.当x趋于正无穷大时，对数函数趋于正无穷大；当x趋于0时，对数函数趋于负无穷大。
4. 对数函数具有对数律，即logab=logcb/logca，logab=logac/logbc，以及log(a^b)=bloga。
指数函数与对数函数知识点总结
指数函数与对数函数知识点总结一、指数函数的定义与性质1. 定义指数函数是以底数a（a>0且a≠1）为底的函数，一般表示为y=a^x，其中a是底数，x是指数，y是函数值。
2. 性质⑴当a>1时，指数函数是递增函数，图像上开；当0<a<1时，指数函数是递减函数，图像下降。
⑵当x=0时，a^0=1。
⑶当a>1时，随着x的增大，函数值y=a^x也会增大；当0<a<1时，随着x的增大，函数值y=a^x会减小。
3. 图像当底数a>1时，指数函数的图像是递增的曲线，图像上翘；当0<a<1时，指数函数的图像是递减的曲线，图像下降。
4. 应用指数函数在科学计算、生物增长、财经复利、工程技术等领域都有着重要的应用。
例如在计算机科学中，指数函数常用于指数衰减算法、指数增长算法等；在生物学中，指数函数常用于描述生物的增长规律；在金融领域中，指数函数用以描述利息的复利增长等。
二、对数函数的定义与性质1. 定义对数函数是指数函数的逆运算，一般表示为y=log_a(x)，其中a是底数，x是真数，y是对数。
2. 性质⑴对数函数的定义域为x>0，值域为实数集。
⑵对数函数的图像是单调递增的曲线，在0处没有定义。
⑶特殊情况下，当底数a=10时，我们称为常用对数函数，一般表示为y=log(x)；当底数a=e时，我们称为自然对数函数，一般表示为y=ln(x)。
3. 图像对数函数的图像是单调递增的曲线，图像在x轴的右侧。
4. 应用对数函数在科学计算、信息论、统计学、工程技术等领域都有着广泛应用。
例如在信息论中，对数函数用于计算信息量、信息熵等；在统计学中，对数函数用于描述正态分布、伯努利分布等；在工程技术中，对数函数用于解决指数增长问题、指数衰减问题等。
三、指数函数与对数函数的关系1. 反函数关系指数函数与对数函数是一对反函数，它们的定义域和值域互为对方的值域和定义域。
具体而言，对数函数y=log_a(x)中，x=a^y。
指数与对数函数
指数与对数函数指数与对数函数是高中数学中常见的函数类型，它们在数学和科学领域中具有广泛的应用。
指数函数可以用来表示增长的速度，而对数函数则可以用来解决指数式的问题。
本文将介绍指数与对数函数的定义、性质以及实际应用。
一、指数函数指数函数是一种以常数为底数的幂函数，它的一般形式可以表示为f(x) = a^x，其中a是正实数且不等于1。
指数函数的定义域为整个实数集，值域为正实数集。
指数函数的图像呈现出一种特殊的形态，即当底数大于1时，随着自变量增大，函数值也随之增大，呈现出递增趋势；而当底数小于1且大于0时，随着自变量增大，函数值反而减小，呈现出递减趋势。
指数函数在现实生活中有着广泛的应用。
举例来说，经济增长模型中常常使用指数函数来描述经济的增长趋势。
此外，放射性衰变也可以用指数函数来表示，指数函数在核物理领域起着重要的作用。
二、对数函数对数函数是指以某个正实数为底数，将正实数x映射到满足a^y = x的实数y的函数。
对数函数的定义域为正实数集，值域为整个实数集。
对数函数的一般形式可以表示为f(x) = logₐ(x)，其中a是正实数且不等于1。
对数函数与指数函数是互为反函数关系，即指数函数和对数函数的图像关于y=x对称。
对数函数的主要特点是，当底数大于1时，对数值随着自变量的增大而增大；当底数小于1且大于0时，对数值随着自变量的增大而减小。
对数函数广泛应用于科学和技术领域。
例如，在计算机科学中，对数函数在对数复杂性和算法分析中具有重要作用。
同时，在经济学和金融学中，对数函数常用于计算复利和持续增长的情况。
三、指数与对数函数的性质指数函数和对数函数具有一些重要的性质。
1. 指数与对数的互为反函数关系：对于任意的a>0且a≠1，和任意的x>0，有logₐ(a^x) = x和a^(logₐ(x)) = x。
也就是说，指数函数和对数函数是互为反函数的。
2. 指数与对数的运算规律：指数和对数具有一些重要的运算规律，如指数的乘方法则、指数函数的加法法则和对数的乘法法则等。
指数函数与对数
指数函数与对数函数知识点：x比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象：3. 研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制4. 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。
复合函数的单调性法则是：同增异减 步骤：（1）球定义域并分解复合函数（2）在定义与范围内分别讨论分解后的函数的单调性 （3）很据复合函数的单调性法则得出结论练习：1、（1）)35lg(lg x x y -+=的定义域为_______；（2）312-=x y 的值域为_________；（3）)lg(2x x y +-=的递增区间为___________，值域为___________2、（1）041log 212≤-x ，则________∈x 3、要使函数a y x x 421++=在(]1,∞-∈x 上0>y 恒成立。
求a 的取值范围。
指数函数与对数函数同步训练一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.已知2lg(x －2y )=lg x +lg y ,则yx的值为（ ）A.1 B.4 C.1或4 D.41或42.函数y =log 21(x 2－6x +17)的值域是（ ）A.R B.［8，+)∞C.(－∞,－]3D.［－3,+∞)3.若a >1,b >1,且lg(a +b )=lg a +lg b ,则lg(a －1)+lg(b －1)的值等于（ ） A.0 B.lg2 C.1 D.－14.设x ∈R ,若a <lg(|x －3|+|x +7|)恒成立，则（ ） A.a ≥1 B.a >1 C.0<a ≤1 D.a <15.设有两个命题①关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对于一切x ∈R 恒成立，②函数f (x )=－(5－2a )x是减函数，若此二命题有且只有一个为真命题，则实数a 的范围是（ ） A.(－2,2) B.(－∞,2) C.(－∞,－2) D.(－∞,－2］ 6.设函数f (x )=f (x1)lg x +1,则f (10)值为（ ）A.1B.－1C.10D.101 7.已知函数y =f (x )的反函数为f －1(x )=2x +1,则f (1)等于（ ）A.0 B.1 C.－1 D.4 8.若定义在区间（－1，0）内的函数f (x )=log 2a (x +1)满足f (x )>0,则a 的取值范围是（ ） A.(0,21)B.(0,⎥⎦⎤21C.(21,+∞)D.(0,+∞)9.已知函数y =f (2x )定义域为［1，2］,则y =f (log 2x )的定义域为（ ）A.［1，2］B.［4，16］C.［０，1］D.（－∞,0］ 10.已知f (x )=x 2－bx +c ,且f (0)=3,f (1+x )=f (1－x ),则有（ ） A.f (b x )≥f (c x ) B.f (b x )≤f (c x ) C.f (b x )<f (c x ) D.f (b x )、f (c x )大小不确定 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 11.方程log 2(2－2x )+x +99=0的两个解的和是______.12.当x ∈(1,2)，不等式(x －1)2<log a x ,则a 的取值范围是_____________. 13.若不等式3axx22->(31)x +1对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为______.14.f (x )=]()⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∞∈---,1 231,( 2311x x x x ，则f (x )值域为______.三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（8分）已知函数f (x )=log 412x －log 41x +5,x ∈［2,4］，求f (x )的最大值及最小值.16.（10分）已知f (x )=lg xx+-11.(1)求函数定义域.（2）求f －1(lg2).17.(12分)已知函数f (x )=22-a a (a x －a －x)(a >0且a ≠1)是R 上的增函数，求a 的取值范围.18.(12分)设函数f (x )=|lg x |,若0<a <b ,且f (a )>f (b ),证明：ab <1.19.（12分）某种细菌每隔两小时分裂一次，（每一个细菌分裂成两个，分裂所须时间忽略不计），研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y 是研究时间t 的函数，记作y =f (t ).（1）写出函数y =f (t )的定义域和值域.（2）在所给坐标系中画出y =f (t )(0≤t <6)的图象.（3）写出研究进行到n 小时（n ≥0，n ∈Z )时，细菌的总数有多少个（用关于n 的式子表示）？指数函数与对数函数同步训练一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.已知2lg(x －2y )=lg x +lg y ,则yx的值为（ ）A.1 B.4 C.1或4 D.41或4考查对数函数及对数函数定义域.【解析】 原命题等价⇒⎩⎨⎧>>=-02y x )2(2xy y x x =4y ∴y x=4【答案】 B 2.函数y =log 21(x 2－6x +17)的值域是（ ）A.R B.［8，+)∞ C.(－∞,－]3 D.［－3,+∞)考查对数函数单调性、定义域、值域.【解析】 y =log 21［(x －3)2+8］≤log 218=－3 【答案】 C3.若a >1,b >1,且lg(a +b )=lg a +lg b ,则lg(a －1)+lg(b －1)的值等于（ ）A.0 B.lg2 C.1 D.－1 考查对数运算.【解析】 由lg(a +b )=lg a +lg b ⇒a +b =ab 即(a －1)(b －1)=1, ∴lg(a －1)+lg(b －1)=0 【答案】 A4.设x ∈R ,若a <lg(|x －3|+|x +7|)恒成立，则（ ）A.a ≥1 B.a >1 C.0<a ≤1 D.a <1 考查对数函数性质及绝对值不等式.【解析】 令t =|x －3|+|x +7|,∴x ∈R ,∴t min =10 y =lg t ≥lg10=1,故a <1 【答案】 D 5.设有两个命题①关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对于一切x ∈R 恒成立，②函数f (x )=－(5－2a )x 是减函数，若此二命题有且只有一个为真命题，则实数a 的范围是（ ） A.(－2,2) B.(－∞,2) C.(－∞,－2) D.(－∞,－2］考查二次函数性质及逻辑推理能力.【解析】 ①等价于Δ=（2a )2－16<0⇒－2<a <2 ②等价于5－2a >1⇒a <2 ① ②有且只有一个为真，∴a ∈(－∞,－2］ 【答案】 D 6.设函数f (x )=f (x1)lg x +1,则f (10)值为（ ）A.1B.－1C.10D.101 考查对数性质及函数对应法则理解.【解析】 ∵f (x )=f (x1)lg x +1,∴f (x1)=f (x )lg x1+1 ∴f (10)=f (101)lg10+1,且f (101)=f (10)lg 101+1 解得f (10)=1. 【答案】 A 7.已知函数y =f (x )的反函数为f －1(x )=2x +1,则f (1)等于（ ）A.0 B.1 C.－1 D.4考查反函数意义.【解析】 令f (1)=x ,则f －1(x )=1,令2x +1=1,∴x =－1 【答案】 C8.若定义在区间（－1，0）内的函数f (x )=log 2a (x +1)满足f (x )>0,则a 的取值范围是（ ） A.(0,21)B.(0,⎥⎦⎤21C.(21,+∞)D.(0,+∞)考查对数函数的单调性.【解析】 f (x )=log 2a (x +1)>0=log 2a 1 ∵x ∈(－1,0),∴x +1<1, ∴0<2a <1,即0<a <21 【答案】 A9.已知函数y =f (2x )定义域为［1，2］,则y =f (log 2x )的定义域为（ ）A.［1，2］B.［4，16］C.［０，1］D.（－∞,0］ 考查函数定义域的理解. 【答案】 B【解析】 由1≤x ≤2⇒2≤2x ≤4, ∴y =f (x )定义域为［2，4］ 由2≤log 2x ≤4,得4≤x ≤16 10.已知f (x )=x 2－bx +c ,且f (0)=3,f (1+x )=f (1－x ),则有（ ） A.f (b x )≥f (c x ) B.f (b x )≤f (c x ) C.f (b x )<f (c x ) D.f (b x )、f (c x )大小不确定 考查二次函数及函数单调性.【解析】 由f (0)=3⇒c =3, 由f (1+x )=f (1－x )知对称轴为x =1,∴b =2①x =0,2x =3x ,∴f (2x )=f (3x )②x >0,1<2x <3x ,∴f (2x )<f (3x )③x <0,1>2x >3x ,∴f (2x )<f (3x ) 【答案】 B 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.方程log 2(2－2x )+x +99=0的两个解的和是______.【答案】 －99 考查对数运算.【解析】 由原式变形得2－2x =99221⋅x 设2x =y ,变形得:299y 2－2100y +1=0⇒y 1y 2=2－99=221x x + ∴x 1+x 2=－9912.当x ∈(1,2)，不等式(x －1)2<log a x ,则a 的取值范围是_____________.【答案】 (1,2］考查对数函数图象及数形结合思想.【解析】 考查两函数y =(x －1)2及y =log a x 图象可知a ∈(1,2］ 13.若不等式3axx22->(31)x +1对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为______.【答案】 －21<a <23考查指数函数单调性及化归能力.【解析】 由题意：x 2－2ax >－x －1恒成立 即x 2－(2a －1)x +1>0恒成立 故Δ=（2a －1）2－4<0⇒－21<a <2314.f (x )=]()⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∞∈---,1 231,( 2311x x x x ，则f (x )值域为______.【答案】 (－2,－1］ 考查分段函数值域.【解析】 x ∈(－∞,1］时,x －1≤0,0<3x －1≤1, ∴－2<f (x )≤－1x ∈(1,+∞)时，1－x <0,0<31－x <1,∴－2<f (x )<－1 ∴f (x )值域为(－2,－1］三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分8分）已知函数f (x )=log 412x －log 41x +5,x ∈［2,4］，求f (x )的最大值及最小值.考查函数最值及对数函数性质.【解】 令t =log 41x ,∵x ∈［2,4］,t =log 41x 在定义域递减有log 414<log 41x <log 412，∴t ∈［－1,－21］ ∴f (t )=t 2－t +5=(t －21)2+419,t ∈［－1,－21］∴当t =－21时，f (x )取最小值423当t =－1时，f (x )取最大值7. 16.（本小题满分10分）已知f (x )=lg xx+-11.(1)求函数定义域.（2）求f －1(lg2).考查函数性质，互为反函数的函数间关系.【解】 （1）由xx+-11>0,得－1<x <1 ∴函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1} (2)由lg x x +-11=lg2⇒xx +-11=2⇒x =－31 ∴f －1(lg2)=－3117.(12分)已知函数f (x )=22-a a(a x －a －x )(a >0且a ≠1)是R 上的增函数，求a 的取值范围.考查指数函数性质.【解】 f (x )的定义域为R ，设x 1、x 2∈R ,且x 1<x 2 则f (x 2)－f (x 1)=22-a a (a 2x －a 2x -－a 1x +a 1x -)=22-a a (a 2x －a 1x )(1+211x x a a ⋅)由于a >0，且a ≠1,∴1+211x x aa >0 ∵f (x )为增函数，则(a 2－2)( a 2x －a 1x )>0 于是有⎪⎩⎪⎨⎧<-<-⎪⎩⎪⎨⎧>->-02002121222x xx x a a a a a a 或， 解得a >2或0<a <1 18.(本小题满分12分)设函数f (x )=|lg x |,若0<a <b ,且f (a )>f (b ),证明：ab <1.考查对数函数性质、分类讨论思想.【解】 由题设，显然a 、b 不能同在（1，+∞) 否则，f (x )=lg x ,且a <b 时，f (a )<f (b )与已知矛盾由0<a <b 可知，必有0<a <1 ①当0<b <1时，∵0<a <1,0<b <1,∴0<ab <1 ②当b >1时，∵0<a <1 ∴f (a )=|lg a |=－lg a ,f (b )=|lg b |=lg b 由f (a )>f (b ),得－lg a >lg b ，即a1>b ,∴ab <1 由①②可知ab <1 19.考查函数应用及分析解决问题能力.【解】 （1）y =f (t )定义域为t ∈［0,+∞),值域为{y |y =2n ,n ∈N *}（2）0≤t <6时，为一分段函数y =⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤<≤)6(4 8)4(2 4)2(0 2x x x 图象如图（3）n 为偶数时，y =212+nn 为奇数时，y =2121+-n ∴y =⎪⎩⎪⎨⎧+-+为奇数为偶数n n n n 2212112。
指数函数与对数函数
指数函数与对数函数
指数函数与对数函数是高中数学中非常重要的两个函数。
它们有着密不可分的联系，并在数学和物理等领域中都有广泛的应用。
一、指数函数
指数函数以指数为自变量，底数为常数的函数。
由于底数一定，因此指数函数的图像特征是非常稳定的。
当底数大于1时，指数函数呈现出增长的特点，当底数小于1时，则呈现出衰减的特点。
指数函数的标准形式为y=a^x（a>0，且a≠1）。
指数函数在数学中有着广泛的应用，尤其在高中数学中。
比如，指数函数可以用来求解各种变化速率的问题，如人口增长，化学反应速率等。
指数函数还可以用于解决利润和复利问题等经济学问题。
二、对数函数
对数函数是指底数为常数，以真数为自变量的函数。
对于任何正数b（b≠1），都有唯一的实数x使得b^x=y，即y是以b为底数的对数函数。
对数函数的标准形式为y=logb(x)。
对数函数与指数函数是互为反函数的关系。
对数函数是指数函数的反函数，指数函数是对数函数的反函数。
因此，对数函数和指数函数的图像是关于y=x对称的。
在物理学、化学、统计学、信息学等领域中，对数函数也有着重要的应用。
例如，在声音强度、星等、pH值、震动幅度、气象温度、震级等方面可以使用对数函数进行计算。
总之，指数函数和对数函数是数学中非常重要的两个函数。
熟练掌握这两种函数的图像特征、性质以及应用将会为以后的数学和自然科学学习提供坚实的基础。
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指数函数和对数函数重点、难点：重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。
难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y a y xxa ==，l o g 在a >1及01<<a 两种不同情况。
1、指数函数：定义：函数()y aa a x=>≠01且叫指数函数。
定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。
为什么要求函数y ax=中的a 必须a a >≠01且。
因为若a <0时，()y x=-4，当x =14时，函数值不存在。
a =0，y x=0，当x ≤0，函数值不存在。
a =1时，y x=1对一切x 虽有意义，函数值恒为1，但y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x=中的a a >≠01且。
1、对三个指数函数y y y x xx==⎛⎝ ⎫⎭⎪=21210，，的图象的认识。
图象特征与函数性质：图象特征函数性质（1）图象都位于x 轴上方； （1）x 取任何实数值时，都有a x>0； （2）图象都经过点（0，1）；（2）无论a 取任何正数，x =0时，y =1；（3）yy xx==210，在第一象限内的纵坐标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，y x=⎛⎝ ⎫⎭⎪12的图象正好相反；（3）当a >1时，x a x a x x>><<⎧⎨⎪⎩⎪0101，则，则 当01<<a 时，x a x a x x><<>⎧⎨⎪⎩⎪0101，则，则（4）y y x x==210，的图象自左到右逐渐（4）当a >1时，y a x=是增函数，上升，y x=⎛⎝ ⎫⎭⎪12的图象逐渐下降。
当01<<a 时，y a x=是减函数。
对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y x =2和y x =10相交于()01，，当x >0时，y x=10的图象在y x=2的图象的上方，当x <0，刚好相反，故有10222>及10222--<。
②y x=2与y x=⎛⎝ ⎫⎭⎪12的图象关于y 轴对称。
③通过y x=2，y x=10，y x=⎛⎝ ⎫⎭⎪12三个函数图象，可以画出任意一个函数y a x=（a a >≠01且）的示意图，如y x =3的图象，一定位于y x =2和y x=10两个图象的中间，且过点()01，，从而y x=⎛⎝ ⎫⎭⎪13也由关于y 轴的对称性，可得y x=⎛⎝ ⎫⎭⎪13的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。
2、对数：定义：如果a N a a b=>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b Na =l o g （a 是底数，N 是真数，lo g a N 是对数式。
） 由于N a b=>0故lo g a N 中N 必须大于0。
当N 为零的负数时对数不存在。
（1）对数式与指数式的互化。
由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如：求log .032524⎛⎝⎫⎭⎪分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成log .032524⎛⎝⎫⎭⎪=x ，再改写为指数式就比较好办。
解：设log .032524⎛⎝ ⎫⎭⎪=x则即∴即032524825825125241212032.log .x xx =⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=--评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因此必须因题而异。
如求35x=中的x ，化为对数式x =log 35即成。
（2）对数恒等式：由a N b N ba ==()l o g ()12 将（2）代入（1）得aNa Nl o g = 运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。
计算：()3132-log解：原式==⎛⎝ ⎫⎭⎪-=313122221313l o g l o g 。
（3）对数的性质：①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。
（4）对数的运算法则：①()()l o g l o g l o g a a aM N M N M N R =+∈+， ②()l o g l o g l o g a a aMNM N M N R =-∈+， ③()()l o g l o g a naN n N N R =∈+④()l o g l o g a naN nNNR =∈+1 3、对数函数：定义：指数函数y a a a x=>≠()01且的反函数y x a =l o g x∈+∞(,)0叫做对数函数。
1、对三个对数函数y x y x==l o g l o g 212，，y x =lg 的图象的认识。
图象特征与函数性质：图象特征函数性质（1）图象都位于 y 轴右侧； （1）定义域：R +，值或：R ；（2）图象都过点（1，0）；（2）x =1时，y =0。
即l o g a 10=； （3）y x=l o g 2，y x =lg 当x >1时，图象在x 轴上方，当00<<x 时，图象在x 轴下方，y x =log 12与上述情况刚好相反； （3）当a >1时，若x >1，则y >0，若01<<x ，则y <0； 当01<<a 时，若x >0，则y <0，若01<<x 时，则y >0； （4）y x y x ==l o g l g 2，从左向右图象是上升，而y x =log 12从左向右图象是下降。
（4）a >1时，y x a =l o g 是增函数； 01<<a 时，y xa =l o g 是减函数。
对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）：（1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是y x=l o g 2与y x =lg 在点（1,0）曲线是交叉的，即当x >0时，y x =l o g 2的图象在y x =lg 的图象上方；而01<<x 时，y x =l o g 2的图象在y x =lg 的图象的下方，故有：l o g.l g .21515>；l o g .l g .20101<。
（2）y x=l o g 2的图象与y x =log 12的图象关于x 轴对称。
（3）通过y x=l o g 2，y x =lg ，y x =log 12三个函数图象，可以作出任意一个对数函数的示意图，如作y x =l o g 3的图象，它一定位于y x =l o g 2和y x =lg 两个图象的中间，且过点（1,0），x >0时，在y x =lg 的上方，而位于y x=l o g 2的下方，01<<x 时，刚好相反，则对称性，可知y x =log 13的示意图。
因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。
4、对数换底公式：l o g l o g l o g l o g (.)l o g ba a n e g N N bLN Ne N LN N====其中…称为的自然对数称为常数对数27182810 由换底公式可得：L N N e NN n===l g l g l g ..l g 043432303由换底公式推出一些常用的结论：（1）l o g l o g l o g l o g a b a bb a b a ==11或· （2）log log a ma n bmnb =（3）l o g l o g ana nb b =（4）lo g a mn a mn=5、指数方程与对数方程*定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。
在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。
由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程。
指数方程的题型与解法：名称 题型 解法基本型 同底数型 不同底数型 需代换型()a bf x = a a f x x ()()=ϕ ()()a bf x x =ϕ ()F a x =0取以a 为底的对数()f x b a =l o g 取以a 为底的对数()()f x x =ϕ 取同底的对数化为()()fx a x b ··l g l g =ϕ换元令t a x=转化为t 的代数方程对数方程的题型与解法：名称 题型解法基本题 ()l o g a f x b = 对数式转化为指数式()f x a b=同底数型 ()()l o g l o g a afx x =ϕ 转化为()()f x x =ϕ（必须验根） 需代换型 F a x (log )=0换元令t xa =l o g 转化为代数方程。