高数下期末考试复习题及答案

a0 =
5分
f ( x) =
h 2 ∞ sin nh + ∑ cos nx, x ∈ [0, h) ∪ (h, π ) π π n =1 n h 2 ∞ sin nh 1 + ∑ cos nx 收敛于 。 π π n =1 n 2
8分
当 x = h 时，级数
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∑1
2
3分 8分
= 0 − ∫∫ ( x 2 − y )dxdy = −
D
h 1 1 2π π ( x 2 + y 2 )dxdy = − ∫ dθ ∫ r 3 dr = − h 4 。 ∫∫ 0 2 D 2 0 4
2、 （本小题 8 分）试求级数 ∑
∞ ∞ ∞
n 的和。 n n =1 3 x 1 )′ = 1− x (1 − x ) 2
Fy′ ′ F′ cΦ 1 cΦ ′2 ∂z ∂z =− x = ， =− = ， ′ + bΦ ′2 ′ + bΦ ′2 ∂x Fz′ aΦ 1 ∂y Fz′ aΦ 1
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a
′ acΦ 1 bcΦ ′2 ∂z ∂z +b = + = c。 ′ + bΦ ′2 aΦ 1 ′ + bΦ ′2 ∂x ∂y aΦ 1
C
0
4分
π
0
π
0
= 18 13 ∫ 2 (t sin t cos t )dt = 18 13 ∫ 2
t sin 2tdt 2
6分
t 1 = 18 13[− cos 2t + sin 2t ] 4 8
π 2 0
=
9 13 π 。 4
8分
五、解答下列各题（本大题共 3 小题，共 24 分） 1、 （本小题 8 分）求 ∫∫ ( y 2 − z )dydz + ( z 2 − x)dzdx + ( x 2 − y )dxdy ，其中 ∑ 为锥面
0
1
π 。 6
8分
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3、 （本小题 8 分） 计算 I = ∫ xyzds ，其中 C 的方程为 x = 2t , y = 3 sin t , z = 3 cos t ,0 ≤ t ≤
C π
π 。 2
答： I = ∫ xyzds = ∫ 2 (18t sin t cos t ) 4 + 9 dt
∑
z = x 2 + y 2 (0 ≤ z ≤ h) 的下侧。
解：补平面 Σ1 : z = h 的上侧，则 ∫∫ ( y 2 − z )dydz + ( z 2 − x)dzdx + ( x 2 − y )dxdy
∑
=
∫∫ ( y
Σ + Σ1
2
− z )dydz + ( z − x)dzdx + ( x 2 − y )dxdy − ∫∫ ( x 2 − y )dxdy
23x − 32 y + 26 z − 17 = 0 。
7分
2、 （本小题 7 分）设 z = z ( x, y ) 由方程 Φ(cx − az, cy − bz ) = 0 确定，其中 Φ(u, v) 具有连续偏导数，证明 a ∂z ∂z +b = c。 ∂x ∂y
证明：令 F ( x, y, z ) = Φ(cx − az, cy − bz ) ，则 ′ (cx − az , cy − bz ) ， Fy′ ( x, y, z ) = cΦ ′2 (cx − az , cy − bz ) ， Fx′ ( x, y, z ) = cΦ 1 ′ (cx − az , cy − bz ) − bΦ ′2 (cx − az , cy − bz ) Fz′( x, y, z ) = −aΦ 1 3分 5分
2分
n 平行于直线的方向向量 S = {3,−6,2} ,
3 3 27 , 代入曲面方程，得 x = − , y = , z = 4 4 16
2x 4 y − 1 = = 3 −6 2 ⎛ 3 3 27 ⎞ 点 ⎜− , , ⎟ ⎝ 4 4 16 ⎠ 6分
3 3 27 y− z− 4 = 4 = 16 。 法线方程： 3 −6 2 四、解答下列各题（本大题共 3 小题，共 23 分） 1、 （本小题 7 分）
x+
7分
计算 ∫∫ ( y 2 + 3 x − 6 y + 9)dσ ，其中 D 是闭区域: x 2 + y 2 ≤ R 2 。
D
解：利用对称性，并设 x = r cosθ , y = r sin θ ，则
∫∫ ( y
D
2
+ 3 x − 6 y + 9)dσ = ∫∫ ( y 2 + 9)dσ =
D
1 ( y 2 + x 2 )dσ + 9 ∫∫ dσ ∫∫ 2 D D
5分 7分
=
R 1 2π π d θ r 3 dr + 9π R 2 = R 4 + 9π R 2 。 ∫ ∫ 0 0 2 4
2、 （本小题 8 分）设Ω是由 z = x 2 + y 2 及 z = 1 所围的有界闭区域，试计算
Σ Σ1
C
） 。 (B) (D)
∫∫ ydS = 4∫∫ xdS ；
Σ Σ1
(C)
∫∫ zdS = 4∫∫ xdS ；
Σ Σ1
∫∫ xyzdS = 4∫∫ xyzdS 。
Σ Σ1
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3、 用格林公式计算 ∫ (− x 2 y )dx + xy 2 dy =（ B
C
） ， 其中 C 为圆周 x 2 + y 2 = R 2 ，
1 1 2 sin 2θ (B) 2 ϕ ′′(θ) + ϕ ′′(θ) ； ϕ ′ ( θ) ； 2 r r r2 1 2 sin 2θ 1 (C) 2 ϕ ′′(θ) − ϕ ′(θ) ； (D) ϕ ′′( θ) 。 2 r r r
2、设曲面 Σ 是上半球面： x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ( z ≥ 0) ，曲面 Σ1 是曲面 Σ 在第一卦 限中的部分，则有（ (A) ∫∫ xdS = 4∫∫ xdS ；
0 1 1
y
f ( x, y )dx 交换积分次序后为
。 答：
∫
1 0
dx ∫
x
0
2
f ( x, y )dy 。
( x − 1) n 的收敛域 n 。
∞
4、幂级数 ∑ (−1) n −1
n =1
答： (0,2] 。 二、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括 号中，本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分） 1、设 u = f ( x , y ) 在极坐标： x = r cosθ , y = r sin θ 下不依赖于 r ，即 u = ϕ (θ ) ， 其中 ϕ (θ ) 有二阶连续导数，则 (A) ∂2u ∂2u =（ A + ∂x 2 ∂y 2 ） 。
其方向为逆时针方向。 ( A) −
π R4 ； 2
∞
( B)
π R4 ； 2
(C ) π R 4；
( D)
2π R 3 。 3
4、级数
(− 1)n ⎜ 1 − cos ⎟ ∑ n⎠ ⎝ n
=1
⎛
α⎞
（常数 α > 0 ） （
C
） 。
（A）发散； （B）条件收敛； （C）绝对收敛； （D）敛散性与 α 有关。 三、解答下列各题（本大题共 3 小题，共 21 分） 1、 （本小题 7 分）求过平面 4 x − y + 3z − 1 = 0 和 x + 5 y − z + 2 = 0 的交线且过点
∫∫∫
Ω
x 2 + y 2 dV 。
解：令 x = r cosθ , y = r sin θ , z = z ，则 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ r ≤ 1, r ≤ z ≤ 1 ， 3 分
∫∫∫
Ω
x 2 + y 2 dV = ∫
2π 0
dθ ∫ dr ∫ r 2 dz = ∫
0
1
1
2π 0
r
dθ ∫ (1 − r )r 2 dr =
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2 π 2 h 2h f ( x ) dx = dx = ，当 n ≥ 1 ∫ ∫ 0 0 π π π 2 π 2 h 21 2 sin nh h a n = ∫ f ( x) cos nxdx = ∫ cos nxdx = sin nx 0 = π 0 π 0 π n π n
5分
∞
解： ∑ nx n −1 = ∑ ( x n ) ′ = (∑ x n ) ′ = (
n =1 n =1 n =1
n 1 ∞ n 1 9 3 = ∑ n −1 = ⋅ = 。 ∑ n 3 n =1 3 3 4 4 n =1 3
∞
8分
⎧1 , 0 ≤ x ≤ h 3、 （本小题 8 分） 将函数 f ( x) = ⎨ 展开成余弦级数 。 ⎩0 , h < x ≤ π 解：对 f ( x) 进行偶延拓，延拓为周期是 2π 的偶函数，则 bn = 0 (n = 1,2, ⋯)
P(1,1,1) 的平面方程。
解：做过平面 4 x − y + 3z − 1 = 0 和 x + 5 y − z + 2 = 0 的交线的平面束
4 x − y + 3z − 1 + λ( x + 5 y − z + 2) = 0 ，
5 4分 将 P(1,1,1) 代入平面束，解得 λ = − ， 7 5 所求平面为 4 x − y + 3z − 1 − ( x + 5 y − z + 2) = 0 ，化简得 7
一、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分） 1、极限 lim
x →0 y →0
y sin 2 x = xy + 1 − 1
。
答：4。 2、若函数 z = 2 x 2 + 2 y 2 + 3xy + ax + by + c 在点 ( −2,3) 处取得极小值－3，则常 数 a , b, c 之积 abc = ______ 。 答：30。 3、 f ( x, y ) 为连续函数，则二次积分 ∫ dy ∫
7分
3、 （本小题 7 分） 在椭圆抛物面 z = x 2 + 2 y 2 上求一点，使曲面在该点处的切平面垂直于直线
⎧2 x + y = 0 ，并写出曲面在该点处的法线方程。 ⎨ ⎩ y + 3z = 0
解：曲面上点 ( x , y , z ) 处的切平面法向量 n = {2 x ,4 y ,−1}