高考真题专题训练(参数方程答案1-5题)

高考真题专题训练——参数方程专题(参考答案1-5)

1、(２012课标全国Ⅰ，理2３,１0分）在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为

2cos 22sin x y α

α=⎧⎨

=+⎩

（α为参数）M 是Ｃ1上的动点，P 点满足2OP OM =,P 点的轨迹为曲线Ｃ2 (Ⅰ)求Ｃ２的方程

(Ⅱ)在以O 为极点，ｘ 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3

πθ=与C 1的异于极点的交点

为A ，与Ｃ2的异于极点的交点为Ｂ,求AB .

２、(2０12课标全国Ⅱ,理23,10分)已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==,以坐标

原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ,正方形ABCD 的

顶点都在2C 上,且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3

π

(1)求点,,,A B C D 的直角坐标;

(2)设P 为1C 上任意一点,求2

2

2

2

PA PB PC PD +++的取值范围。

【解析】(1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ

点,,,A B C D

的直角坐标为1,1)--

(2)设00(,)P x y ；则002cos ()3sin x y ϕ

ϕϕ

=⎧⎨

=⎩为参数 2

2

2

2

224440t PA PB PC PD x y =+++=++ 25620sin [56,76]ϕ=+∈

3、(2０13课标全国Ⅰ，理２3,10分)选修4—４：坐标系与参数方程

已知曲线C 1的参数方程为45cos ,

55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(ｔ为参数)，以坐标原点为极点,ｘ轴的正半轴为极轴

建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2ｓin θ． （1)把C １的参数方程化为极坐标方程;

（2)求Ｃ１与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π）.

解：(１)将45cos ,

55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t ,化为普通方程(x -4)2＋(y -5)2=25，

即Ｃ1:x 2＋y 2－８ｘ－１０y +１６=0．

将cos ,sin x y ρθρθ

=⎧⎨=⎩代入x 2＋y ２－8x －１0y +１6=０得 ρ2-8ρｃos θ－１0ρsin θ＋１6=０. 所以Ｃ1的极坐标方程为

ρ2－８ρｃｏs θ－10ρｓｉn θ＋16=0. (２）Ｃ2的普通方程为x 2+y 2-2y ＝０.

由2222

810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩

解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩ 所以C 1与Ｃ2

交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭,π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭

(20１3课标全国Ⅱ,理23，10分）已知动点P ,Ｑ都在曲线C :2cos ,

2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数）上，对应

参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点. (1）求M 的轨迹的参数方程;

（２)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点. 解:（１）依题意有Ｐ(２ｃos α,2sin α),Q （２c ｏs 2α，2ｓin 2α）， 因此Ｍ(cos α+cos 2α,s ｉn α+sin ２α)．

M 的轨迹的参数方程为cos cos 2,

sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数,０＜α＜２π)．

(2)M 点到坐标原点的距离

d ==α<2π)． 当α=π时，ｄ＝0,故Ｍ的轨迹过坐标原点．

4、(2014课标全国Ⅰ，理23,12分)已知曲线C :22

149x y +=,直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)（Ⅰ）

写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;

(Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ,求||PA 的最大值与最小值.

解析:（Ⅰ）曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θ

θ=⎧⎨=⎩ ,直线l 的普通方程为260x y +-=;

（Ⅱ)令点P 坐标为()2cos ,3sin θθ,点P 到直线l 的距离为d

4tan 3d φ⎫

=

==⎪⎝⎭

||2sin 30d

PA d =

=︒

,所以()()max max min min max min ||22|22PA d d PA d d ====== ５、(20１4课标全国Ⅱ,理23,１0分)在直角坐标系ｘoy 中，以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系，半圆Ｃ的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.

(Ⅰ)求C 的参数方程；

（Ⅱ)设点D 在C 上,Ｃ在Ｄ处的切线与直线:2l y =+垂直,根据（Ⅰ）中你得到的参数方程,确定D 的坐标．

31 (1)

2或

31

(1)

2

-。

所以Ｄ点坐标为