教学设计：椭圆中的取值范围问题

椭圆中的取值范围问题

教材分析

高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》 2.2《椭圆》

椭圆是一种重要的圆锥曲线，是高考的必考内容•椭圆的定义，标准方程和几何性质是高考

重点考查的内容，本次课主要学习椭圆离心率的取值范围问题

教学目标：

1、通过实例掌握构建不等式的基本方法；

2、掌握求取值范围问题的基本解题策略；

3、培养学生计算能力，锻炼学生的意志品质.

教学重难点：构建不等式的基本方法•

计划课时：一课时

教学设想：前三个例题的选取，让学生掌握圆锥曲线中离心率的取值范围问题，构建不等式的基本方法技巧•最后一题，旨在渗透函数思想，借助函数，来寻找不等式，从而达到解题目的•教学过程：

一、典型例题，掌握方法

例1:选题意图：利用三角形中的公理构建不等式

2 2 2

设F,, F2分别是椭圆笃每1 a b 0的左、右焦点，若在直线x —上存在点P, a b c

使线段PF,的中垂线过点F2,求椭圆离心率e的取值范围.

引导学生分析：本题核心条件：条件线段PF,的中垂线过点F2，这里就涉及到图形的

几何意义：中垂线的性质的运用• PF, PF2,这是等式，但由于P的移动，是问

题的本质，所以归根到直角三角形PF2H中.

提问：直角三角形PF2H中，我们会寻找什么不等式呢？

这样就很自然利用到三角形中的公理：斜边大于直角边，从而得到（不）等式组

2

a

F, F2 PF2 F2M，即2c c,从而解出离心率

c

教师规范书写解题过程

H 同时对于例2,在学生由PF2 e,得到匹e后，引导学生再结合椭圆第一定

d PF2

义，就可以找到PF「PF2关于离心率e或a、b、c的表达式，

提问：那么再利用例1中的方法：我们又可以怎样利用三角形中的公理呢？

PF2 PF1 2c，便可求解•

提问：如果出现在双曲线的模型中，我们又该如何求解呢？

例2:选题意图：利用椭圆自身范围构建不等式

PF1 a ex0, PF2 a ex0，最终由x0的范围

b、c的不等式.

（学生演版）

例3:选题意图：利用函数关系构建不等式

2 2

已知椭圆：务£ 1 a b 0的两个焦点分别为F2,斜率为k的直线I过左焦点

a b

设F i，F2分别是椭圆

2

x

~2

a b2

1 a b 0的左、右焦点, P是椭圆上的点，且P到右

准线的距离为d，若PF2 d PF1，求椭圆离心率e的取值范围

由学生分析：利用主干条件

PF2

d

e,所以得到

PF i

PF2

2

PF2 d PF i，结合我们熟悉的椭圆第二定义,

e，根据P（x o，y o）在椭圆上，从而表示出

a,0

J14

F1且与椭圆的交点为A、B，与y轴交点为C,若B为线段CF1的中点，若k ，求

2

椭圆离心率e的取值范围.

由学生分析：找k和离心率e的等式关系.即建立k与a b、c的关系.利用直线方程，得到点C的坐标C 0,kc，从而表示FC的中点

B 二竺，将此坐标代入椭圆方程，即建立了k与a、

2 2

提

的关系，从而达到求解目的.（适当的时候教师加以引导、

（学生演版）

例4:利用构建不等式

2

X 2

已知椭圆y2 1的左顶点和上顶点分别为A、B，设C、D是椭圆上的两个不同点,

4

CD//AB,直线CD与x轴、y轴分别交于M、N两点，且MC CN,MD DN ,求

的取值范围•

教师分析：本题的范围较为隐形，但追根溯源，，的范围由直线CD的移动而

变化•这样，就找到问题突破口：将直线CD用斜截式设出，利用圆锥曲线中最常见的""得到直线CD截距m的范围，这样就建立了不等式•与此同时，圆锥曲线中很常见的“向量问题坐标化”在此得到展示.所以，由C x1,y1，D x2,y2

坐标表示，结合联立后方程根与系数的关系，最后得到，与前面所设参数m的

关系式，从而m的范围在此得到充分运用

、课堂小结，知识整合

取值范围问题的求解策略：构建不等式•

具体方法（提问学生）：

1利用三角形中的公理构建不等式

2•利用椭圆自身范围构建不等式

3.利用函数关系构建不等式

4•利用判别式""构建不等式

5.利用椭圆的参数方程构建不等式

三、课后训练，突出要点，巩固落实

2

y 1上的不同两点，点D 4,0 ,且满足DA

3

3 1

3,i ，求直线AB 的斜率的取值范围

教后反思：

求椭圆离心率的取值范围是解析几何中的一种重要题型，在各级各类的试题 中

屡见不鲜.这类问题涉及多个知识点，综合性强，方法也多种多样，解这类题的 关键是构造出关于离心率e 或a 、b 、c 的不等式（组）.本次课仅就椭圆离心率范 围的求法进行小结•

1. 利用已知条件已给的不等式；

2. 没有直接给出不等关系，就要从直接和间接条件中挖掘出来

2

① 一些特殊式子：如y 2 0，例1就可以设出点P （a ,y o ），从而利用

c

参数y o 找不等关系；

② 椭圆、双曲线上点坐标的有界性；

③ 三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；直角三角形

设A 、 2 B 是椭圆— 4