生物统计学第三章 概率与概率分布

解： 事件A： 至少得到一个棕色短毛兔（bbrr）；则 事件Ā: 无一个棕色短毛兔（bbrr）。
所以，F2中应当有72只，才能有99%的概率得到 一个棕色短毛兔。
第三节 连续型随机变量的概率分布
• 某一测量值所对应的概率是没有意义的，只能 求 某一范围（或某一区间）所对应的概率。 • 概率密度
概率密度函数
（2）每一种结果都有恒定的概率。
（3）试验之间是独立的。
二项分布概率函数：
其中：
n=试验次数,
x：n次试验中，事件A出现的次数 (x=0,1,2,∙∙∙ n)
p：事件A发生的概率,
q=1-p,Ā发生的概率,
P(x)=P(X=x)。
例：已知某批种子的发芽率为90% 现随 机抽取10粒种子播种，求发芽种子数为 8的概率？
基本事件，这11个基本事件构成样本空间Ω。
事件：例如，♂兔只数小于或等于3。
3、必然事件：每次试验中，一定出现的结果。 4、不可能事件：任何一次试验中，都不出现的结
果，如叶面积大于某一平方cm.
5、频率与概率
某随机试验共进行k次，(基本)事件A发生了l
次，则称l/k是（k次随机试验中）事件A发生的频
a

)
第三章
概率与概率分布
第一节
1、随机试验
随机试验与基本事件
对某一个个体的观测称为“一 次随机试验”。如取杨树三年生苗的某一 叶片，测其叶面积。
对同一群体中的n个个体进行n次 观测就是n次随机试验（random trial）。
2、随机事件 随机试验可能出现的各种基本结果称
为随机事件(或基本事件)。
随机试验的结果事先无法肯定。

σ2= npq=10×0.3×0.7=2.1
例2：家兔杂交育种
问在F2代最少需要多大的群体，才能以99% 的概率得到一个棕色短毛兔？
分析：F2代生一只家兔，为棕色短毛（bbrr） 的概率为1/16；若生下n 只家兔，则bbrr出 现的次数服 从二项分布 p=1/16 n=? μ =np= n ×1/16 事件A：至少得到一个棕色短毛兔
P( x 0) C 0.3 0.7
0 10 0
10
P( x 1) C 0.3 0.7
1 10 1 2 10 2
9 8
P( x 2) C 0.3wk.baidu.com 0.7 0.23328
余此类推。

μ=np=10×0.3=3(个) μ=0×p(x=0)+ 1×p(x=1) +2×p(x=2)+∙∙∙+n×p(x=n)
2、正态分布的标准化
X～N(μ , σ 2)
令
u
x

则变量U为标准正态变量, U～N(0, 1)
1 (u ) e 2
u 2 2
,
u ,
u 2 2
(u ) P(U u )
1 2

u

e
du
P ( a X b) (
b

) (
例子：
研究的群体为1000只家兔，♀♂各500只。一 次随机试验(简称一次试验)：随机抽一只兔子，看 是♂或是♀。
此例中抽出♀为一基本事件，抽出♂为另一基 本事件。共两种结果，两个基本事件。
若干基本事件的集合称为事件。 全部基本事件的集合称为样本空间。
例如上例中，若随机抽取10只家兔为一组，计算其 中的♂只数，作为一次试验。 基本事件有：0 ♂，1♂，2♂，… 10♂，共有11个
1 2

b
b

( x ) 2 2
2
a
e
dx
1 P ( a x b) 2


( x ) 2 2
2
a
e
dx
几对常见的区间与其相对应的面积或概率的数字：
区间 1 2 3 1.960 2.576
面积或概率 0.6827 0.9545 0.9973 0.9500 0.9900
（1）随n的增大，趋于对称； （2）p→0.5 趋于对称。
二项分布的特征数： 平均数：μ=np 方差 ：σ2= npq
例：鱼苗死亡率为30%，求10尾鱼苗中 死亡数各可能值相对应的概率。
解：X～B(10,0.3), 即X服从二项分布，该二项分 布中 n=10, p=0.3，设x为死亡鱼的个数,
概率分布函数为累加值：F(x0)=P(X≤x0)
反映概率分布特征的总体特征数有：数 学期望（总体平均数）、方差等。
数学期望 方差
其中：
E(c)=c
E(cX)=cE(X)
E(X+c)=E(X)+c
Var(X+c)=Var(X)
Var(cX)=c2Var(X)
2、二项分布
特征：
（1）每次试验有两种互不相容的结果。
最重要的连续分布为正态分布
正态分布是十八世纪末十九初，由法 国数学家拉普拉斯和德国数学家高斯等研 究出来的理论分布，有时也称为高斯曲线。
1、正态分布的密度函数与分布函数
密度函数
其中μ 为平均数，σ 为标准差。
X～N(μ , σ 2)
正态分布特点
（1）左右对称；分布在横轴上面，平均数所在一点的Y 最高；
率。
随k的增大，l/k将围绕某一确定的常数p做平 均幅度愈来愈小的变动. 频率的稳定值p即为事件 A的概率。
概率是事件在试验结果中出现可能性大小的 定量计量。 0≤ P(A) ≤1 概率性质： P(Ω)=1
P(V)=0
第二节 离散型随机变量的概率分布
1、一般性描述
概率函数:P(X=xi)=pi 或 P(x)=P(X=x) 由概率函数可作概率分布图。
（2）曲线位置和形状由和决定；
（3）在平均数所在点向左右两方，曲线迅速下降，两 尾向左右延伸，永不接触； （4）离平均数的左、右方分别1σ 处，为曲线的拐点； （5）正态分布曲线与轴之间的总面积积分等于1。
累积分布函数
F ( x0 ) P ( X x0 )

x0

f ( x) dx