第一讲随机变量和概率论知识
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样本空间（Sample Space）
随机试验E的所有基本事件组成的集合称为样 本空间，记为S
•随机事件(Random Event)
•基本事件(Basic Event)
10
例子：掷骰子 观察掷骰子这一事件，它可能有六种结
果，即出现一个点的面，两个点的面，...。 在投掷之前不能确定其结果，这种现象称为 随机现象，观察随机现象的试验称为随机试 验。
0.2
0.1
标准正态分布
0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
N(0,1)正态分布概率密度
x
FX (x)
1 2
exp
(
x m)2 22
dx
19
•瑞利分布（Rayleigh）
x x2
f
(x)
2
exp
2
2
0
x0 x0
15
2）方差（Variance）
D( X ) E{[ X E( X )]2} E( X 2 ) E 2 ( X )
通常记为
2 X
， X
称为标准差。
性质：
•D(c)=0
c是常量
•D(cX)=c2D(X) c是常量
•对于n个独立的随机变量 X1, X2, , Xn
D(X1 Xn ) D(X1) D(Xn )
随机信号分析与应用
刘若辰
信息工程学院通信工程系
一、课程概述
自然界事物的变化分为两大类：确定性过程 随机性过程
1.确定性过程：具有确定形式的变化过程
2.随机过程：变化过程没有确定的形式
随机过程与随机信号
2
确定性与随机性问题
v
O d
B x
d v2 sin2
g
• 如果研究单次试验的结果，表现为确定性的形式； • 若关心平均特性，结果表现为随机或概率形式。
定义：设随机试验E的样本空间为S={e}，如果对于每一 个eS，有一个实数X(e)与之对应，这样就得到一个定义 在S上的单值函数X(e)，称X(e)为随机变量，简记为X。
根据随机变量取值的不同可以分为：
连续型随机变量
离散型随机变量
13
随机变量的分布函数与概率密度函数
•概率分布列：P(X xk ) pk (k 1,2,....,n)
x2 f (x)dx
x1
14
随机变量的数字特征（统计平均）
1）均值（Mean）或数学期望（Mathematical Expectation）
局部特征
E( X ) xf X (x)dx
N
E( X ) xi pi i 1
通常记为 mX
连续型 离散型
性质：
•均值为线性算子 •若随机变量X与Y相互独立，则有E(XY ) E(X )E(Y ) •若E(XY ) 0 ，则称X与Y正交
掷骰子的事件
数值表示
S1出现一个点的面
1
S2出现一个点的面
2
S3出现一个点的面
3
S4出现一个点的面
4
S5出现一个点的面
5
S6出现一个点的面
6
S={S1， S2， S3， S4， S5， S6}
R.V.X={1，2，3，4，5，6}={Xi，i=1,2,，…，6}
随机变量
在随机试验中，试验的结果不止一个，为了表示这 些试验的结果，我们定义一个变量，变量的取值反映试 验的各种可能结果，即变量的值具有随机性，我们称这 个变量为随机变量。
18
连续变量常用的分布
•正态分布（Normal），也称高斯（Gauss）分布
f (x) 来自百度文库
1
2
exp
(x m)2
2 2
X ~ N (m, 2 )
0.8 0.7
f (x)
1
exp
x2
0.6 0.5
2 2
0.4 0.3
X ~ N (0,1)
8
随机变量基础(回顾)
概率论的基本术语 随机变量的概率分布 随机变量的数字特征
9
概率论的基本术语
•随机试验(Random Trail) ：对随机现象做出 的观察与科学实验被抽象为随机试验，随机试 验通常用E表示 。
特性：可在相同条件下重复进行；全部的 可能结果是事先知道的；每次的试验结果不可 预知。
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
2
4
6
8
10
12
瑞利分布概率密度＝2
20
•指数分布（Exponential）
ex， x 0
16
均值和方差应用举例---导弹制导精度
均值反映了制导系统误差 方差反映了制导随机误差
17
3）矩(Moment)
•K阶原点矩： E[X k ]
xk
f
X
(x)dx
•K阶中心矩：E[(X mX )k ]
(x m
X
k )
f (x)dx X
均值、方差和矩都是随机变量的局部特征
X
x 1
x 2
...
x n
f (x)
p k
p 1
p 2
... p n
•分布函数： 设X为随机变量，x为实数，定义
F(x) P(X x) 为X的概率分布函数。
0 x1
全局特征
x x2
•概率密度函数：
f (x) dF (x) dx
随机变量落入(x1,x2) 的概率
P{x1 X x2} F (x2 ) F (x1 )
3
通信系统中的随机信号
移动通信
卫星通信
噪 声
信
源
发送设备
信
信
道 传
接收设备
宿
输
通信系统模型
4
二、课程学习的内容
1）概率论基础 2）随机过程的基本概念和特性分析 3）平稳随机过程时域分析频域分析 4）平稳随机过程的频谱分析 5）随机信号通过线性系统
5
三、课程学习的目标
通过学习随机信号分析的基本理论，要学会： 1）运用概率的方法分析随机信号的统计特性。 2）结合信号与系统的理论掌握随机信号通过系统
的分析方法。 3）系统地掌握电子系统中遇到的一些典型的随机
过程，如正态随机过程、白噪声的特点，并在 实际中能够熟练的运用。
6
三、课程学习的目标 测试与平时成绩相结合 笔试：80% 平时考勤和作业：20%
7
随机信号分析与应用
随机信号的分析、处理可以说是在概率论的 基础上发展起来的。随着电子技术和通信技术的 发展．在消息传输与处理领域中，概率论、数理 统计和信号理论相结合，逐渐形成了一个理论分 支，即随机信号的分析与处理，包括了随机过程 理论、信号最优滤波、检测与估计、自适应理论 以及计算技术与优化方法等。它与香农信息论、 编码理论、信号理论、噪声理论、调制理论、密 码学等、都是构成现代信息论的重要分支。
随机试验E的所有基本事件组成的集合称为样 本空间，记为S
•随机事件(Random Event)
•基本事件(Basic Event)
10
例子：掷骰子 观察掷骰子这一事件，它可能有六种结
果，即出现一个点的面，两个点的面，...。 在投掷之前不能确定其结果，这种现象称为 随机现象，观察随机现象的试验称为随机试 验。
0.2
0.1
标准正态分布
0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
N(0,1)正态分布概率密度
x
FX (x)
1 2
exp
(
x m)2 22
dx
19
•瑞利分布（Rayleigh）
x x2
f
(x)
2
exp
2
2
0
x0 x0
15
2）方差（Variance）
D( X ) E{[ X E( X )]2} E( X 2 ) E 2 ( X )
通常记为
2 X
， X
称为标准差。
性质：
•D(c)=0
c是常量
•D(cX)=c2D(X) c是常量
•对于n个独立的随机变量 X1, X2, , Xn
D(X1 Xn ) D(X1) D(Xn )
随机信号分析与应用
刘若辰
信息工程学院通信工程系
一、课程概述
自然界事物的变化分为两大类：确定性过程 随机性过程
1.确定性过程：具有确定形式的变化过程
2.随机过程：变化过程没有确定的形式
随机过程与随机信号
2
确定性与随机性问题
v
O d
B x
d v2 sin2
g
• 如果研究单次试验的结果，表现为确定性的形式； • 若关心平均特性，结果表现为随机或概率形式。
定义：设随机试验E的样本空间为S={e}，如果对于每一 个eS，有一个实数X(e)与之对应，这样就得到一个定义 在S上的单值函数X(e)，称X(e)为随机变量，简记为X。
根据随机变量取值的不同可以分为：
连续型随机变量
离散型随机变量
13
随机变量的分布函数与概率密度函数
•概率分布列：P(X xk ) pk (k 1,2,....,n)
x2 f (x)dx
x1
14
随机变量的数字特征（统计平均）
1）均值（Mean）或数学期望（Mathematical Expectation）
局部特征
E( X ) xf X (x)dx
N
E( X ) xi pi i 1
通常记为 mX
连续型 离散型
性质：
•均值为线性算子 •若随机变量X与Y相互独立，则有E(XY ) E(X )E(Y ) •若E(XY ) 0 ，则称X与Y正交
掷骰子的事件
数值表示
S1出现一个点的面
1
S2出现一个点的面
2
S3出现一个点的面
3
S4出现一个点的面
4
S5出现一个点的面
5
S6出现一个点的面
6
S={S1， S2， S3， S4， S5， S6}
R.V.X={1，2，3，4，5，6}={Xi，i=1,2,，…，6}
随机变量
在随机试验中，试验的结果不止一个，为了表示这 些试验的结果，我们定义一个变量，变量的取值反映试 验的各种可能结果，即变量的值具有随机性，我们称这 个变量为随机变量。
18
连续变量常用的分布
•正态分布（Normal），也称高斯（Gauss）分布
f (x) 来自百度文库
1
2
exp
(x m)2
2 2
X ~ N (m, 2 )
0.8 0.7
f (x)
1
exp
x2
0.6 0.5
2 2
0.4 0.3
X ~ N (0,1)
8
随机变量基础(回顾)
概率论的基本术语 随机变量的概率分布 随机变量的数字特征
9
概率论的基本术语
•随机试验(Random Trail) ：对随机现象做出 的观察与科学实验被抽象为随机试验，随机试 验通常用E表示 。
特性：可在相同条件下重复进行；全部的 可能结果是事先知道的；每次的试验结果不可 预知。
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
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瑞利分布概率密度＝2
20
•指数分布（Exponential）
ex， x 0
16
均值和方差应用举例---导弹制导精度
均值反映了制导系统误差 方差反映了制导随机误差
17
3）矩(Moment)
•K阶原点矩： E[X k ]
xk
f
X
(x)dx
•K阶中心矩：E[(X mX )k ]
(x m
X
k )
f (x)dx X
均值、方差和矩都是随机变量的局部特征
X
x 1
x 2
...
x n
f (x)
p k
p 1
p 2
... p n
•分布函数： 设X为随机变量，x为实数，定义
F(x) P(X x) 为X的概率分布函数。
0 x1
全局特征
x x2
•概率密度函数：
f (x) dF (x) dx
随机变量落入(x1,x2) 的概率
P{x1 X x2} F (x2 ) F (x1 )
3
通信系统中的随机信号
移动通信
卫星通信
噪 声
信
源
发送设备
信
信
道 传
接收设备
宿
输
通信系统模型
4
二、课程学习的内容
1）概率论基础 2）随机过程的基本概念和特性分析 3）平稳随机过程时域分析频域分析 4）平稳随机过程的频谱分析 5）随机信号通过线性系统
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三、课程学习的目标
通过学习随机信号分析的基本理论，要学会： 1）运用概率的方法分析随机信号的统计特性。 2）结合信号与系统的理论掌握随机信号通过系统
的分析方法。 3）系统地掌握电子系统中遇到的一些典型的随机
过程，如正态随机过程、白噪声的特点，并在 实际中能够熟练的运用。
6
三、课程学习的目标 测试与平时成绩相结合 笔试：80% 平时考勤和作业：20%
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随机信号分析与应用
随机信号的分析、处理可以说是在概率论的 基础上发展起来的。随着电子技术和通信技术的 发展．在消息传输与处理领域中，概率论、数理 统计和信号理论相结合，逐渐形成了一个理论分 支，即随机信号的分析与处理，包括了随机过程 理论、信号最优滤波、检测与估计、自适应理论 以及计算技术与优化方法等。它与香农信息论、 编码理论、信号理论、噪声理论、调制理论、密 码学等、都是构成现代信息论的重要分支。