生物统计学第三章 概率与概率分布
生物统计学第三章 概率和概率分布(2)
的第x 1项，所以有“二项分布”这个名称。
0 0 1 1 x x n n [ (1 )]n Cn (1 )n Cn (1 )n1 Cn (1 )nx Cn (1 )0
x x （2） P(x) Cn (1 )nx [ (1 )]n 1n 1 x 0 x 0
2. 二项分布的常用符号
n :贝努利试验的次数（或 样本含量）
x : 在n次试验中事件A出现的次数，即二项分布变量X 的取值
: 事件A发生的概率 (每次试验都是恒定的 )
1 － : 事件A发生的概率
p(x) : X的概率函数即P(X x)
F( x) P(X x) p(xi )
2014-4-21
二项分布的程序计算方法
二项分布函数Binomdist（k,n,p,false/true） 某数阶乘的计算函数Fact 从给定元素数目m的集合中抽取若干n元素的排 列组合数C n m 计算函数Combin（m，n）
2014-4-21
二、 泊松分布 （Poisson Distribution）
2014-4-21
二项分布
（实例）
【例】已知 100 件产品中有 5 件次品，现从中任取一件，有 放回地抽取3次。求在所抽取的3件产品中恰好有2件次品的 概率 解：设 X 为所抽取的3件产品中的次品数，则根据二项分 布公式有
P X 2 C32 (0.05)2 (0.95)32 0.007125
二项分布变量的一些例子：
（1）连续抛硬币100次，统计总共出现正面的次数。次数X服从二项分布。 （2）调查250名新生婴儿的性别，记男婴的总数为X，则X服从二项分布。 （3）调查n枚种蛋的出雏数，出雏数X服从二项分布。 （4）n头病畜治疗后的治愈数X，X服从二项分布。
生物统计学课件1、概率及概率分布
指数分布在统计分析中常用于计算随机事件的概率和期望值，如生存 分析和可靠性工程。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
概率分布的应用
在生物统计学中的应用
描述生物样本人群的特征
遗传学研究
通过概率分布，可以描述生物样本人 群的某些特征，如身高、体重、年龄 等。
在遗传学研究中，概率分布被广泛应 用于基因频率的分布和遗传疾病的分 布。
正态分布在统计学中的重要性在于许 多统计方法和假设检验都是基于正态 分布的假设。
泊松分布
泊松分布是一种离散概率分布 ，常用于描述单位时间内随机
事件发生的次数。
泊松分布的概率函数由两个参 数λ和k控制，其中λ表示单位时
间内随机事件发生的平均次数 ，k表示随机事件发生的次数。
泊松分布在生物统计学中常用 于描述某些离散变量的分布， 如遗传学中的基因突变频率、 流行病学中的疾病发病率等。
在社会科学研究中的应用
人口统计学研究
在人口统计学研究中，概率分布 被用于描述人口特征和分布情况
。
社会调查
在社会调查中，概率分布被用于描 述调查结果的分布情况，例如调查 结果的置信区间和抽样误差。
经济预测
在经济预测中，概率分布被用于预 测经济发展趋势和未来经济状况。
REPORT
CATALOG
DATE
描述随机变量取连续数值时的概率分布，如正态分布、指数 分布等。
离散概率分布
二项分布
描述在n次独立重复的伯努利试验中 成功的次数的概率分布，常用于描述 生物实验和调查中的成功次数。
泊松分布
描述单位时间内（或单位面积上）随 机事件发生的次数，常用于描述稀有 事件的概率模型。
生物统计学习题集答案
.. 生物统计学习题集参考答案第一章概论一、填空1 变量按其性质可以分为 连续 变量和 非连续 变量。
2 样本统计数是总体 参数 的估计量。
3 生物统计学是研究生命过程中以样本来推断 总体 的一门学科。
4 生物统计学的基本内容包括_试验设置、统计分析_两大部分。
5 统计学的发展过程经历了 古典记录统计学、 近代描述统计学现代推断统计学 3个阶段。
6 生物学研究中，一般将样本容量 n大于等于 30称为大样本。
7 试验误差可以分为__随机误差 、系统误差 两类。
二、判断（-）1 对于有限总体不必用统计推断方法。
（-）2 资料的精确性高，其准确性也一定高。
(+) 3 在试验设计中，随机误差只能减少，而不可能完全消除。
（+）4 统计学上的试验误差，通常指随机误差。
三、名词解释样本：从总体中抽出的若干个体所构成的集合称为样本。
总体：具有相同的个体所构成的集合称为总体。
连续变量：是指在变量范围内可抽出某一范围的所有值。
非连续变量：也称离散型变量，表示变量数列中仅能取得固定数值并且通常是整数。
准确性：也称准确度指在调查或试验中某一试验指标或性状的观测值与真实值接近的程度。
精确性：也称精确度指在调查或试验中同一试验指标或性状的重复观测值彼此接近程度的大小。
第二章 试验资料的整理与特征数的计算一、填空1 1 资料按生物的性状特征可分为资料按生物的性状特征可分为资料按生物的性状特征可分为_________数量性状资料数量性状资料数量性状资料__变量和变量和______变量性变量性状资料状资料__变量。
2 2 直方图适合于表示直方图适合于表示直方图适合于表示______计量计量计量 、、 连续变量连续变量__资料的次数分布。
3 3 变量的分布具有两个明显基本特征，即变量的分布具有两个明显基本特征，即变量的分布具有两个明显基本特征，即__集中性集中性__和____离散性离散性离散性__。
4 4 反映变量集中性的特征数是反映变量集中性的特征数是反映变量集中性的特征数是______平均数平均数平均数______，反映变量离散性的特征，反映变量离散性的特征数是数是______变异数（标准差）变异数（标准差）变异数（标准差）__。
生物统计学 几种常见的概率分布律
非此即彼
随机试验有两种互不相容不同结果。 重要条件： 1. 每次试验两个结果（互为对立事件），每一种结果在每次 试验中都有恒定的概率； 2. 试验之间应是独立的。
P(AB)=P(A)P(B)
2.14
二项分布的概率函数
服从二项分布的随机变量的特征数
方差 当以比率表示时
偏斜度
了解
峭度
做题时请先 写公式，代 数字，出结 果，描述结 果的意义。
正态分布表的单侧临界值
上侧临界值
下侧临界值
双侧临界值
§3.5 另外几种连续型概率分布
指数分布（exponential distribution）
了解
Γ分布（gamma distribution）
了解
了解
随着p的增加， Γ分布愈来愈 接近于正态分 布。
§3.6 中心极限定理 （Central Limit Theorem） 假设被研究的随机变量X可以表 示为许多相互独立的随机变量Xi 的和。如果Xi的数量很大，而且 每一个别的Xi对于X所起的作用 又很小，则X可以被认为服从或 近似地服从正态分布。
作业
P51
3.1, 3.2（算出各表现型概率即可）; 3.12, 3.18
正态分布的密度函数和分布函数 正态分布（normal distribution） 高斯分布（Gauss distribution） 正态曲线（normal curve） 连续型概率分布律 两头少，中间多，两侧对称
了解
标准正态分布
/fai/
标准正态分布的特性
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
正态分布表的使用方法
正态分布标准化
生物统计学
第三章 几种常见的概率 分布律
2010.9
生物统计学 第四版 李春喜课后习题答案
2.2试计算下列两个玉米品种10个果穗长度(cm)的标准差和变异系数，并解释所得结果。
24号：19，21，20，20，18，19，22，21，21，19；金皇后：16，21，24，15，26，18，20，19，22，19。
【答案】1=20,s1=1.247,CV1=6.235%；2=20,s2=3.400,CV2=17.0%。
2.3某海水养殖场进行贻贝单养和贻贝与海带混养的对比试验，收获时各随机抽取50绳测其毛重(kg)，结果分别如下：单养50绳重量数据：45，45，33，53，36，45，42，43，29，25，47，50，43，49，36，30，39，44，35，38，46，51，42，38，51，45，41，51，50，47，44，43，46，55，42，27，42，35，46，53，32，41，4，50，51，46，41，34，44，46；若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡课后答案网=4.7398,s=0.866,CV=18.27％2.2试计算下列两个玉米品种10个果穗长度(cm)的标准差和变异系数，并解释所得结果。
24号：19，21，20，20，18，19，22，21，21，19；金皇后：16，21，24，15，26，18，20，19，22，19。
【答案】1=20,s1=1.247,CV1=6.235%；2=20,s2=3.400,CV2=17.0%。
2.3某海水养殖场进行贻贝单养和贻贝与海带混养的对比试验，收获时各随机抽取50绳测其毛重(kg)，结果分别如下：单养50绳重量数据：45，45，33，53，36，45，42，43，29，25，47，50，43，49，36，30，39，44，35，38，46，51，42，38，51，45，41，51，50，47，44，43，46，55，42，27，42，35，46，53，32，41，4，50，51，46，41，34，44，46；若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡课后答案网1=42.7,R=30,s1=7.078,CV1=16.58%；2=52.1,R=30，s2=6.335,CV2=12.16%。
生物统计学03概率和概率分布
e
−λ
(λ = np)
x = 0, 1, 2…, n
第二节 常用的概率分布 二、泊松分布
☆ 参数 参数:
µ= λ
2 = λ σ
☆ 形状
λ=0.5 λ=1.5 λ=2.5
λ→20
泊松分布→正态分布 泊松分布 正态分布
第二节 常用的概率分布 三、正态分布
☆ 是一种连续随机变量的概率分布 ☆ 许多生物现象的计量资料均服从正态分布 ☆ 一般假定试验误差的分布服从正态分布 ☆ 非正态总体统计数的抽样分布近似服从正态分布
☆当 p 值较小且 n 值不
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 1 3 5 7
p=0.3
p=0.5
p=0.75
大时， 大时，图形是偏倚的
☆当 p 值趋于 时，分 值趋于0.5时
布趋于对称
9
11
13
15
17
19
21
第二节 常用的概率分布 二、泊松分布
☆ 概率函数
P( x ) =
λ
x
x!
第二节 常用的概率分布
随机抽取20株小麦 测得平均株高为82.3cm，标准差为 株小麦， cm， 例3.4 随机抽取 株小麦，测得平均株高为 cm 1.7502cm，试计算： cm，试计算： cm 1）株高≥85cm的概率； 的概率； 的概率 的正常值范围。 2）小麦株高的95%的正常值范围。 小麦株高的 的正常值范围
第二节 常用的概率分布 三、正态分布
1. 概率函数
f (x) = 1
− ( x−µ)2 2σ 2
σ 2 π
e
记为x～ 记为 ～N(µ,σ2)
第二节 常用的概率分布
2. 正态曲线的特点
生物统计学(第四版)答案 1—6章
2.2试计算下列两个玉米品种10个果穗长度(cm)的标准差和变异系数，并解释所得结果。
24号：19，21，20，20，18，19，22，21，21，19；金皇后：16，21，24，15，26，18，20，19，22，19。
【答案】1=20,s1=1.247,CV1=6.235%；2=20,s2=3.400,CV2=17.0%。
2.3某海水养殖场进行贻贝单养和贻贝与海带混养的对比试验，收获时各随机抽取50绳测其毛重(kg)，结果分别如下：单养50绳重量数据：45，45，33，53，36，45，42，43，29，25，47，50，43，49，36，30，39，44，35，38，46，51，42，38，51，45，41，51，50，47，44，43，46，55，42，27，42，35，46，53，32，41，4，50，51，46，41，34，44，46；第三章概率与概率分布3.3已知u服从标准正态分布N(0，1)，试查表计算下列各小题的概率值：(1)P(0.3＜u≤1.8)；(2)P(-1＜u≤1)；(3)P(-2＜u≤2)；(4)P(-1.96＜u≤1.96；(5)P(-2.58＜u≤2.58)。
【答案】(1)0.34617；(2)0.6826；(3)0.9545；(4)0.95；(5)0.9901。
3.4设x服从正态分布N(4，16)，试通过标准化变换后查表计算下列各题的概率值：(1)P(-3＜x≤4)；(2)P(x＜2.44)；(3)P(x＞-1.5)；(4)P(x≥-1)。
【答案】(1)0.4599；(2)0.3483；(3)0.9162；(4)0.8944。
3.5水稻糯和非糯为一对等位基因控制，糯稻纯合体为ww，非糯纯合体为WW，两个纯合亲本杂交后，其F1为非糯杂合体Ww。
(1)现以F1回交于糯稻亲本，在后代200株中试问预期有多少株为糯稻，多少株为非糯稻?试列出糯稻和非糯稻的概率；(2)当F1代自交，F2代性状分离，其中3/4为非糯，1/4为糯稻。
生物统计2
2
（二项分布的概率之和等于1）
m
3
k P ( x m) P ( k m) C n p k q n k k 0
4 5
k P ( x m) P ( k m) C n p k q n k k m
n
P(m1 x m2 ) P(m1 k m 2 )
3. 概率
概率的基本性质：
任何事情的概率都在0和1之间，即：0≤ P(A) ≤1 必然事件的概率等于1，即：P(U)=1 不可能事件的概率等于0，即：P(V)=0
二 事件的相互关系
1.和事件： 事件A和事件B至少有一件发生而构成的新事件称 为事件A和事件B的和事件，以A+B表示。
2.积事件：
第一节 概率基础知识
一、概率的概念 事件 频率 概率 二、事件的相互关系 三、概率计算法则 四、大数定律
1. 事件
在一定条件下，某种事物出现与否就称为是事件。 确定性事件和不确定事件 必然事件（U）：在一定条件下必然出现的现象。 不可能事件（V）：在一定条件下必然不出现的现象。 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的现象。
概率累积函数： F ( x)
P( x)
x 0
i
一、二项分布
0 C7
n! x Cn x!(n x)!
扔7次硬币，求 有0,1,2,3,4,5, 6,7次国徽面的 概率？
1 C7
2 C7
3 C7
4 C7
5 C7
6 C7
7 C7
7! 7! 7 6 5 4 3 2 1 1 0!(7 0)! 7! 7 6 5 4 3 2 1 7! 7! 7 6 5 4 3 2 1 7 1 (7 1)! ! 1 6! !* 1 6 5 4 3 2 1 7! 7! 7 6 5 4 3 2 1 21 2!(7 2)! 2!*5! 2 1 5 4 3 2 1 7! 7! 7 6 5 4 3 2 1 35 3!(7 3)! 4!*3! 4 3 2 1 3 2 1 7! 7! 7 6 5 4 3 2 1 35 4!(7 4)! 4!*3! 4 3 2 1 3 2 1 7! 7! 7 6 5 4 3 2 1 21 5!(7 5)! 5!*2! 5 4 3 2 1 2 1 7! 7! 7 6 5 4 3 2 1 7 6!(7 6)! 6!*1 ! 6 5 4 3 2 1 1 7! 7! 7 6 5 4 3 2 1 1 7!(7 7)! 7! 7 6 5 4 3 2 1
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解： 事件A： 至少得到一个棕色短毛兔（bbrr）；则 事件Ā: 无一个棕色短毛兔（bbrr）。
所以，F2中应当有72只，才能有99%的概率得到 一个棕色短毛兔。
第三节 连续型随机变量的概率分布
• 某一测量值所对应的概率是没有意义的，只能 求 某一范围（或某一区间）所对应的概率。 • 概率密度
概率密度函数
a
)
第三章
概率与概率分布
第一节
1、随机试验
随机试验与基本事件
对某一个个体的观测称为“一 次随机试验”。如取杨树三年生苗的某一 叶片，测其叶面积。
对同一群体中的n个个体进行n次 观测就是n次随机试验（random trial）。
2、随机事件 随机试验可能出现的各种基本结果称
为随机事件(或基本事件)。
随机试验的结果事先无法肯定。
σ2= npq=10×0.3×0.7=2.1
例2：家兔杂交育种
问在F2代最少需要多大的群体，才能以99% 的概率得到一个棕色短毛兔？
分析：F2代生一只家兔，为棕色短毛（bbrr） 的概率为1/16；若生下n 只家兔，则bbrr出 现的次数服 从二项分布 p=1/16 n=? μ =np= n ×1/16 事件A：至少得到一个棕色短毛兔
（1）随n的增大，趋于对称； （2）p→0.5 趋于对称。
二项分布的特征数： 平均数：μ=np 方差 ：σ2= npq
例：鱼苗死亡率为30%，求10尾鱼苗中 死亡数各可能值相对应的概率。
解：X～B(10,0.3), 即X服从二项分布，该二项分 布中 n=10, p=0.3，设x为死亡鱼的个数,
率。
随k的增大，l/k将围绕某一确定的常数p做平 均幅度愈来愈小的变动. 频率的稳定值p即为事件 A的概率。
概率是事件在试验结果中出现可能性大小的 定量计量。 0≤ P(A) ≤1 概率性质： P(Ω)=1
P(V)=0
第二节 离散型随机变量的概率分布
1、一般性描述
概率函数:P(X=xi)=pi 或 P(x)=P(X=x) 由概率函数可作概率分布图。
1 2
b
b
( x ) 2 2
2
a
e
dx
1 P ( a x b) 2
( x ) 2 22ae Nhomakorabeadx
几对常见的区间与其相对应的面积或概率的数字：
区间 1 2 3 1.960 2.576
面积或概率 0.6827 0.9545 0.9973 0.9500 0.9900
基本事件，这11个基本事件构成样本空间Ω。
事件：例如，♂兔只数小于或等于3。
3、必然事件：每次试验中，一定出现的结果。 4、不可能事件：任何一次试验中，都不出现的结
果，如叶面积大于某一平方cm.
5、频率与概率
某随机试验共进行k次，(基本)事件A发生了l
次，则称l/k是（k次随机试验中）事件A发生的频
P( x 0) C 0.3 0.7
0 10 0
10
P( x 1) C 0.3 0.7
1 10 1 2 10 2
9 8
P( x 2) C 0.3 0.7 0.23328
余此类推。
μ=np=10×0.3=3(个) μ=0×p(x=0)+ 1×p(x=1) +2×p(x=2)+∙∙∙+n×p(x=n)
（2）曲线位置和形状由和决定；
（3）在平均数所在点向左右两方，曲线迅速下降，两 尾向左右延伸，永不接触； （4）离平均数的左、右方分别1σ 处，为曲线的拐点； （5）正态分布曲线与轴之间的总面积积分等于1。
累积分布函数
F ( x0 ) P ( X x0 )
x0
f ( x) dx
概率分布函数为累加值：F(x0)=P(X≤x0)
反映概率分布特征的总体特征数有：数 学期望（总体平均数）、方差等。
数学期望 方差
其中：
E(c)=c
E(cX)=cE(X)
E(X+c)=E(X)+c
Var(X+c)=Var(X)
Var(cX)=c2Var(X)
2、二项分布
特征：
（1）每次试验有两种互不相容的结果。
最重要的连续分布为正态分布
正态分布是十八世纪末十九初，由法 国数学家拉普拉斯和德国数学家高斯等研 究出来的理论分布，有时也称为高斯曲线。
1、正态分布的密度函数与分布函数
密度函数
其中μ 为平均数，σ 为标准差。
X～N(μ , σ 2)
正态分布特点
（1）左右对称；分布在横轴上面，平均数所在一点的Y 最高；
例子：
研究的群体为1000只家兔，♀♂各500只。一 次随机试验(简称一次试验)：随机抽一只兔子，看 是♂或是♀。
此例中抽出♀为一基本事件，抽出♂为另一基 本事件。共两种结果，两个基本事件。
若干基本事件的集合称为事件。 全部基本事件的集合称为样本空间。
例如上例中，若随机抽取10只家兔为一组，计算其 中的♂只数，作为一次试验。 基本事件有：0 ♂，1♂，2♂，… 10♂，共有11个
2、正态分布的标准化
X～N(μ , σ 2)
令
u
x
则变量U为标准正态变量, U～N(0, 1)
1 (u ) e 2
u 2 2
,
u ,
u 2 2
(u ) P(U u )
1 2
u
e
du
P ( a X b) (
b
) (
（2）每一种结果都有恒定的概率。
（3）试验之间是独立的。
二项分布概率函数：
其中：
n=试验次数,
x：n次试验中，事件A出现的次数 (x=0,1,2,∙∙∙ n)
p：事件A发生的概率,
q=1-p,Ā发生的概率,
P(x)=P(X=x)。
例：已知某批种子的发芽率为90% 现随 机抽取10粒种子播种，求发芽种子数为 8的概率？