高中数学竞赛专题-函数1

【解法1】
∵ f (a) f (b) 2 f ( a b ) f ( a b )
2
2
∴ f (a) f (b) 2 f ( a b ) f ( a b )
∴ f ( b ) = f (－b )且b∈R2．
2
∴ f ( x )是R上的偶函数．
由于f ( 0 )≠0，所以f ( x )不是奇函数．
(3)＜f
(
)＜2 ,f
(4)， 即b＜c＜a．
例5.定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x都有 f(x＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有101个不同的
实数根，那么所有实数根的和为( )
A.解15：0 由已知3，20B3函. 数f(x)的C.图15象2有对D称. 轴x＝32053
2
于是这101个根的分布也关于该对称轴对称.
, 1 和 0 , 1
三 函数方程与迭代
例12.已知(3x＋y)2001＋x2001＋4x＋y＝0， 求4x＋y的值.
解：构造函数f(x)＝x2001＋x，则 f(3x＋y)＋f(x)＝0
注意到f(x)是奇函数且为R上的增函数， 所以 3x＋y＝－x
4x＋y＝0
例13解方程：ln( x2 1 ＋x)＋ln( 4x2 1＋2x)＋3x＝0
于是f(2x)＝f(x2＋1)易证：f(x)是奇函数，且是R上 的增函数， 所以：2x＝x2＋1,解得：x＝1
∴
b
xa 2
x
ຫໍສະໝຸດ Baidu
a
2
b
y 2
y
0
∴线段RS的中点是定点M（ a b ,0）．
2
即R、S两点关于定点M 对称， 而R、S是曲线y = f (x)上的动点．
∴ 函数y = f (x)的图像关于点 M（ a b ,0）对称． 2
问题:当a=0,b=0函数f(x)具有什么性质?
例2 f ( x )是奇函数，x＞0时，f ( x ) = x ·(4－3x)，
若把问题改为: f ( x )满足f ( 1+x ) = f (3- x ) ， x＞2时，f ( x ) = x ·(4－3x)，那么x＜2时求 f ( x ) 的解析式.请解答.
例3 已知函数 f ( x ) 对任意实数a，b都有
f (a) f (b) 2 f ( a b ) f ( a b )，且f（0）≠0，则f ( x )是
应选（B）．
【解法2】
∵ f (a) f (b) 2 f (a b) f (a b)
2
2
∴ f ( a ) + f (a ) = 2 f ( a )·f ( 0 )
∴ 2 f ( a )[1－f ( 0 )] = 0
∵ a∈R，f ( a )不能恒为零，
∴ f ( 0 ) = 1．
于是, f ( a )+f (－a ) = 2 f ( 0 )·f ( a ) =2 f ( a ) ∴ f (－a ) = f ( a )，a∈R ∴ f ( x )是R上的偶函数． 而f ( 0 )≠0，故f ( x )不是奇函数． 应选（B）．
6 5 4 3 2 1
-6
-4
-2
-1
2
4
-2
-3
-4
-5
-6
-7
在y轴左侧，增减的转折点是x=－2，且先减
后增，故[-2,0] 是递增区间；
在y轴右侧，增减的转折点是x = 2，且先减后 增，故[2,+∞) 是递增区间．
（2）解：令－x2 + 4x－3 > 0， 则 1＜x＜3． 令 t =－x2 + 4x－3 =－(x－2)2 + 1 ①
2x
(3)解方程：
x
2
1
4x2 1
2( x1)2
(x2 1)2 1
(2)解：原方程化为(x＋8)2001＋(x＋8)＋x2001＋x＝0 即(x＋8)2001＋(x＋8)＝(－x)2001＋(－x)
构造函数f(x)＝x2001＋x 原方程等价于f(x＋8)＝f(－x) 而由函数的单调性可知f(x)是R上的单调递增函数 于是有x＋8＝－x x＝－4为原方程的解
即每有一一对个的根两就根是关，于其x＝余31对00称个根可分为50对，
利用中点坐标公式，这2100个根的和等于
3 ×2100＝150
例6.设f(x)是R上的奇函数，且f(x＋3)＝－f(x)，当
3
0≤x≤ 时2 ，f(x)＝x，则f(2003)＝( )
A.－1 B.0 C.1 D.2003 解：f(x＋6)＝f(x＋3＋3)＝－f(x＋3)＝f(x) ∴ f(x)的周期为6 f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1
这里主要研究运用函数的概念及函数的性质 解题,函数的性质通常是指函数的定义域、值 域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对 称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不 等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相 关性质，可以使得问题得到简化，从而达到 解决问题的目的.关于函数的有关性质，这里 不再赘述，请大家参阅高中数学教材复习,这 里以例题讲解应用
一.函数的对称性
例1 函数y = f ( x ) 对任意实数x，总有 （1）f (a－x) = f ( b + x )，这里a，
b是常数，问函数的图像有什么性质， 证明你的结论；
（2）f (a－x) =－f ( b + x )，这里a， b是常数，问函数的图像有什么性质， 证明你的结论．
【解（1）】 设y = f (a－x) = f ( b + x )则点P (a－x， y)，Q ( b + x， y) 都在函数y = f (x)的图像上．
∴ 在 1 , 2 上①递增，
在 2 , 3 上 ①递减．
故a＞1时，y = loga (－x2 + 4x－3) 的
减区间是 2 , 3 ； 0＜a＜1时，减区间是 1 , 2 ．
例10. 已知f ( x )=－x2 + 2x + 8， g ( x ) = f ( 2－x 2 )，求g ( x )的单调增区间．
,1
(2)x∈ (-1,0]时，函数①递增，且t∈(1,2] ， 而 t∈(1,2] 时，函数②递减， 故(-1,0] 是g ( x )的单调减区间；
(3)x∈(0,1]时,函数①递减，且t∈(1,2] ， 而 t∈(1,2],函数②也递减， 故(0,1]是g ( x )的单调增区间；
（4）x∈(1，+∞)时， 函数①递减，且t∈(－∞，1) 而t∈(－∞，1) 时，函数②递增， 故(1，+∞)是g ( x )的单调减区间． 综上知，所求g ( x )的增区间是
c = f ( arccos (－1) ) = f ( )
∵ y = f ( x+1 )是偶函数
∴ y = f ( x )的图像关于x = 1对称，
于是由y = f ( x )在(-∞,0]上递减知，
f ( x )在[2,+∞)上递增．
∵ f (－2) = f ( 4 ) 而 2＜3＜＜4
∴ ．
f
,
4 3
)
设x＜０时， f (x) a(x 2)2 4 33
∵ Q2在其上， ∴
a( 4 2)2 4 0 33 3
解之，得a = 3，
∴
x＜０时，
f (x)
3( x
2)2 3
4 3
x(3x 4)
【解法2】 设x＜0，则－x＞0 ∴ f (－x) = (－x)·(4 + 3x) ∵ f ( x )是奇函数， ∴ f (－x) = －f ( x ) ∴ x＜0时， f ( x ) =－f (－x )=x(4+3x)．
( x2 x1 )
( x2
x1
)
×1
x1 x2
x1 1 x2 1
x2 x1
x1 1 x2 1
0 x1 x2 x1 x2 x2 x1 0
x2 x1
x2
1
x1 1
x2 x1 x2 1 x1 1
x2 x1
1
x2 1 x1 1
1
例4 函数y = f ( x )在 (-∞,0] 上是减函数，而函数 y = f (x+1)是偶函数．设a f (log 1 4) ， b = f ( 3 ) ，
2
c = f (arccos (－1))．那么a，b，c的大小关系是____.
【解】 a f (log 1 4) f (2, )
2
∴ f (x1 ) > f (x2 )
x2 x2 1
x1 0 x1 1
故函数 f ( x) x 1 x 是减函数．
【解法2】
y x1 x
1
x1 x
x≥0时， x 1和 x都是增函数，
∴ x 1 x 也是增函数，
从而 y 1 是 0,上的减函数． x1 x
例8 填空
（1）函数 y x 2 4 x 1 的递增区间是______． （2）函数 y loga ( x 2 4x 3)递减区间是___．
那么x＜0时f ( x ) = _______．
Y
2
1
-2 -1 -2 -3
2
X
【解法1】x＞0时，f ( x ) = x·(4－3x)，
在其上取三点P1（0，0）、P2 (
4 3
,
0 )、
2 P3 ( 3 ,
4) 3
则它们关于原点的对称点分别是Q1 (0，0)，
4 Q2 ( 3 ,0)
,
Q3
(
2 3
问题：函数f(x)满足f(a+x) =f(b-x)且f(c+x)= f(dx)那么f(x)是不是周期函数?为什么?若是,周期是多
少?
二.函数的单调性
例7 已知函数 y x 1， 判x断该函数在区间
上的单 0调, 性，) 并说明理由．
【解法1】 设 0 x1 x2 ．
f (x1 ) f (x2 ) x1 1 x1 x2 1 x2
(3)两边取以2为底的对数得
log 2
2x x2 1
4x2 1 (x 1)2 (x2 1)2 1
即log 2 (2x 4x2 1) log 2 (x2 1 (x2 1)2 1) x2 2x 1 即log 2 (2x 4x2 1) 2x log 2 (x2 1 (x2 1)2 1) (x2 1) 构造函数f (x) log 2 (x x2 1) x
2
2
（A）奇函数非偶函数
（B）偶函数非奇函数
（C）是奇函数也是偶函数
（D）既非奇函数也非偶函数
【讲解】
由
f (a)
f (b)
2
a f(
b )
f ( a b ) ，自然联想
2
2
到
cosa cos b
2
a
cos(
b
)
a
cos(
b
)
．
2
2
即y=cosx肯定是符合题意的一个函数． 自然就选（B）． 但要把本题改为解答题，又该如何？怎样用好已 知的等式？
①
y =－t 2 +2t + 8
②
函数②的增、减转折点是 t = 1，把 t = 1 代入①，得
x1=－1，x2=1，又①的增、减转折点是 x3 = 0， 于是三个关节点把数轴分成四个区间：
,1 ， 1, 0 ， 0 , 1 ， 1 ,
(1)x∈(-∞,-1] 时,函数①递增,且t≤1,而t ∈ (-∞, 1] 时,函数②也递增，故(-∞,-1] 是所求的一个单调增区 间；
( y
1) 3
2004( y
1)
1
求x+y的值；
2. 已知 x, y [ , ],a R，
44
且
x3 sin x 2a 0 4 y3 sin y cos y a 0
求cos(x+2y)
3.⑴解方程解方程x+log2(2x-31)=5 (2)解方程:(x＋8)2001＋x2001＋2x＋8＝0
解：构造函数f(x)＝ln( x2 1＋x)＋x 则由已知得：f(x)＋f(2x)＝0 不难知，f(x)为奇函数，且在R上是增函数(证明略) 所以f(x)＝－f(2x)＝f(－2x) 由函数的单调性，得x＝－2x 所以原方程的解为x＝0
练习.1.设x,y是实数，且满足，
(x 1)3 2004(x 1) 1
∵
(a x) (b x) a b
2
2
且P、Q两点纵坐标相等，
∴ PQ垂直直线 x a b ，且被其平分，
2
∴ P、Q 两点关于直线x
ab 2
对称
而P、Q又是曲线y = f (x)上的动点，
∴ 函数y = f (x)的图像关于直线
x a b 对称．
2
【解（2）】设 y= f (a－x)=－f (b + x ) 则点R (a－ x，y)，S ( b+x，－y)都在函数y = f (x) 的图像上．
【讲解】很明显这是一个复合函数的单调性问题，所以 应“分层剥离”为两个函数
t=－x2+2 ① y = f ( t ) =－t 2 + 2t + 8 ②
【解题思路】
x∈某区间A ① t∈某区间B
①在A上的增减性 ②在B上的增减性
g ( x )在A上的 单调性
关键是A的端点如何确定？
【解】设t =－x2 + 2