dq坐标变换数学原理

2. 三相--两相变换（3/2变换）
现在先考虑上述的第一种坐标变换 ——在三相静止绕组A、B、C和两相静
止绕组、 之间的变换，或称三相静止
坐标系和两相静止坐标系间的变换，简 称 3/2 变换。
• 三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量
为方便起见，取 A 轴
和 轴重合。设三相绕组
每相有效匝数为N3，两相 绕组每相有效匝数为N2， 各相磁动势为有效匝数与 电流的乘积，其空间矢量 均位于有关相的坐标轴上。 由于交流磁动势的大小随 时间在变化着，图中磁动 势矢量的长度是随意的。
把这个旋转磁动势的大小和转速也控制成与 图 a 和图 b 中的磁动势一样，那么这套旋转的直 流绕组也就和前面两套固定的交流绕组都等效了。 当观察者也站到铁心上和绕组一起旋转时，在他 看来，d 和 q 是两个通以直流而相互垂直的静止 绕组。
如果控制磁通的位置在 d 轴上，就和直流电 机物理模型没有本质上的区别了。这时，绕组d 相当于励磁绕组，q 相当于伪静止的电枢绕组。
id iq
csoinsc sionsiiβ αC2s/2riiβ α
但 、 轴是静止的， 轴与 M 轴的夹角 随时间而变化，因此 is 在 、 轴上的分量的长
短也随时间变化，相当于绕组交流磁动势的瞬时 值。由图可见， i、 i 和 id、iq 之间存在下列 关系
idiαcosiβsin
iqiβcosiαsin
• 两相旋转—两相静止坐标系的变换矩阵
写成矩阵形式，得
• 主磁通的方向沿着与之垂直的 d 轴；直流电机
的主磁通基本上唯一地由励磁绕组的励磁电流决定， 这是直流电机的数学模型及其控制系统比较简单的根 本原因。
• 交流电机的物理模型
如果能将交流电机的物理模型等效地变换成类 似直流电机的模式，分析和控制就可以大大简化。 坐标变换正是按照这条思路进行的。
众所周知，交流电机三相对称的静止绕组 A 、 B 、C ，通以三相平衡的正弦电流时，所产生的合成 磁动势是旋转磁动势F，它在空间呈正弦分布，以同
1 2 3
2
1223iiiACB
（3-37）
• 三相—两相坐标系的变换矩阵
令 C3/2 表示从三相坐标系变换到两相坐标系的 变换矩阵，则
C3/ 2
2 1
3 0
1 2 3
2
1 23 2
（3-38）
如果三相绕组是Y形联结不带零线，
则有 iA + iB + iC = 0，或 iC = iA iB 。 代入式（3-37）得
有意思的是：就图c 的 M、T 两个绕组而 言，当观察者站在地面看上去，它们是与三 相交流绕组等效的旋转直流绕组；如果跳到 旋转着的铁心上看，它们就的的确确是一个 直流电机模型了。这样，通过坐标系的变换， 可以找到与交流三相绕组等效的直流电机模 型。
现在的问题是，如何求出iA、iB 、iC 与 i、i 和 im、it 之间准确的等效关系，这就是 坐标变换的任务。
在这里，不同电机模型彼此等效的原则 是：在不同坐标下所产生的磁动势完全一致。
（2）等效的两相交流电机绕组
两相静止绕组 和 ，它
们在空间互差90°，通以时间 上互差90°的两相平衡交流电 流，也产生旋转磁动势 F 。
当两个旋转磁动势大小和 转速都相等时，即认为图b的 两相绕组与图a的三相绕组等 效。
图中，两相交流电流 i、i 和两个直流电流 id、
iq 产生同样的以同步转速1旋转的合成磁动势
Fs 。由于各绕组匝数都相等，可以消去磁动势
中的匝数，直接用电流表示，例如 Fs 可以直接 标成 is 。
d，q轴和矢量 Fs（ is ）都以转速 1 旋转，
分量 id、iq的长短不变，相当于d，q绕组的直流 磁动势。
步转速 1 （即电流的角频率）顺着 A-B-C 的相序
旋转。
（1）交流电机绕组的等效物理模型
B iB
B
iC
C
C
F ω1
A
iA A
图a 三相交流绕组
• 旋转磁动势的产生
然而，旋转磁动势并不一定非要三相不 可，除单相以外，二相、三相、四相等任意 对称的多相绕组，通以平衡的多相电流，都 能产生旋转磁动势，当然以两相最为简单。
B
பைடு நூலகம்
N3iB
60o 60o
N2i
N2iβ
N3iC C
N3iA A
设磁动势波形是正弦分布的，当三相总磁动势与
二相总磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势在 、 轴上的投影都应相等，
N 2 i α N 3 i A N 3 i B c6 o N 0 3 i s C c6 o N 0 3 s ( i A 1 2 i B 1 2 i C )
3.2 坐标变换和动态数学模型的简化
上节中虽已推导出异步电机的动态数 学模型，但是，要分析和求解这组非线性 方程显然是十分困难的。在实际应用中必 须设法予以简化，简化的基本方法是坐标 变换。
一、 坐标变换的基本思路
直流电机的数学模型比较简单： • 虽然电枢本身是旋转的，但其绕组通过换向器电 刷接到端接板上，因此，电枢磁动势的轴线始终被电 刷限定在 q 轴位置上，其效果好象一个在 q 轴上静止 的绕组一样。
ω1 F i
i
图B 两相交流绕组
（3）旋转的直流绕组与等效直流电机模型
F
1
q d
it M
T
im
图c 旋转的直流绕组
再看图c中的两个匝数相等且互相垂直的绕 组 d 和 q，其中分别通以直流电流 id 和iq，产 生合成磁动势 F ，其位置相对于绕组来说是固 定的。
如果让包含两个绕组在内的整个铁心以同步 转速旋转，则磁动势 F 自然也随之旋转起来， 成为旋转磁动势。
N 2 iβ N 3 iB s6 in 0 N 3 iC s6 in 02 3 N 3 ( iB iC )
写成矩阵形式，得
i iβα
N3 N2
1 0
1 2 3
2
1223iiiACB
考虑变换前后总功率不变，在此前提下，可以证 明，匝数比应为
N3 2 N2 3
得
i
iβα
21 30
3
i
α
iβ
2 1
2
0 2
iA iB
按照所采用的条件，电流变换阵也就是电压 变换阵，同时还可证明，它们也是磁链的变换阵。
3. 两相—两相旋转变换（2s/2r变换）
从两相静止坐 标系到两相旋转坐 标系 d、q 变换称 作两相—两相旋转 变换，简称 2s/2r 变换，其中 s 表示 静止，r 表示旋转。