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自变量取值范围的讨论

王永建

求函数自变量的取值范围，就是在使函数有意义的前提下，问自变量允许取哪些值？ 解此类问题，要注意以下三种情况：

（1）整式和奇次根式中，自变量的取值范围是全体实数；

（2）在分式中，分母不能为零；

（3）偶次根式中，被开方式非负。

有时，在同一问题中，同时出现上述两种情形，甚至三种情形全部出现，这时判断自变量取值范围要注意全面。

例1：在函数4

x 2x y 2--=

中，自变量x 的取值范围是_________。 解：∵分母为0时，4

x 2x 2--无意义 即2x 04x 2±≠≠-，

∴自变量x 的取值范围是2x ±≠的一切实数。 解此题时，要防止以下的错误：

2

x 1)2x )(2x (2x 4x 2x 2+=-+-=-- 02x ≠+，即2x -≠

此法错误在于，分式4

x 2x 2--的自变量允许值范围应该是2x ±≠，而约分后自变量允许值扩大为2x -≠，所以，求分式的自变量允许值范围，不能随便约分，否则会扩大允许值的范围。

例2：在函数|

2x |8x 2y 2--=中，自变量x 的取值范围是_________。 解：因为分母为0时，分式无意义，所以0|2x |≠-，即2x ≠

例3：在函数2

x x 1x 2y 2-++=

中，自变量的取值范围是_________。 解：要使1x 2+有意义，必须01x 2≥+，即2

1x -≥ 又因分母不能为0，02x x 2≠-+∴，即12x ，

-≠ ∴所求取值范围是21x -≥，且1x ≠

例4：在函数21x 16)1x (y -+-=-中，自变量x 的取值范围是（ ）

A. 1x ≠

B. 4x 4≤≤-

C. 1x ≠或4x 4≤≤-

D. 4x 4≤≤-且1x ≠

解：要使1)1x (--有意义，1x ≠ 要使2x 16-有意义，4x 4≤≤-

∴要使函数有意义，需4x 4≤≤-，且1x ≠

应选D

下列习题供同学练习：

1. 在函数2

x x 1y -+=

中，自变量x 的取值范围是_________。 2. 函数3x 2y +=中，y 的取值范围是3y 3≤≤-，则x 的取值范围是_________。

3. 已知函数1|x |1y -=，这个函数自变量的取值范围是_________。

4. 函数2

x |x |2y +-=

中，自变量x 的取值范围是_________。