血管的三维重建
血管的三维重建课件
m(:,:,b+1)=imread([int2str(b),'.bmp']); end
血管的三维重建
-10-
建模方法思想
需考虑的细节：
2）何谓边界点？
四邻域的概念 找边界点坐标的算法
血管的三维重建
-2-
Z=0
Z=49
Z=98
Z=1
Z=50
血管的三维重建
Z=99
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假设
1）血管的表面是由半径固定、球心沿着某一曲 线（称为中轴线）的球滚动而形成的包络面。 2）中轴线上任两点处的法截面圆不相交。 3）管道中轴线与每张切片平面有且只有一个交 点。
血管的三维重建
-4-
图象的矩阵表示
后面的切片。
Z=57
Z=60
血管的三维重建
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误差大的原因和改进途径
误差大的原因：
1）图象误差 实际图象边界上的点是连续的，在转换成
bmp图象时，象素表示的图象边界是离散的，成 锯齿状，与实际图象有误差（舍入误差）。 2）同一张切片上的最大内切圆不唯一
解决办法：
1）方法一：取平均 求出同一张切片上的所有最大内切圆的圆心，然 后求平均值。
问题重述
断面可用于了解生物组织、器官等的形态。例如，将 样本染色后切成厚约1m m的切片，在显微镜下观察该横断 面的组织形态结构。如果用切片机连续不断地将样本切成 数十、成百的平行切片， 可依次逐片观察。根据拍照并 采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、 器官等准确的三维形态。
假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是 由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。 例如圆柱就是这样一种管道，其中轴线为直线，由半径固 定的球滚动包络形成。
基于广义锥理论的血管三维重建方法
Ｃ ｒ网易教育频道 ：假设某些血 管可视为一类特殊的管 ＯＮ 道． 该管道 的表面是 由球心沿着某一曲线 （ 称为 中轴线 ） 的球滚动包络而成 。 例如 圆柱就是这样一种管道 ． 其中轴 线 为直线 ，由半径固定的球 滚动包络形成 。 现有某管道 的相继 １Ｏ张平行切 片图像 ．记录 了管 Ｏ 道与切片的交。 图像文件 名依 次为Ｏｂｎ 、 ｒｐ ９ ｒｐ １ｂｎ 、 ９ ｂ ，格式均为 ＢＭ 宽 、高均 为 ５ ２ ｍｐ Ｐ． １ 个象 素 （ ｉ １。 ｐｘ ） ｅ 为简化起见 ．假设 ：管道 中轴线与每张切片 只有 一个交 点 ：球半径 固定 ：切 片间距 以及图像象素的尺寸均 为 １ 。 取坐标系的ｚ轴垂直于切片 ． １ 第 张切片 为平面 Ｚ ０ 第 ＝， １Ｏ Ｏ 张切片 为平面 Ｚ ９ 。Ｚ Ｚ 片图像 中象素 的坐标依 ＝９ ＝ 切 它们在文件 中出现 的前后次序为
Ｖｏ． Ｎｏ １ ０ ２ １ ８ ． ２ ｏ
— ． －
维普资讯
２ 血管的三维重 建问题
血管 的三维重建是 医学图像处理领域一个传统的公
开问题 。 该问题如下形式 的描 述及图像来源于Ｗ Ｗ １ ３ Ｗ ６ ．
３ １ 广义锥理论 表示三维物体有一 种通用 的方法： 广义锥 。 它有 三 维空间的曲线 （ 表示三 维物体的轴线 ）和一组正交于轴 的物体截 口的轮廓组成 。 广义锥有队下 三个 要素来表示：
（ ５ ， ５ ．） 一５ ． ５ ， ． （ ５ ．５ ） 一 ６－ ６ｚ ， ２ ６－ ５ｚ ２ ２ （ ２ ） － ６２ ５ｚ， ２ （ ５ ２ ６ｚ ， ２ ５一５ ，） （ ５ ．５ ．） － ５－５ ．） －５ ． ５ ．．２ ５２ ５ｚ， ２ （ ２ ｚ － （ ５ ． ５ ，）（ ５ ， ５ ： … （ ５ ，５ ，） 一 ５－ ６ｚ ． ２ ５－ ５ｚ ２ ２ 一 ２ ） 一 ５２ ５ｚ． ２
数学建模血管的三维重建问题
A题血管的三维重建问题摘要：本论文讨论基于切片的血管三维重建问题。
其背景是：采取存储二维切片信息，使用时再利用切片信息重建原物体三维形态的方法，可以有效地保存和利用三维信息。
此技术在实际中有很大的用途，在医学和其他领域有广泛的应用。
如要将人体全部三维信息，包含内部错综复杂的结构，完整地存储在计算机中，以现在的技术也是有一定难度的，但若改用存储人体切片信息，使用时重建再现的方法，则是利用现有技术可以解决的。
本论文基于题中对血管形态的假设，建立管道中轴线参数方程，并综合考虑实际情况中由于切片厚度及数字图像离散化带来的偏差，通过在每张切片图像中搜索其中阴影区域所能包含的最大圆面，确定管半径为R=29，在此基础上，将每张切片图像中阴影区域所能包含的半径大于等于R的圆面圆心作为中轴线与各切片交点（即中心点）的候选点集合。
本模型使用了三种改进算法对该候选点集进行筛选以确定实际交点。
最终迭代算法简述如下：1．对每个切片，建立中心点的候选点集，并取点集的中位点为中心点初值2．利用得到的中心点建立中轴线方程3．利用中轴线方程推导导数信息，根据导数信息比例选取中心点的候选点集的某点作为中心点的新值4．重复步骤2、3，直至结果达到较稳定状态为止5．输出中心点及中轴线方程在模型建立中，对选取侯选点集、求中位点、利用导数信息进行比例选取均给出完整的算法，并且对半径确定、候选点选取、采用导数作为比例选取依据等问题给出详尽的证明。
考虑到实际血管的中轴线应充分光滑，计算最终中轴线参数表达式时采取了六阶多项式拟合。
最后用还原的血管形态模拟切片过程可以得到一系列数字图像，与原切片图像进行比较，可以检验模型的合理性及精度。
该模型最终计算结果如下。
血管中轴线示意图从模型结果中看出，中心点分布均匀稳定，模拟检验的切片数字图像与原切片的数字图像吻合较好，模型结果精度及稳定性符合要求。
本模型算法简明，理论严密，比例选取算法使结果中心点尽可能收敛于真实中心点，迭代算法保证了结果的精度和稳定性，符合题目要求。
三维血管的重建
血管的三维重建摘要对于血管的三维重建，本文研究了血管这一类特殊管道的中轴线及其半径的算法，绘制中轴线在XY 、YZ 、ZX 平面的投影图这些问题，问题分为三部分。
针对第一部分，先将100张切片图片在MATLAB 中导出生成0-1矩阵数据，在计算100张切片的最大内切圆半径及对应圆心坐标，为减小误差求100张切片最大内切圆的平均半径41666.29 d 。
中轴线的曲线方程可在MATLAB 中拟合得到。
针对第二部分，得到中轴线曲线方程在MATLAB 中绘制出中轴线方程的空间曲线，之后将其投影在XY 、YZ 、ZX 平面上。
针对第三部分，对100张切片进行叠加重合，得到血管的三维立体图，再通过MATLAB 对血管的三维立体图进行优化完成血管的三维重建。
关键词：MATLAB 软件管道半径中轴线曲线方程一、问题重述1.1基本情况断面可用于了解生物组织、器官等的形态。
如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片，可依次逐片观察。
根据拍照并采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。
1.2相关信息假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。
现有某管道的相继100张平行切片图象，记录了管道与切片的交。
图象文件名依次为0.bmp、1.bmp、…、99.bmp，格式均为BMP，宽、高均为512个象素（pixel）。
取坐标系的Z轴垂直于切片，第1张切片为平面Z=0，第100张切片为平面Z=99。
Z=z切片图象中象素的坐标依它们在文件中出现的前后次序为（-256，-256，z），（-256，-255，z），…（-256，255，z），（-255，-256，z），（-255，-255，z），…（-255，255，z），……（255，-256，z），（255，-255，z），…（255，255，z）。
1.3提出的问题问题一：计算出管道的中轴线与半径，给出具体的算法。
脑血管三维重建技术(3D)在脑血管造影中的实际应用
Ｃｅ ｅ ｒ ｖａ ｃ ａ ｎ ｉ ｇ ａ ｈ Ｉ ｒ ｖｉ ｓｓ ｍ ｅｒ ｌａ ｅｉ ｏｒ ａ ｉｎ ｆ ｒｃｉ ｃｄｉｇ ｏｓｓａ ｈ ｒｐｙ ｒ ｂ ｏ ｓ ｕｌｒａ ｇ ｏ ｒ ｐ ｙ．ｔｐ ｏ ｄｅ ｏ ｅｉｂｌ ｎｆ ｍ ｔｏ ｏ ｌ ａ ｎ ｉ ｎｄｔ ｅ ａ ． ｎｉ
ｄ ｆｃ ａ ｄ ｏ ｅｗ ｔ ａ ｕｅ Ｃ ｎ ｌｓ ｎ Ｔ ｅ ｅ ｓ ｎ ｂ ｅ ｐ ｌ ａ ｏ ｆ ｊ ｒ ａ ｔｒ ｉ ｖ ｒ ｅ ｒｅｄｍｅ ｓ ｎ ｌ ｅ ｏ ｓ ｕ ｔ ｎ（Ｄ） ｆ ｅｅ ｔ ｎ ｎ ｉ ｆｉ ｒ ． ｏ ｃ ｉ ｈ ａｏ ａ ｌ ａ ｐｉ ｔ ｎ ｏ ｏ ｃｏ ｓ ｓ ｅ ｋ ｙｉ ｔ ｅ — ｉ ｎ ｉ ａ ｒｃ ｎ ｔ ｃ ｏ ３ ｏ ｈ ｌ ｕ ｏ ｒ ｃ ｉ ｍａ ｆ ｙ ｎｈ ｏ ｒ ｉ
Ｃｌｉ ｌ ｐｉ ｔ ｎｏ ｈｅ —ｉ ｎ ｉｎ ｌ ｅ ｏ ｓｒｃｉｎ（Ｄ ｉ Ｃ ｒｂａＡ ｇ ｇａ ｈ ｉｃ ｌａｉ ｆ ｒｅｄｍｅ ｓｏ ａ Ｒ ｃ ｎ ｔ ｔ ３ ） ｅｅ ｒｌ ｎ ｉ ｒｐ ｙ ｎ ａＡｐ ｃ ｏ Ｔ ｕ ｏ ｎ ｏ Ｄ ｐ ｒ ｎ ｏ ａ ｉｏ ｉ ｌ ｔｒｅ ｔ ｎｒｏ ｆａ ｉ ｈ ｒｐ Ｃ ｎｅ ｏ ｐｔｌＫ ｌｍａ ｉ ｔ，ｉｉｎ ．３ ０ ０ Ｃ ｉ ｅ ａｔ ｔ ｆ ｄ ｌｇｃ ｅｖ ｎｉ ， ｍ ｏ ｄ ｔｅａ ｙ，ｅ ｔｒ ｓ ｉ ， ｅａ ｙＣｉ Ｘｎａ ｇ８ ４ ０ ， ｈｎ ｍｅ Ｒ ｏ ａｉ ｎ ｏ ｏ ｒ ｏ Ｈ ａ ｙ ｊ ａ
基于MITK的血管三维重建
（ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ Ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｏ ｎ ｉ ｃ ｌ ｎ ｆ ｏ ｍｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ Ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ， Ｂ ｅ ｉ ｊ ｉ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ， Ｂ ｅ ｉ ｊ ｉ ｎ ｇ １ ０ ０ １ ２ ４ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
ａ ｎ ｙ ａ ｎ ｇ ｌ ｅ ．ｃ ａ ｎ ｒ ｅ ｍｏ ｖ ｅ ｐ ａ ｒ ｌ ｉ ａ ］ｉ ｒ ｒ ｅ ｌ ｅ ｖ ａ ｌ ｉ ｔ ｖ ｏ ｘ ｅ Ｊ ｔ ｏ ｈ ｅ ｌ ｐ ｄ ｏ ｃ ｔ ｏ ｒ ｏ ｂ ｓ ｅ ｒ ｖ ｅ ｔ ｈ ｅ ｉ ｎ ｔ ｅ ｕａ ｒ ｌ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｕ ｒ ｅ ａ ｎ ｄ ｄ ｅ ｔ ａ ｉ ｌ ｓ ｏ ｆ ｖ ｅ ｓ ｓ ｅ ｌ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｎ ｉ ｅ ｎ ｔ ｌ ｙ ．Ｂｅ —
ｓ ｉ ｄ ｅ ｓ ．ａ ｄ ｊ ｕ ｓ ｔ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｏ ｐ ａ ｃ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ ｔ ｈ Ｊ ’ ｅ ｅ － ｄ ｉ ｍｅ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｉ ｍ ａ ｇ ｅ Ｃ ａ ｌ ｌ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｃ ｌ ｅ ａ ｒ ｔ ｈ ｒ ｅ ｅ — ｄ ｉ ｍｅ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ ｏ ｆ ｖ ｅ ｓ ｓ ｅ １ ．
效 果 不好 等 问题 ， 基 于 ＭＩ Ｔ Ｋ平 台， 采 用 光 线投 射 算 法 对 二 维 超 声 图像 序 列 进 行 体 绘 制 三 维 重 建 。对
重 建模 型 进 行 旋 转 、 缩放 和任 意 平 面 裁 剪 等 交 互 操 作 ， 裁 剪 掉 一部 分 无 关 体 素 ， 有 助 于 医 生 观 察 血 管 的 内部 结 构 和 细 节信 息 。此 外 ， 通 过 调 节体 素 的 阻光 度值 ， 可 以得 到 层 次 清 晰 的 三 维血 管模 型 。
血管的三维重建数学建模
血管的三维重建数学建模
首先，血管的三维重建通常是通过医学影像学来实现的。
医学
影像学包括CT、MRI等技术，这些技术可以提供血管的断层扫描图像。
在这些图像的基础上，可以利用图像处理的方法，如边缘检测、分割等技术，来提取血管的形状和结构信息。
其次，几何建模是血管三维重建的关键环节。
在图像处理的基
础上，需要进行几何建模，将提取到的血管形状转化为数学模型。
这涉及到曲面重建、体素网格生成等技术，以及对血管内部结构的
建模。
另外，数学算法在血管三维重建中也起着重要作用。
例如，曲
面重建可以利用曲面拟合算法，体素网格生成可以利用体细胞自动
机等算法。
此外，对血管的分支、扭曲等特征的识别和建模也需要
借助数学算法来实现。
除此之外，血管的三维重建数学建模还涉及到计算机图形学、
计算几何学等领域的知识。
这些知识和技术的综合运用，可以实现
对血管形状、结构和特征的全面建模和重建。
总的来说，血管的三维重建数学建模是一个复杂而多样化的过程，涉及到多个学科和领域的知识。
通过综合运用图像处理、几何建模、数学算法等技术，可以实现对血管的全面、准确的三维重建和建模。
下腰椎前血管解剖形态的三维重建分析
下腰椎前血管解剖形态的三维重建分析目的：分析下腰椎前方血管走行特点，为下腰椎前路椎间融合术及微创手术提供解剖学依据。
方法：回顾性分析60例（男女各30例）腹部三维CT血管造影（3D-CTA ）患者的影像，观察下腰椎前方血管在椎体前的走行特点，测量与腰椎前方血管位置相关的解剖学参数。
结果：三维CT重建图像发现腹主动脉分叉点变异较多，髂总静脉汇合点相对恒定。
腹主动脉分叉角男性（56.4±8.1）°，女性（61.9±8.7）°，髂总静脉汇合角男性（71.1±10.2）°，女性（77.7±11.31）°，腹主动脉分叉点到L5/S1间盘上缘的距离男性（3.39 ±1.02）cm ，女性（3.42±1.34）cm；髂总静脉汇合点到L5/S1间盘上缘的距离男性（1.71±0.76）cm，女性（1.90±1.15）cm；L5/S1椎间隙手术窗大小男性（3.07±0.85）cm ，女性（3.16±1.11）cm。
结论：下腰椎前方血管解剖位置具有多变性，以腹主动脉分叉点较为多见，术前行腰椎3D-CTA检查能明确血管解剖，可为微创手术提供影像学依据。
标签：下腰椎前血管；解剖形态；三维重建随着医疗技术的发展，脊柱前路手术的开展越来越普遍，其中通过腰椎前路行椎间融合术治疗下腰椎不稳、椎间盘源性腰痛等脊柱疾患应用广泛。
脊柱手术的微创化如腹部小切口和腹腔镜技术也成为趋势。
许多学者研究认为腰椎前路和小切口微创手术的主要困难和风险与椎前血管相关[1-4]。
术前确定椎前血管解剖结构有助于减少手术风险。
本研究旨在通过分析60例行腹部三维CT血管造影（3D-CTA）检查患者的三维影像，观察下腰椎前方血管位置及毗邻结构，以期为腰椎前路微创手术提供术前的解剖学影像评估依据。
1 资料与方法1.1 一般资料回顾性分析2008年1月-2009年7月在本院接受多层螺旋CT 检查，行腹部血管造影的60例患者的资料。
血管三维重建01年A题 数学建模
A 题 血管的三维重建摘要对于血管的三维重建问题，关键是找出理论假设下血管的中轴线和血管的直径。
通过这两个参数的确定就可以基本上绘制出血管图来。
首先，对给出的100张血管断面的二进制图像进行取反操作，应用软件获得图片中血管图像内部点和边缘点的坐标，根据程序求得最大内切圆的半径及其圆心坐标。
具体是（1）求出内部任意一点与边缘点的距离，取距离最小的值作为以该点为圆心的内切圆半径；（2）在这些半径中找到数值最大的值即为该图像的最大内切圆半径，对应的点坐标即为最大内切圆的圆心坐标。
对所有求得的半径取平均值得到29.185=R 。
然后，根据100个圆心坐标进行多项式曲线拟合，得到中轴线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=+-+⨯-⨯+⨯-=-+⨯-⨯+⨯-⨯=-------t z t t t t t y t t t t t x 9625.348124.0022526.0107491.4102666.4103623.158958.0045879.0102546.1100385.4108532.8105539.4234465824354759 剩余标准差为1.5518，说明此回归模型的显著性好。
绘制出曲线图，并投影到X-Y ，X-Z ，Y-Z 坐标面上。
关键词：边界提取最大内切圆法多项式拟合1 问题重述断面可用于了解生物组织、器官等的形态。
例如，将样本染色后切成厚约um 1的切片，在显微镜下观察该横断面的组织形态结构。
如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片， 可依次逐片观察。
根据拍照并采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。
现有某管道的相继100张平行切片图像，记录了管道与切片的交。
图像文件名依次为0.bmp 、1.bmp 、…、 99.bmp ，格式均为BMP ，宽、高均为512个象素（pixel ）。
试计算管道的中轴线与半径，给出具体的算法，并绘制中轴线在X-Z 、Y-Z 、X-Y 平面的投影图。
髋关节血管三维重建
髋关节血管三维重建摘要】目的重建髋关节周围三维图像为临床提供参考。
方法取1例新鲜成年男性标本，灌注后用CT扫描装置对尸体骨盆进行横断面扫描，将扫描所得数据传入PC机，利用mimics软件重建髋关节血管及韧带的三维图像并处理。
结果重建的髋关节三维图像血管显示清晰，小血管可见，管壁光滑；髋关节韧带轮廓清晰。
三维图像空间立体感强。
【关键词】髋关节三维重建近年来，国内外学者对重建人体骨骼的三维数字化模型的研究日益增多。
髋关节的三维重建，能够准确、完整地描述出髋关节的立体结构，有助于测量髋关节的解剖形态，设计适合患者髓腔形状的假体，选择正确的手术入路，以减少术后并发症的发生。
1材料与方法外伤后死亡不超过24小时新鲜成年男性尸体标本1例，骨盆无损伤。
采用以羧甲基纤维素为载体的氧化铅进行灌注，采用长沙市三医院放射科高性能CT扫描装置对尸体骨盆进行横断面扫描，共获得断层图像620张，将扫描所得数据传入PC机，利用mimics软件重建髋关节血管及韧带的三维图像并处理。
2结果重建的髋关节三维图像血管显示清晰，小血管可见，管壁光滑；髋关节韧带轮廓清晰。
三维图像空间立体感强。
.骨盆血管三维重建3讨论3.1髋关节三维重建对临床具有指导意义对于人而言，通过视觉获取知识占据了75%左右，因此，良好的可视化3D图像为骨科医生提供了一个高效获取知识的界面[2,3]。
本研究采用以羧甲基纤维素为载体的氧化铅为新型灌注材料，建立的髋关节三维血管系统显示级数大可显示细小血管，血管壁光滑、连续饱满，细微结构清晰，具备强烈的空间感；图像可在空间内任意角度旋转观察、切开等操作，给骨科医生以强烈的视觉震撼感。
因此，此三维图像能为临床骨科医生提供很好的指导意义。
髋关节置换手术前，可在3D图像下模拟手术过程[4]，评估手术可行性并可在手术过程中指导操作。
髋关节三维可视化，可在三维空间位置上可任意测量、旋转、切割、重组、缩放髋关节骨质结构和软组织结构，可以在虚拟的“解剖教室”、“诊断操作室”或“手术室”中观察和分析髋关节解剖结构的空间关系，减少和避免各种手术并发症的发生。
三维重建技术在医学上的应用
三维重建技术在医学上的应用随着科技的不断进步，三维重建技术已经成为医学领域中不可或缺的一部分。
它可以通过数字化的方法将二维图像转化为三维图像，极大地方便了医生们的诊断和治疗工作。
本文将介绍三维重建技术在医学上的应用，包括它的定义、特点和优势，以及在多个领域中的应用实例。
一、三维重建技术的定义和特点三维重建技术是一种将二维图像处理为三维图像的数字化技术。
它通过计算机算法对一系列二维图像进行透视投影变换、图像配准、体素数据重构等复杂的运算，最终得到一个立体的体绘制图像。
三维重建技术的特点在于它可以使人们以更直观、更形象的方式将医学图像的信息展现出来，从而更好地辅助医生进行诊断、治疗和手术。
二、三维重建技术在医学上的优势相比传统的二维图像，三维图像可以提供更丰富、更直观的信息，有助于医生更准确地了解人体内部的状况。
此外，三维重建技术还有以下优势：1. 精度高：三维重建技术采用数字化处理的方式，可以在极高的准确性下还原出真实的三维空间形态。
2. 可操作性强：通过三维重建技术，医生可以对三维模型进行放大、旋转、平移等操作，从而更加细致地观察病变部位的形态，为后续的治疗提供准确的参考。
3. 安全性高：三维重建技术可以帮助医生在手术之前进行模拟练习，降低手术风险，提高手术成功率。
三、三维重建技术在医学中的应用实例1. 三维重建技术在心血管领域的应用在心血管领域，三维重建技术可以对心脏、血管等内脏器官进行三维重建。
通过三维重建技术，医生可以更加清晰地观察心脏、血管等器官的形态，从而判断疾病的类型、位置和程度。
此外，三维重建技术还可以为心血管手术提供辅助，提高手术成功率。
2. 三维重建技术在肿瘤诊断领域的应用在肿瘤诊断方面，三维重建技术可以将多个二维图像合成为三维模型，清晰地展示肿瘤的类型、大小、位置和与周围组织的关系。
通过三维重建技术，医生可以更准确地确定肿瘤的位置和范围，为后续的治疗提供更精确的方案。
3. 三维重建技术在骨科手术中的应用在骨科手术中，三维重建技术可以帮助医生更准确地测量骨骼的长度、角度和体积，预测手术后的形态，并为手术提供准确的参考。
血管的三维重建
作者：张雄、李宁娟、贾雪娟血管的三维重建摘要随着现代医学的发展，科学对人类病例的研究不再局限在表面现象，在实际研究中利用断面可了解生物组织、器官等的的横截面形态和结构.从而可大大提高人类对某些疾病的预防和治疗.针对这一问题，本文由血管的100张连续的平行切片图象计算血管的中轴线与半径，并绘制血管在三个坐标平面上的投影来探讨血管的三维重建.由于血管的表面是由球心沿着某一曲线（即中轴线）的球滚动而成，由此我们得出结论:每个切片一定包含滚动球的大圆，并且他一定为切片的最大内切圆，而最大圆对应的半径即为血管的半径，所以求血管半径就转化为求每一个切片内部的点到切片外部轮廓线的所有最短距离中的最大值即为血管半径.本文从100张切片图中随机抽取11张切片图，运用MATLAB软件，得到其最大内切圆的圆心及半径，求取平均值，再用圆心拟合求出中轴线.最后根据中轴线求出它在XY、YZ、ZX平面的投影图.关键字MATLAB软件中轴线半径平均法一、问题重述断面可用于了解生物组织，器官等的形态.例如，将样本染色后切成厚约的切片，在显微镜下观察该横断面的组织形态结构.如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片，可依次逐片观察.根据拍照并采样得到的平行切片数字图像，运用计算机可重建组织、器官等准确的三位形态.假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线的球滚动包络而成.现有某管道的相继张平行切片图像，记录了管道与切片的交.图像文件名依次为0.bmp、1.bmp、2.bmp…100.bmp，格式均为bmp，宽，高均为512个象素.为简化起见，假设：管道中轴线与每张切片有且只有一个交点;球半径固定；切片间距以及图像象素的尺寸均为.试计算管道的中轴线与半径，给出具体的算法，并绘制中轴线在XY、YZ、ZX平面的投影图.二、模型假设1.假设管道中轴线与每张切片有且只有一个交点；2.假设球半径固定；3.假设切片间距以及图像象素的尺寸均为；4.假设血管无严重扭曲；5.假设切片拍摄不存在误差，数据误差仅与切片数字图像的分辨率有关.三、符号说明i内点的X轴坐标j内点的y轴坐标m切片轮廓线上的点的X轴坐标n切片轮廓线上的点的y轴坐标t坐标为ij的内点到轮廓线的距离ijr第i张切片图的最大内切圆半径i四、模型分析对于这个血管的三维重建模型，由于血管的表面是由球心沿着某一曲线（即中轴线）的球滚动而成，我们对此得出结论: 若切片与中轴线有交点，且管道的法向横断面是圆，则该切片必含有半径与球体相同的最大圆，即为切片的最大内切圆，而最大圆对应的半径即为血管的半径，圆心则在交点处.所以求血管半径就转化为求每一个切片内部的点到切片外部轮廓线的最大半径.利用计算机，运用MATLAB软件，搜索出100张切片图的最大内切圆的半径，并找到每张切片中轴线与切片交点的坐标，记为中轴线坐标，即圆心坐标.利用这些坐标，求出血管的中轴线.在根据中轴线求出它在XY 、YZ 、ZX 平面的投影图.五、 模型的建立与求解（1）半径和圆心的求取（见附录1）a :运用MA软件将每张切片的bmp 文件转化为01-矩阵，0代表黑色，1代表白色.同时将切片的轮廓线也存为01-矩阵.b : 在100张图片中随机抽取了11张切片的图片（0.bmp 、9.bmp …99.bmp ），做出它们的轮廓线，找出每个内点距离轮廓线的最小距离i t ，即为以这个内点为圆心的最小内切圆的半径；ij t =min()i ij t t =在以内点为圆心的最小内切圆中找出距离最大的那个内切圆，即为这幅图的最大内切圆，该内点的坐标即为圆心的坐标，该距离即为最大内切圆的半径i r （见表一）.max()i i r t = 表一c:用算数平均法求取半径.100 11ii rr==∑即29.7367r=（2）求解拟合曲线的方程及平面投影图通过表1的数据, 运用MATLAB 软件先进行4次线性拟合得xoz 面的投影图，再进行6次线性拟合得yoz 及xoy 面的投影图和中轴线的空间分布图及拟合方程.图依次如下： （附录2和3）中轴线在xoz 面的拟合方程：1.955z =⨯5410x -+333.39210x -⨯-121.20210 1.13595.343x x -⨯++中轴线在yoz 面的拟合方程：1061.34210z x -=⨯+85644.02110 4.55310x x --⨯+⨯+43322.25910 4.14210x x --⨯+⨯+22.76910 2.563x -⨯+中轴线在0x y 面的拟合方程：156115940.710 1.190107.94410z x x x ---=-⨯+⨯-⨯+632.75410x -⨯4225.24510 5.26110 1.802x x ---⨯+⨯-六、模型评价及改进模型评价由于解决三维血管重组这问题问题十分繁杂，文中没有数据，故而在处理数据时应用了MATLAB等数学处理软件对图片进行处理得出大量数据并采用算数平均法进行了科学精确地处理，保证了数据整合以及结果计算的精准度；本文选取的数据较少，使得结果存在一定的误差,同时采用动态地逼近最大内切圆半径的求解过程，其计算量庞大.模型改进本文针对三维血管重组问题分别找出血管的中心轴、半径以及在xoy、yoz、zox、的投影和xyz的空间图形建立模型，对于这类模型可推广到其他更广范围.可运用于研究人体的其他器官的形态结构，为人类的医学作出大量的贡献.七、参考文献【1】赵静、但琦，数学建模与数学实验（第二版），北京：高等教育出版社【2】朱道远，数学案例精选，北京：科学出版社，2003.【3】薛定宇陈阳泉，高等应用数学问题的MATLAB求解，北京清华大学出版社八、附录1、找出半径及圆心坐标p=ones(512,512);p2=ones(512,512);s=sprintf('d:\\99.bmp');%'*'是我们所选的第*张图p(:,:)=imread(s);p2(:,:)=edge(p(:,:));imshow(p2(:,:));ff=555*ones(512,512);%”555“这个数必须大于实际半径for i=1:512for j=1:512if p (i,j)==0for m=1:512for n=1:512if p2(m,n)==1t1=sqrt((i-m)*(i-m)+(j-n)*(j-n));if ff(i,j)>t1ff(i,j)=t1;endendendendendendendfor i=1:512for j=1:512if ff(i,j)==555 %这个数与上面的一致ff(i,j)=0;%这个数应该小于等于0endendendr=max(max(ff(:,:)));for j=1:512for i=1:512if r-ff(i,j)<0.1%'0.1'是确定它的误差c1=i;c2=j;endendendrc1 %'c1'是空间中x轴的坐标c2 %'c2'是空间中y轴的坐标2、中轴线在XY、YZ、ZX平面的投影图z=[0,9,19,29,39,49,59,69,79,89,99];c1=[96,96,96,96,115,146,202,268,361,396,446];c2=[257,259,268,290,338,377,411,423,396,369,257];A=polyfit(z,c1,4)B=polyfit(z,c2,6);C=polyfit(c1,c2,6);x=polyval(A,z);y=polyval(B,z);figure(1)plot(x,y)title('血管的中轴线在xoy面的投影')xlabel('x')ylabel('y')grid onprint(1,'-djpeg','e:\xoy.jpeg');figure(2)plot(x,z)title('血管的中轴线在xoz面的投影')xlabel('x')ylabel('z')grid onprint(2,'-djpeg','e:\zox.jpeg');figure(3)plot(y,z)3、拟合方程A=polyfit(z,c1,4)%（中轴线在xoz面的拟合方程）B=polyfit(z,c2,6)%（中轴线在yoz面的拟合方程）C=polyfit(c1,c2,6)%( 中轴线在xoy面的拟合方程)。
血管的三维重建
血管的三维重建1摘要序列图像的三维重建在各学科中都起到至关重要的作用，本次讨论的是血管的三维重建。
首先，假设该管道是由球心沿着某一曲面的球滚动包络而成，故本次的主要目的是求岀中轴线坐标及半径。
现有100平行切片图像，本次建立的模型可分为四步；第一步，采集图形边界点数据。
由于每图片都是512*512的矩阵，故此数据很大，采用imread（）函数将其读入矩阵A中。
第二步，最大切圆寻找及半径的确定。
提出两种方案•分别是切线法和最大覆盖法；从上述两种方法分析及考虑到我们所使用的工具和材料•可以得出方法二更加直观•计算机实现更容易•计算复杂度更低.所以我们采用后者。
根据以上算法，我们抽取了所有的切片图进行半径的提取.然后再求其平均值. 求其均值得到球的半径为29. 6345。
第三步，轨迹的搜索。
在第二步中求出了血管的半径，轨迹的搜索就可以建立在半径确定的基础上.当然我们也可以求出每一个切面图形的最大切圆•然后得到每个圆心的坐标，即中轴线坐标，但这样做计算机的运算量会很大.同时由于最大切圆搜索法的稳定性不髙.从而会造成搜索的不精确.所以采用定半径搜索。
本文提岀了三种方法.分别为网格法、蒙特卡罗法和非线性规划法；本次采用非线性规划来实现。
第四步，绘制中轴线空间曲线图和在XOY. YOZ. XOZ三个平面的投影图。
由定理1:切片上血管截面图的头部顶点在XOY平面上的投影点一定会落在中轴线在X0Y平面上的投影曲线上（在论文中以证明），并得出推论：切片上血管截面中中位线与中轴线在XOY面上的投影重合。
最后可由中轴线和血管半径在作图软件中达到血管的三维重建，本次的模型还存在一定的不足，其假设为管道中轴线与每个切面有且只有一个交点，事实上还存在有多个交点的情况，但为了简化模型在此做了一定的假设，故会存在一定的误差。
关键词：三维重建切圆半径轨迹（中轴线）注：求边界时采用了老师的思想和程序。
2问题重述假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线 (称为中轴线)的球滚动包络而成。
脑血管三维重建及算法实现
脑血管三维重建及算法实现郭健;程宇航;郭书祥【摘要】针对目前脑血管的三维重建技术存在着对硬件要求高、重建结果与人体解剖学结果差距较大的问题,本文提出了一种脑血管三维重建方法.将扫描得到的CTA图像导入到Mimics17.0软件中,先进行阈值分割,然后蒙版编辑,最后通过区域增长.经过这些预处理后,结合错切变形法的三维重建算法,得到三维重建的脑血管模型.其处理所得的脑血管具有模型清晰、细节突出的优点,同时所得模型可以进行切割处理和实现任意角度的放大缩小.系统运行结果表明:此方法得到的脑血管图像更加真实,并且可以进行多种软件的导入、模拟训练及后期的研究,为脑血管介入手术的术前模拟提供了有效的方法.【期刊名称】《哈尔滨工程大学学报》【年(卷),期】2019(040)004【总页数】6页(P649-654)【关键词】医学CT;三维重建;阈值分割;蒙版编辑;Mimics软件;图像预处理;体数据;错切变形法【作者】郭健;程宇航;郭书祥【作者单位】天津理工大学电气电子工程学院,天津300384;天津理工大学电气电子工程学院,天津300384;天津理工大学电气电子工程学院,天津300384;日本香川大学工学部,日本高松761-0396【正文语种】中文【中图分类】TP371.4脑血管疾病是一种脑血管发生血液循环障碍(包括脑血管阻塞和脑血管破裂出血)而引起的脑功能障碍疾病[1]，是中老年人常见病、多发病,也是中老年人致死、致残的主要原因之一，严重危害人类的健康。
目前，医学CT是医生诊断病情的一种常用手段，它是利用人体内不同组织或器官的密度和厚度对X射线的衰减作用不一样来诊断的。
然而，对于密度接近的组织和器官，形成的灰阶影像对比分布图的显示效果就不明显了。
目前，三维重建常使用的方法主要是对面或者对体进行绘制，即面绘制和体绘制。
面绘制首先在统一的坐标系中构建三维体数据; 然后通过算法有效地提取所需显示区域的表面信息; 根据照明，明暗模型对要显示的像素进行消隐和渲染处理；最后进行回执显示图像，其中面绘制里比较经典的是1987年文献[2-3]提出的移动正方形算法(marching cube，MC)，其中还有很多改进MC算法。
【 数学建模竞赛】血管的三维重建模型g资料
血管的三维重建模型摘要：本文对血管三维重建中，中轴线及球的半径确定问题进行了讨论。
首先，根据问题及图象处理提取有效数据，给出两种可行算法，利用上述数据建立了最大最小方法和二次规划方法。
搜索中心点，并给出全局和局部搜索，得到各切片中心点坐标(见表1)，并通过插值方式得到中轴线图象及其各投影。
最后对模型给出检验方式。
一 、问题的重述假设某些血管可视为一类特殊的管道,该管道的表面是由球心沿着某一曲线 (称为中轴线)的球（命名为包络球）滚动包络而成。
现有某管道的相继100张平行切片图象,记录了管道与切片的交。
假设：管道中轴线与每张图片有且只有一个交点；球半径固定；切片间距以及图象象素的尺寸均为1.取坐标的Z 轴垂直于切片，第1张切片为平面0=Z ，第100张切片为平面99=Z . 计算管道的中轴线与半径，给出具体的算法，并绘制中轴线在XY 、YZ 、ZX 平面的投影图。
二、模型假设与符号说明1、 基本假设：（1） 该管道的表面为一定长半径的球沿一固定的曲线运动所得曲面族包络的光滑表面。
（2） 该管道的中轴线连续而且光滑。
（3） 该管道的中轴线与每个切面有且只有一个交点。
（4） 图象象素的尺寸为1. （5） 切片的间距尺寸为1.2、 符号说明：L 中轴线R 包络球的半径()z y x O i ,, 中轴线与第i 个切片的交点（定为此切片的中心）i S 第i 个切片切得的图形 i D 第i 个切片的图象数据矩阵三、问题分析及建模准备 问题分析：通常血管的表面可认为是连续且光滑的曲面，断面可用于了解其形态等特性。
本问题给出的是一些离散的切面，要求重建出原图中轴线和求出包络球半径。
因为每一个切面与中轴线L 有且只有一个交点i O ，如果找出所有i O ,就可以用插值或拟合的方式作出L 的近似图象，其在坐标平面上的投影就很容易画出。
问题的关健转变为求每个平面上的i O . 建模准备：1、 图象的读取由于切片图象中只有黑、白两种颜色的象素,而且所给的BMP 格式图象文 件是512×512象素的.因此,把图象读取为一个512×512的数字矩阵；用数字1表示黑色的象素，用数字0表示白色的象素。
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血管的三维重建1 摘要序列图像的三维重建在各学科中都起到至关重要的作用，本次讨论的是血管的三维重建。
首先，假设该管道是由球心沿着某一曲面的球滚动包络而成，故本次的主要目的是求出中轴线坐标及半径。
现有100张平行切片图像，本次建立的模型可分为四步;第一步，采集图形边界点数据。
由于每张图片都是512*512的矩阵，故此数据很大，采用imread()函数将其读入矩阵A中。
第二步，最大内切圆寻找及半径的确定。
提出两种方案,分别是切线法和最大覆盖法; 从上述两种方法分析及考虑到我们所使用的工具和材料, 可以得出方法二更加直观, 计算机实现更容易, 计算复杂度更低, 所以我们采用后者。
根据以上算法, 我们抽取了所有的切片图进行半径的提取, 然后再求其平均值, 求其均值得到球的半径为29.6345。
第三步，轨迹的搜索。
在第二步中求出了血管的半径，轨迹的搜索就可以建立在半径确定的基础上, 当然我们也可以求出每一个切面图形的最大内切圆, 然后得到每个圆心的坐标, 即中轴线坐标, 但这样做计算机的运算量会很大, 同时由于最大内切圆搜索法的稳定性不高, 从而会造成搜索的不精确, 所以采用定半径搜索。
本文提出了三种方法, 分别为网格法、蒙特卡罗法和非线性规划法;本次采用非线性规划来实现。
第四步，绘制中轴线空间曲线图和在XOY、YOZ、XOZ 三个平面的投影图。
由定理1: 切片上血管截面图的头部顶点在XOY 平面上的投影点一定会落在中轴线在XOY 平面上的投影曲线上（在论文中以证明），并得出推论：切片上血管截面中中位线与中轴线在XOY 面上的投影重合。
最后可由中轴线和血管半径在作图软件中达到血管的三维重建，本次的模型还存在一定的不足，其假设为管道中轴线与每个切面有且只有一个交点，事实上还存在有多个交点的情况，但为了简化模型在此做了一定的假设，故会存在一定的误差。
关键词：三维重建内切圆半径轨迹（中轴线）注：求边界时采用了老师的思想和程序。
2 问题重述假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线(称为中轴线)的球滚动包络而成。
例如圆柱就是这样一种管道，其中轴线为直线，由半径固定的球滚动包络形成。
现有某血管管道的相继100张平行切片图象，记录了管道与切片的交点。
图象文件名依次为0.bmp、1.bmp、…、99.bmp，格式均为BMP，宽、高均为512个象素(pixel)。
先假设：管道中轴线与每张切片有且只有一个交点；球半径固定；切片间距及图象象素的尺寸均为1。
取坐标系的Z轴垂直于切片，第1张切片为平面Z=0，第100张切片为平面Z=99。
Z=Z切片图象中象素的坐标依它们在文件中出现的前后次序为(—256，—256，Z )，(—256，—255，Z)，…(—256，255，Z)(—255，—256，Z )，(—255，—255，Z)，…(—255，255，Z)(255，—256，Z )，(255，—255，Z)，…(255，255，Z)。
试计算管道的中轴线方程与半径，给出具体的算法，并绘制中轴线在XY、YZ、ZX平面的投影图。
全部图象请从网上下载。
关于BMP图象格式可参考：1．《VisualC+ +数字图象处理》第12页2.3.1节。
何斌等编著，人民邮电出版社，2001年4月。
2．http：／／／home／mxr／gfx／2d／BMP.txt3 模型的假设1.医学上, 血管不存在严重扭曲, 没有折皱。
2.血管可视为等径管道。
3.管道中轴线与每张切片有且只有一个交点。
4.切片间距以及图象象素的尺寸均为1。
5.对切片拍照的过程中不存在误差，数据误差仅与切片数字图象的分辨率有关。
6．血管的表面是由半径固定的球的球心沿着某一曲线( 称为中轴线) 滚动包络而成。
7.切片足够薄, 其厚度对计算的影响可以忽略不计。
8.切片包含的其它圆的半径一定小于r。
9.不能被切片包含的圆的半径一定大于r。
4 符号说明X 血管的最大内切圆的圆心的x的坐标值Y 血管的最大内切圆的圆心的y的坐标值Z 血管的最大内切圆的圆心的z的坐标值R 血管最大内切圆的的半径R血管最大内切圆整个圆周的离散坐标ijA 图像数据储存的三维矩阵f R血管最大内切圆心匹配点数的函数()ij5 分析与建立模型5.1 分析1）假定管道中轴线与每张切片有且只有一个交点, 球的半径固定, 切片的间距以及图像象素的尺寸均为1。
取坐标的z轴垂直于切片, 第一张切片记为平面z = 0, 第二张切片记为z = 1, 第100张切片的平面记为z = 99。
要求根据以上所给条件计算管道的中轴线与半径, 并绘制中轴线在X Y、YZ、ZX 平面的投影图。
5.2 几个重要的结论对于某个切痕,可以作出它在空间中的结构图。
如图1所示,设某一切片的切痕与中轴线的交点为O,切下这一切痕的同时也截下中心在点O 的小球的一个大圆K,过点O 的血管的轴截面S也是同一个小球的一个大圆。
这两个大圆的交点即为小球的直径的两个端点,且这两个端点为切痕边界与大圆K 的两个切点,因此可得出以下结论:1）每一个切痕中存在一个最大内切圆且最大内切圆的圆心在管道的中轴线上。
2）每个切痕的最大内切圆的半径均相等, 且等于管道的半径。
根据上面的结论,要求血管的中轴线,只需找出每一个切痕的最大内切圆的圆心。
图1 某个切痕的空间结构图5.3 模型的建立通过对血管的三维重现的分析可知, 我们的模型应由三部分组成:5.3.1 采集图形边界点数据边界点数据的采集方法有人工采集法和计算机采集法, 对于数据量较小的,又具有某些特殊意义的点可以由人工采集, 若数量比较大且采集边界又非常复杂时, 则采取机器采集。
5.3.2 最大内切圆寻找及半径的确定方法1 切线法此方法可以从切面的外围轮廓线分析着手。
由题意分析知道, 所给的图片切面是由无数个球切面组成的。
而且外围轮廓线与最大内切圆有且仅有两个交点, 所以经过这两点的外围轮廓线的两条切线平行且间距最大。
基于上述分析, 我们可以通过找到这两条切线来找到最大内切圆的圆心及半径。
在实际操作中, 由于对图片的象素提取的离散性, 我们在计算导数时是用差分来代替。
方法2 最大覆盖法最大覆盖法就是在切面中找到最佳的圆心位置和半径长度, 从而使得由这个圆心和半径所决定的圆面, 能最大面积地覆盖管道切面的图形, 这样搜索到的圆一定是最大内切圆, 这个圆的圆心就是我们所要找的球的球心, 这个圆的半径就是我们所要找的球的半径。
从上述两种方法分析及考虑到我们所使用的工具和材料, 可以得出方法二更加直观, 计算机实现更容易, 计算复杂度更低, 所以我们采用后者。
具体实现中, 我们先得到任意一张图片的象素矩阵, 然后将用于匹配的圆根据其圆心和半径将其圆周离散( 即以象素表示) , 并映射到512⨯的图中, 其中圆周上的点为0, 其余的点为1, 即形成另一个象素矩512512⨯两个矩阵在相同位置点上的值进行逻辑或运算, 如果其值为0, 阵。
这512则为匹配点, 即此点在管道切面图形内, 否则其在切面图形外。
这样搜索到的匹配点最多同时半径最大的就是所要找的最大内切圆。
图2和图3 就是分别从图1. bmp 和图89. bmp 搜索到的最大匹配圆( 内部白色部位为管道切面图形, 深色圈为最大匹配圆) 。
根据以上算法, 我们抽取了所有的切片图进行半径的提取, 然后再求其平均值, 求其均值得到球的半径为29.6354。
图2 1. bmp 的最大匹配图图3 89. bmp 的最大匹配图5.3.3 轨迹的搜索5.3.3.1 目标函数的确立在求出半径以后, 轨迹的搜索就可以建立在半径确定的基础上, 当然我们也可以求出每一个切面图形的最大内切圆, 然后得到每个圆心的坐标, 即中轴线坐标, 但这样做计算机的运算量会很大, 同时由于最大内切圆搜索法的稳定性不高, 从而会造成搜索的不精确, 所以采用定半径搜索。
我们通过定圆( 半径为R ) 来找其中轴线, 也就是用定圆覆盖到切面图形上去, 找到匹配点数最多的一个位置, 从而得到此定圆圆心的位置。
具体实现时只要用定圆的圆心位置进行变化, 设其为(,)A x y , 则由A 点可以得到整个圆周的离散坐标ij R , 令()ij f R 为匹配点数的函数, 其计算方法与最大内切圆求法相同, 即将ij R 根据圆心A 的坐标和半径R ( 固定) 离散化形成矩阵后和切面图形矩阵作逻辑与操作, 从达到匹配最大, 则优化目标函数就是:max[()]ij f R (512512)A ∈⨯坐标面上的点5.3.3.2 目标函数要求求出一点圆心A , 使得定圆覆盖切面图形最大, 即多元函数极值最优解, 这是一个以X 和Y 为自变量二元函数, 这样可以通过以下三种方法来求得:1) 用直接搜索求最优解( 网格法)搜索过程中, 对每一个圆心的坐标X 和Y , 在其取值的范围内均取100 个步长, 分为1002个网格, 这样, 在一定的精度范围内, 可以求的一个较好的最优解。
2) 蒙特卡罗法蒙特卡罗法, 也就是随机实验试点法。
它的基本思想是: 在函数的可行域内随机地选取实验点, 由于随机取得的点在区域中分配比较均匀, 所以对函数的大致形态能较好的体现。
模型中, 随机点用以下方法产生的。
0(10)(1)x x x x rand =+-⨯ 0(10)(1)y y y y rand =+-⨯其中, ( x0, x1) 为X 的取值范围, ( y0, y1) 为Y 的取值范围。
3) 非线性规划非线性规划即无约束优化,以数值迭代为基本思想,基本步骤为选取初值A(X0,Y0),进行k 次迭代并求出迭代解,由迭代解得到搜索方向和步长,如果k + 1次迭代符合给定的迭代终止条件,则停止迭代,得出最优解;否则继续迭代。
非线性规划的关键是搜索方向、步长和初值。
我们用拟牛顿法来选定搜索方向,拟牛顿法是在牛顿法基础上,克服牛顿法中黑赛阵不仅计算复杂、而且会出现变态、不正定等情况,同时保持了较快收敛的优点,从而得到最好的下降方向。
搜索步长的确定使用线性搜索的方法,或更为有效的插值方法。
由于此搜索程序的初值对于程序正确有效的搜索影响很大,又因为相邻的切片只有一个象素单位的距离, 可以认为中轴线的变化很小,所以我们可以把前一次确定的球心作为下一次搜索的起点,从而大大提高搜索的效率和准确性。
但由于转角处变化较大,在这种情况下搜索起点会郴够逼近而导致优化搜索的失效。
我们采用回溯技术来避免这种现象。
即当球心间距前后相差较大时( 采用工程上的观点, 以6 倍为基线),回退一次搜索,并以当前球心作为回退搜索的起点,这样就可以把各个球心间距变得比较匀称,从而相应的消除了转角上的搜索失效。
从上述对三种方法的分析可以得到网格法和蒙特卡罗法实现思路简单, 程序容易实现,但网格法搜索的精度不高, 误差较大,搜索时间长,同样蒙特卡罗法的实现对采点的数目要求很高,计算量大; 非线性规划法的实现复杂,但搜索速度快,计算量少,而且通过MATLAB 的优化工具箱的函数可以很方便地实现,所以非线性规划法较优。