二次函数平移问题

二次函数的平移问题我们从两个方面进行了一些探讨，概括出二次函数平移后其解析式的变化规律.

一.当解析式为一般式y=ax2+bx+c (a≠0)时

1.向上或向下平移时,二次函数解析式的变化规律.

将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=ax2+bx+c+n 将抛物线向下平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=ax2+bx+c-n 两式比较:可得抛物线向上平移n个单位,常数项上加n，即解析式由y=ax2+bx+c 变为y=ax2+bx+c+n;同理可推出抛物线向下平移n个单位, 常数项上减去n，即解析式由y=ax2+bx+c 变为y=ax2+bx+c-n

2.向左或向右平移时,解析式的变化规律.

将抛物线向左平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x+m)2+b(x+m)+c

将抛物线向右平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x-m)2+b(x-m)+c

两式比较,可得出抛物线向左平移m个单位,自变量上减去m，即解析式由y=ax2+bx+c 变为y=a(x+m)2+b(x+m)+c;同理可推出抛物线向右平移m个单位,自变量上加上m,即解析式由y=ax2+bx+c 变为y=a(x-m)2+b(x-m)+c

3.

将抛物线向左平移m个单位长度后, 再将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x+m)2+b(x+m)+c+n

将抛物线向左平移m个单位长度后, 再将抛物线向下平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x+m)2+b(x+m)+c-n

将抛物线向右平移m个单位长度后, 再将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x-m)2+b(x-m)+c+n

将抛物线向右平移m个单位长度后, 再将抛物线向下平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x-m)2+b(x-m)+c-n

二.当解析式为顶点式y=a(x-h)2+k（a≠0）时

1.向上或向下平移时，解析式的变化规律.

将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k+n 将抛物线向下平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k-n 将抛物线向上平移n个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由（h，k）变为（h，k+n）所以抛物线的解析式由y=a(x-h)2+k变为y=a(x-h)2+k+n 将抛物线向下平移n个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由（h，k）变为（h，k-n）所以抛物线的解析式由y=a(x-h)2+k变为y=a(x-h)2+k-n 比较两个解析式可得出向上平移n个单位，括号外加n，同理可推出向下平移n 个单位括号外减去n.即抛物线解析式由y=a(x-h)2+k变为y=a（x+m-h)2+k-n

2.向右或向左平移时，解析式的变化规律.

将抛物线向左平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h+m)2+k 将抛物线向右平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h-m)2+k 将抛物线向左平移m个单位，由点的平移规律可知，顶点坐标由（h,k)变为

(h-m,k)，所以抛物线解析式由y=a(x-h)2+k 变为 y=a[x-(h-m)]2+k=a （x-h+m)2+k

将抛物线向右平移m 个单位，由点的平移规律可知，顶点坐标由（h,k)变为(h+m,k)，所以抛物线解析式由y=a(x-h)2+k 变为 y=a[x-(h+m)]2+k=a （x-h-m)2+k

两解析式比较可得出图像向左平移m 个单位，括号内加上m ，即抛物线解析式由y=a(x-h)2+k 变为y=a （x-h+m)2+k ；同理可推出向右平移m 个单位括号内减去m ，即抛物线解析式由y=a(x-h)2+k 变为y=a （x-h-m)2+k

综上所述，当解析式为顶点式时，解析式的变化规律为上加下减括号外，左加右减括号内；解析式为一般式时，解析式的变化规律为左加右减自变量，上加下减常数项

3.

将抛物线向左平移m 个单位长度后, 再将抛物线向上平移n 个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a （x-h+m)2+k+n

将抛物线向左平移m 个单位长度后, 再将抛物线向下平移n 个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a （x-h+m)2+k-n

将抛物线向右平移m 个单位长度后, 再将抛物线向上平移n 个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a （x-h-m)2+k+n

将抛物线向右平移m 个单位长度后, 再将抛物线向下平移n 个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a （x-h-m)2+k-n

二次函数的平移练习题

1.把抛物线y=-x 2向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（ ）

A. y=-（x-1）2+3

B. y=-（x+1）2+3

C. y=-（x-1）2-3

D. y=-（x+1）2-3

2.抛物线y=x 2+bx+c 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为y=x 2-2x-3，则b 、c 的值为（ ） A . b=2，c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3，c=2

3.将函数y=x 2+x 的图像向右平移a （a ＞0）个单位，得到函数y=x 2-3x+2的图像，则a 的值为（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

4.已知二次函数y=x 2-bx+1（-1≤b ≤1），当b 从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动，

下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（ ）

A. 先往左上方移动，再往右下方移动

B.先往左下方移动，再往左上方移动

B.先往右上方移动，再往右下方移动 D.先往右下方移动，再往右上方移动

5.已知抛物线C ：y=x 2+3x-10，将抛物线C 平移得到抛物线C ′.若两条抛物线C 、C ′关于直线x=1对称，则下列

平移方法正确的是（ ）A. 将抛物线C 向右平移2.5个单位 B.将抛物线C 向右平移3个单位 C.将抛物线C 向右平移5个单位 D.将抛物线C 向右平移6个单位

6.把二次函数y=-4

1x 2-x+3用配方法化成y=a(x-h)2+k 的形式 A. y=-41(x-2)2+2 B. y=41(x-2)2+4 C. y=-41(x+2)2+4 D. y= (21x-2

1)2+3 7.在平面直角坐标系中，将二次函数y=2x 2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为

A ．y=2x 2-2

B ．y=2x 2+2

C ．y=2(x-2)2

D ．y=2(x+2)2

8.将抛物线y=2x 2向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）

A ．y=2(x+1)2

B ．y=2(x-1)2

C ．y=2x 2+1

D ．y=2x 2-1

9.将函数y=x 2+x 的图象向右平移a(a ＞0)个单位，得到函数y=x 2-x+2的图象，则a 的值为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

10.把抛物线y=-2x 2向右平移2个单位，然后向上平移5个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）

A. y=-2（x-2）2+5

B. y=-2（x+2）2+5

C. y=-2（x-2）2-5

D. y=-2（x+2）2-5

11.在平面直角坐标系中，先将抛物线y=x 2+x-2关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变

换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）

A ．y=-x 2-x+2

B ．y=-x 2+x-2 C. y=-x 2+x+2 D ．y=x 2+x+2

12.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x 2+2x+3绕着它与y 轴的交点旋转1800，所得抛物线的解析式是（ ）