晶体结构

例4 已知γ-Mn属于A1型堆积，晶胞参数为 3.855Å； δ -Mn属于A2型堆积，晶胞参数为 3.075Å。 计算两种晶体的密度比为多少？
例5 Au为A1型金属，晶胞参数 a=407.825pm ，原子量 M=196.97 。计算：
(1) Au的原子半径
(2)Au的密度
3a 8r a 8r 3
Vatoms

4 r 3 8 3
32 r 3 3
Vcell

a3

(
8r )3 3

512r 3 33
Po

Vatoms Vcell

3 34.01% 16
小结: 几种典型的金属单质晶体结构
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2、金属晶体的密堆积形式与金属的原子半径
=
二、晶体的微观结构 ——点阵结构
1．如何从晶体的微观结构中抽取出点阵点 ? 选取点阵点 ——点周围环境必须完全相同 （指周围原子的种类、数目和原子分布的 方向）
2.点阵和微观结构的对应关系： 点阵结构中每个点阵点所代表的具体内容，即 所代表的原子、 分子、离子的种类、数目及空间 的排布结构，称为结构基元。 也就是说：结构基元是周期性变化的具体内容。
●正当单位（正当格子）： 在考虑对称性尽量高的前提下， 选取含点阵点尽量少的单位
正当单位可以是素单位，也可以是复单位
平面正当格子 有四种类型五种形式
正当空间格子的标准 :
空间格子净含点阵点数：
空
1. 平行六面体
顶点为1/8（因为八格共用）
间
2. 对称性尽可能高
棱心为1/4（因为四格共用）
3. 含点阵点尽可能少
面心为1/2（因为二格共用）
点
正当空间格子有 7种形状，14种型式
格子内为 1.
阵
与
正
当
空
间
格
子
14种布拉维格子之一： 立方简单（P）
2
14种布拉维格子二： 立方体心（I）
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14种布拉维格子三： 立方面心（F）
14种布拉维格子之四 : 四方简单（P）
14种布拉维格子之五 : 四方体心（I）
所有顶点原子： 0，0，0 (前)后面心原子： 0，1/2，1/2 左(右)面心原子： 1/2，0，1/2 (上)下面心原子： 1/2，1/2，0
4.晶面与晶面指标：
晶面：是由点阵点构成的一组互相平行的平面 平面的方向不同，性质也不同，用 “晶面指标”描述。
晶面指标：晶体在三个晶轴上的 倒易截数的互 质整数比。
A3A型3最:密A堆BA积B形…成的六方晶胞
请点击按钮打开晶体模型
A3最密堆积形成后 , 从中可 以划分六方晶胞 .
每个晶胞含2个原子, 组成一个结构基元. 可抽象成六方 简单格子. 六方晶胞的c轴垂直于密置层 :
c
配位数12
注意：a,b层原子所处化学环境不同
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A3 空间利用率的计算
14种布拉维格子之十： 正交底心（oC)
14种布拉维格子之十一： 正交面心（oF)
14种布拉维格子之十二：单斜简单（ mP)
14种布拉维格子之十三：单斜 底心（mC)
4
14种布拉维格子之十四： 三斜（P）
=
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你能否发明更 多的点阵型 式？
• 例如： • 四方面心、四方底心？ • 立方底心？ • 将立方面心除去相对两个面心？ • ………
空间点阵是晶体结构的数学抽象， 晶体具有点阵结构。空间点阵中 可以划分出一个个的平行六面体 一空间格子，空间格子在实际晶 体中可以切出一个个平行六面体 的实体，这些包括了实际内容的 实体，叫晶胞，即晶胞是晶体结 构中的基本重复单位。
晶
胞 两
（1）晶胞的大小和形状：由晶胞参数确定
要
素 (2)晶胞中各原子的位置 : 用原子的分数
Vatoms

4 r3 2 3
8 r3 3
Vcell (abc) (a b) c S h 8 2r 3
S | a || b | sin 60 (2r)(2r) 3 2 3r 2 2
h 2r 3 2 2 8 3r 4 2r
2
从逆向思维你已明白， 立方面心晶胞确实满足 ABCABC…… 堆积。
那么, 再把思路正过来 : ABCABC…… 堆积形成立 方面心晶胞也容易理解吧 ?
将视线逐步移向体对角线， 沿此线观察 :
你看到的正是 ABCABC…… 堆积！
取一个立方面心晶胞：
每个晶胞中含 4个圆球 可抽出立方面心点阵
含4个点阵点
14种布拉维格子之六： 六方（H)
黑色与灰白色点 都是点阵点 .黑点 与蓝线表示一个
正当格子
为什么六方格子选左图而不选右图
14种布拉维格子之七： 三方(R)
abc
120 90
3
14种布拉维格子之八： 正交简单（oP)
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14种布拉维格子之九： 正交体心（oI)
坐标表示。 晶胞两要素
晶胞的大小和形状：由晶胞参数确定
晶胞参数: a、b、c α、β、γ
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（2）晶胞中各原子的位置： 用原子的分数坐标表示
晶胞中原子P 的位置用向量OP=xa+yb+zc代表. x、y、 z就是分数坐标，它们永远不会大于 1.
立方面心晶胞净含 4个原子，所以写出 4组坐标即可:
只是相对而言, 故称第二层为B层; 3. 第三层叠加到第二层 B上时，只可能是 C或A层; 4. 无论叠加多少层，最多只有 A、B、C三种, 最少有A、B两种(因为
相邻层不会同名 ); 5. 若以后各层均按此方式循环 , 每三层重复一次，或每两层重复一
次，就只会产生两种结构：
A1型: ABCABC…
配位数12
（4个）结构基元：一个圆球
A1 空间利用率的计算
2a 4r a 4r 2 2r 2
Vatoms

4 r 3 3
4

16 r 3 3
Vcell a 3 16 2r 3
Po
Vatoms Vcell

32
74.05%
这是等径圆球密堆积所能达到的 最高利用率，所以 A1堆积是最密堆积 .
7.2 金属晶体
一、晶体结构的密堆积原理
由于金属键、离子键、范德华力等 没有方向性和饱 和性，所以在金属晶体，离子晶体，和一些分子型晶体 中，组成晶体的微粒总是趋向于相互 配位数高，空间利 用率大的紧密堆积结构。
● 空间利用率：单位体积中圆球所 占体积的百分数
空间利用率＝ V球 100％ V晶胞
●配位数：一个圆球周围的圆球数目
ABCABC…
垂直于密置层观察 (俯视图)
平行于密置层观察 (侧视图)
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A1最密堆积形成立方面心 (cF)晶胞
ABCABC……堆积怎么会形成立方面心晶胞 ? 请来个逆向思维 :
取一个立方面心晶胞：
点击动画按钮 ,用播放键分步观察
体对角线垂直方向就是密置层 , 将它们设成 3种色彩 :
由于密堆积方式充分利用空间，从而使体系的势能尽可能降 低，结构稳定。
二、金属晶体的等径圆球密堆积
1、等径圆球的密堆积
等径圆球以最密集的方式排成一列（密置列），进 而并置成一层（密置层），再叠成两层（密置双层）， 都只有一种方式：
（说明：本章金属单质晶体的球堆积图上，球都是 同种原子，色彩只用来区别不同的密置层或不同环境）
2. 格子
• 对平面点阵按选择的向量，用两组互不平行的平 行线组（过点阵点，等间距），把平面点阵划分 成一个个的平行四边形，可得到平面格子。
四边形顶点上 的阵点，每个单位 的贡献为1/4
四边形边上的 阵点，对每个单位 的贡献为1/2
四边形内的阵 点，对每个单位的 贡献为1。
●素单位（素格子）： 只含一个阵点的单位 ●复单位（复格子）：含有两个或两个以上阵点的单位
石墨层的平面点阵 （红线围成正当平面格子）
为什么不能将每个 C原子都抽象成点 阵点？如果这样做，你会发现 ……
?
5
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实例： NaCl(100) 晶面如何抽象成点阵？
矩形框中内容为一个结构基元，可抽象为一个点阵点 .安 放点阵点的位置是任意的，但必须保持一致 ,这就得到点阵:
CsCl型晶体结构
第七章 晶体结构
7.1 晶体的点阵理论
一、晶体的点阵理论
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1.数学模型 -点阵和平移群
●点阵：
在无限延伸的原子或分子中抽取出化学环境完全相同 的几何点(没有大小、没有质量 ),这些点在空间排列而成的 图形称为点阵。
●点阵点 这些几何点称为点阵点。
●结构基元：点阵点所代表的重复单位的具体内容
红、绿、蓝球是同一种原子， 使用三种色球只是为了看清三层的关系 。
（1）ABCABC……, 即 每三层重复一次 , 这种结构 称为A1 型, 从中可以取出立 方面心晶胞 ; （2）ABABAB……, 即每 两层重复一次 , 称为A3 型, 从 中可取出六方晶胞。
这两种最密堆积是金属单质晶体的典型结构 .
数 ②每个点阵点周围具有相同的环境；
学 ③平移后能复原。
定
义
Cu （111面）密置层（每个原子就是一个结构基元 ，对应一个点阵点 ）：
二 维 周 期 性 结 构 Cu （111面）的点阵. 红线画出的是一个平面正当格子 ： 与 平 面 点 阵
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三维周期性结构与空间点阵
Mn
(立方简单)
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a3

(
4r )3 3
பைடு நூலகம்

64r 3 33
Po
Vatoms Vcell

3 68.02% 8
A4 金刚石型结构
A4中原子以四面体键相连 . 晶胞中虽然都是同种原子， 但所处的环境不同 (球棍图中用两色颜色来区分 ). 一个浅 蓝色球与一个深蓝色球共同构成一个结构基元 .
A4 空间利用率的计算
CsCl型晶体中A、B是不同的原子，不能都被抽象为点阵 点. 否则，将得到错误的立方体心点阵！这是一种常见的错误：
NaCl型晶体中，按统一的方式将每一对离子 A-B抽象 为一个点阵点. 于是，点阵成为立方面心 .
NaCl型晶体结构
NaCl型晶体的点阵 —立方面心
3.晶胞及晶胞的两个基本要素
晶体结构=点阵+结构基元
●平移：
所有点阵点在同一方向移动同一距离且使图形复原的 操作。
a
b
c
●素向量（又称基本向量） ●直复a线向为点量素阵向中量b连c接任为意复两向相量邻阵点的向量
点阵最基本的性质 ——平移对称性
点阵的严格定义 :按连接任意两点的向
量进行平移后能复原的一组点叫点阵。
点
阵 构成点阵的条件
的
①点阵点数无穷大；
3 32
3
Po

Vatoms Vcell
32
74.05%
A2 立方体心密堆积
原子数：2 点阵点数： 2
布鲁塞尔的原子球博物馆 9个直径18米的球形展厅构成一个立方体心晶格模型
A2 空间利用率的计算
3a 4r a 4r 3
Vatoms

4 r 3 3
2
8 r 3 3
Vcell
l例题3：填空
l1.只含有1个点阵点的单位称为 ______。
l2.一个素晶胞含有 __个结构基元。
l3.某金属晶体采用 A3型密堆积，即重复 AB 堆积，其晶体的点阵型式为 __点阵，单位格 子中的点阵点数为 __；每个晶胞中含 __个原 子，此晶胞属于 __（素或复）晶胞。
例4 已知γ-Mn属于A1型堆积，晶胞参数为 3.855Å；δ -Mn属于A2型堆积，晶胞参数 为3.075Å。计算两种晶体的密度比为多 少？
若知道金属晶体的堆积方式，也就知道其点阵型式和 晶胞中原子的排列方式，由 X射线衍射测出其晶胞参数， 从而可以求出金属原子的半径（接触半径） .
例题1：已知金属 Cu属于A1型密堆积，晶胞参数 a=3.614 Å，求其金属半径 r。
例题2：金属Na属于A2型密堆积，晶 胞参数 a=4.29 Å，求： （1）金属半径r （2）金属Na的密度 （3）（110）面的间距
（100）
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附：点阵理论部分思考题
1.在平面点阵中，为什么没有正方形带芯点 阵形式 ？
2.在空间点阵中，为什么没有四方底心点 阵形式 ？
3. 某正交晶系的晶胞参数为 a=5Å，b=10Å， c=15Å，有一晶面在三个晶轴上的截长都是 30 Å， 则该晶面的晶面指标为（ ） . (A)（321） (B)（632） (C)（236） (D)（123）
密置双层
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密置层堆积起来后 , 三重旋转轴总可以保留 , 六重旋转轴却 不能继续保留 :
六重旋转轴消失
三重旋转轴仍然保留
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从一个密置层上，可以看出这样几点： 1. 层上有3个特殊位置: 球的顶部A、上三角凹坑B和下三角凹坑 C.
以该层为参照层，称为 A层; 2. 叠加到A层上的第二层各个球只能置于凹坑 B或C. 由于上下三角