1-4-行列式的性质

a2 j ,
i 1 i 2 ，于是 D D1 i3
推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.
证明：互换相同的两行，有 D = −D ，所以 D = 0 ．
性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个 倍数 k ，等于用数 k 乘以此行列式．
备注：第 i 行（列）乘以 k ，记作 ri k(ci k).
p1 p2 p3
p1 p2 p3
a11 a12 a13 a11 b12 a13 a21 a22 a23 a21 b22 a23
a31 a32 a33 a31 b32 a33
附注
若 n 阶行列式每一个元素都表示成两数之和，则它可分解 为2n 个行列式．
a x b y a b y x b y
a21 a22 a23 a24 k a21 a22 a23 a24 k 0 0
a31 a32 a33 a34
a31 a32 a33 a34
ka11 ka12 ka13 ka14
a11 a12 a13 a14
性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和, 行列式关于该行（列）可分解为两个行列式． 例如：


cd
cd
a b
a b r2 r1 a
b c r1 r2
d


c d ca db ca db
注意运算 ri + rj 与 rj + ri 的区别， 记号 ri +k rj 不能写作 k rj + ri （不能套用加法交换律）．
二、行列式的计算
行列式计算的基本方法：利用等值变形 ，利用性质，把行列 式化为易于计算的形式后，再作计算，其中易于计算的形式 包括（但不局限于）： 2、3阶行列式——对角线法则 上（下）三角形行列式、对角行列式（P.7例5、P.11例6） 其它特点，例如：
a11 a12 b12 a13 D a21 a22 b22 a23
a31 a32 b32 a33
a11 a12 a13 a11 b12 a13 则 D a21 a22 a23 a21 b22 a23
a31 a32 a33 a31 b32 a33
验证：我们以三阶行列式为例．
a11 a12 b12 a13 D a21 a22 b22 a23

kD
推论：行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提 到行列式符号的外面．
备注：第 i 行（列）提出公因子 k ，记作 ri k(c．i k).
性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列 式为零．
验证：我们以4阶行列式为例．
a11 a12 a13 a14
a11 a12 a13 a14
a11(ka22 )a33 a12 (ka23 )a31 a13 (ka21 )a32 a13 (ka22 )a31 a12 (ka21 )a33 a11(ka23 )a32

k

a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
若记 D = det(aij) ，DT = det(bij)，则 bij = aji ． 性质1：行列式与它的转置行列式相等，即 D = DT ．
性质1：行列式与它的转置行列式相等．
证明：若记 D = det(aij) ，DT = det(bij)，则
bij aji i, j 1, 2,L , n
a31 a32 a33 a31 ka33 a33
附注（课本P.13）
a b r1r2 a c b d

?
c d r2 r1 c a d b
各个运算的次序一般不能颠倒，后一次运算作用在前一次 运算的结果上．
a b r1r2 a c b d r2 r1 a c b d
验证：我们以三阶行列式为例． 记
a11 a12 a13
a11
D a21 a22 a23 , D1 ka21
a31 a32 a33
a31
根据三阶行列式的对角线法则，有
a12 ka22 a32
a13 ka23 a33
a11 D1 ka21
a31
a12 ka22 a32
a13 ka23 a33
根据行列式的定义，有
DT
(1)t( p1 p2L
b b L pn ) 1 p1 2 p2
bnpn
p1 p2L pn

(1)t( p1 p2L
a a L pn ) p11 p2 2
a pnn
p1 p2L pn
D
行列式中行与列具有同等的地位，行列式的性质凡是对行 成立的对列也同样成立．
§4 行列式的性质
行列式的三种等价定义
D
(1)t( p1 p2L
a a L pn ) 1 p1 2 p2
anpn
p1 p2L pn

(1)t(q1q2L qn ) aq1 a1 q2 2 L aqnn
q1q2L Leabharlann Baidun
(1) a a L a t(i1i2L in )t( j1 j2L jn )
性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号．
备注：交换第 i 行（列）和第 j 行（列），记作 ri rj (ci c j )
例：
100
100
D det(aij ) 0 2 0 6, D1 det(bij ) 0 0 3 6
003
020
显然
a1 j , bij a3 j ,
验证：我们以三阶行列式为例． 记
a11 a12 a13
a11 a12 ka13 a13
D a21 a22 a23 , D1 a21 a22 ka23 a23
a31 a32 a33
a31 a32 ka33 a33
则 D D1.
a11 a12 a13 a11 ka13 a13 a21 a22 a23 a21 ka23 a23
✓行等和（各行元素之和相等）、列等和（P.12例8） ✓递推关系（P.14例11） ✓爪形行列式 ✓范德蒙德行列式（P.18例12、 P.21第1(3)题）
i1 j1 i2 j2
in jn
i1i2L in
j1 j2L jn
一、行列式的性质
a11 a12 L a1n
a11 a21 L an1
记 D a21 a22 L a2n , DT a12 a22 L an2
M MO M
M MO M
an1 an2 L ann
a1n a2n L ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式．
a31 a32 b32 a33

(1)t (
a (a p1 p2 p3 ) p1 1 p2 2

bp2 2 )a p3 3
p1 p2 p3

(1)t (
a a a p1 p2 p3 ) p11 p2 2 p3 3

(1) a b a t( p1 p2 p3 ) p1 1 p2 2 p3 3


cz dw c dw z dw
ab a y xb x y




cd cw zd zw
性质6：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数 然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．
备注：以数 k 乘第 j 行（列）加到第 i 行（列）上，记作
ri krj (ci kc j ).