高中数学《三角函数、平面向量、解三角形》练习题1 必修4

湖南省桃江四中高二数学《三角函数、平面向量、解三角形》练习题1

时间：120分钟 满分：150分 姓名 班级 学号

一、选择题(每小题5分，共50分)

1.化简cos15cos45cos75sin45︒︒-︒︒的值为（ ） A. 12

-

C .

12

D. 2.设向量,a b 满足:1||=a , 2||=b , ()0a a b ⋅+=, 则a 与b 的夹角是（ ）

A ． 30

B ． 60

C ． 90

D ． 120

3.已知角α的终边经过点)60cos 6,8(0

--m P ，且5

4

cos -

=α，则m 的值为（ ） A

21 B 2

1

- C 23- D 23

4.设函数2

2()cos ()sin (),44

f x x x x R ππ

=+

-+∈，则函数()f x 是（ ）

A ．最小正周期为π的奇函数

B ．最小正周期为π的偶函数

C ．最小正周期为2π的奇函数

D ．最小正周期为2

π

的偶函数

5.已知平面向量(1,2)a =，(2,)b m =-，且a //b ，则23a b +＝（ ）

A ．(5,10)--

B ．(4,8)--

C ．(3,6)--

D ．(2,4)--

6.已知4cos 5α=-

,且(,)2παπ∈,则tan()4

π

α-等于（ ） A.1

7

- B.7- C.71 D .7

7.函数2tan

2tan 1

2

x

y x =

-的最小正周期为（ ） A ．π

B ．2π

C ．4π

D ．

2

π 8.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则

()PA PB PC ⋅+等于 （A ）49-

（B ）43- （C ）43 (D) 4

9

（ ） 9.要得到函数sin2cos2y x x =-的图象，只要将函数sin2cos2y x x =+的图象沿x 轴（ ）

A .向右平移

4π个单位 B.向左平移4

π

个单位

C.向右平移

2π个单位 D.向左平移2

π

个单位 10.已知α为锐角，且4

cos(),65

π

α+

=则cos α的值为. （ ）

D

二、填空题(每小题5分，共25分)

11.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC BD ===则(3,5)-- 12.设(2,4),(1,1)a b ==，若()b a m b ⊥+⋅，则实数m = 3- 13.

已知点1),(cos ,sin )A B θθ-，其中[]0,θπ∈，则AB 的最大值为________.3 14.

若函数())cos()(0)f x x x φφφπ=+-+<<为奇函数，则φ=________6

π 15.在斜三角形ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若

1tan tan tan tan =+B

C

A C ， 则

=+2

2

2c b a ．3 三、解答题(共75分)

16.

53()42

ππ

θ<<

17.

已知函数22()cos cos sin 2222x x x x f x ⎛⎫

=-- ⎪⎝⎭

．

（1）求函数)(x f 的最大值并求出此时x 的值； （2）若0)(=x f ，求

sin cos()

sin sin()

2

x x x x +++-ππ

的值． 解：（1

）22π

()cos (cos sin )cos 2sin()22226

x x x x f x x x x =--=-=- …………2分

当ππ2π+,62x k k -

=∈Z ，即2π

2π+,3

x k k =∈Z 时，()f x 取得最大值为2. …………6分

（2）令()0f x =

时，得tan x =

. …………8分

sin cos()sin cos tan 1

3 2.sin cos tan 1

sin sin()

2

x x x x x x x x x x ππ

++--=

==-+++- …………12分

18. 如图2，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．

（1）求渔船甲的速度； （2）求sin α的值． 解：（1）依题意，120BAC ∠=，12AB =，10220AC =⨯=，

BCA α∠=．………………………2分

在△ABC 中，由余弦定理，得

2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⨯⨯∠ ……………………4分

2

2

122021220cos120784=+-⨯⨯⨯=．

解得28BC =． ………………………………………………………6分

所以渔船甲的速度为

142

BC

=海里/小时． 答：渔船甲的速度为14海里/小时．…………………………………7分

（2）方法1：在△ABC 中，因为12AB =，120BAC ∠=，28BC =，

BCA α∠=，

由正弦定理，得

sin sin120

AB BC

α=

．………………………………………………………9分 即3

12sin120332sin 2814

AB BC

α⨯

=

=

=． 答：sin α的值为33

14

．………………………………………………………………………12分

方法2：在△ABC 中，因为12AB =，20AC =，28BC =，BCA α∠=， 由余弦定理，

得

222cos 2AC BC AB AC BC α+-=⨯．…………………………………………………………9分

即22220281213

cos 2202814

α+-=

=⨯⨯．