北师大版必修一第四章函数应用第一节《4.1.1利用函数性质判定方程解的存在》教学设计

《§4.1.1利用函数性质判定方程解的存在》教学设计--现代信息技术与中学数学教学有效整合案例

江西省东乡县实验中学黄树华乐建平

一、教材分析

本节课内容选自经全国中小学教材审定委员会 2004 年初审通过的普通高中课程标准试验教科书，北师大版数学必修1第四章《函数的应用》第1单元“函数与方程”的第1节内容《利用函数性质判定方程解的存在》。

函数与方程的关系，是“整体”与“局部”的关系，是“动”与“静”的相互补充。用函数的观点研究方程，本质上是在整体中研究局部问题，在动态的过程中研究静态的结果，为今后进一步学习函数与不等式等其它知识奠定了坚实的基础。

二、学情分析

学生已经对一次函数、二次函数的图像与性质有了深刻的理解，在此基础上学习了指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质，学生能够运用计算机绘制它们的图像；通过本节课的学习，学生理解一元二次方程的实数解就是对应二次函数的图像与 x 轴交点的横坐标；在现代多媒体技术的辅助教学下，学生的学习兴趣得到进一步提高。

三、教学目标分析

（一）知识与能力目标

1.熟练掌握二次函数的图象，了解函数零点的概念及其与方程的根的联系；

2、掌握函数零点存在的判定条件，会判断一元二次方程根的个数；

（二）过程与方法目标

让学生经历计算机绘制函数图像、分析零点存在性的过程，培养学生的探究意识；

（三）情感态度与价值观目标

1、通过对一般函数图像的分析，渗透由“形”到“数”，由特殊到一般的数学思想，体会研究和解决问题过程中的一般思维方法；

2、培养学生对事物的观察、归纳和探究能力。

四、教学重、难点

教学重点：根据具体函数的图像研究函数与方程的关系。

教学难点：函数零点存在性的判断及其个数的确定。

五、教学方法和手段

问题教学法、多媒体辅助教学（演示文稿、几何画板）；

六、教学过程设计

（一）创设问题情境，

引入课题

问题 1：不解方程能否

求出方程 x2-2x-3=0 的根?

（幻灯片1）

学生探究：利用函数图

像及试值法，转化为求函数

f（x）= x2-2x-3 与 x 轴交点的横坐标。

教师点拨：利用几何画板作出函数 f（x）=x2-2x-3 的图像（如图a），突出显示（闪烁）函数图像与 x 轴的交点，提示学生观察交点的特征（几何特征）。

点评：在上述方程求解过程中，由函数图像可知，函数 f（x）= x2-2x-3 图像与 x 轴交点的纵坐标为 0，即交点横坐标使函数 f（x）= x2-2x-3 值为 0，因此交点横坐标就是方程x2-2x-3=0 的实数根，从而求得方程的解（我们称方程 x2-2x-3=0 的实数根为函数 f（x）= x2-2x-3 的零点--引入课题）。

（二）交流互动，探究新知

从初中到高中，我们已研究了函数与方程，那么这两者之间有什么关系呢？

1、函数零点探究

问题 2：下列每组题目中的两个问题，其结果是否相同？

（1）①求一元二次方程x2-x-6=0 的解。

②作出二次函数 y= x2-x-6=0的图像，并求出图像与 x 轴的交点的横坐标。

（2）①方程 x2+x+1=0 有没有实数解？有几个解？

②二次函数 y=x2+x+1 的图像与 x 轴有没有交点？有几个交点？（幻灯片2显示，留时间给学生思考，继而师生共同探究）解答：（1）①用因式分解法，由原方程可得（x-3）（x+2）=0，故一元二次方程x2-x-6=0 有两个不相等的解，分别为 x1=3，x2=-2。

（也可用一元二次方程的求根公式和配方法等求解）

②作出二次函数简图（如图b），确定抛物线与 x 轴交点的横坐标为 x1=3，x2=-2.（教师可引

导学生根据函数图像进行观

察、归纳）

∴（1）中的①和②两个问

题的结果相同。

（2）①∵△=b2-4ac=12-4

×1×1=-3＜0，

∴方程 x2+x+1=0没有实数解。

②作出二次函数简图（如

下图c），抛物线与 x 轴没有交点。

∴（2）中的①和②两个问题的

结果相同.

点评：由上可知，一元二次方

程ax2+bx+c=0（a≠0）的实数根就

是二次函数 y= ax2+bx+c（a≠0）

的函数值 y=0 时自变量 x 的值，

也就是二次函数图象与 x 轴的交

点的横坐标。由于方程的实数根就

是函数值 y=0 时自变量 x 的值，

所以我们也把这个实数根称为对

应的函数的零点。这个关系还可以推广到更一般的方程与函数的情形。

（1）函数零点概念：一般地，函数 y=f（x）的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。即函数f（x）的零点就是方程 f （x）= 0 的实数根。（幻灯片3，师生共同观察、分析、归纳，投影逐条显示）：

关于函数零点的几点认识：

①函数的零点并不是点，不是以坐标的形式出现。如函数y= x2-x-6的零点分别为 x1=3，x2=-2，而不是（3，0）和（-2，0）；

②函数零点的意义：函数f（x）的零点就是方程 f（x）= 0 的实数根，即函数 y=f（x）的图像与x轴的交点的横坐标；

③方程 f（x）= 0 有实数根⇔函数 y=f（x）的图像与x轴有交点⇔函数f（x）有零点；

④函数零点的求法：求方程 f（x）= 0 的实数根（代数法）；作函数 y=f（x）的图像，利用函数图像、性质寻求图像与x轴的交点的横坐标（几何法）；

至此，当 a＞0

时，方程 ax2+bx+c=0

的根与二次函数

y=a x2+bx+c 的图象

之间的关系如图d（幻灯片4）：

思考：当二次函数 y=a x2+bx+c（a＜0）时，是否也有类似的结