薛定谔方程
-薛定谔方程
§12－6 薛定谔方程德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报告。
报告后， 德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有一个波动方程。
几个月后，薛定谔果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。
薛定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导出来，它是否正确，只能由实验检验。
一、薛定谔方程 1 一维薛定谔方程1）一维自由运动粒子(无势场)设：一维自由运动粒子，无势场，不受力，动量不变。
一维自由运动粒子的波函数(前已讲)ψ(x , t ) = ψ0 e -i(2π/h ) (Et - px )由此有再利用 可得此即一维自由运动粒子(无势场)的含时薛定谔方程。
2）若粒子在势场U (x , t ) 中运动由 有此即一维自由运动粒子在势场中的含时薛定谔方程。
3）定态薛定谔方程若粒子在恒定势场U = U (x )中运动，微观粒子的势能仅是坐标的函数，与时间无关，可把上式中的波函数分成坐标函数与时间函数的乘积，即2222ip x hp x hψψψψ∂=∂∂=-∂22p E m=222282h h i m x tψψππ∂∂-=∂∂22p p E E m =+222282p h h E i m x tψψψππ∂∂-+=∂∂2(,)()()()iEt hx t x f t x eπψϕϕ-==式中 ψ =ψ (x , t )是粒子在势场U = U (x , t )中运动的波函数。
将ψ =ψ (x , t ) = ψ(x )T (t )代入得一维定态薛定谔方程式中ψ =ψ (x )是定态波函数，它所描写的粒子的状态称作定态，是能量取确值的状态。
定态的概率密度ψ(x ,t ) ψ*(x ,t ) = ψ (x ) ψ *(x ) 定态下的概率密度和时间无关。
在量子力学中用薛定谔方程式加上波函数的物理条件，求解微观粒子在一定的势场中的运动问题(求波函数，状态能量，概率密度等)。
薛定谔方程
薛定谔方程（英语：Schrodinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔在1926年提出的一个用于描述量子力学中波函数的运动方程[1]，被认为是量子力学的奠基理论之一。
薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。
含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。
不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。
波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。
而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。
薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。
量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。
薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。
薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。
海森堡表述比较没有这么严重的问题；而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。
[编辑]含时薛定谔方程虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。
理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。
在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为(1)其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。
类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为(2)假若，系统内有个粒子，则波函数是定义于-位形空间，所有可能的粒子位置空间。
用方程表达，。
其中，波函数的第个参数是第个粒子的位置。
所以，第个粒子的位置是。
[编辑]不含时薛定谔方程不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。
顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。
应用分离变量法，猜想的函数形式为；其中，是分离常数，是对应于的函数．稍回儿，我们会察觉就是能量．代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程：。
爱因斯坦薛定谔方程
爱因斯坦薛定谔方程
爱因斯坦-薛定谔方程（Einstein-Schrödinger equation）是一个量子力学中的方程，将爱因斯坦的相对论和薛定谔方程结合在一起，描述了物质和场相互作用的行为。
这个方程是在广义相对论和量子力学之间的理论框架下提出的。
具体而言，爱因斯坦-薛定谔方程描述了物质在引力场中的行为，以及粒子与电磁场的相互作用。
它是一个偏微分方程，通常被写成：iħ∂ψ/∂t = (c^2√(p^2c^2 + m^2c^4) + eφ)ψ。
其中，ψ是波函数，描述了量子态的演化；t是时间；ħ是约化普朗克常数；c是光速；p是动量算符；m是粒子的静质量；e是元电荷；φ是电磁场势。
爱因斯坦-薛定谔方程是一个非常复杂的方程，它描述了物质在引力场和电磁场中的量子行为。
这个方程在理论物理的研究中扮演着重要的角色，帮助我们理解微观世界的行为。
但是，由于其复杂性，解析解很难找到，通常需要使用数值方法进行求解。
薛定谔方程
v v v v ψ(r ,t) =c1 1(r ,t) +c2ψ2(r ,t) +⋅⋅⋅ = ∑ iψi (r ,t) ψ c
也是这个系统的一个可能的量子态。 也是这个系统的一个可能的量子态。
i
薛定谔方程是复数方程，因此它的解， ② 薛定谔方程是复数方程，因此它的解，即波函数 一般是复数。 一般是复数。
一、含时薛定谔方程 1. 自由粒子的含时薛定谔方程 自由粒子的波动性对应于平面波，因此， 自由粒子的波动性对应于平面波，因此，描述自由 粒子量子态的波函数可以采用平面波函数的形式。 粒子量子态的波函数可以采用平面波函数的形式。 量子力学中，自由粒子对应的平面波函数： 量子力学中，自由粒子对应的平面波函数：
2 2 2
∂ψ ih = Eψ ∂t
v −ih∇ = pψ ψ
−h ∇ ⇔p
2 2 2
∂ v ih ⇔E −ih∇⇔ p ∂t
箭头左边的符号作用于波函数等于箭头右边的物理 量乘以波函数。 量乘以波函数。 不考虑相对论效应， 动能与动量的关系： 不考虑相对论效应，则动能与动量的关系： 与动量的关系
p E= 2µ 2 p Eψ = ψ 2µ
v 波矢， 波矢 大小等于角波数，沿着波传播方向。 k——波矢，大小等于角波数，沿着波传播方向。
角频率。 角频率 ω ——角频率。
v v v ψ(r ,t) = Aex i(k ⋅ r −ω ) p t
{
}
v v v ψ(r ,t) = Aex i(k ⋅ r −ω ) p t
{
}
ω
2π 2π E 1 = hν = E = = 2πν = T h h h v v v v v k 2π k 2π h k 1 k k = k k = λ k = h λ k = h p k
薛定谔方程是干嘛的
薛定谔方程是干嘛的薛定谔方程是量子力学中最基本的方程之一，描述了波粒二象性粒子（如电子、原子等）的运动和行为。
这个方程是由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出的，为量子力学的发展奠定了基础。
薛定谔方程的提出，革命性地改变了我们对微观粒子运动的理解。
它不仅揭示了微观世界的奇特规律，也在许多领域中有着广泛的应用。
描述粒子的波函数薛定谔方程的核心是描述粒子运动的波函数。
波函数是关于时间和空间的函数，可以用来描述粒子在不同位置和不同时间的概率分布。
波函数的平方模的值表示了在某个位置观测到粒子的概率。
通过求解薛定谔方程，可以得到粒子的波函数，从而了解粒子在空间中的行为。
揭示粒子的量子行为薛定谔方程的解揭示了微观粒子的量子行为。
根据薛定谔方程，对于一个束缚在势场中的粒子（如原子），其波函数具有离散的能量量子态。
这意味着粒子只能取得特定的能量值，而不能连续地变化。
这个现象被称为能级分立。
薛定谔方程通过粒子波函数的解，成功地解释了许多实验现象，如光谱的量子化、原子的稳定性等。
预测粒子的行为薛定谔方程不仅可以用来描述粒子的静态性质，还可以预测粒子在不同条件下的动态行为。
通过对薛定谔方程进行数值解，可以获得粒子在时间演化过程中的波函数变化。
进一步，可以计算出粒子的期望位置、动量等物理量的变化情况。
这为研究粒子的运动规律提供了重要工具和方法。
应用于材料科学和化学领域薛定谔方程在材料科学和化学领域中有着重要的应用。
它能够解释材料中的电子结构和性质，为材料设计和性能优化提供理论依据。
例如，通过求解薛定谔方程，可以预测和解释材料的带隙、导电性等电子性质，从而指导新材料的开发。
在化学反应研究中，薛定谔方程的数值解还能提供反应速率常数、反应途径等重要信息，对于理解和控制化学反应过程至关重要。
推动物理学和科学的进步薛定谔方程的提出，极大地推动了物理学和科学的发展。
它不仅改变了我们对粒子运动和行为的认知，也催生了量子力学这一全新的物理学分支。
《薛定谔方程》课件
波函数需要满足归一化条件，即 ∫Ψ*(r,t)Ψ(r,t)dV=1，以确保粒 子存在于有限空间内。
时间演化算符
时间演化算符定义
时间演化算符描述波函数的演化过程，通常表示为 U(t)，其中t是时间。
时间演化算符的性质
时间演化算符是幺正算符，即U(t)U*(t)=I，其中I是 单位算符。
时间演化算符的作用
时间演化算符可以将初始时刻的波函数演化到任意时 刻的波函数。
能量算符
能量算符定义
能量算符描述微观粒子的能 量，通常表示为H。
能量算符的性质
能量算符是厄米特算符，即 H=H*。
能量算符的作用
能量算符可以将波函数投影 到能量本征态上，得到粒子 的能量。
边界条件和初始条件
边界条件
描述波函数在边界上的行为，如周期 边界、反射边界等。
原理
通过选取适当的变分函数，将薛定谔方程的 求解问题转化为求变分极值的问题。
步骤
选取合适的变分函数，将薛定谔方程转化为变分问 题，然后利用变分法的基本原理求解该问题。
应用范围
适用于具有某些特殊性质的薛定谔方程，如 具有对称性、周期性等性质的问题。
04
薛定谔方程的经典实例
一维无限深势阱
描述
一维无限深势阱是一个理想化的模型，用于描述粒子在一维空间中的 运动，其中势能只在有限区域内存在。
在生物学中，它可以用来描述生物分子的结构和性质， 如蛋白质的结构和功能等。
02
薛定谔方程的基本概念
波函数
01
波函数定义
波函数是描述微观粒子状态的函 数，通常表示为Ψ(rห้องสมุดไป่ตู้t)，其中r是 位置向量，t是时间。
02
波函数的性质
薛定谔方程
薛定谔方程薛定谔方程(Schrödinger equation)是一个由奥地利物理学家薛定谔在1926年[1]描述量子力学中波函数的运动方程，被认为是量子力学的奠基理论之一。
薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。
含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。
不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。
波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。
而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。
薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。
量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。
薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。
薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。
海森堡表述比较没有这么严重的问题;而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。
目录[隐藏], 1 含时薛定谔方程, 2 不含时薛定谔方程, 3 历史背景与发展, 4 含时薛定谔方程导引o 4.1 启发式导引, 4.1.1 假设, 4.1.2 波函数以复值平面波来表达波函数o 4.2 薛定谔的导引, 5 特性o 5.1 线性方程, 5.1.1 证明o 5.2 实值的本征态o 5.3 幺正性, 5.3.1 证明o 5.4 完备基底, 6 相对论性薛定谔方程, 7 解析方法, 8 实例o 8.1 自由粒子o 8.2 一维谐振子o 8.3 球对称位势, 8.3.1 角部分解答, 8.3.2 径向部分解答, 9 参阅, 10 参考文献, 11 外部链接[编辑] 含时薛定谔方程虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。
理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。
在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为;(1) 其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。
量子力学中的薛定谔方程
量子力学中的薛定谔方程在量子力学中，薛定谔方程是一个重要的基本方程，被广泛应用于描述微观粒子的行为和性质。
薛定谔方程以奥地利物理学家埃尔温·薛定谔（Erwin Schrödinger）的名字命名，是量子力学的基石之一。
薛定谔方程描述了体系的波函数随时间演化的规律，通过求解该方程，可以获得粒子在空间中的波函数及其相应的能量。
薛定谔方程是一个线性偏微分方程，一般形式为：\[i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r}, t) = \hat{H}\Psi(\mathbf{r}, t)\]其中，\[i\]表示虚数单位，\[\hbar\]为约化普朗克常数，\[\Psi(\mathbf{r}, t)\]是波函数，描述了粒子在空间中的分布情况随时间的变化。
方程右侧的\[\hat{H}\]是系统的哈密顿量（Hamiltonian），描述了体系的能量。
薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，可以用来描述各种体系，包括原子、分子、固体和微观粒子等。
通过求解薛定谔方程，可以得到体系的波函数，波函数的模的平方代表了在某一时刻粒子出现在不同位置的概率分布。
由于薛定谔方程是一个偏微分方程，求解它需要考虑边界条件和初始条件。
对于简单的系统，如自由粒子，可以直接求解得到解析解。
但对于复杂的体系，如多电子原子或分子，一般需要采用数值方法进行求解。
量子力学的创立为描述微观世界的现象提供了全新的框架，薛定谔方程作为量子力学的基本方程，为我们理解微观粒子的行为和性质提供了强有力的工具。
通过求解薛定谔方程，我们可以预测和解释许多实验现象，如电子的能级结构、原子和分子的光谱等。
总结一下，薛定谔方程是量子力学中的基本方程，描述了体系的波函数随时间演化的规律。
通过求解薛定谔方程，我们可以获取体系的波函数及其相应的能量，从而揭示微观粒子的行为和性质。
薛定谔方程在量子力学的发展中起到了重要的作用，为我们认识和理解微观世界提供了重要的框架。
薛定谔方程
λ
n
Δx ⋅ Δp x ≥ h 2
ΔE ⋅ Δt ≥ h 2
第二章 薛定谔方程
§2.1 薛定谔得出的 波动方程 §2.2 无限深方势阱 中的粒子
§2.3 势垒穿透
§2.4 谐振子
§1 薛定谔方程的建立 一.含时薛定谔方程 自由粒子波函数: 自由粒子波相当于单色平面波 x 平面波函数： Ψ ( xt ) = A cos( 2πν t − 2π ) 或
−i
Φ( x ) =
n = 1,2,3 L
En t h
能量本征波函数: ψ n ( x ) = φ n ( x )e (3)概率密度
Wn ( x ) = φn ( x )
2
Φn( x )
4π x Φ( x ) = 2 sin a a
wn ( x ) = Φ n ( x )
2
n =4
2 cos 3π x Φ( x ) = a a 2 sin 2π x Φ( x ) = a a
(
)
a
a
(0 ≤ x ≤ a )
▲薛定谔方程是线性微分方程,ψ和φ都满足叠加原理 如果ψ1和ψ2是体系的可能状态，那它们的线 性叠加 ψ = c ψ + c ψ
1 1 2 2
也是体系的一个状态-----态叠加原理 在空间找到处于叠加态的几率密度是：
ψ = c1ψ 1 + c2ψ 2
2
2
[例5]在阱宽为 0-a的无限深势阱中,一个粒子的状态为 πx 2πx f ( x ) = sin − sin a a 多次测量其能量。求每次可能测到的值和相应概 率以及能量的平均值？ 解：已知0-a无限深势阱中的粒子的 本征函数和能量本征值为
七个薛定谔方程
七个薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中描述粒子行为的基本方程。
一般情况下，薛定谔方程可以写成如下的形式：1. 定态薛定谔方程（Stationary Schrödinger Equation）：iħ∂Ψ/∂t = HΨ其中，ħ是约化普朗克常数，Ψ是波函数，t是时间，H是哈密顿算符。
2. 非定态薛定谔方程（Time-dependent Schrödinger Equation）：iħ∂Ψ/∂t = HΨ其中，Ψ是波函数，t是时间，H是哈密顿算符。
3. 薛定谔方程的波函数形式（Schrödinger Equation in Wave Function Form）：iħ∂Ψ/∂t = -ħ²/2m ∇²Ψ + VΨ其中，ħ是约化普朗克常数，m是粒子质量，Ψ是波函数，t是时间，∇²是拉普拉斯算符，V是势能函数。
4. 薛定谔方程的路径积分形式（Path Integral Form of Schrödinger Equation）：Ψ(x,t) = ∫ Dx exp(iS[x]/ħ)Ψ(x₀,0)其中，Ψ(x,t)是波函数，S[x]是作用量，x₀是初始位置，Dx是路径积分测度。
5. 一维薛定谔方程（One-Dimensional Schrödinger Equation）：iħ∂Ψ/∂t = -ħ²/2m ∂²Ψ/∂x² + V(x)Ψ其中，ħ是约化普朗克常数，m是粒子质量，Ψ是波函数，t是时间，x是位置，V(x)是势能函数。
6. 三维薛定谔方程（Three-Dimensional Schrödinger Equation）：iħ∂Ψ/∂t = -ħ²/2m ∇²Ψ + V(r)Ψ其中，ħ是约化普朗克常数，m是粒子质量，Ψ是波函数，t是时间，r是位置矢量，∇²是拉普拉斯算符，V(r)是势能函数。
薛定谔方程
1936年他回到奥地利任格拉茨大学理论物理教授。不到两年，奥地利被纳粹并吞后，他又陷入了逆境。1939 年10月流亡到爱尔兰首府都柏林，就任都柏林高级研究所所长，从事理论物理研究。在此期间还进行了科学哲学、 生物物理研究，颇有建树。出版了《生命是什么》一书，试图用量子物理阐明遗传结构的稳定性。1956年薛定谔 回到了奥地利，被聘为维也纳大学理论物理教授，奥地利政府给予他极大的荣誉，设定了以薛定谔命名的国家奖 金，由奥地利科学院授予。
背景与发展
1900年，马克斯·普朗克在研究黑体辐射中作出将电磁辐射能量量子化的假设，因此发现将能量与频率关联 在一起的普朗克关系式。1905年，阿尔伯特·爱因斯坦从对于光电效为hν；其中，因子h是普朗克常数。这一点子成为后来波粒二象性概念的早期路标之一。 由于在狭义相对论里，能量与动量的关联方式类似频率与波数的关联方式，因此可以揣测，光子的动量与波长成 反比，与波数成正比，以方程来表示这关系式。
主量子数n和能量有关的量子数。原子具有分立能级，能量只能取一系列值，每一个波函数都对应相应的能量。 氢原子以及类氢原子的分立值为：
，n越大能量越高电子层离核越远。
希尔伯特空间与薛定谔方程
一般，物理上将物理状态与希尔伯特空间上的向量（vector），物理量与希尔伯特空间上的算符相对应。这 种形式下的薛定谔方程为
薛定谔方程是啥
薛定谔方程是啥薛定谔方程（Schrodinger Equation）是量子力学的基本方程之一，描述了微观粒子的行为。
它是由奥地利物理学家艾尔温·薛定谔于1925年提出的，并成为量子力学的基石之一。
薛定谔方程的导出薛定谔方程的导出源自对电子行为的研究。
在量子力学中，电子被视为波粒二象性的粒子。
为了描述电子的运动状态，薛定谔引入了波函数（Wave Function）的概念，将电子的运动状态与波函数建立了联系。
假设一个电子所处的状态可以由一个波函数Ψ(x, t)来描述，其中x表示位置，t表示时间。
根据量子力学的基本原理，波函数Ψ应满足薛定谔方程。
薛定谔方程的标准形式如下：$$ i\\hbar\\frac{{\\partial}}{{\\partial t}}\\Psi(x, t) = \\left(-\\frac{{\\hbar^2}}{{2m}}\\frac{{\\partial^2}}{{\\partial x^2}} + V(x,t)\\right)\\Psi(x, t) $$其中，i代表虚数单位，ħ代表约化普朗克常数，m代表电子的质量，V(x, t)代表电子所受到的势能。
薛定谔方程的物理意义薛定谔方程描述了波函数随时间演化的行为，它是量子力学中的基本方程之一，提供了了解粒子行为和性质的框架。
薛定谔方程的左边代表了波函数随时间的变化速率，右边代表了波函数在空间中的变化情况。
薛定谔方程描述的是波函数随时间和空间的变化规律，从中可以推导出粒子的能量、位置和动量等物理量的概率分布。
这使得薛定谔方程成为预测粒子行为的重要工具。
波函数Ψ的模的平方（|Ψ|²）表示某一时刻粒子出现在空间中的概率密度分布。
根据薛定谔方程，粒子的能量和位置等性质是用波函数的特定解来描述的。
薛定谔方程的应用薛定谔方程在研究微观世界中的粒子行为方面有着重要应用。
薛定谔方程被广泛应用于量子力学中的各个领域，如原子物理学、凝聚态物理学、粒子物理学等。
薛定谔方程表达式
薛定谔方程表达式薛定谔方程（Schrödinger equation）是一种经典的方程，用于描述粒子的波动性。
它是量子力学在研究量子系统中的基础方程式。
薛定谔方程由詹姆斯·薛定谔在1925年第一次提出，并用于量子力学建模和解决，并被用于许多不同领域，如原子物理学和材料科学。
一、定义薛定谔方程是一个基本的数学方程，可以用来描述粒子的波动性和量子力学，也用于原子物理学和材料科学等领域建模。
它可以用来描述量子现象的基础力学行为。
它的表达式是：$$i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}\psi(x,t)=\hat{H}\psi(x,t)$$其中$\psi$是粒子的函数，$\hat{H}$是粒子的Hamilto算符，$t$表示时间，$i$表示虚数单位，$\hbar$是由物理常数Planck的常数除以2$\pi$所得的单位。
二、特点薛定谔方程具有以下特点：（1）数学严谨性：薛定谔方程是一个基本的数学方程，可以用来准确描述粒子波动性；（2）应用广泛性：薛定谔方程不仅可以用于量子力学建立模型和解决问题，同时还可以应用到原子物理学、材料科学等领域；（3）简洁性：薛定谔方程只需要一个数学表达式，却可以描述量子力学中基本的力学行为；（4）学习方便性：薛定谔方程可以利用之前学过的代数知识去理解，不需要特别复杂的数学知识即可学习。
三、应用薛定谔方程被用于原子物理学，材料科学，电子学，化学物理，高分子物理，量子生物物理，量子信息等多个领域中。
（1）量子力学：薛定谔方程可以用来描述系统的粒子波动性和量子效应，它描述了受物理量子系统的特定粒子的波动动力；（2）原子物理：薛定谔方程用于描述原子核的结构，它能够提供一个准确的模型来表达原子核的特征；（3）材料科学：薛定谔方程可以用于描述晶体中原子分子之间的相互作用，它也可以用来识别晶体材料的特性；（4）电子学：薛定谔方程可以用来解释物理和化学特性，它还能够用于模拟终端器件，从而可以提高终端设备的效能。
薛定谔方程名词解释
薛定谔方程名词解释薛定谔方程，又被称为神奇的薛定谔方程，是一种有着深刻历史意义的重要数学方程。
它最早是由俄国物理学家沙洛斯拉夫薛定谔提出，他是如今量子力学领域中最重要的人物之一，也是其中最有创造力的科学家之一。
薛定谔方程描述的是一个粒子系统的行为，这个“系统”可以是原子、分子、原子团等。
它可以准确地解释物理系统中粒子的性质和运动规律，并被用来描述关于这些系统的量子性态变化。
薛定谔方程的最大特点在于它能建立时空的关系，而典型的物理方程只表达物理量的关系。
在解决难题的时候，由于薛定谔方程考虑了同时空的因素，它的精准度要远高于以往的方法，因此它成为研究中子和原子能量水平的有力工具，也成为量子力学研究的重要基础。
除了用于研究物质粒子运动规律，薛定谔方程还被用于研究其他领域，例如量子电动力学、量子机器人设计等，以及量子纠缠等。
由于薛定谔方程的普适性，在未来的研究中，它也将发挥重要作用。
薛定谔方程的构成如下：它是一个带有时间变量t的复变函数，由一个称为沙米科（Schrdinger）方程的非线性泛函微分方程保证，它具有解析性质，它具有量子算符表达式的形式，包括质量、动能和势能等。
准确地说，薛定谔方程只是一种物理方程，但它可以提供一个精准的量子力学系统的模型，这一点非常重要。
这些数学方程可以用来描述这些系统的性质，它提供的信息非常有用，可用来研究物质的性质。
它也可以用来描述一个系统受外力影响时的状态，研究这些系统的变化规律，从而推断出特定系统的性质。
薛定谔方程涉及到的领域非常广泛，从原子物理研究，化学研究，到生物科学研究，都可以从薛定谔方程中获得有用的信息，这些信息可以用来提高我们对物质性质的认识。
此外，它还可以用来模拟物质的行为，从而更好地理解物理现象，帮助我们更好地利用物理现象的能量。
因此，薛定谔方程是一种具有重要意义的数学方程，其应用非常广泛，可以被应用于多个领域，是量子力学研究和科学实验研究的重要支柱。
薛定谔方程
i En t
0 xa
n 1,2,3
三. 结果讨论 1. 能量量子化(习题22-3. 22-4)
n 1,2,3
边界条件 d 2 x 2m n 2 E x 0 A sin ka 0 k n 2 a dx
2 2 n 2mE 2 kn 2 2 a
A 0
0 0 B 0
n x A sin k n x A sin x a
V
n 1,2,3
2
(4) 规一化条件定A
x
d 1
x
a 0
2
dx 1
2
a
0
n A sin xdx 1 a
2
a 2 A 1 A 2 a
三. 定态基本特征 1.稳定态
(1)势场(能)不随时间变化 V V x
(2)概率不随时间变化
r , t r e
2 2 i Et
r e
i Et
*
i Et 2 r e r
2 2 kn En 2m 2ma 2
2mE k 2 n 2 2 2
2
当 n 取不同值时， En E1 ,4E1 ,9E1 ,16E1 一维无限深势阱中，粒子的能量是量子化的
(1) 基态与激发态 (2) 能级间隔
9
E1 0
E E n 1 E n
第二十二章
薛定谔方程
第一节
一.方程形式 1. 波函数
自由粒子的薛定谔方程
x, t 0 e
2
i Et px
方程
2. 证明
大学物理-薛定谔方程
1.势能
若选线性谐振子平衡位置为坐标原点和势能
零点， 则一维线性谐振子的势能可以表示为：
U( x) 1 kx2 1 m 2 x2
2
2
m — 粒子的质量 k — 谐振子劲度系数
谐振子的角频率 k
m
2. 谐振子的定态薛定谔方程
由
d2
d x2
2m 2
[E
U
(
x)]
0
和 U(x) 1 m2x2
2
“有限”要求 D = 0，
2 C ek2x
E
（E U ,是衰减解）
U (x)
U= U0
U= 0
x
Ⅰ区 0 Ⅱ区
按经典力学……粒子不可能在 Ⅱ 区出现！ 按量子力学……粒子仍有可能在Ⅱ 区出现！
若势能曲线 如图所示：
U
( x) U= U0
有一个有限 E 宽度的“势垒”。 U= 0
U= 0 x
n 所以有 o Asin a x,
n e Acos a x,
n 2,4,6, n 1,3,5,
为了求出 A，我们用波函数的归一化条件，例如
1
a / 2
a / 2 o
2
d
x
A2
a
/
2
s
in2
(
n
x)d
x
a
A2
a / 2
a
2
可得
A 2 a
于是对每一个 n 值，波函数的空间部分为
2 n
on
称为定态薛定谔方程。
对势能函数 U 与时间t 无关的定态问题， 只须解定态薛定谔方程（2）式，再乘上（1）式
即可得总波函数 (x, t )。
例.一维自由运动微观粒子的波函数。 电子枪
薛定谔方程概率解
薛定谔方程概率解薛定谔方程（Schrodinger Equation ）是量子力学的基本方程之一，描述了量子体系的演化和性质。
其中，薛定谔方程的概率解是指通过求解薛定谔方程，得到描述量子体系概率分布的波函数。
本文将介绍薛定谔方程的基本原理和求解方法，并探讨其在量子力学中的重要性。
1. 薛定谔方程简介薛定谔方程是由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出的，它是描述微观粒子（如电子、光子等）在量子力学中运动规律的基本方程。
薛定谔方程可以用数学形式表示为：iℏ∂∂tΨ(r,t )=H ̂Ψ(r,t ) 其中，Ψ(r,t )表示波函数，Ĥ为哈密顿算符，i 为虚数单位，ℏ为约化普朗克常数。
2. 波函数和概率解释波函数Ψ(r,t )是一个复数函数，它包含了关于粒子位置r 和时间t 的信息。
根据量子力学的概率解释，波函数的模平方|Ψ(r,t )|2表示在位置r 上找到粒子的概率密度。
薛定谔方程描述了波函数随时间的演化，通过求解薛定谔方程可以得到波函数在不同时间下的形式。
具体求解方法包括分离变量法、近似方法（如微扰理论）和数值计算等。
3. 薛定谔方程的概率解薛定谔方程是一个偏微分方程，求解它需要满足一定边界条件。
对于简单的体系，如自由粒子、无限深势阱等，可以通过分离变量法得到精确解。
例如，在一维无限深势阱中，波函数的形式为：Ψ(x,t )=√2L sin (nπx L)e −iE n t/ℏ 其中，L 为势阱长度，n 为量子数，E n 为能级。
对于更复杂的体系，无法直接求解薛定谔方程。
此时可以采用近似方法进行求解。
常用的近似方法包括微扰理论、变分法等。
微扰理论可以将薛定谔方程分解为一个已知的简单体系和一个较小的扰动项，从而得到近似解。
此外，数值计算也是求解薛定谔方程的重要方法。
通过离散化空间和时间，并利用数值方法（如有限差分法、有限元法等），可以求解薛定谔方程并得到波函数的数值解。
4. 薛定谔方程的应用薛定谔方程是量子力学中最基本的方程之一，它在研究微观粒子行为和描述量子体系性质中起着重要作用。
薛定谔方程求解步骤
薛定谔方程求解步骤薛定谔方程（Schrodinger Equation）是描述量子力学中粒子运动的基本方程。
它的求解可以得到粒子的能量和波函数，从而揭示出粒子在各种势场中的性质。
下面将介绍薛定谔方程的求解步骤。
1. 建立薛定谔方程薛定谔方程的一般形式为：$$ \\hat{H} \\psi = E \\psi $$其中，$\\hat{H}$ 表示哈密顿算符，$\\psi$ 是粒子的波函数，E是粒子的能量。
2. 利用哈密顿算符哈密顿算符可以根据具体情况而定，对不同的系统具有不同的形式。
例如，对自由粒子，将动能算符代入哈密顿算符中，可以得到：$$ \\hat{H} = -\\frac{{\\hbar}^2}{2m} \ abla^2 $$其中，$\\hbar$ 是约化普朗克常数，m是粒子的质量，abla2是拉普拉斯算符。
3. 将波函数代入薛定谔方程将波函数 $\\psi$ 带入薛定谔方程中，得到：$$ -\\frac{{\\hbar}^2}{2m} \ abla^2 \\psi = E \\psi $$4. 分离变量为了求解上述薛定谔方程，通常采用分离变量的方法。
假设波函数可以表示为：$$ \\psi(x, y, z) = X(x) \\cdot Y(y) \\cdot Z(z) $$将分离变量的结果代入薛定谔方程中，得到：$$ -\\frac{{\\hbar}^2}{2m} \\left (\\frac{1}{X}\\frac{{d}^2X}{{d}x^2} +\\frac{1}{Y}\\frac{{d}^2Y}{{d}y^2} + \\frac{1}{Z}\\frac{{d}^2Z}{{d}z^2} \\right ) = E $$5. 将方程化简为一系列互相独立的微分方程由于上式左侧的每一项只涉及一个独立变量，而右侧的E是常数，因此左侧和右侧的各项必须都等于同一个常数，称为分离常数。
假设该常数为k，则上述薛定谔方程可以分解为三个独立的微分方程：$$ \\frac{1}{X}\\frac{{d}^2X}{{d}x^2} = -\\frac{{2mk}}{{\\hbar}^2} \\\\\\frac{1}{Y}\\frac{{d}^2Y}{{d}y^2} = -\\frac{{2mk}}{{\\hbar}^2} \\\\\\frac{1}{Z}\\frac{{d}^2Z}{{d}z^2} = -\\frac{{2mk}}{{\\hbar}^2} $$ 解这些微分方程可以得到每个方向上的波函数和能量。
薛定谔方程名词解释
薛定谔方程名词解释薛定谔方程，又称“薛定谔等式”，是量子力学中最重要的基本方程之一。
由俄国物理学家薛定谔于1925年创立，一直是量子力学理论的基础，被称为“量子力学的常律”，也是现代量子物理学理论最重要的基础方程之一。
薛定谔方程是一个展示量子物质的发展过程的有效的数学描述式。
它是对微观客观世界的细节描述，描述客观世界的力学原理以及微观系统的运行机制，它包括了量子力学重要的基本原理，如不确定性原理，相互作用原理和简并原理等，它也是物理学家理解量子物质及其运动的基础。
薛定谔方程的最多的格式有能量与动量的关系式，二阶偏微分方程，它可以用来描述量子系统的行为，如量子对的结构以及相互作用的结果。
因此，薛定谔方程在量子物理学的研究中起着非常重要的作用。
薛定谔方程以简洁的数学模型描述了量子物质的发展历程，主要由五个特征组成：首先，量子物质属于自身不可观测的状态，即量子力学中描述的状态称为量子态；其次，量子物质在空间中的分布的发展是随机的，因此，它的行为是概率的；第三，量子物质的发展过程受到它本身和外部环境的交互影响；第四，量子物质在空间中受物理场（如实验室电场、磁场、重力场等）的影响；第五，量子物质的发展过程由多个因素构成，其结果是态对态的转化，这也是薛定谔方程最重要的特点之一。
薛定谔方程由两个重要的部分组成：等号左边是波函数，它描述了物体的状态，而等号右边代表了物体的能量，以及外部环境对物体的影响。
由此可见，薛定谔方程展示了复杂的量子系统和它们之间的相互作用，有助于我们对量子物质的本质有更深入的理解。
薛定谔方程的建立不仅为物理学研究奠定了重要的理论基础，而且在应用领域也起着至关重要的作用。
目前，薛定谔方程已经广泛应用于电子显微镜量子计算、量子通信、量子计算机等领域，其结果也可以用于激光和太赫兹技术、核聚变、太空探测等。
总之，薛定谔方程是量子物理学和量子技术研究领域中最重要的基础方程之一。
它描述了不可观测的量子物质及其相互作用的动态发展，并为我们揭示了复杂的量子系统及其相互作用的本质。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一维运动是指 在某一方向上 的运动
h2 d 2 [− + V 1 ( x )] X ( x ) = E x X ( x ) 2 2 µ dx
Î
h [− 2µ 2 h [− 2µ
2
d + V2 ( y )]Y ( y ) = E yY ( y ) 2 dy 2 d + V3 ( z )]Z ( z ) = E z Z ( z ) 2 dz
h d − ψ ( x ) = Eψ ( x ) 2 2 µ dx
或
x ∈ ( 0, a )
a a x ∈ (− , ) 2 2
11/16
2 µE ⎧ 例1无限深势阱 ⎪ψ ′′( x ) + 2 ψ ( x ) = 0, x ∈ (0, a ) h ⎨ ⎪ ⎩ψ (0) = 0, ψ (a ) = 0
2 2 2 2 h ∂ Ψ p ∂ Ψ ∂Ψ ip = EΨ = − 2 Ψ Î− = Ψ Î 2 2 2 µ ∂x h ∂x ∂x h
Î
∂Ψ h 2 ∂ 2 Ψ ih + =0 2 ∂t 2 µ ∂x
自由粒子的波函数满足二阶微分方程
h 2 ∂ 2Ψ ∂Ψ ih =− 2 µ ∂x 2 ∂t ∂2 ∂2 ∂2 ∂2 + 2+ 2 Î 一维 Î 三维： 2 2 ∂x ∂x ∂y ∂z 2 2 2 ∂ ∂ ∂ 2 ∇ = 2+ 2+ 2 记 ∂x ∂y ∂z
1 d 1 h2 d 2 ih f (t ) = [− + V ]ψ ( x ) = 2 f ( t ) dt ψ ( x ) 2 µ dx
Î
E
6/16
d − iEt / h f (t ) = e ih f ( t ) = Ef ( t ) Î dt h2 d 2 [− + V ]ψ ( x ) = Eψ ( x ) 2 2 µ dx
V ( x , y , z ) = V1 ( x ) + V2 ( y ) + V3 ( z ) E = E x + E y + E3
Î
∂2 d2X ∂ 2ψ YZ = 2 ( XYZ ) = 2 2 ∂x dx ∂x
8/16
Î Î
∂ 2ψ ∂2 d 2Y = 2 ( XYZ ) = 2 XZ 2 ∂y ∂y dy
自由粒子,其能量和动量关系为
E = p / 2µ
2
A θ
实轴
一维问题波函数
Ψ ( x , t ) = Ae
i [ ( px − Et )] h
Î
px − Et px − Et = A[cos( ) + i sin( )] h h ∂Ψ iE ∂Ψ = − Ψ Î ih = EΨ ∂t h ∂t
3/16
7/16
三维定态薛定谔方程
h2 2 [− ∇ + V ( x , y , z )]ψ ( x , y , z ) = E ψ ( x , y , z ) 2µ 2 2 2 ∂ ∂ ∂ 2 拉普拉斯算子 ∇ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z 对波函数分离变量, 设
ψ ( x , y , z ) = X ( x )Y ( y ) Z ( z )
= [− (V1 − E x ) − (V2 − E y ) − (V3 − E )]ψ ( x , y , z )
左右分别除以
XYX , ψ ( x , y , z )
9/16
1 h2 d 2 X (− ) = −V1 + E x 2 X 2 µ dx 1 h d Y (− ) = −V2 + E y 2 Y 2 µ dy 1 h2 d 2 Z (− ) = −V3 + E z 2 Z 2 µ dz
2 2
∂Ψ 1 h ∂ 2 量子力学谐振子 ih = [− + µω x ]Ψ 2 ∂t 2 µ ∂x 2
15/16
思考题与练习题
1. 解释固有值和固有函数的物理意义. 2. 求定态薛定谔方程波函数.(曾谨言教材 P.57) 2 µE ⎧ ⎪ψ ′′( x ) + 2 ψ ( x ) = 0, x ∈ ( − a / 2, a / 2) h ⎨ ⎪ ⎩ψ ( − a / 2) = 0, ψ (a / 2) = 0 3. 求初边值问题的级数解.
∂ 2ψ ∂2 d 2Z = 2 ( XYZ ) = 2 XY 2 ∂z ∂z dz
2 2 2 d d d 2 Î ∇ ψ = ( 2 + 2 + 2 ) XYZ dx dy dz 定态薛定谔方程 Î
⎡ h2 d 2 Z ⎤ ⎡ h 2 d 2Y ⎤ ⎡ h2 d 2 X ⎤ YZ ⎢ − + XY ⎢ − + XZ ⎢ − 2 ⎥ 2 ⎥ 2 ⎥ dx dy 2 µ 2 µ 2 µ dz ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
2
n=1 n=2 n=3
Î
n 2π 2 h 2 En = 2 µa 2
( n = 1, 2, 3, L )
13/16
思考:无限深势阱的另一种形式 2 µE ⎧ ⎪ψ ′′( x ) + 2 ψ ( x ) = 0, x ∈ ( − a / 2, a / 2) h ⎨ ⎪ ⎩ψ ( − a / 2) = 0, ψ (a / 2) = 0
12/16
归一化 Î Î
nπ ∫0 | Bn | sin a xdx = 1 a 1 2 nπ 2 x ]dx = 1 | Bn | ∫ [1 − cos 0 2 a 2 nπ 2 | Bn |= Î ψ n ( x ) = a sin a x
a 2 2
a
2 µE k = 2 h 2 2 n π 2µE Î = 2 2 a h
2 r h 2 ˆ ∇ + V (r ) H =− 2µ
5/16
在有外场情况下一维薛定谔方程为
∂Ψ h2 ∂ 2 ih = [− + V ( x )]Ψ 2 ∂t 2 µ ∂x
由于 V(x) 与 t 无关, 可分离变量. 设
Ψ( x, t ) = ψ ( x ) f (t )
Î
d h2 d 2 ihψ ( x ) f ( t ) = f ( t )[− + V ]ψ ( x ) 2 dt 2µ dx
∂Ψ h2 ∂ 2Ψ ih =− , (0 < x < L, t > 0) 2 ∂t 2µ ∂x Ψ(0, t ) = 0, Ψ( L, t ) = 0 Ψ( x,0) = f ( x)
16/16
记 Î
2 2 d h ˆ =− H + V ( x) 2 2 µ dx
ˆ ψ ( x ) = Eψ ( x ) ( 一维定态薛定谔方程 ) H ˆ 的固有值, ψ 是算符 H ˆ 的固有函数 E 是算符 H
一维 Î 三维
h ∂ − + V ( x) Î 2 2 µ ∂x
2
h2 2 − ∇ + V ( x, y, z) 2µ
F = − kx
Î
由于
Î谐振子
d2x µ 2 = − kx dt
记 k=
µω
2
d2x 2 + ω x=0 2 dt
x ( t ) = A cos(ωt + ϕ 0 )
dV F =− dx
取 V0 =0, 有
1 2 所以 V = ∫ kxdx = kx + V0 2 1 2 1 V = kx = µω 2 x 2 2
4/16
薛定谔提出的量子力学基本方程,建立于 1926年。 自由粒子满足的 Schrodinger 方程为
∂ h2 Ψ = − ∇ 2Ψ ih 2µ ∂t
r Ψ = Ψ(r , t )
r r = ( x, y, z )
若粒子处于势场 V(r) 中运动, 则有
r r r ∂ h2 2 ih Ψ ( r , t ) = [ − ∇ + V ( r )]Ψ ( r , t ) ∂t 2µ
10/16
2
一维定态薛定谔方程
h2 d 2 [− + V ]ψ ( x ) = Eψ ( x ) 2 2 µ dx
取特殊势函数
⎧ 0, x ∈ ( 0, a ) V ( x) = ⎨ ⎩ + ∞ , x ∉ ( 0, a )
Î 薛定谔方程
2 2
a a ⎧ 0, x ∈ ( − , ) ⎪ ⎪ 2 2 或 V ( x) = ⎨ ⎪+ ∞, x ∉ (− a , a ) ⎪ 2 2 ⎩
薛定谔方程分离变量法
Î 波函数满足的二阶微分方程 Î 定态薛定谔方程 Î 三维定态薛定谔方程分离变量法 Î 无限深势阱方程求解 Î 量子力学一维谐振子
1/16
量子力学发展史是物理学上最激动人心 的篇章之一,物理大厦在狂风暴雨下轰 然坍塌,又在熊熊烈焰中得到洗礼和重 生.革命的思潮席卷大地,带来惊骇的电 闪雷鸣,展现出震撼人心的美丽.我们看 到科学如何在荆棘和沼泽中艰难地走来. 1900年普朗克 ——量子史话 量子假说
x ∈ ( 0, a )
对自变量做平移变换
ψ n ( x) =
2 nπ sin x a a
Î
a a x ∈ (− , ) 2 2
2 nπ sin ( x + a / 2) a a
Î ψ n ( x) =
应用正弦函数和角公式展开后做分析(分奇偶性)
14/16
经典力学中质量为 µ 的质点做简谐振动所受回复力
解: 令 通解
ψ = A cos( kx ) + B sin( kx )
ψ ( 0) = 0 ψ (a ) = 0
A=0
Î Î
2 µE k = 2 h
2
ψ ′′ + k 2ψ = 0