平面力系的平衡方程

FBx 17.5kN
对整体图 解得
F
ix
0 FAx F FBx 0
FAx 7.5kN
已知: DC=CE=CA=CB=2l, R=2r=l, 45, P, 各构件自重不计。
求: A,E支座处约束力及BD杆受力。
解: 取整体,画受力图。
M
E
0
ix
5 FA 2 2l P l 0 2
75kN P 350kN 3
P3=180kN时：
A
M 0 Fiy 0
4P 2P 14P2 4FB 0 3 1
FA FB P P2 P3 0 1
解得：FA=210kN， FB=870kN
已知： OA=R，AB= l, F , 不计自重与摩擦, 系统在图示位置平衡;
求： 力系的合力FR , 合力与OA的交点到点O的距离x， 及合力作用线方程。
解：
（1）向O点简化， 求主矢和主矩。
ACB arctan
' FRx Fix F1 F2 cos 232.9kN
' FRy Fiy P P2 F sin 670.1kN 1
M
A
0 MA M F 1 l F cos 60 l F sin 60 3l 0
解得： FAx 316.4kN FAy 300kN
MA 1188kN m
已知： P 700kN, P2 200kN, 尺寸如图； 1 求：（1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3；
FBy 77.5kN
iy
F
解得
0 FAy FBy 2 P P P2 0 1
FAy 72.5kN
解：取吊车梁,画受力图.
M
解得
D
0
8FE' 4P 2P2 0 1
FE' 12.5kN
取右边刚架,画受力图. M C 0 6FBy 10FBx 4P FE 0 解得
第 三 章 力系的平衡条件与平衡方程
§3-1 平面任意力系的平衡条件 和平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件是：FR 0 Mo 0
因为
( Fx ) 2 ( Fy ) 2 FR
Fx 0 Fy 0 M o 0
M O M O ( Fi )
求： 支座A、B处的约束力。
解：取AB梁，画受力图。
Fx 0 FAx 0 解得 FAx 0
M
解得
A
0 FB 4a M P 2a q 2a a 0
3 1 FB P qa 4 2
Fy 0
P 3 FAy q 2a P FB 0 FAy qa 4 2
三矩式
A, B, C
三个取矩点，不得共线
§3-2
平面平行力系的平衡方程
0 0 0 0 Fx 0 反例力偶 F1 F2 F3 0 Fy 0 Fx 0 F1 cos F2 cos F3 cos 0
Fy 0
F
F 解得： r F tan 200 3.64 P 1
解：
F
ix
iy
0 FBx Fr 0
FBx 3,64 P 1
F
0 FBy P P2 F 0
FBy 32P 1
取轮I，画受力图。
Fix 0 F
解得
iy
FAx Fr' 0
解得 FAx 3.64P 1
解： 取起重机，画受力图。
Fx 0
FAx FB 0
Fy 0
FAy P P2 0 1
M
A
0
FB 5 1.5 P 3.5 P2 0 1
FB 31kN
解得 FAy 50kN
FAx 31kN
已知： P, q, a, M pa;
解：取AB梁，画受力图。
Fx 0 FAx FC cos45 0 Fy 0 FAx FC sin 45 P 0
M
A
0 FC cos45 l P 2l 0
解得：FC 28.28kN, FAx 20kN, FAy 10kN
已知：P 10kN, P2 40kN, 1 求： 轴承A、B处的约束力。
（2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。
解：取起重机，画受力图。
F 满载时： A 0, 为不安全状况
M
B
0 P3min 8 2 P 10 P2 0 1
解得
P3min=75kN
解：
空载时： FB 0, 不安全
M
(2)
A
0 4P3max-2P1=0 F3max=350kN
取轮,画受力图：
F
ix
0
Fox FA sin 0
Fox
FR l 2 R2
F
0 Foy FA cos 0 Foy F iy
o
M
0 FA cos R M 0 M FR
§3-3
物体系的平衡· 静定和超静定问题
已知: F=20kN, q=10kN/m, M 20kN m, L=1m; 求: A,B处的约束力.
Fy 0 M A 0 M A 0 M B 0
F1 sin F2 sin F3 sin 0
平面平行力系的方程为两个，有两种形式
各力不得与投影轴垂直
A, B 两点连线不得与各力平行
P 已知： 1 450kN, P2 200kN, F1 300kN, F2 70kN;
求:
力偶矩M 的大小，轴承O处 的约束力，连杆AB受力，冲 头给导轨的侧压力。 取冲头B,画受力图. Fiy 0 F FB cos 0
解:
F
ix
0 FN FB sin 0
FN F tan FR l 2 R2
F Fl 解得： FB cos l 2 R2
' ' M o M o FR x FRy y FRx x FRy y FRx

即 2355 x 670.1 y 232.9 有： 607.1x 232.9 y 2355 0
已知： AC=CB=l, P=10kN;求： 铰链A和DC杆受力。
所以有：
平面任意力系平衡方程的三种形式
一般式
Fx 0 Fy 0 M 0 A
二矩式
Fx 0 M A 0 A, B 两点连线，不得与投影轴垂直 M 0 B M A 0 M B 0 M 0 C
M
A
0
M A M 2ql 2l FB sin 600 3l F cos 300 4l 0
解得： FAx 32.89kN
FAy 2.32kN
M A 10.37kN
已知：轮重P1,P2=2P1，R=2r， 20; 求:物C 匀速上升时，作用于轮Ⅱ上 的力偶矩M；轴承A，B处的约束力。 解: 取塔轮及重物C,画受力图. M B 0 Pr F R 0 Pr 10 P 解得：F 1 R Fr 由 tan 20
主矩
M o M o F 3F1 1.5P 3.9P2 2355kN m 1

（2）、求合力及其作用线位置。
Mo 2355 d 3.3197m ' FR 709.4
d x 3.514m 0 0 cos 90 70.84
（3）、求合力作用线方程
AB 16.7 AC
F 大小
' R
F
' R
' R
F
' R
F 方向 cos F , i F
F F
2 ix iy
ix ' R
2
709.4kN
0.3283 cos F , j
' R
' பைடு நூலகம்R， 70.84 i



F
F
' R
iy
0.9446
解得
FDB
3 2 (拉) P 8
已知： P 100kN, M 20kN m,
q 20 kN m ,
l 1m; F 400kN,
求：固定端A处约束力。 解：取T型刚架，画受力图。
1 其中 F1 q 3l 30kN 2
Fx 0 FAx F1 F sin 60 0
0

Fy 0 FAy P F cos 60 0
0
FAy F' P 0 1
FAy 9P 1
M F' r 0
MA 0
解得
M 10 P r 1
已知: P=60kN, P1=20kN, P2=10kN, 风载F=10kN,尺寸如图;
求:
解:
A,B处的约束力。
取整体,画受力图。
A
M
解得
0
12 FBy 10 P 6 P 4 P2 2 P 5F 0 1
解: 取CD梁,画受力图.
M
c
0
l FB sin 60 l ql F cos 30 2l 0 2
解得： FB=45.77kN
取整体,画受力图.
F F
ix
0
FAx FB cos 600 F sin 300 0
iy
0
FAy FB sin 600 2ql F cos 300 0
F
0
FEx FA cos 450 0
FEy P FA sin 450 0
F
iy
0
5 2 解得： A F P 8
5 FEx P 8
13 FEy P 8
取 DCE 杆,画受力图.
M
C
0
FDB cos 450 2l FK l FEx 2l 0