空间平行关系的相互转化

空间平行关系的相互转化

山东省莱芜市第五中学数学组（271121） 刘峰

空间的平行关系包括线线平行，线面平行，面面平行。解决此类问题的关键是利用相关的定理，性质将三者或其中的两者之间进行合理的转化，下面我们将空间的平行关系进行总结。

三种平行关系的相互转化可用下图来表示： 线线平行线面平行

面面平行

（1）

（2）（3）（4）（5）

（6）

其中（1）线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．

（2）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.

（3）面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．

（4）面面平行的性质：如果两个平面相互平行那么其中一个平面内的一条直线平行于另一个平面.

（5）（面面平行判定定理的推论）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面互相平行．

（6）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 下面我们通过几个例题来看一下在具体题目中如何进行转化。

例1、已知平面l α

β=，直线//,//.a a αβ 求证：//a l

【证明】如右图：过直线a 作平面c γ

α=. 则由//a α得//.a c

过直线a 作平面b δ

β=，则由//a β 得//.//a b b c ∴.

又,,//b c b ααα⊄⊂∴.

而,,//,//.l b b l a b βαβ=⊂∴又//a l ∴.

【点评】（1）本题综合应用线面平行的判定和性质，实现线面平行和线线平行的相互转化；

（2）由本题得到了一个重要的结论：如果一条直线同时与两个相交平面平行，那么这条直线和这两个相交平面的交线平行。

例 2.如右图，两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于

AB ，M AC ∈，N FB ∈且AM FN =.求证：//MN BCE 面.

【证法一】如右图,过M 作MP ⊥BC ，NQ ⊥BE ，P 、Q 为垂足，

连结PQ. ∵MP ∥AB ，NQ ∥AB ，∴MP ∥NQ . 又22,,,22MP MC NQ BN MC BN MP NQ ===∴=又,

∴MPQN 是平行四边形.∴MN ∥PQ ，又PQ ⊂平面BCE .

而MN ⊄平面BCE ，∴MN ∥平面BCE.

【证法二】如右图，过M 作MG ∥BC ，交AB 于点G ，连结NG

∵MG ∥BC ，BC ⊂平面BCE ，

MG ⊄平面BCE ，∴MG ∥平面BCE

,,,AM AG AG FN AM FN AC BF AC AB AB BF

===∴=且 ∴GN ∥AF ∥BE ，又BE ⊂平面BCE ，

GN ⊄平面BCE ，∴GN ∥平面BCE

又MG NG G =，∴平面MNG ∥平面BCE

又MN ⊂平面MNG ∴MN ∥平面BCE

【点悟】证明线面平行是一个考查的重点，证明时通常采用以下两种方法：①利用线面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用面面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行

例3、如右图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，

设,,,M N E F 分别是棱11111111,,,A B A D C D B C 的中点.

（1） 求证：,,,E F B D 四点共面；

（2） 求证：面//AMN EFBD 面.

【证明】（1）连结11B D ，则11//EF B D ，又11//B D BD ，//EF BD ∴，故,,,E F B D 四点共面.

（2）连结ME ，则1111//,ME A D ME A D =且，又1111//AD A D AD A D =且，//AD ME AD ME ∴=且 ∴四边形ADEM 是平行四边形，故//,,,//;AM DE AM EFBD DE EFBD AM EFBD ⊄⊂∴又面面面同理//AN EFBD 面.又AM AN A =，∴面//AMN EFBD 面.

【点评】证明面面平行一般利用面面平行的判定定理，在一个平面内找两条相交直线分别平行于另一个平面。在本题的证明过程中实现了线线平行→线面平行→面面平行的转化。