种群增长的Gompertz模型

种群增长的Gompertz 模型

摘要 本文根据题目要求，在渔场鱼量的自然生长服从种族增长规律Gompertz 模型的情况下，建立捕捞情况下渔场产量模型。根据模型，对渔场鱼量的平衡点及其稳定性进行讨论，并且在稳定的前提下，使用图解法讨论如何控制捕捞使持续产量达到最大。最后，对模型的优缺点进行了讨论。

关键词：Gompertz 模型 稳定性模型 图解法

正文

1 问题复述

已知某渔场鱼量的自然生长服从种族增长规律Gompertz 模型：().ln N x t rx x

=，其中r 是固有增长率，N 是环境容许的最大鱼量。并且单位时间捕捞量为h Ex =，其中比例常数E 表示单位时间捕捞率，又称捕捞强度。现要求：

（1）建立在捕捞情况下渔场鱼量的数学模型，讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性；

（2）在鱼量稳定的前提下，求最大持续产量m h 及获得最大产量的捕捞强度m E 和

渔场鱼量水平*0x 。

2 模型假设

（1）捕捞过程视为连续性过程；

（2）忽略种群间的相互作用及环境突变对渔场鱼量变造成的影响。

3 符号说明

()x t 表示时刻t 时渔场中的鱼量；

()0,1i x i =表示渔场鱼量平衡点；

*0x 表示获得最大持续产量的渔场鱼量水平；

r 表示种群的固有增长率；

N 表示环境容许的最大鱼量；

()f x 表示单位时间渔场鱼量的增长量；

()h x 表示单位时间的捕捞量；

m h 表示单位时间的最大持续产量；

()F x 表示在捕捞情况下渔场的鱼量；

()'F x 表示()F x 的导数；

E 表示单位时间捕捞率，即捕捞强度；

m E 表示获得最大持续产量时的捕捞强度；

4 模型建立

（1）在无捕捞条件下，()x t 的增长服从Gompertz 规律，即

()().ln N x t f x rx x

== ① （2）单位时间的捕捞量（即产量）()h x 与渔场鱼量()x t 成正比，比例系数为E ，于是单位时间的捕捞量为

()h x Ex = ②

（3）由①式与②式可以得到捕捞情况下渔场鱼量满足的方程

()().ln N x t F x rx Ex x

==- ③

5 模型求解

5.1 渔场鱼量平衡点及其稳定性讨论

根据上面得到的在捕捞情况下渔场的鱼量()F x 所满足的方程③式，令

()ln

0N F x rx Ex x =-= 得到两个平衡点

01,0E r N

x x e == ④

由于()'ln N F x r r E x

=--，因此有()'00F x r =-<，故0x 点稳定（与E ，r 的大小无关）；同时，可证1x 点不稳定。

5.2 渔场鱼量稳定前提下持续产量最大问题的讨论

根据①，②式作曲线()y f x =和直线()y h x Ex ==，如图1所示。由于稳定点0x 与E ，r 的大小无关，因此应用图解法，由图1可知，当y Ex =与()y f x =在顶点*P 相交时可获得最大持续产量，此时的稳定平衡点为

*01N N

x e = ⑤

且单位时间的最大持续产量为

1m N r

h e = ⑥

由④易算出获得最大产量的捕捞强度为

m r E N

= ⑦

图1 最大持续产量的图解法

根据⑦式可知，将捕捞强度控制在固有增长率r 与环境容许的最大鱼量N 的比值时，能够获得最大持续产量。

6模型优缺点分析及改进方向

根据上述模型所建立的捕捞情况下渔场产量模型，可以很好的解决如何控制捕捞使持续产量达到最大的问题。然而，建模过程中，简化了许多因素，因而与实际情况有偏差。要想建立更好的产量模型，必须综合多方面因素，根据实际情况建立模型。