钻井布局优化模型

钻井布局优化模型

摘要

勘探部门于找矿初期钻井取地质资料，系统勘探时期需在一个区域内按纵横等距的网格点来布置井位。由于钻一口井的费用很高，而当新设计井位与原井位重合（或相当接近）时，不必打井。因此，合理安排井位可以节约钻探费用。

本文将旧井的利用归结为0、1规划模型，从而建立目标函数。由每个旧井到网格节点的距离不超过给定误差W（=0.05单位），可得到约束条件的不等式，以及钻井布局的非线性规划模型。对于问题1，利用MATLAB编程求解，采用全局搜索逐个判断网格平移过程中满足约束条件的旧井个数，得出的结论是最多有4口旧井可使用，编号为2、4、5、10，用Lingo验证其正确；对于问题2，采用全局搜索、坐标变换、矢量旋转判断满足约束条件的旧井个数，得出最多有6口旧井可使用，编号为1、6、7、8、9、11。

关键词：0、1规划模型；非线性规划模型；全局搜索；坐标变换；矢量旋转

1.问题描述

勘探部门在某地区找矿。初步勘探时期已零散地在若干位置上钻井，取得了地质资料。进入系统勘探时期后，要在一个区域内按纵横等距的网格点来布置井位，进行“撒网式”全面钻探。由于钻一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合（或相当接近），便可利用旧井的地质资料，不必打这口新井。因此，应该尽量利用旧井，少打新井，以节约钻探费用。比如钻一口新井的费用为500万元，利用旧井资料的费用为10万元，则利用一口旧井就节约费用490万元。

设平面上有n个点Pi其坐标为（ai，bi），i=1，2…n表示已经有的n个井位。新布置的井位是一个正方形网格N的所有结点（所谓“正方形网格”是指每个格子都是正方形的网格；结点是指纵线和横线的交叉点）。假定每个格子的边长（井位的纵横间距）都是一单位（比如100米）整个网络是可以在平面上任意移动的。若一个已知点Pi与某个网络结点Xi的距离不超过给定误差W（=0.05单位），则认为Pi处的旧井资料可以利用，不必在结点Xi处打新井。

为进行辅助决策，勘探部门要求我们研究如下问题：

1）假定网格的横向和纵向是固定的（比如东西向和南北向）并规定两点间的距离为横向距离（横坐标之差绝对值）及纵向距离（纵坐标之差绝对值）的最大值。在平面上平行移动网格N使可利用的旧井数尽可能大。试提供数值计算方法，并对下表1.1的数值例子用计算机进行计算。

2）在欧式（直线距离）距离的误差意义下，平移加旋转，可以转动的情形，给出算法和计算机结果。

2.模型分析

题目要求在网格的横向和纵向固定（比如东西向和南北向）且两点间的距离为横向距离（横坐标之差绝对值）及纵向距离（纵坐标之差绝对值）的最大值的条件下，在平面上平行移动网格N使可利用的旧井数尽可能大。

通过分析目标，知道钻探费用的高低与使用旧井的数目直接相关，因此目标函数是使用旧井的数目最多。针对此，本文建立了一个非线性规划模型。通过进一步分析，我们可以得到非线性规划的约束条件，具体分析如下。

已知当新设计的井位与原有井位重合（或相当接近）时，才可利用旧井的地质资料，不必打这口新井。新布置的井位是一个正方形网格N的所有结点，整个网络可以在平面上任意移动。只有已知井位与某个网络结点的距离不超过给定误差W（=0.05单位）时，该井位才可以被使用。据此，设出旧井位是否可用的0、1变量和网格平移变量，可得出模型的约束条件。

对于问题1，可利用MATLAB编程全局搜索每个旧井是否满足约束条件，来确定网

格平移过程中最多可使用旧井个数。得出的结果可以用Lingo 加以验证。

对于问题2，要求在欧式（直线距离）距离的误差意义下，平移和旋转网格，使可利用的旧井数最多，此时只能使用MATLAB 编程的方法求解。

3.模型假设

（1）假设每个格子的边长（井位的纵横间距）都是一单位（比如100米），整个网络是可以在平面上任意移动的。

（2）假设网格的横向和纵向是固定的（比如东西向和南北向）并规定两点间的距离为横向距离（横坐标之差绝对值）及纵向距离（纵坐标之差绝对值）的最大值。

（3）假设Pi 与某个网络结点Xi 的距离不超过给定误差W （=0.05单位），则认为Pi 处的旧井资料可以利用，不必在结点Xi 处打新井。

4.符号说明

（1）i a 表示原有井位横坐标（东西方向坐标，012i ≤≤） （2）i b 表示原有井位纵坐标（南北方向坐标，012i ≤≤）

（3）x 表示网格东向偏移量（10≤≤x ） （4）y 表示网格北向偏移量（10≤≤y ） （5）i f 表示0、1变量，0表示第i 口旧井不被使用，1表示第i 口旧井被使用（012i ≤≤） （6）α表示网格旋转角度变量

（7）i θ表示第i 口旧井与东西方向的夹角（012i ≤≤） （8）i a '表示旋转后井位横坐标（012i ≤≤） （9）i b '表示旋转后井位纵坐标（012i ≤≤）

5.模型建立与求解

5.1问题1

5.1.1问题1求解思路

问题1要求在网格平移过程中，使可利用的旧井数最多。可设12个0、1变量i

f （012i ≤≤）来表示旧井是否使用（使用为1，不使用为0），当i f 求和最大时即满足题目要求，因而可将i f 之和作为规划目标，建立规划模型。为求解规划模型的最优解，必须知道其约束条件。设网格平移过程中东西方向为平面直角坐标系的横轴，南北方向为纵轴，建立平面直角坐标系。又已知点Pi 与某个网络结点Xi 的距离不超过给定误差W （=0.05单位），则认为Pi 处的旧井资料可以利用，不必在结点Xi 处打新井。据此，可以得出规划模型的不等式约束条件，因而模型是非线性规划模型。

5.1.2问题1模型建立

目标函数12

1max.i i P f ==∑

约束条件[][]max(,)0.05 11201

.. 01

0 1 112i i i i i i

a x x a

b y y b f i x s t y f i ⎧-+--+-⋅<=⎪

≤≤⎪⎨≤≤⎪⎪=⎩ 为或

5.1.3问题1模型求解

首先，应用MATLAB 画出旧井位置如图5.1所示，可以清楚的知道12口井的分布网格情况。

12345678910

图5.1 旧井位置坐标图

由于问题的规模较小，并且网格的偏移量x 、y 范围在0至1之间，因此可以使用穷举法求解。在这里采用MATLAB 编程实现全局搜索，找到最优解，再用Lingo 求解模型，用于验证结果是否正确。

利用MATLAB 编程，对x 、y 分别从0开始以0.01为步长进行搜索求解。搜索过程中，对于每一给定的网格的偏移量x y ，均按照模型公式计算出每一个原有井到最近的网格点的距离，将此距离与给定的误差W 比较，若满足条件则其对应的0-1变量置为1，否