第五章根轨迹法

nm
G( s)
K * ( s 1) s( s 4)(s 2 2s 2)
试根据已知的三个基本法则，确定绘制根轨迹的有关数据。
（1） p1 0, p 2 4 , p 3 1 j p 4 1 j , z1 1
（2）有4条根轨迹的分支，对称于实轴 （3）有n-m=4-1=3条根轨迹渐近线
nm nm
K 0
*
K 0
*
0
K*
K*
0
有两个无穷远处的 终点
有一个无穷远处的 起点
规则2：根轨迹的分支数、连续性与对称性 根轨迹的分支数与开环有限零点数或有限极点数中的较大者 相等，根轨迹是连续的，且对称于实轴。 根轨迹连续：根轨迹增益K*是连续变化导致特征根也连续变 化。 实轴对称：特征方程的系数为实数，特征根必为实数或共轭 复数。 证明： ①因为根轨迹是开环系统某一参数从0→∞时，闭环D（s）的根 在s平面上的变化轨迹。所以根轨迹条数与D（s）根的数目一致。
规则4：实轴上的根轨迹
若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有： 其右边（开环实数零点数+开环实数极点数）为奇数。
+j
z3
p2
z2
p1
z1
根据基本法则可知z1与p1之间，z2与p2之间，-∞与z3 之间的实数部 分均为根轨迹的一部分。
规则5：根轨迹分离点
两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即分开 的点称为分离点（会合点）。
根轨迹法 根轨迹法是根据系统开环传递函数的零点与极点在
s平面上的分布，用作图的方法求得闭环传递函数在s平面内随开 环传递函数的某个参数变化而变化的轨迹。
5.1.1根轨迹
开环系统（传递函数）的某一个参数从零变化到 无穷大时，闭环系统特征方程的根在 s 平面上随之连 续变化而形成的轨迹称为根轨迹。
若闭环系统不存在零点与极点相消，闭环特征方程
分离点（会合点）的坐标 d 由下列方程所决定：
(1)
n 1 1 j 1 d z j i 1 d p i m
2
d [ ds
(s p )
i
n
(s z )
j j 1
i 1 m
]|s d 0
式中：zj为各开环零点的数值；pi为各开环极点的数值，分离角 为（2k+1）π/l（l为根轨迹条数，l=2时分离角必为直角。）
的根与闭环传递函数的极点是一一对应的。
例4.1 二阶系统的根轨迹
K* s( s 2)
K* * G( s) K ss 2 ( s) 2 * K 1 G ( s) s 2s K * 1 ss 2 D( s ) s 2 s K 0
2 *
s1, 2 1 1 K
C ( s)
1）依法则4，实轴上区域[-1，0]，[-3，-2]是根轨迹
2）m=1，n=3 所以依法则2，该系统有三条根轨迹，且对称于实轴 3）依法则1，一条根轨迹起始于开环极点（0），终止于开环有限 零点（-1），另外2 条根轨迹起始于开环极点（-2）和（-3）终 于无穷远处。 4）依法则3，两条终于无穷远处的根轨迹渐进线与实轴的交角为：

开环增益K从零变到无穷，可以用解析方法求出闭环 极点的全部数值。
K 0
K* 0 0.5 1
2 3
K
j
S1 0 -0.253 -1
-1+j1
S2 -2 -1.707 -1
-1-j1
K 3
K 2
K 0
2 1
2
K 1 0 K 0 1
1
K 2
-1+j1.414 -1-j1.414
(2k 1) a 900 , k 0 nm 2 (2k 1) 3 b 2700 , k 1 nm 2
交点为
a
p z
i 1 i j 1
n
m
j
nm
(0 2 3) (1) 2 3 1
5）依法则5，实轴上区域[-3，-2]必有一个根轨迹的分离点d，满足
与实轴夹角
( 2k 1)180 ( 2k 1)180 a nm 4 1 60o k 0 180o k 1 300o k 2
o
o
与实轴交点
a
i 1
pi z j
j 1
n
m
nm
(0 4 1 j 1 j ) (1) 1.67 4 1
（4）由相角条件可以证明复平面上的根轨迹是圆的一部分， 圆心为（-2，j0)，半径为 2
( s 2) ( s 1 j ) ( s 1 j ) (2k 1)1800 1 1 1 1 1 s j , tg tg tg 2 1 1 1 1 1 1 1 tg tg tg 2 1 1 j 1 1 j 2 1 1 1 1 d 3.414 1 2 1 2 1 0 2 2 4 2 0 ( 2) ( 2 )
当开环有限极点数n大于有限零点数m时，有n-m条根轨迹分支沿着 与实轴交角为 a ，交点为 a 的一组渐进线趋于无穷远处，且有
( 2k 1) a nm
k 0,1,2, n m 1
a
i 1
pi z
j 1
n
m
j
当k取不同值时，可得n-m个 a 角 ，而 a 不变，因此根轨迹渐进 线是n-m条与实轴交角为 a 交点为 a 的一组射线。 例5.1 设单位反馈系统的前向传递函数为：
1 1 1 1 d 1 d d 2 d 3
由于d1必在-2.5与-3之间，可设d=-2.5 得
j
1 0.67 d 1 1 1 1 0.4 d d 2 d 3
ห้องสมุดไป่ตู้2.47
3
2 1
0

所以方程两边不等，所以d=-2.5不是欲求的分离点坐标， 重新取d=-2.47，方程两边近似相等。所以d=-2.47

i 1
(s pi ) 0
n
s pi
说明k* =0时闭环特征方程的根就是开环传函的极点， 所以根轨迹必起始于开环极点。
②终点
又从
1 K
*
*
i 1
(s pi ) (s z j ) 0
m
j 1
n
m
K (s z j ) 0
j 1
Ds 1 G s 1 k
*
(s z
j 1 n i 1
m
j
) 0
(s p )
i
D（s）根的数目= m和 n 较大者， 所以根轨迹的条数等于开环零点 数或极点数中的较大者。
②因为D（s）中某些系数是根轨迹增益k*的函数，k*从0→∞时， D（s）系数连续变化，所以D（s）的根轨迹也是连续的。 ③因为D（s）的根只有实根和共轭复根两种。根轨迹是根的集合， 所以根轨迹是对称于实轴的。 规则3：根轨迹渐近线
s zj
说明k*→∞时D（s）的根就是开环传函零点， 所以根轨迹终止于开环零点。
③在实际系统中，通常是 n m ，则还有 (n m) 条根 轨迹终止于s平面的无穷远处，这意味着在无穷远处有 (n m) 个无限远（无穷）零点。
④当 m n 时，K*=0时必有 (m n) 条根轨迹起于s平面 的无穷远处。
例4.3：设单位反馈系统的传递函数为
G ( s)
K (0.5s 1)
0.5s 2 s 1 ( s 2 2s 2) z1 2 s1, 2 1 j

K * ( s 2)
K * 0.5K
试绘制系统的根轨迹。 解：将G（s）写成零，极点标准形式得：
K * ( s 2) G( s) ( s 1 j )(s 1 j )
注：（1）根轨迹出现分离点说明特征根出现了重根。 （2）若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点（包
括无限零点）或开环极点（包括无限极点），则
在此段根轨迹上必有分离点。 （3）分离点若在复平面上，则一定是成对出现的。 例 5.2 绘制图示系统大致的根轨迹
R( s )
K * ( s 1) s ( s 2)( s 3)
j 1 n
1
上式称为根轨迹方程，依此方程可画出K*从 0→∞时系统的连续根轨迹。 根轨迹方程实质是一个向量方程，可以进一 步表示为
*
s z
m j
K
s p
i i 1
j 1 n
1 1e
j ( 2 k 1)
k 0,1,2,
因此，根轨迹方程可用如下两个方程来描述：
(s z )
j i
m
(s p )


K*为前向通路根轨迹增益，从0→∞ Zj 为开环传函零点 pi为开环传函极点
D s 1 K *
m
(s z )
j
m
(s p )
i i 1
j 1 n
0
K*
(s z )
j
(s p )
i i 1
5.1.2 根轨迹方程
根轨迹是系统所有闭环极点的集合。
G( s) ( s) 1 G( s) H (s)
为了用图解法确定所有闭环极点，令闭环传递函数表达式 分母为零，得特征方程（根轨迹方程）为：
Ds 1 G(s) H (s) 0
其中: G s H s K
* j 1 n i 1
①依规则1，根轨迹起点为：p1= -1-j， p2 = -1+j 终点为z1= -2 ② 依规则2，根轨迹有两条，一条终于-2点，另一条终于∞远处。③ 根轨迹在[-∞，-2]的实轴上，必存在一个分离点。求d
d [ ds
(s p )
i
n
(s z
j 1
i 1 m
]|s d 0 0
K 3
K
2
当G（s）中某一参数K从0变化到∞时，每个闭环 极点，在[s]平面上也要连续变化而形成一条轨迹—— 称为闭环系统的根轨迹。 根轨迹上箭头表示随着k*的增加，根轨迹的变化 趋势，标注的数值表示与闭环极点位置相应的增益k* 的数值。
①无论k怎样变化，“х”均位于虚轴左侧，系统是稳定 的 ② 0<k<1 系统特征根为实根，系统处于过阻尼状态 ③ k=1 ，闭环两个实数极点重合，系统处于临界阻尼 状态 ④ k>1，闭环极点为共轭复数极点，系统处于欠阻尼状 态
相角条件是判断S平面上某一点是否是根轨迹的充分必要条件。
5.2
根轨迹绘制的基本法则
5.2.1绘制根轨迹的一般法则
规则1：根轨迹的起点和终点：
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。 简要证明： ①起点
1 G( s ) H ( s ) 0
K 0
*
* ( s p ) K (s z j ) 0 i i 1 j 1 n m
重点
掌握系统根轨迹所揭 示出的系统极、零点 对系统性质的影响， 熟练掌握系统根轨迹 图的作图步骤，会根 据系统的根轨迹分析 系统的性质。
5.1根轨迹的基本概念
在前面的时间响应分析中已表明，控制系统时间 响应性能的的好坏及其稳定性与其闭环特征根的关系 十分密切，[特征方程的根 运动模态 系统动态 响应（稳定性、系统性能）], 但没能明显表示出系统参 数变化对这些根的影响。本章主要讨论系统的某一参 数或某些参数变化时，如何影响闭环特征根的变化， 从而确定系统是否稳定或是否符合要求的性能指标， 并予以改善,这一方法称为根轨迹法。
第五章
根轨迹法




本章主要内容及重点 5.1 根轨迹的基本概念 5.2 绘制根轨迹的基本法则 5.3 广义根轨迹 5.4 按根轨迹法分析控制系统
主要内容
本章阐述了控制系统的 根轨迹分析方法。包括 根轨迹的基本概念、绘 制系统根轨迹的基本条 件和基本规则,参量根 轨迹和零度根轨迹的概 念和绘制方法，以及利 用根轨迹如何分析计算 控制系统的性能（稳定 性、暂态特性和稳态性 能指标等）。
1.模值条件（幅值条件）：
K*
i 1 m
s pi szj
j 1
n
根据模值条件（幅值条件）,可确定根轨迹上各点对应的K*值 2.相角条件（幅角条件）：
j 1
(s z j ) (s pi ) (2k 1)
i 1
m
n
, (k 0,1,2, )
s d
j
)
s 1 j s 1 j ( s 2)
( s 1 j s 1 j )s 2 [(s 1) 2 1] 0 2 ( s 2) |s d s 4s 2 0
2
d 2 4d 2 0 d1 3.414(成立），d 2 0.568(舍）