平面向量的分解

故①不正确，②③正确．
2． 在△ABC 中，向量 AB 与 BC 的夹角是∠B 对吗？
提示：不对，是π－B.
概念理解
1．平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一 向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且 分解是唯一的． 2．平面向量基本定理中，实数 λ1，λ2 的唯一性是相对于基 底 e1，e2 而言的，平面内任意两个不共线的向量都可作为基底， 一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的． 3．基底必须具备两个特征：①基底是两个不共线的向量； ②基底的选择不是唯一的．
穷多个，这些向量都是相等向量．
4．向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？
提示：不发生变化。向量确定以后，它的坐标
就被唯一确定，所以向量在平移前后，其坐标不
变．
例题讲解
[例 1] 已知边长为 1 的正方形 ABCD 中，AB 与 x 轴正
半轴成 30° 角．求点 B 和点 D 的坐标和 AB 与 AD 的坐标．
解析：(1)∵2a与a的方向一致，－b与b的方向相反， ∴2a与－b的夹角和a与b的夹角互补， 即2a与－b的夹角等于120° .
3 (2)∵－a与a的方向相反，－ b与b的方向相反， 2 3 ∴－a，－ b的夹角与a，b的夹角相等， 2 3 即－a与－ b的夹角为60° . 2
例题讲解
[例 2] 如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、DC
2 3
2 3
1 3
2 3
例题讲解
[例 3] 证明：三角形的三条中线交于一点．
解： 如图所示， 设 AD、 BE、 CF 分别为△ABC 的三条中线， 令 AB ＝a， AC ＝b.则有 BC ＝b－a AG 2 设 G 在 AD 上，且AD＝ ，则有 AD ＝ AB 3 1 ＋ BD ＝a＋ (b－a) 2 1 ＝ (a＋b)． 2 1 BE ＝ AE － AB ＝ b－a 2
解析：如图所示，延长AC到D，使AC＝CD， 则 AC ＝ CD ，∠BCD是 AC 与 CB 的夹角．由于 ∠BCD＋∠ACB＝180° ， ∠ACB＝60° ，则∠BCD＝180° －60° ＝120° ， 即θ＝120° .
答案：120°
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2．已知向量a与b的夹角等于60° ，求下列夹角． 3 (1)2a与－b；(2)－a与－ b. 2
1 1 1 1 解： AD ＝ AB ＋ BD ＝ AB ＋ BC ＝a＋ (b－a)＝ a＋ b； 2 2 2 2 1 1 2 1 AE ＝ AB ＋ BE ＝ AB ＋ BC ＝a＋ (b－a)＝ a＋ b； 3 3 3 3
AF ＝ AB ＋ BF ＝ AB ＋ BC ＝a＋ (b－a)＝ a＋ b.
解: 由题知 B、D 分别是 30° ，120° 角的终边与单位圆
的交点． 设 B(x1，y1)，D(x2，y2)． 由三角函数的定义，得 3 1 x1＝cos 30° ＝ ，y1＝sin 30° ＝ ， 2 2
量，那么对于这一平面内的 任意 向量a，有且只有一对
实数λ、u，使a＝ λe1＋ue2 .
(2)基底： 不共线 的向量e1，e2叫做表示这一平面
内 所有 向量的一组基底.
分析思考
1. 如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，判断下列说法是 否正确． ①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ) 有无穷多个；
1 1 分别交于 M,N，若 AM h AB, AN k AC, 求证： h k 3
2.3.2-3 平面向量的 正交分解及坐标运算
新课讲解
1．平面向量的正交分解 把一个向量分解成两个 互相垂直 的向量，叫做把向量正 交分解． 2．平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示： 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位 向量 i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量 基本定理知，有且只有一对实数x，y使得a＝ xi＋yj ，则把有 序数对 (x，y) 叫做向量a的坐标．记作 a＝(x，y)，此式叫做 向量的坐标表示． (2)在直角坐标平面中，i＝ (1,0) ，j＝ (0,1) ，0＝ (0,0) ．
3．平面向量的坐标运算 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2， y1＋y2) ，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ．即两个向 量和(差)的坐标分别等于这两个向量 相应坐标 的 和 (差 ) 实数与向 量的积 向量的 坐标
向量的
加、减法
若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝
边上的中点．若 AB ＝a， AD ＝b，试以 a、b 为基底表示 DE 、
BF .
解: ∵四边形 ABCD 是平行四边形， E、F 分别是 BC、DC 边上的中点， ∴ AD ＝ BC ＝2 BE ， CD ＝ BA ＝2 CF ， 1 1 ∴ BE ＝ AD ＝ b， 2 2 1 1 1 1 CF ＝ CD ＝ BA ＝－ AB ＝－ a. 2 2 2 2 ∴ DE ＝ DA ＋ AB ＋ BE ＝－ AD ＋ AB ＋ BE 1 1 ＝－b＋a＋ b＝a－ b， 2 2 1 BF ＝ BC ＋ CF ＝ AD ＋ CF ＝b－ a. 2
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实
数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)； ④若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
解：由平面向量基本定理可知，①④是正确的；
②不正确，由平面向量基本定理可知，一旦一个 平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实
证明：因为 D，E 分别为 AB，AC 的中点， 所以 AD ＝ AB ， AE ＝ AC ， 1 1 所以 DE ＝ AE － AD ＝ ( AC － AB )＝ BC . 2 2 而 D，E 不重合，所以 DE // 1 BC. 2 1 2 1 2
2．如图所示，在△ABC 中，点 M 是 AB 1 的中点，且 AN ＝ NC ，BN 与 CM 相交 2 于 E，设 AB ＝a， AC ＝b，试用基底 a，b 表示向量 AE .
跟踪练习
1．如图，平行四边形 ABCD 中， AB ＝a，
AD ＝b，M
是 DC 的中点，以 a，b 为基底表示向量 AM
＝________.
解析： AM ＝ AD ＋ DM ＝ AD ＋ DC ＝
AD ＋ AB ＝b＋ a.
1 2
1 答案：b＋ a 2
1 2
1 2
2．已知△ABC 中，D 为 BC 的中点，E，F 为 BC 的三等分点，若 AB ＝a， AC ＝ b，用 a，b 表示 AD ， AE ， AF .
例题讲解
[例1] 已知|a|＝|b|＝2，且a与b夹角为60° ，则a＋b与a的夹
角是________，a－b与b的夹角是________．
解：如图所示，作 OA ＝a， OB ＝b， 且∠AOB＝60° . 以 OA，OB 为邻边作▱OACB， 则 OC ＝ OA ＋ OB ＝a＋b，
BA ＝ OA － OB ＝a－b.
∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，∴3e1－4e2和6e1－8e2
不能作为平面的基底．
答案：B
二、平面向量的夹角 问题1：两条直线存在夹角，那么两个向量也有
夹角吗？
提示：有． 问题2：两条直线在什么情况下互相垂直？ 提示：所成的角为90°时．
两向量的夹角与垂直 (1) 夹角：已知两个非零向量 a和b，作 OA ＝a， OB ＝b， 则 ∠AOB ＝θ叫做向量a与b的夹角． ①范围：向量a与b的夹角的范围是
与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？
根据是什么？
提示：可以，根据是数乘向量和平行四边形法则．
问题4：如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，
e2表示？为什么？
提示：不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能 表示．
一、平面向量基本定理
(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个 不共线 向
(λx，λy) ，即实数
与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的 相应坐标 已知向量
AB 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，
则 AB ＝ (x2－x1，y2－y1) ，即向量的坐标等于表 示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐
分析思考
1．与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？
提示：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x,0)；
数对是唯一的；
③不正确，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1 ＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．
2．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列
四组向量中，不能作为基底的是(
A．e1＋e2和e1－e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2
)
B．3e1－4e2和6e1－8e2 D．e1和e1＋e2
解析：∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，
2.3
平面向量的基本定理
2.3.1 平面向量的 基本定理
新课讲解
问题1：在物理中，我们学习了力的分解，即
一个力可以分解为两个不同方向的力，试想平面内
的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和？
提示：可以． 问题2：如图，以a为平行四边形的一条对角线 作平行四边形，四边形确定吗？ 提示：不确定．
问题3：如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么
∵|a|＝|b|＝2，
∴△OAB是等边三角形． ∴四边形OACB是菱形． ∴ OC 与 OA 的夹角为30° ， BA 与 OB 的夹角为120° ， 即a＋b与a的夹角为30° ，a－b与b的夹角为120° .
[答案]
30°
120°
跟踪练习
1．在Rt△ABC中，∠ABC＝90° ，∠ACB＝60° ，则 AC 与 CB 的 夹角θ＝________.
与y
轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y)．
2．已知向量 OM ＝(－1，－2)，M点的坐标与OM
的坐标有什么关系？
提示：坐标相同但写法不同； OM ＝(－1，－2)， 而M(－1，－2)．
3．在基底确定的条件下，给定一个向量．它的坐
标是唯一的一对实数，给定一对实数，它表示的向
量是否唯一？
提示：不唯一，以这对实数为坐标的向量有无
2 BG AG AB ∴ ＝ － ＝ BD － AB 3 1 1 2 ＝ (a＋b)－a＝ b－ a 3 3 3 21 2 ＝ ( b－a)＝ BE 32 3 ∴G 在 BE 上． 同理可证 CG ＝ CF ，即 G 在 CF 上． 3 故 AD、BE、CF 三线交于同一点． 2
跟踪练习
1．如图所示，在△ABC 中，D、E 分别是 边 AB、AC 的中点， 求证：DE // 1 BC. 2
0°≤θ≤180°
.
②当θ＝0° 时，a与b 同向 ． ③当θ＝180° 时，a与b 反向 ． (2)垂直：如果a与b的夹角是 90° ，则称a与b垂直，记作 a⊥b.
分析思考
1．关于平面向量的基底，下面三种说法正确吗？ ①一个平面内有且只有一对不共线的向量可以作为表示该 平面所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平面 所有向量的基底； ③基底中的向量一定不是零向量． 提示：平面内任何不共线的两个向量都可以作为一组基底，
1 解：设 ME ＝λ MC ＝λ(b－ a) 2 1 1 则 BE ＝ ME － MB ＝λb－ λa－ a. 2 2 1 又 BN ＝ AN － AB ＝ b－a，且 BN 与 BE 共线． 3
∴存在 μ 使 BE ＝μ BN . 1 1 1 即 λb－ λa－ a＝ μb－μa. 2 2 3 1 1 1 ∴(μ－ λ－ )a＋(λ－ μ)b＝0. 2 2 3 ∵在△ABC 中，a 与 b 不共线， 1 1 μ－2λ－2＝0， ∴ λ－1μ＝0， 3 1 1 ∴ ME ＝ b－ a， 5 10 1 1 1 2 1 AE ＝ AM ＋ ME ＝5b－10a＋2a＝5a＋5b. 1 λ＝5， 解得 μ＝3. 5
思考： 若三点 A,B,P 共线， 且 OA a ，OB b ， 如何用 a, b 表 示 OP ? ，系数有何关系？ 本例中如何用向量法来判断 E 为 CM，BN 的几等分点？ （1）请探索以上结论，并证明三角形的重心定理； （2） 若三角形 ABC 的重心为 G， 过 G 作直线 l 与边 AB,AC