基本不等式完整版(非常全面)1整理.doc
基本不等式
2
ab(其中a>0,b>0,当且仅当a=b时等号
2. 基本不等式
从数列的角度看,a,b的算术平均数是a,b的等差中项,几何平均
数是a,b的正的等比中项,则基本不等式可表示为:a与b的正的等比
中项不大于它们的等差中项.
【做一做2】 已知ab=16,a>0,b>0,则a+b的最小值为
答案:8
C.
+
D.+
)
4. 例题学习
+
解析:∵a>0,b>0,a≠b,∴ > ,
∵a2+b2>2ab,∴
+
> ,
∴选项A,B,C中, 最小.
∴选项A,B,C中, 最小.又a+b>2 >0,∴
<1,由于
+
同乘以 ,得 + · < ,∴+ < ,∴+最小.
x
x
,所以函数f(x)的最小值是2
x−1
.由于2
x−1
x
是一个与x有关的代数式,显然
x−1
这是一个错误的答案.其原因是忽视了基本不等式中ab与a+b有一个是定值.
其实,当x>1时,有x-1>0,则函数f(x)=x+
1
x− 1
= (x−1) +
1
x−1
+1≥2 (x−1) ×
1
+1=3.由此
x− 1
看,当ab与a+b没有一个是定值时,通常要把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定
基本不等式
、柯西不等式等。
优化问题
02
在优化问题中，幂平均不等式可以用于寻找最优解或确定最优
解的范围。
统计学应用
03
在统计学中，幂平均不等式可以用于分析数据的分布和离散程
度。
24
06
排序原理与切比雪夫（ Chebyshev）不等式
2024/1/26
25
排序原理简介
2024/1/26
01
排序原理是一种基本的数学原理，用于比较和排列一组数的大 小。
2024/1/26
因式分解法
将一元二次不等式因式分解，然后利用不等式的性质进行求解。
14
一元二次不等式组解法
2024/1/26
分别求解法
分别求出每个不等式的解集，然 后取它们的交集作为不等式组的 解集。
图像法
在同一坐标系中画出每个不等式 的图像，然后找出满足所有不等 式的区域作为不等式组的解集。
15
17
算术平均值-几何平均值（AM-GM）不等式
对于所有非负实数 $a_1, a_2, ldots, a_n$，有
$frac{a_1 + a_2 + cdots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$当且仅当 $a_1 = a_2 = ldots = a_n$ 时取等号。
2024/1/26
加权平均值不等式是AM-GM不等式的推广，具有更广泛的应用范围。
19
柯西-施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式
对于任意实数 $a_1, a_2, ldots, a_n$ 和 $b_1, b_2, ldots, b_n$，有
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$(a_1^2 + a_2^2 + cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + cdots + b_n^2) geq (a_1b_1 + a_2b_2 + cdots + a_nb_n)^2$当且仅当 $a_i = kb_i (i = 1, 2, ldots, n)$ 时取等号，其中 $k$ 为常数。
不等式基本原理专题 ---(非常全面)
不等式基本原理专题 ---(非常全面)不等式基本原理专题 - 完整版概述在数学不等式中，有一些基本的原理和定理，这些定理不仅在不等式证明中起到重要的作用，而且在实际问题中也有着广泛的应用。
在本文中，将阐述几个不同的不等式基本原理，并通过相关例题进行演示。
一、加减法原理不等式加减法原理指的是，如果两个不等式关系成立，则将它们加起来或从其中一个减去另一个，得到的结果仍然是不等式关系。
例如：如果 $a>b$ 且 $c>d$，则 $a+c>b+d$如果 $a>b$ 且 $c>d$，则 $a-c>b-d$二、乘法原理不等式乘法原理指的是，如果不等式关系的两侧均为正或均为负，则将它们相乘，得到的结果仍然是不等式关系，而如果一侧为正，另一侧为负，则将它们相乘，则得到一种新的不等式关系。
例如：如果 $a>b>0$ 且 $c>d>0$，则 $ac>bd$如果 $a>b>0$ 且 $c<d<0$ 或 $a<b<0$ 且 $c>d>0$，则 $ac<bd$三、倒数性质不等式倒数性质指的是，如果 $a>b>0$，则$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$。
例如：如果 $3>2>0$，则$\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$。
四、平均值不等式平均值不等式是一个常用的不等式概念，它指的是对于一组实数 $a_1,a_2,...,a_n$，它们的算术平均值、几何平均值与调和平均值有以下关系：$\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1 a_2 ... a_n}\geq\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}$。
例如：对于一组实数 $1,2,3$，它们的算术平均值是 $2$，几何平均值是 $\sqrt[3]{6}$，调和平均值是$\frac{3}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=\frac{9}{5}$。
(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
最新基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2（2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论 （1）若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab ba +≤+≤≤+特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式（1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有 222(a a a ++⋅⋅⋅+)222)b b b ++⋅⋅⋅+(2()a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ba 112+2、已知cb a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2223、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥ 4、已知,,a b c R+∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---5、已知,,a b c R+∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 223322-≥-题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域 （1）22213x x y += （2）)4(x x y -=（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x xx y题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
基本不等式(完整版)
2b＋a≥2，ab>0； ab
a＋b 3ab≤ 2 2，a，b∈R；
当且仅当 a＝b 时 等号成立.
4a2＋b2≥
a＋b 2
2，a，b∈R
2
（5） 2 ab a b a2 b2 (a 0,b 0) .
11
2
2
ab
一、直接法
【例 1】以下结论，正确的是（ ） A．y＝x+ ≥4
B．ex+ ＞2
A. 2
B．2
C．2 2
D．4
解析：由1＋2＝ ab知 a>0，b>0，所以 ab＝1＋2≥2 2 ，即 ab≥2 2，
ab
ab
ab
1＝2，
ab 当且仅当 1＋2＝
即 a＝4 2，b＝2 4 2时取“＝”，所以 ab 的最小值为 2 ab，
2.故选 C
ab
变式 1：若实数 x、y 满足 2x+2y＝1，则 x+y 的取值范围是（ ）
证明： (a b)2 0 a2 2ab b2 0 a2 b2 2ab
推论： ab a2 b2 （ a,b R ）. 2
2、如果 a 0 ， b 0 ,则 a b 2 ab ，（当且仅当 a b 时取等号“=”）.
推论： ab
(a b )2 （ a
a2 0 ，b 0 ）；
C．x（1﹣x）≤（
）2 ＝
D．sinx+
（0＜x＜π）的最小值是 2
解：A：当 x＜0 时，不满足题意；B：
C：由基本不等式可得，x（1﹣x） 等号，故 C 符合题意； D：当 0＜x＜π时，0＜sinx≤1，则 故选：C．
＝2，不符合题意； ＝ ，当且仅当 x＝1﹣x 即 x＝ 时取
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式完整版(非常全面) 基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式1) 若 $a,b\in R$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$2) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$2、基本不等式一般形式（均值不等式）若 $a,b\in R^*$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$3、基本不等式的两个重要变形1) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$2) 若 $a,b\in R^*$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论1) 若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取“=”）2) 若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）3) 若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）4) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$5) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{1}{a^2+b^2}\leq\frac{1}{2ab}\leq \frac{1}{a+b}$特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
6、柯西不等式1) 若 $a,b,c,d\in R$，则 $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2$2) 若 $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3\in R$，则$(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2$3) 设 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 与 $b_1,b_2,\dots,b_n$ 是两组实数，则有$(a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\dots+b_n^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n)^2$二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设 $a,b$ 均为正数，证明不等式：$ab\geq\frac{1}{2}(a+b)^2$2、已知 $a,b,c$ 为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca$3、已知 $a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2\geq\frac{1}{3}$4、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$(1-a)(1-b)(1-c)\geq 8abc$5、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq\frac{9}{2(a+b+c)}$题型二：利用柯西不等式证明不等式1、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}$2、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$3、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $abc=1$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq a+b+c$4、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c$5、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}\geq a+b+c$题型三：求最值1、已知 $a,b$ 均为正数，且 $a+b=1$，求 $ab$ 的最大值和最小值。
(完整版)高中数学知识汇总——不等式.docx
必修 5第3章不等式知识汇总一、常用的不等式的基本性质：（ 1 ）a b b a （反对称性）（ 2 ）a b,b c a c （传递性）（ 3 ）a b a c b c （可加性,也叫移项法则）（ 4 ）a b,c0ac bc （不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变！）a b, c0ac bc （不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变！）a ba cb d （同向不等式相加，不等号方向不变！）（ 5 ）cda b0ac bd0 （正数同向不等式相乘，不等号方向不变！）（ 6 ）cd0（ 7 ）a b0, n N , n1a n b n0 （正数乘方法则）（ 8 ）a b0, n N , n1n a n b0 （正数开方法则）二、一元二次不等式及其解法1 、三个“二次”间的关系（以下a> 0）△= b 2 - 4ac△> 0△=0△< 0二次函数y y yy=ax 2+bx+cx0x的图象x1x20x 一元二次方程有两个不等实根x1， x2有两个相等实根b无实根ax2+bx+c= 0的根x1< x2x1= x 2=2a一元二次不等式b{x|x < x1或x> x2 }R{x|x≠}2aax2+bx+c >0的解集一元二次不等式{x|x1< x < x2 }ΦΦax2+bx+c <0的解集2 、一元二次不等式的一般解法：一看二次项的系数，二算△，三画图并据图写解集；3、含参数不等式的解法：分类讨论；4 、不等式恒成立问题的解决：即不等式解集为R；5 、高次不等式的解法：数轴标根法（也叫穿针引线法）用曲线自右往左、自上往下依次穿过，遇偶次重根穿而不过，遇奇次重根一次穿过。
三、基本不等式1 、对于任意两个正数a bab 。
a, b ，它们的算术平均数是，几何平均数是22 、基本不等式：对于任意 a 0, b 0 ，都有a b2 ab ）其中等号成立的条件是 a b 。
17种基本不等式
6
指数不等式
ax≥ay（a>0,a =1）
指数函数单调性，注意底数的取值范围
7
一次不等式
ax+b≥c
一次函数，斜率决定单调性
8
二次不等式
ax2+bx+c≥0
二次函数，根据判别式判断解集
9பைடு நூலகம்
均值不等式
2a+b ≥ab （a>0,b>0）
均值不小于几何均值
10
柯西不等式
(∑i=1n ai2 )(∑i=1n bi2 )≥(∑i=1n ai bi )2
多元变量的不等式关系
11
切比雪夫不等式
n1 ∑i=1n ai bi ≥(n1 ∑i=1n ai )(n1 ∑i=1n bi )（ai ,bi 同号）
适用于序列的加权平均与算术平均比较
12
伯努利不等式
(1+x)n≥1+nx（n≥1,x>−1）
幂函数与线性函数的比较
13
排序不等式
乱序和 ≤ 反序和 ≤ 同序和
17种基本不等式
序号
不等式名称
表达式
备注
1
绝对值不等式
$
a
2
平方不等式
a2≥b2
平方后非负，常用于消去根号或处理二次项
3
平方根不等式
a ≥b （a≥0,b≥0）
平方根函数单调递增
4
分数不等式
ba ≥dc （b>0,d>0）
分数比较时，注意分母的正负
5
对数不等式
loga x≥loga y（a>0,a =1）
适用于已排序的序列
(最新整理)基本不等式
(完整)基本不等式编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)基本不等式）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整)基本不等式的全部内容。
2a b +≤一2a b+≤（1)重要不等式222(,)a b ab a b R +≥∈一般地，对于任意实数,a b ,都有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立。
注:①取等的条件是a b =,若果,a b 不能相等，则222a b ab +≥中的等号不能成立。
②重要不等式可变形为222a b ab +≤，2()2a b ab +≤，2222()()a b a b +≥+.例：已知实数,,a b c 满足0a b c ++=,2221a b c ++=，则a 的最大值是_____。
3（2(,)2a ba b R ++≤∈ 基本不等式公式:如果0,0a b >>，那么2a b+，当且仅当a b =时，等号成立。
其中2a b+叫做正数,a b 的算术平均数叫做正数,a b 的几何平均数。
注：①基本不等式成立的条件是：0,0a b >>。
②基本不等式可变形为:a b +≥,2()2a b ab +≤. 例1 若0,0a b >>2112a b a b+≥≥≥+.例2 下列说法正确的是(）.A 函数2y x x=+的最小值为.B 函数2sin (0)sin y x x xπ=+<<的最小值为.C 函数2y x x=+的最小值为.D 函数2lg lg y x x=+的最小值为 练习1下列不等式：①12x x+≥;②12x x+≥；③若01a b <<<,log log 2a b b a +≤-，④若01a b <<<，则log log 2a b b a +≥。
最全基本不等式(一步到位)
若正数a,b满足ab a b 3,求ab的取值范围。
若正数a,b满足ab a b 3,求a b的取值范围。
正数x,y满足x+2y=1,求证 1 1 3 2 2 xy
已知a, b (0, ), 且a 基本不等式总结
(a b)2 0
a2 b2 2ab
左边构造完全平方
右边构造完全平方
(a b)2 4ab 2(a2 b2 ) (a b)2
( a b)2 ab 2
a2 b2 (a b)2
2
2
a2 b2 ( a b )2 ab
2
2
开方 (a 0,b 0)
a2 b2 a b
mn
在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函 数f(x)= 2 的图象交于P,Q两点，求线段PQ长的最小值。
x
若不等式x2 ax 1 0对一切x (0,1]恒成立，求a的最小值。
若对任意x
0,
x2
x 3x
1
a恒成立，求实数a的取值范围。
已知x 0, y 0, x, a,b, y成等差数列，x, c, d, y成等比数列，则
(a b)2 的最小值是 （ ） cd
A.0
B.1
C.2
D.4
设x, y为实数，若4x2 y2 xy 1, 求2x y的最大值。
11 (2) 8
a2 b2
设a,b, c都是正数，求证：bc ca ab a b c. ab c
已知a>b>0,求证：a2 16 16 b(a b)
求函数y x2 5 的最小值。 x2 4
求函数y sin2 x 4 的最小值。 sin2 x
基本不等式
eg2.已知：ab 0,求证 b a 2，并指明等号 ab
成立条件
扩：1)去除条件ab>0
2)ab
0,求
b a
a b
的取值范围
可运用基本不等式求代数式的取值范围
Eg3.运用基本不等式证明：周长相等的矩 形中，正方形的面积最大
二.基本不等式的应用
1.证明不等式 eg1.求证：对于a, b, c R,有a2 b2 c2 ab
三等：利用基本不等式求最值要注意等号 取到的x的取值是否在定义域内
正数是前提，定值是基础，相等是保证， 三者缺一不可
eg2.求下列各式的最值
1）x>0,求x+ 1 的最小值 2x
2）x<0,求3x+
1 x
的最大值
3)a,b R,a b=1,求a+b的取值范围
4）x>4,求x+ 1 的最小值 x-4
eg3.1）x
R,求
x2
3x 2x
2
的取值范围
2）x
R,求
x x2
的取值范围 1
2）当x 3,求 2x2 的最小值 x3
练习：1）x ，1 ,求 x2 4x 1的最大值
x1 2）x 0,求 2x2 x 1的最小值
2x 1 3) x2 2 的最小值
x2 1
eg4.已知a,b R+ ,a b 1 1)求a b的最大值 2）求 1 1的最小值
eg2.修一个一边靠墙的矩形花园，栅栏长为12米 要使得场地面积最大，求矩形的边长
eg3.两个旅客从同一地点出发，沿同一方向走 到同一个目的地，旅客甲先用一半时间以速度 a行走，再用一半时间以速度b行走；旅客乙有 一半路程以速度a行走，一半路程以速度b行走 （a b)问哪个旅客先到达目的地？
基本不等式完整版(非常全面)[整理]
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基本不等式可以指几乎所有组成分析和数学的基础。
它可以使许多不同的数学问题变
得更容易理解，因此使用它们进行计算是极其重要的。
基本不等式包括了三类不等式：大
小不等式，加法不等式和乘法不等式。
以下是一些基本的不等式定义。
1、大小不等式：大小不等式表示一个数与另一个数之间的存在或缺失的关系。
例如，如果A > B，则表示A大于B，而A ≤ B表示A小于或等于B，A ≠ B表示A与B之间存
在某种不同。
2、加法不等式：加法不等式表示两个数相加时的结果。
例如，A + B > C的意思是A
与B的和大于C，A + B ≤ C的意思是A与B的和小于或等于C，A + B = C的意思是A
与B的和等于C。
一般地，一个数与另一个数之间的关系可以用不等式来表示，但也可以用不等式来表
示多个数之间的关系：
1、省略不等式：3x + 2y = 4z，这表示3x + 2y至少等于4z的意思。
基本不等式可以用来处理大量数学问题，比如解一元不等式、求函数的极值以及进行
多元函数分析等。
它们对于熟悉数学理论和解决数学问题都极其重要。
(完整版)基本不等式及其应用
基本不等式及其应用1．ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0； (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数(1)设a ≥0，b ≥0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab .(2)基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项．4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24； (2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p .选择题：设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A ．80B ．77C ．81D ．82解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y 2≥xy ，即xy ≤(x ＋y2)2＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43 B.53 C ．2 D.54解析 由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 解析 22x ＋y ≤2x ＋2y ＝1，∴2x ＋y ≤14，即2x ＋y ≤2－2，∴x ＋y ≤－2若实数x ，y 满足xy >0，则x x ＋y ＋2yx ＋2y的最大值为( ) A ．2－ 2 B ．2＋ 2 C ．4＋2 2 D ．4－2 2 解析x x ＋y＋2y x ＋2y＝x (x ＋2y )＋2y (x ＋y )(x ＋y )(x ＋2y )＝x 2＋4xy ＋2y 2x 2＋3xy ＋2y 2＝1＋xy x 2＋3xy ＋2y 2＝1＋1x y ＋3＋2y x≤1＋13＋2＝4－22，当且仅当x y ＝2yx ，即x 2＝2y 2时取等号若函数()f x ＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，若1x ＋my (m >0)的最小值为3，则m 等于( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．4解析 由2x －3＝(12)y 得x ＋y ＝3，1x ＋m y ＝13(x ＋y )(1x ＋m y )＝13(1＋m ＋y x ＋mx y )≥13(1＋m ＋2m )，(当且仅当y x ＝mx y 时取等号)，∴13(1＋m ＋2m )＝3，解得m ＝4已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2解析 圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，∴圆心为C (0,1) ∵直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，∴a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1 ∴4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c )＝4c b ＋b c ＋5 ∵b ，c >0，∴4c b ＋bc ≥24c b ·b c ＝4，当且仅当4c b ＝b c 时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( )A.32B.53C.94D.256解析 由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4， ∴q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)a m a n ＝4a 1，∴q m ＋n －2＝16，∴2m ＋n －2＝24，∴m ＋n ＝6 ∴1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n )＝16(5＋n m ＋4m n )≥16(5＋2n m ·4m n )＝32当且仅当n m ＝4m n 时，等号成立，故1m ＋4n 的最小值等于32在等差数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，则a 5a 6的最大值是( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．36解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，∴5(a 1＋a 10)＝30，即a 1＋a 10＝a 5＋a 6＝6，∵a 5＋a 6≥2a 5a 6，∴6≥2a 5a 6，即a 5a 6≤9，当且仅当a 5＝a 6时取等号，∴a 5a 6的最大值为9若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A.2 B ．2 C ．2 2 D ．4 解析 依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b ≥22ab ＝22ab，当且仅当1a ＝2b ，即b ＝2a 时，“＝”成立．∵1a ＋2b ＝ab ，∴ab ≥22ab ，即ab ≥22，∴ab 的最小值为2 2已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析 由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 解析 ∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4ab ＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24 解析 由3a ＋1b ≥m a ＋3b ，得m ≤(a ＋3b )(3a ＋1b )＝9b a ＋ab ＋6又9b a ＋ab ＋6≥29＋6＝12，∴m ≤12，∴m 的最大值为12已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b 的最小值为( )A ．4B ．22C ．8D ．16 解析 由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，得ab ＝1，则1a ＋2b ≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b 2时等号成立已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92 D ．5 解析 依题意，得1a ＋4b ＝12(1a ＋4b )·(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ·4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4ab ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，∴⎩⎨⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，∴log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ，∴3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b ＝1. ∴a ＋b ＝(a ＋b )(4a ＋3b )＝7＋3a b ＋4ba ≥7＋23ab ·4b a ＝7＋43，当且仅当3a b ＝4b a 时取等号若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是( )A ．1B ．6C ．9D ．16解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴b ＝a a －1>0，解得a >1，同理可得b >1，∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1·9(a －1)＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立，∴最小值为6设()f x ＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A ．q ＝r ＜p B ．q ＝r ＞p C ．p ＝r ＜q D ．p ＝r ＞q 解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12＝f (ab )＝p ，故p ＝r ＜q已知函数()f x ＝x ＋px －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为( ) A ．1 B ．2 C.94 D.74 解析 由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号， ∵f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，∴2p ＋1＝4，解得p ＝94填空题：已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________解析 1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ，∴xy ≤(14)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝18时，(xy )max ＝116已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n 的最大值为________解析 ∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0，∴1m ＋1n ＝－(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≤－2－2n m ·mn＝－4，当且仅当m ＝n ＝－12时，1m ＋1n 取得最大值－4已知x <54，则()f x ＝4x －2＋14x －5的最大值为________解析 ∵x <54，∴5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x )＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________解析 y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2当且仅当(x －1)＝3(x －1)，即x ＝3＋1时，等号成立函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________解析 令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1，∴y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0；当t >0，即x >1时，y ＝1t ＋4t ＋1， ∵t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，∴y ＝1t ＋4t ＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________解析 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________ 解析 由已知得x ＝9－3y1＋y ，∵x >0，y >0，∴y <3，∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝3y 2＋91＋y＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y＝121＋y＋(3y ＋3)－6≥2121＋y ·(3y ＋3)－6＝6， 当且仅当121＋y＝3y ＋3，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6已知函数()f x ＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N ＋，()f x ≥3恒成立，则a 的取值范围是______解析 对任意x ∈N ＋，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3设g(x)＝x＋8x，x∈N＋，则g(2)＝6，g(3)＝173∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝173，∴－(x＋8x)＋3≤－83，∴a≥－83，故a的取值范围是[－83，＋∞)已知x>0，y>0，且1x＋2y＝1，则x＋y的最小值是________解析∵x>0，y>0，∴x＋y＝(x＋y)(1x＋2y)＝3＋yx＋2xy≥3＋22(当且仅当y＝2x时取等号)，∴当x＝2＋1，y＝2＋2时，(x＋y)min＝3＋2 2函数y＝1－2x－3x(x<0)的最小值为________解析∵x<0，∴y＝1－2x－3x＝1＋(－2x)＋(－3x)≥1＋2(－2x)·3－x＝1＋26，当且仅当x＝－62时取等号，故y的最小值为1＋2 6若关于x的方程9x＋(4＋a)3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是________解析分离变量得－(4＋a)＝3x＋43x≥4，得a≤－8设a＋b＝2，b>0，则12|a|＋|a|b取最小值时，a的值为________解析∵a＋b＝2，∴12|a|＋|a|b＝24|a|＋|a|b＝a＋b4|a|＋|a|b＝a4|a|＋b4|a|＋|a|b≥a4|a|＋2b4|a|×|a|b＝a4|a|＋1，当且仅当b4|a|＝|a|b时等号成立又a＋b＝2，b>0，∴当b＝－2a，a＝－2时，12|a|＋|a|b取得最小值若当x>－3时，不等式a≤x＋2x＋3恒成立，则a的取值范围是________解析设f(x)＝x＋2x＋3＝(x＋3)＋2x＋3－3，∵x>－3，所以x＋3>0，故f(x)≥2(x＋3)×2x＋3－3＝22－3，当且仅当x＝2－3时等号成立，∴a的取值范围是(－∞，22－3]若对于任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________解析 xx 2＋3x ＋1＝13＋x ＋1x ，∵x ＞0，∴x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，则13＋x ＋1x ≤13＋2＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.解答题：已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1，∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy 时，等号成立．由⎩⎨⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy ，解得⎩⎨⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020专项能力提升设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为( ) A ．4 B ．4 3 C ．9 D ．16解析 由32＋x ＋32＋y＝1得xy ＝8＋x ＋y ， ∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)， 即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，∴xy 的最小值为16设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( ) A ．0 B ．1 C.94 D ．3 解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*)则xyz ＝xyx 2－3xy ＋4y2＝1x y ＋4y x －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，∴2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1已知m >0，a 1>a 2>0，则使得m 2＋1m ≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立的x 的取值范围是( )A ．[0，2a 1]B ．[0，2a 2]C ．[0，4a 1]D ．[0，4a 2]解析 ∵m 2＋1m ＝m ＋1m ≥2(当且仅当m ＝1时等号成立)，∴要使不等式恒成立， 则2≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立，即－2≤a i x －2≤2，∴0≤a i x ≤4， ∵a 1>a 2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4a 1，0≤x ≤4a 2，即0≤x ≤4a 1，∴使不等式恒成立的x 的取值范围是[0，4a 1]已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________ 解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22， ∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)．又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号) 综上可知4≤x 2＋4y 2≤1211设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为________解析 由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，∴a ＋b ＝1，∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立点(a ，b )为第一象限内的点，且在圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8上，则ab 的最大值为________解析 由题意知a >0，b >0，且(a ＋1)2＋(b ＋1)2＝8，化简得a 2＋b 2＋2(a ＋b )＝6，则6≥2ab ＋4ab (当且仅当a ＝b 时取等号)，令t ＝ab (t >0)，则t 2＋2t －3≤0，解得0<t ≤1，则0<ab ≤1，∴ab 的最大值为1.正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________解析 ∵a ＞0，b ＞0，1a ＋9b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b ≥10＋29＝16，由题意，得16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立，而x 2－4x －2＝(x －2)2－6，∴x 2－4x －2的最小值为－6，∴－6≥－m ，即m ≥6.。
基本不等式（很全面）.（精选）
基本不等式（很全⾯）.（精选）基本不等式【知识框架】1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤2、基本不等式⼀般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则22?+≤b a ab总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最⼩值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最⼩值；4、求最值的条件：“⼀正，⼆定，三相等”5、常⽤结论（1）若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）（2）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）（3）若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤（5）若*,R b a ∈，则22b a b a ab ba +≤+≤≤+6、柯西不等式（1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++（3）设1212,,,,,,n n a a a b b 与b 是两组实数，则有22212(n a a a +++)22212)n b b b +++(21122()n n a b a b a b ≥+++【题型归纳】题型⼀：利⽤基本不等式证明不等式题⽬1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ba 112+题⽬2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222题⽬3、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥题⽬4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---题⽬5、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c---≥题⽬6、（新课标Ⅱ卷数学（理）设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.题型⼆：利⽤不等式求函数值域题⽬1、求下列函数的值域（1）22213x x y += （2）)4(x x y -=（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x xx y题型三：利⽤不等式求最值（⼀）（凑项） 1、已知2>x ，求函数424变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最⼩值；变式2：已知2242-+=x x y 的最⼤值；变式3：已知2xy x x =+-的最⼤值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最⼩值；题⽬2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最⼤值；题型四：利⽤不等式求最值（⼆）（凑系数）题⽬1、当时，求(82)y x x =-的最⼤值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最⼤值；变式2：设230<题⽬2、若02<变式：若40<题⽬3、求函数)2521(2512<<-+-=x x x y 的最⼤值；变式：求函数)4x x x y 的最⼤值；题型五：巧⽤“1”的代换求最值问题题⽬1、已知12,0,=+>b a b a ，求t a b=+11的最⼩值；变式1：已知22,0,=+>b a b a ，求t a b=+11的最⼩值；变式2：已知28,0,1x y x y>+=，求xy 的最⼩值；变式3：已知0,>y x ，且119x y+=，求x y +的最⼩值。
基本不等式(很全面)
基本不等式(很全面)基本不等式基本不等式原始形式：对于任意实数a和b，有a+b≥2ab/(a^2+b^2)。
基本不等式一般形式（均值不等式）：对于任意实数a和b，有a+b≥2ab/2.基本不等式的两个重要变形：1）对于任意实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab)。
2）对于任意实数a和b，有ab≤(a^2+b^2)/2.求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
常用结论：1）对于任意正实数x，有x+1/x≥2（当且仅当x=1时取“=”）。
2）对于任意负实数x，有x+1/x≤-2（当且仅当x=-1时取“=”）。
3）对于任意正实数a和b，有(a/b+b/a)≥2（当且仅当a=b 时取“=”）。
4）对于任意实数a和b，有ab≤(a^2+b^2)/2≤(a+b)^2/4.5）对于任意实数a和b，有1/(a+b)≤1/2√(ab)≤(1/a+1/b)/(a+b/2)。
特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”。
柯西不等式：1）对于任意实数a、b、c和d，有(a+b)(c+d)≥(ac+bd)^2.2）对于任意实数a1、a2、a3、b1、b2和b3，有(a1^2+a2^2+a3^2)(b1^2+b2^2+b3^2)≥(a1b1+a2b2+a3b3)^2.3）对于任意实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，有(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)≥(a1b1+a2b2+…+an bn)^2.题型归纳：题型一：利用基本不等式证明不等式。
题目1：设a、b均为正数，证明不等式ab≥2/(1/a+1/b)。
题目2：已知a、b、c为两两不相等的实数，求证：a/(b-c)^2+b/(c-a)^2+c/(a-b)^2≥2/(a-b+b-c+c-a)。
题目3：已知a+b+c=1，求证：a^2+b^2+c^2+9abc≥2(ab+bc+ca)。
题目4：已知a、b、c为正实数，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c。
基本不等式完整版非常全面之欧阳学创编
基本不等式专题教导一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2（2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、经常使用结论（1）若0x >，则12x x+≥ (当且仅那时1x =取“=”）（2）若0x <，则12x x+≤- (当且仅那时1x =-取“=”）（3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅那时b a =取“=”） （4）若Rb a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a ba ab+≤+≤≤+ （1）若,,,a b c d R∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+二、题型阐发题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ba 112+2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2223、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---5、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、（新课标Ⅱ卷数学（理）选修??—??：不等式选讲设,,a b c 均为正数且1a b c ++=证明??Ⅰ??13ab bc ca ++≤???????? Ⅱ??2221a b c b c a++≥ ??、（江苏卷（数学）选修??—??：不等式选讲 已知>≥b a ，求证:b a ab b a 223322-≥- 题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域（1）22213x x y +=（2）)4(x x y -=（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x xx y题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最年夜值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值； 2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最年夜值；题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数） 1、那时，求(82)y x x =-的最年夜值； 变式1：那时，求4(82)y x x =-的最年夜值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最年夜值。
(完整版)基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2（2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论 （1）若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a ba ab ba +≤+≤≤+ （1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有 222(a a a ++⋅⋅⋅+)222)b b b ++⋅⋅⋅+(2()a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ba 112+2、已知cb a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2223、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥4、已知,,a b c R+∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---5、已知,,a b c R+∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 223322-≥- 题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域 （1）22213x x y += （2）)4(x x y -=（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x xx y题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
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基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2（2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论 （1）若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab ba +≤+≤≤+特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式（1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有 222(a a a ++⋅⋅⋅+)222)b b b ++⋅⋅⋅+(2()a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ba 112+2、已知cb a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2223、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥ 4、已知,,a b c R+∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---5、已知,,a b c R+∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 223322-≥-题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域 （1）22213x x y += （2）)4(x x y -=（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x xx y题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
2、若02<<x ，求y x x =-()63的最大值；变式：若40<<x ，求)28(x x y -=的最大值；3、求函数)2521(2512<<-+-=x x x y 的最大值；（提示：平方，利用基本不等式）变式：求函数)41143(41134<<-+-=x x x y 的最大值；题型五：巧用“1”的代换求最值问题1、已知12,0,=+>b a b a ，求t a b=+11的最小值；法一：法二：变式1：已知22,0,=+>b a b a ，求t a b=+11的最小值；变式2：已知28,0,1x y x y>+=，求xy 的最小值；变式3：已知0,>y x ，且119x y+=，求x y +的最小值。
变式4：已知0,>y x ，且194x y+=，求x y +的最小值；变式5： （1）若0,>y x 且12=+y x ，求11x y+的最小值；（2）若+∈R y x b a ,,,且1=+yb x a ，求y x +的最小值；变式6：已知正项等比数列{}n a 满足：5672a a a +=，若存在两项n m a a ,，使得14a a a n m =，求nm 41+的最小值；题型六：分离换元法求最值（了解）1、求函数)1(11072-≠+++=x x x x y 的值域；变式：求函数)1(182>-+=x x x y 的值域；2、求函数522++=x x y 的最大值；（提示：换元法）变式：求函数941++=x x y 的最大值；题型七：基本不等式的综合应用1、已知1log log 22≥+b a ，求ba93+的最小值2、（2009天津）已知0,>b a ，求ab b a 211++的最小值；变式1：（2010四川）如果0>>b a ，求关于b a ,的表达式)(112b a a ab a -++的最小值；变式2：（2012湖北武汉诊断）已知，当1,0≠>a a 时，函数1)1(log +-=x y a 的图像恒过定点A ，若点A 在直线0=+-n y mx 上，求nm24+的最小值；3、已知0,>y x ，822=++xy y x ，求y x 2+最小值；变式1：已知0,>b a ，满足3++=b a ab ，求ab 范围；变式2：（2010山东）已知0,>y x ，312121=+++y x ，求xy 最大值；（提示：通分或三角换元）变式3：（2011浙江）已知0,>y x ，122=++xy y x ，求xy 最大值；4、（2013年山东（理））设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ,则当zxy取得最大值时,zy x 212-+的最大值为（ ） （ ） A ．0 B ．1 C ．49D ．3 （提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值）变式：设z y x ,,是正数，满足032=+-z y x ，求xzy 2的最小值；题型八：利用基本不等式求参数范围1、（2012沈阳检测）已知0,>y x ，且9)1)((≥++ya x y x 恒成立，求正实数a 的最小值；2、已知0>>>z y x 且zx n z y y x -≥-+-11恒成立，如果+∈N n ，求n 的最大值；（参考：4） （提示：分离参数，换元法）变式：已知0,>b a 满则241=+ba ，若cb a ≥+恒成立，求c 的取值范围；1、二维柯西不等式),,,,(时等号成立；即当且仅当bc ad dbc a Rd c b a ==∈若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+2、二维形式的柯西不等式的变式bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1(),,,,(时等号成立；即当且仅当bc ad dbc a Rd c b a ==∈bdac d c b a +≥+⋅+2222)2( ),,,,(时等号成立；即当且仅当bc ad dbc a Rd c b a ==∈ 2)())()(3(bd ac d c b a +≥++),0,,,(时等号成立；即当且仅当bc ad dbc ad c b a ==≥3、二维形式的柯西不等式的向量形式≤),,,0(等号成立时使或存在实数当且仅当→→→→==ββk a k 4、三维柯西不等式 若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++),,(332211时等号成立当且仅当b a b a b a R b a i i ==∈ 5、一般n 维柯西不等式设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有: 22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+),,(2211时等号成立当且仅当nn i i b a b a b a R b a ==∈题型分析题型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、设,,x y z R ∈，若2224x y z ++=，则z y x 22+-的最小值为 时，=),,(z y x 析：]2)2(1)[()22(2222222+-+++≤+-z y x z y x3694=⨯=∴z y x 22+-最小值为6-此时322)2(16221222-=+-+-==-=z y x ∴ 32-=x ，34=y ，34-=z2、设,,x y z R ∈，226x y z --=，求222x y z ++的最小值m ，并求此时,,x y z 之值。
Ans ：)34,32,34(),,(;4--==z y x m3、设,,x y z R ∈，332=+-z y x ，求222)1(zy x +-+之最小值为 ，此时=y （析：0)1(32332=+--⇔=+-z y x z y x ）4、（2013年湖南卷（理））已知,,,236,a b c a b c ∈++=则22249a b c ++的最小值是 (12:Ans )5、（2013年湖北卷（理））设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,23x y z ++=求z y x ++的值；6、求φθφθθcos cos sin cos 3sin 2-+ 的最大值与最小值。
（Ans ：最大值为22，最小值为 -22） 析：令→a = (2sin θ，3cos θ，- cos θ)，→b = (1，sin φ，cos φ)。