北师大版必修一第四章函数应用第一节《4.1.1利用函数性质判定方程解的存在》教学设计

《§4.1.1利用函数性质判定方程解的存在》教学设计--现代信息技术与中学数学教学有效整合案例
江西省东乡县实验中学黄树华乐建平
一、教材分析
本节课内容选自经全国中小学教材审定委员会 2004 年初审通过的普通高中课程标准试验教科书，北师大版数学必修1第四章《函数的应用》第1单元“函数与方程”的第1节内容《利用函数性质判定方程解的存在》。

函数与方程的关系，是“整体”与“局部”的关系，是“动”与“静”的相互补充。

用函数的观点研究方程，本质上是在整体中研究局部问题，在动态的过程中研究静态的结果，为今后进一步学习函数与不等式等其它知识奠定了坚实的基础。

二、学情分析
学生已经对一次函数、二次函数的图像与性质有了深刻的理解，在此基础上学习了指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质，学生能够运用计算机绘制它们的图像；通过本节课的学习，学生理解一元二次方程的实数解就是对应二次函数的图像与 x 轴交点的横坐标；在现代多媒体技术的辅助教学下，学生的学习兴趣得到进一步提高。

三、教学目标分析
（一）知识与能力目标
1.熟练掌握二次函数的图象，了解函数零点的概念及其与方程的根的联系；
2、掌握函数零点存在的判定条件，会判断一元二次方程根的个数；
（二）过程与方法目标
让学生经历计算机绘制函数图像、分析零点存在性的过程，培养学生的探究意识；
（三）情感态度与价值观目标
1、通过对一般函数图像的分析，渗透由“形”到“数”，由特殊到一般的数学思想，体会研究和解决问题过程中的一般思维方法；
2、培养学生对事物的观察、归纳和探究能力。

四、教学重、难点
教学重点：根据具体函数的图像研究函数与方程的关系。

教学难点：函数零点存在性的判断及其个数的确定。

五、教学方法和手段
问题教学法、多媒体辅助教学（演示文稿、几何画板）；
六、教学过程设计
（一）创设问题情境，
引入课题
问题 1：不解方程能否
求出方程 x2-2x-3=0 的根?
（幻灯片1）
学生探究：利用函数图
像及试值法，转化为求函数
f（x）= x2-2x-3 与 x 轴交点的横坐标。

教师点拨：利用几何画板作出函数 f（x）=x2-2x-3 的图像（如图a），突出显示（闪烁）函数图像与 x 轴的交点，提示学生观察交点的特征（几何特征）。

点评：在上述方程求解过程中，由函数图像可知，函数 f（x）= x2-2x-3 图像与 x 轴交点的纵坐标为 0，即交点横坐标使函数 f（x）= x2-2x-3 值为 0，因此交点横坐标就是方程x2-2x-3=0 的实数根，从而求得方程的解（我们称方程 x2-2x-3=0 的实数根为函数 f（x）= x2-2x-3 的零点--引入课题）。

（二）交流互动，探究新知
从初中到高中，我们已研究了函数与方程，那么这两者之间有什么关系呢？
1、函数零点探究
问题 2：下列每组题目中的两个问题，其结果是否相同？
（1）①求一元二次方程x2-x-6=0 的解。

②作出二次函数 y= x2-x-6=0的图像，并求出图像与 x 轴的交点的横坐标。

（2）①方程 x2+x+1=0 有没有实数解？有几个解？
②二次函数 y=x2+x+1 的图像与 x 轴有没有交点？有几个交点？（幻灯片2显示，留时间给学生思考，继而师生共同探究）解答：（1）①用因式分解法，由原方程可得（x-3）（x+2）=0，故一元二次方程x2-x-6=0 有两个不相等的解，分别为 x1=3，x2=-2。

（也可用一元二次方程的求根公式和配方法等求解）
②作出二次函数简图（如图b），确定抛物线与 x 轴交点的横坐标为 x1=3，x2=-2.（教师可引
导学生根据函数图像进行观
察、归纳）
∴（1）中的①和②两个问
题的结果相同。

（2）①∵△=b2-4ac=12-4
×1×1=-3＜0，
∴方程 x2+x+1=0没有实数解。

②作出二次函数简图（如
下图c），抛物线与 x 轴没有交点。

∴（2）中的①和②两个问题的
结果相同.
点评：由上可知，一元二次方
程ax2+bx+c=0（a≠0）的实数根就
是二次函数 y= ax2+bx+c（a≠0）
的函数值 y=0 时自变量 x 的值，
也就是二次函数图象与 x 轴的交
点的横坐标。

由于方程的实数根就
是函数值 y=0 时自变量 x 的值，
所以我们也把这个实数根称为对
应的函数的零点。

这个关系还可以推广到更一般的方程与函数的情形。

（1）函数零点概念：一般地，函数 y=f（x）的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。

即函数f（x）的零点就是方程 f （x）= 0 的实数根。

（幻灯片3，师生共同观察、分析、归纳，投影逐条显示）：
关于函数零点的几点认识：
①函数的零点并不是点，不是以坐标的形式出现。

如函数y= x2-x-6的零点分别为 x1=3，x2=-2，而不是（3，0）和（-2，0）；
②函数零点的意义：函数f（x）的零点就是方程 f（x）= 0 的实数根，即函数 y=f（x）的图像与x轴的交点的横坐标；
③方程 f（x）= 0 有实数根⇔函数 y=f（x）的图像与x轴有交点⇔函数f（x）有零点；
④函数零点的求法：求方程 f（x）= 0 的实数根（代数法）；作函数 y=f（x）的图像，利用函数图像、性质寻求图像与x轴的交点的横坐标（几何法）；
至此，当 a＞0
时，方程 ax2+bx+c=0
的根与二次函数
y=a x2+bx+c 的图象
之间的关系如图d（幻灯片4）：
思考：当二次函数 y=a x2+bx+c（a＜0）时，是否也有类似的结
论？请同学们作出类似上表的表格。

点评：判断一个一元二次方程有没有实数根以及根的个数问题，可转化为讨论对应的二次函数的图象与 x 轴的交点个数问题，同样，判断抛物线与 x 轴的交点及个数问题，也可转化为讨论对应的一元二次方程的实数解及个数问题。

2、函数零点存在定理的探究
问题 3：观察下面的函数图像（图d），回答：①该函数有无零点，有几个？②你能说出该函数零点
所在的大致范围吗？③该函数零
点两侧附近的函数值有什么共同
规律吗？（题干和函数图像先行显
示，问题稍后逐一显示，幻灯片5）
学生探究：①函数有两个零
点；②两个零点的大致范围分别为
（0，2），（2，3）；③零点两侧附
近的函数值异号（如：f（0）＞0 而
f（2）＜0；f（2）＜0 而 f（3）＞0）。

最后归纳结论（幻灯片6）结论：一般地，若函数 y=f（x）在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，且 f（a）·f（b）<0，则函数 y=f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即方程f(x)=0在（a，b）内至少有一个实数解；
注意：1.这里所说“若f(a)·f(b)<0，则在区间（a,b)内函数y= f(x)至少有一个零点”指出了函数y= f(x)零点的存在性，并不
能判断具体有多少个零点；
2.若f(a)·f(b)<0，且函数y=f(x)在（a，b）内是单调的，则方程f(x)=0在（a，b）内有唯一实数解；
3.我们所研究的大部分函数，其图像都是连续的曲线；
4.此结论反过来不成立，如：函数y=f(x)在[-2，4]中有根，但f(-2)>0, f(4)> 0，f(-2)·f(4)>0；
5.缺少条件在[a,b]上是连续曲线则不成立，如：f(x)=1/ x，有f(-1)·f(1)<0但没有零点。

（三）巩固深化，拓展思维
例1.已知f(x)=3x-x2 ,问方程f(x)=0在区间[-1,0]内没有实数解?为什么? （幻灯片7）
解：f(x)=3x-x2的图像是连续曲线, ∵f(-1)=3-1-(-1)2=-2/3<0, f(0)=30-(0)2 =-1>0,∴f(-1)·f(0)<0，∴函数f(x)在区间[-1,0]内有零点,即f(x)=0在区间[-1,0]内有实数解；
例2.判定(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解，且有一个大于５，一个小于２。

（幻灯片7）
解：考虑函数f(x)=(x-2)(x-5)-1，有f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1， f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1，又因为f(x)的图像是开口向上的抛物线，所以抛物线与横轴在（５，＋∞）内有一个交点，在（-∞，2)内也有一个交点，所以方程式(x-2)(x-5)=1有两个相异实数解，且一个大于５，一个小于２。

（四）归纳小结，整体认识（幻灯片8）
1.函数与方程的关系：
函数f （x ）的零点就是方程 f （x ）= 0 的实数根，即函数 y=f （x ）的图像与x 轴的交点的横坐标；
2.判断函数)(y x f =的零点的方法：
（1）解方程0)(=x f 根据方程解的情况得出函数的零点；
（2）当无法解方程0)(=x f 时，利用函数零点的定义进行判定；
（3）利用函数图像判断函数的零点.
3.函数零点的性质：
从“数”的角度看：函数零点是使0)(=x f 的实数；
从“形”的角度看：函数零点是函数)(x f 的图像与x 轴交点的横坐标；
若函数)(x f 的图像在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变
号零点；
若函数)(x f 的图像在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号
零点.
（五）布置作业（幻灯片9）
完成下面2道题：
拓展练习1：函数f(x)=lnx+2x-6 有没有零点？
拓展练习2：关于x 的方程2x 2-3x+2m=0有两个实根均在[-1，1]内，求m 的取值范围。

八、分析与评价
高中数学课程应该是学生在自主探索、动手实践、合作交流等学
习数学的方式下，师生、生生之间进行愉快而有效的多边互动。

考虑到学生的知识水平和理解能力，本节课的设计思想以多媒体教学平台为依托，借助多媒体的帮助，为学生构建一个数学图形的世界，营造一个探究学习的环境，让师生一起进行数学实验，经历回顾旧知、探求新知、发现规律，解决问题、总结规律的全过程。

在多媒体辅助教学的授课中，容易让课堂失败的因素之一就是课堂容量太多，并且在一定程度上削弱了教师的板书，这样往往会使学生没有足够的思考时间，导致满堂灌。

本节课教学过程中，教师灵活运用几何画板和演示文稿，动态展示函数的图形，在恰当的时机把握了教学节奏，给学生留足了主动思考的时间；在用演示文稿的过程中，也很注意节奏的控制，归纳总结时，正确引导学生的思维过程，逐条显示归纳点，吸引学生的注意力，提高了课堂效率。

本节课很好地调动了学生渴望借助几何画板软件作图的愿望，提高了学生的学习兴趣，较成功地实现了教学目的。

对于函数零点概念的教学，本节课并没有按照“直接给出概念、反复辨别或训练以求理解概念”的传统模式，而是先通过问题1引入课题，再通过问题2归纳出函数零点的概念。

教学中，教师时刻关注着学生的知识形成过程，激发学生学习概念的兴趣；注意引导学生自主概括新知识特征进而形成概念，自觉应用概念去解决问题。

波利亚指出“学习最好的途径是自己去发现”，这一点在本节课的设计中有了很好地体现。