向量的加法及其几何意义-PPT课件
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数学人教A版(2019)必修二6.2.1向量的加法运算(共19张ppt)
Ԧ
A
问题2：结合例1，探究|Ԧ + |，||，
Ԧ
||之间的关系.
如果向量，不共线，如图，三角形两边之和大于第三边，所以
Ԧ
|Ԧ + | < ||
Ԧ + ||.
O
Ԧ
A
Ԧ
B
综上可知，|Ԧ + | ≤ ||
Ԧ + ||，当且仅当，方向相同时等号成
Ԧ
立.
数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和
如图，已知非零向量，，在平面内取任意一点A，作
Ԧ
= ，
Ԧ
= ，则向量叫做与的和，记作
Ԧ
Ԧ + ，即Ԧ + = + =
.
Ԧ
C
Ԧ
Ԧ
A
Ԧ
B
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.这种求向量和的方法，
称为向量加法的三角形法则.
如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力1 与2 的作
结合律呢？
如图，作 = Ԧ ， = ，以AB，AD为邻边作▱，
Ԧ
D
Ԧ
A
C
Ԧ + Ԧ
Ԧ
Ԧ
B
容易发现 = ， = Ԧ ，故 = + = Ԧ + .
又 = + = + Ԧ ，所以Ԧ + = + Ԧ .（交换律）
km/h，同时江水的速度为向东6 km/h.
（1）用向量表示江水速度、船速以及船
实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小（结果
保留小数点后一位）与方向（用与江水速度
间的夹角表示，精确到1°）.
向量的加法课件(公开课获奖课件)
要点二
性质
数乘满足交换律和结合律，即k*(a+b)=k*a+k*b， (k+l)*a=k*a+l*a。
数乘的几何意义
表示伸缩
数乘可以表示向量在坐标轴上的伸缩，当k>0时，表示 向量在原方向上放大；当k<0时，表示向量在原方向上 缩小。
表示旋转
通过数乘可以将向量绕原点旋转一定的角度，旋转角度 与k的绝对值成正比。
力的分解
一个力可以分解为两个或多个分 力，分力的方向和大小同样可以 通过向量加法得到。
速度与加速度的研究
速度的合成
当物体在多个方向上运动时，其速度可以看 作是各个方向上速度的向量和，即速度的合 成。
加速度的研究
加速度的大小表示速度变化的快慢，方向表 示速度变化的方向，可以通过向量加法来研 究加速度的方向和大小。
交换律是指向量加法的结果不依赖于向量的顺序，即向量加法满足可交换性。
详细描述
交换律是向量加法的基本性质之一，它表明向量加法不具有方向性。无论向量是按什么顺序相加，其 结果都是相同的。例如，向量$vec{A} + vec{B}$和向量$vec{B} + vec{A}$是相等的。
结合律
总结词
结合律是指向量加法的结果不依赖于括 号的位置，即向量加法满足可结合性。
题目2
已知点$O(0,0)$，点$A(3,5)$，点$B( - 2, - 1)$，求 $overset{longrightarrow}{OA} + overset{longrightarrow}{OB}$。
综合练习题
• 总结词：综合运用向量加法的知识解决复杂问题
• 题目1：已知点$A(1,2)$，点$B(3,4)$，点$C(5,6)$，点$D(7,8)$，求证：四边形ABCD是平行四边形。 • 题目2：已知$\overset{\longrightarrow}{a} = (1,2)$，$\overset{\longrightarrow}{b} = (3, - 1)$，
人教版中职数学拓展模块一：3.2.1向量的加法课件(共21张PPT)
活动 2
调动思维，探究新知
想一想
如果向量， 共线时，如何作出 +？
在初中，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
活动 2
调动思维，探究新知
注：
对于零向量与任意向量 ，都有
＋0 = 0＋ = ．
活动 3
巩固练习，提升素养
解 （1）在平面内任取一点 A，作向量 = ，
以
在初中，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
活动 2
调动思维，探究新知
我们把这种求两个向量和的作图法则称为向量加法
的平行四边形法则．
特别提示
向量加法的平行四边形法则特点是两个向量首首相连.
在初中，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学
拓展模块（一）
第三单元 平面向量
3.2.1向量的加法
人民教育出版社
第三单元 平面向量
3.2.1向量的加法
学习目标
知识目标
理解向量加法的概念，理解向量加法的三角形法则与平行四边形法则；
学生运用自主探讨、合作学习，理解向量运算与数的运算的区别和联系，理
能力目标
解向量加法的几何意义，掌握运用向量加法的三角形法则与平行四边形法求
活动 3
巩固练习，提升素养
例3 某人先向东走 3 km，接着向北走 3 km．求这
ห้องสมุดไป่ตู้
个人的位移．
课堂小结
3.2.1
/作业布置/
P75，练习1./2./3./4.
闻过而终礼,知耻而后勇。
感谢观看
调动思维，探究新知
想一想
如果向量， 共线时，如何作出 +？
在初中，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
活动 2
调动思维，探究新知
注：
对于零向量与任意向量 ，都有
＋0 = 0＋ = ．
活动 3
巩固练习，提升素养
解 （1）在平面内任取一点 A，作向量 = ，
以
在初中，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
活动 2
调动思维，探究新知
我们把这种求两个向量和的作图法则称为向量加法
的平行四边形法则．
特别提示
向量加法的平行四边形法则特点是两个向量首首相连.
在初中，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学
拓展模块（一）
第三单元 平面向量
3.2.1向量的加法
人民教育出版社
第三单元 平面向量
3.2.1向量的加法
学习目标
知识目标
理解向量加法的概念，理解向量加法的三角形法则与平行四边形法则；
学生运用自主探讨、合作学习，理解向量运算与数的运算的区别和联系，理
能力目标
解向量加法的几何意义，掌握运用向量加法的三角形法则与平行四边形法求
活动 3
巩固练习，提升素养
例3 某人先向东走 3 km，接着向北走 3 km．求这
ห้องสมุดไป่ตู้
个人的位移．
课堂小结
3.2.1
/作业布置/
P75，练习1./2./3./4.
闻过而终礼,知耻而后勇。
感谢观看
向量加法运算及其几何意义 课件
【核心素养培优区】 【易错案例】向量的加法在向量化简中的应用 【典例】如图,在正六边形ABCDEF中, BA CD EF=( B )
A.0 B.BE C.AD D.CF
【失误案例】BA CD EF (BA AF) EF BF EF BE.
【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:本题错误的原因是未能结合正六边形边的关系, 得到 EF CB, 在化简的过程中代入.
【点拨】 (1)对向量加法三角形法则的两点说明 ①适用范围:任意向量. ②注意事项:(ⅰ)两个向量一定首尾相连. (ⅱ)和向量的始点是第一个向量的始点,终点是第二个 向量的终点. (ⅲ)当多个向量相加时,可以使用三角形法则.
(2)对向量加法的平行四边形法则的三点说明 ①适用范围:任意两个非零向量,且不共线. ②注意事项:(ⅰ)两个非零向量一定要有相同的始点; (ⅱ)平行四边形中的一个对角线所对应的向量为和向 量.
【变式训练】(荆州高一检测)设正六边形
ABCDEF,AB m，AE n, 则AD =________. 【解析】如图,
ED AB所 m以， 答案:n+m
AD AE ED n m．
类型三 向量加法的实际应用 【典例】长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡 进行运输。现有一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的 速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东 2km/h.
列结论中,正确的是 ( ) ①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|; ⑤|a+b|=|a|+|b|. A.①② B.①③ C.①③⑤ D.③④⑤
3.如图,E,F,G,H分别是梯形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中 点,化简下列各式:
6.2平面向量的运算课件共40张PPT
故选 B.
→
→
→
→
即时训练 3-2:在四边形 ABCD 中,=,若||=||,则四边形 ABCD 的
形状为
.
→
→
解析:由=,可得四边形 ABCD 为平行四边形,
→
→
由||=||,可得邻边相等,此平行四边形是菱形,
所以四边形 ABCD 为菱形.
答案:菱形
→
→
→
→
[备用例 3] 若 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足|-|=|-+
探究点二
向量加法运算律的应用
[例 2] 化简:
→
→
(1)+;
→
→
→
→
→
解:(1)+=+=.
[例 2] 化简:
→
→
→
(2)++;
→
→
→
→
→
→
解:(2)++=++
→
→
→
=(+)+
→→Biblioteka =+=0.
[例 2] 化简:
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
解:(2)原式=--+=(-)+(-)=+=0.
→
→
→
[备用例 2] 化简:--.
→
→
→
→
→
→
解:法一 --=-=.
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
即时训练 3-2:在四边形 ABCD 中,=,若||=||,则四边形 ABCD 的
形状为
.
→
→
解析:由=,可得四边形 ABCD 为平行四边形,
→
→
由||=||,可得邻边相等,此平行四边形是菱形,
所以四边形 ABCD 为菱形.
答案:菱形
→
→
→
→
[备用例 3] 若 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足|-|=|-+
探究点二
向量加法运算律的应用
[例 2] 化简:
→
→
(1)+;
→
→
→
→
→
解:(1)+=+=.
[例 2] 化简:
→
→
→
(2)++;
→
→
→
→
→
→
解:(2)++=++
→
→
→
=(+)+
→→Biblioteka =+=0.
[例 2] 化简:
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
解:(2)原式=--+=(-)+(-)=+=0.
→
→
→
[备用例 2] 化简:--.
→
→
→
→
→
→
解:法一 --=-=.
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
向量加法运算及其几何意义课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
解： 如图，AB表示水流的速度，AD表示小船的速度.由已知得，AB 7.5km/ h, AD 15km/ h, BAD 120.以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD ，则AC 表示小船的实际航行速度，BC AD 15km/ h，ABC 60.延长BA到点E， 使BE BC.又ABC 60，所以三角形BCE是等边三角形.在三角形BCE中， AC是三角形BCE的中线，所以AC BE，从而BAC 90. 在直角三角形ABC 中，AC BCsin 60 15 3 (km/ h).
解：（1）如图，AD表示船速，AB表示江水速度，以AD，AB为邻边作平行四边形
ABCD, 则AC表示船实际航行的速度。
（2）在直角三角形ABC 中，AB 6，BC 15，于是
2
2
AC AB BC 62 152 261 16.2.
因为tan CAB BC 5 ，所以利用计算工具可得CAB 68. AB 2
2 所以小船的实际航行速度15 3 km/ h，方向与河岸垂直.
2
课堂总结
1．向量加法的三角形法则和平行四边形法则； 2．向量a＋b与非零向量a，b的模及方向的关系； 3. 向量在生活中的应用。
课后作业
完成导学案后的课后作业
谢谢聆听
本课结束
课堂练习
2.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 在 CD 上，判断下列各式是否正确。
（1）DA DP PA（×） （2）DA AB BP D（ P√） （2）AB BC CP PA（×）
3.在四边形 ABCD 中，B→C＋C→D＋D→A＝( D )
→ A.BD
→ B. AC
例3.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输。现有一艘船从长江南岸 A点出发，以15km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东6km/h (1)用向量表示江水速度、船速及船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的 夹角表示，精确到1°）
解：（1）如图，AD表示船速，AB表示江水速度，以AD，AB为邻边作平行四边形
ABCD, 则AC表示船实际航行的速度。
（2）在直角三角形ABC 中，AB 6，BC 15，于是
2
2
AC AB BC 62 152 261 16.2.
因为tan CAB BC 5 ，所以利用计算工具可得CAB 68. AB 2
2 所以小船的实际航行速度15 3 km/ h，方向与河岸垂直.
2
课堂总结
1．向量加法的三角形法则和平行四边形法则； 2．向量a＋b与非零向量a，b的模及方向的关系； 3. 向量在生活中的应用。
课后作业
完成导学案后的课后作业
谢谢聆听
本课结束
课堂练习
2.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 在 CD 上，判断下列各式是否正确。
（1）DA DP PA（×） （2）DA AB BP D（ P√） （2）AB BC CP PA（×）
3.在四边形 ABCD 中，B→C＋C→D＋D→A＝( D )
→ A.BD
→ B. AC
例3.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输。现有一艘船从长江南岸 A点出发，以15km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东6km/h (1)用向量表示江水速度、船速及船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的 夹角表示，精确到1°）
人教A版高中数学必修四2.2.1向量的加法及其几何意义说课课件
问题探究
实数的加法运算满足交换律，即对任意 a，b∈R，都有a＋b=b＋a.那么向量的
加法也满足交换律吗？如何检验？
a
b
b a+b
a
向量加法满足交换律和结合律
(1)向量加法交换律：
ab ba
(2)向量加法结合律：
(a+b)+c a (b c)
以上两个运算律可以推广到 任意多个向量.
小结
向量加 法
特例：共线向量
(1) 同向
a
b
(2)反向
a
b
A
B
C
B
CA
用平行四
边形法则求和向量的情况？
探究：
1 当a, b不共线时，
a b <ab< a b
2 当 a, b 同向时，
ab = a b
C
a+b b
A
a
B
a+b
Aa B
b
C
3 当 a, b 异向时，
ab = a b
a+b
C
A
B
结论： a b a b a b
问题探究
向量加 法
如图所示，计算下列各式
(1) (a+b)+c (2) a (b c)
D
c
C
D
c
C
(a + b) + c
a+b
a + (b + c) b
b+c b
B
B
A
a
A
a
思考：实数的加法运算满足结合律，那 么向量的加法运算也满足结合律吗？
B
B
A
向量加法运算及其几何意义shalom.ppt
2.2.1向量加法运算及其几何意义
第二十一中学 战彬彬
复习回顾： 1、向量的定义、表示方法 2、平行向量的概念 3、相等向量的概念
2.2.1向量加法运算及其几何意义
第二十一中学 战彬彬
一、向量加法的定义：
求两个向量和的运算，叫做向量的加法
G
它们之 间有什 么关系 G F为F1与 F2的合力 G
向量的加法法则
F1
E
O
C
E
F2
O
F1 A
F
E FC
O
F2 B
例1、如图，已知向量a，b， 求作向量a b
a b
练习一：
向量加法的运算律
交换律 结合律
例2、根据图示填空：
(1) a d _____________
(2) c b _____________
练习2、根据图示填空：
(1) 表示“向东走10km”b 表示”向西走5km”
（1）
a
+
a 表示
（2）
a
+
b
表示
探究：
rr r r
判断 | a + b | 与 | a的| +大|小b |
当堂达标
小结
1.向量加法的三角形法则 (要点：两向量首尾连接)
2.向量加法的平行四边形法则 (要点：两向量起点重合组 成 平行四边形两邻边) 3.向量加法满足交换律及结合律 rr rr a+ b= b+ a rr r r rr (a + b) + c = a + (b + c)
(2) c d ______________
(3) a b d _______________
第二十一中学 战彬彬
复习回顾： 1、向量的定义、表示方法 2、平行向量的概念 3、相等向量的概念
2.2.1向量加法运算及其几何意义
第二十一中学 战彬彬
一、向量加法的定义：
求两个向量和的运算，叫做向量的加法
G
它们之 间有什 么关系 G F为F1与 F2的合力 G
向量的加法法则
F1
E
O
C
E
F2
O
F1 A
F
E FC
O
F2 B
例1、如图，已知向量a，b， 求作向量a b
a b
练习一：
向量加法的运算律
交换律 结合律
例2、根据图示填空：
(1) a d _____________
(2) c b _____________
练习2、根据图示填空：
(1) 表示“向东走10km”b 表示”向西走5km”
（1）
a
+
a 表示
（2）
a
+
b
表示
探究：
rr r r
判断 | a + b | 与 | a的| +大|小b |
当堂达标
小结
1.向量加法的三角形法则 (要点：两向量首尾连接)
2.向量加法的平行四边形法则 (要点：两向量起点重合组 成 平行四边形两邻边) 3.向量加法满足交换律及结合律 rr rr a+ b= b+ a rr r r rr (a + b) + c = a + (b + c)
(2) c d ______________
(3) a b d _______________
向量的加法运算及其几何意义课件
在解析几何中，向量加法可以用于线性组合的计算。线性组 合是指一组向量的加权和，即$overset{longrightarrow}{D} = lambdaoverset{longrightarrow}{A} + muoverset{longrightarrow}{B}$，其中$lambda$和$mu$ 为实数。线性组合在解决实际问题中具有广泛的应用。
应用拓展
随着科技的进步，向量加法的应用领域将不断拓展，如人工智能、信号处理、图像处理等，为解 决实际问题提供更多有效的方法。
算法优化
随着计算技术的发展，向量加法的算法将不断优化，提高计算效率和精度，为相关领域的研究和 应用提供更好的支持。
THANKS
感谢观看
向量的加法运算及其几何意义
• 向量加法的定义与性质 • 向量加法的几何意义 • 向量加法的运算规则 • 向量加法的应用实例 • 总结与展望
01
向量加法的定义与性质
向量加法的定义
向量加法是由平行四边形法则或三角形法则定义的。在二维空间中，向量加法可以通过连接两个向量 的起点和终点，并绘制一个平行四边形来完成。在三维空间中，向量加法可以通过连接两个向量的起 点和终点，并绘制一个三角形来完成。
物理应用
向量加法在物理中有广泛的应用， 如速度、加速度、力的合成等， 通过向量加法可以更直观地理解 物理现象。
解析几何
向量加法在解析几何中也有重要 的意义，它可以用来描述平面或 空间中的点、线、面等几何对象 的位置和方向。
向量加法的未来发展
理论完善
随着数学和物理学等学科的发展，向量加法的理论体系将进一步完善，为相关领域的研究提供更 坚实的基础。
算。
03
向量加法的运算规则
向量的加法运算课件-高一下学期数学人教A版2
(2)D→B＋A→C＋B→D＋C→A； 解 D→B＋A→C＋B→D＋C→A＝(D→B＋B→D)＋(A→C＋C→A)＝0＋0＝0.
(3)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A. 解 A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A＝A→B＋B→C＋C→D＋D→F＋F→A＝A→C ＋C→D＋D→F＋F→A＝A→D＋D→F＋F→A＝A→F＋F→A＝0.
反思感悟
应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤
表示
用向量表示有关量，将所 要解答的问题转化为向量 问题.
运算
应用向量加法的平行四边 形法则和三角形法则，将 相关向量进行运算，解答 向量问题.
还原
根据向量的运算结果，结 合向量共线、相等等概念 回答原问题.
跟踪训练3 如图所示，在某次抗震救灾中，一架飞机从A地按北 偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地 按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行 的路程及两次位移的和.
解 (1)作O→A＝a，A→B＝b，则O→B＝a＋b，如图(1). (2)作O→A＝a，A→B＝b，则O→B＝a＋b，如图(2). (3)作O→A＝a，A→B＝b，则O→B＝a＋b，如图(3).
3
共线向量的加法与 向量加法的运算律
问题二
如果向量a，b共线，它们的加法与数的加法有什么 关系？你能做出向量a＋b吗？
解 方法一 可先作a＋c，再作(a＋c) ＋b，即a＋b＋c.如图：
C
O
B
A
例2 如图，已知向量a，b，c， 求作和向量a＋b＋c.
解 方法二 三个向量不共线，用平 行四边形法则来作Biblioteka 如图：DEB
O
C
A
反思感悟
(3)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A. 解 A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A＝A→B＋B→C＋C→D＋D→F＋F→A＝A→C ＋C→D＋D→F＋F→A＝A→D＋D→F＋F→A＝A→F＋F→A＝0.
反思感悟
应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤
表示
用向量表示有关量，将所 要解答的问题转化为向量 问题.
运算
应用向量加法的平行四边 形法则和三角形法则，将 相关向量进行运算，解答 向量问题.
还原
根据向量的运算结果，结 合向量共线、相等等概念 回答原问题.
跟踪训练3 如图所示，在某次抗震救灾中，一架飞机从A地按北 偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地 按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行 的路程及两次位移的和.
解 (1)作O→A＝a，A→B＝b，则O→B＝a＋b，如图(1). (2)作O→A＝a，A→B＝b，则O→B＝a＋b，如图(2). (3)作O→A＝a，A→B＝b，则O→B＝a＋b，如图(3).
3
共线向量的加法与 向量加法的运算律
问题二
如果向量a，b共线，它们的加法与数的加法有什么 关系？你能做出向量a＋b吗？
解 方法一 可先作a＋c，再作(a＋c) ＋b，即a＋b＋c.如图：
C
O
B
A
例2 如图，已知向量a，b，c， 求作和向量a＋b＋c.
解 方法二 三个向量不共线，用平 行四边形法则来作Biblioteka 如图：DEB
O
C
A
反思感悟
向量的加法运算及其几何意义课件
作平移,首尾连， 作平移,首尾连，由起点指终点
当向量 a ，是共线向量时，a + b 又如何 b是共线向量时， 作出来？ 作出来？
(1) 同向
a
(2)反向
a
b
A a a+b B b C
b
a+b C b A a B
AC = a + b
AC = a + b
规定： + 0 = 0 + a = a a
向量的加法
探究一： 探究一：向量加法的几何运算法则
思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按原方向到点C，
则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
A
B
C
AB + BC = AC
思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按反方向到点C，则
两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
C
A
B
AB + BC = AC
已知 a = 8, b = 6, 则 a + b 的最大值和最小值是 ___
14 2
数的加法满足交换律与结合律,即对任 数的加法满足交换律与结合律 即对任 意a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c) 有 任意向量a,b的加法是否也满足交换律 任意向量 的加法是否也满足交换律 与结合律? 与结合律
∴ tan ∠DAB = 3 ∴ ∠ D A B = 6 0 o
答:船实际行驶速度的大小为 船实际行驶速度的大小为4km/h,方向与水流速度间的夹角60 o . 方向与水流速度间的夹角 船实际行驶速度的大小为
课时小结 课时小结
１.向量加法的定义 向量加法的两种法则： ２.向量加法的两种法则：
《向量的加减法》课件
03 向量的数乘
数乘的定义
定义
对于向量$overset{longrightarrow}{a}$ 和实数$k$，数乘 $koverset{longrightarrow}{a}$是一个 向量，其长度为 $|k||overset{longrightarrow}{a}|$，方 向与$overset{longrightarrow}{a}$相同 或相反，取决于$k$的正负。
向量加法的性质
向量加法满足结合律
即$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} + (overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c})$。
谢谢聆听
02
当$k < 0$时，$koverset{longrightarrow}{a}$表示向 量$overset{longrightarrow}{a}$按比例缩小$-k$倍。
03
当$k = 0$时，$0overset{longrightarrow}{a} = mathbf{0}$，即零向量。
数乘的性质
箭头表示法
详细描述
向量通常用带箭头的线段表示，箭头指向代表方向，长度代表大小。
向量的模
总结词
向量的长度
详细描述
向量的模表示向量的长度，记作$|overrightarrow{AB}|$，计算公式为$sqrt{x^2+y^2}$。
02 向量的加法
向量加法的定义
定义
向量加法是指将两个向量首尾相接，以第一个向量的起点为 共同起点，以第二个向量的终点为共同终点，连接第一个向 量的终点与第二个向量的起点的向量。
《向量的加法与减法》课件
结果向量的方向由输入向量的相对位 置决定，结果向量的大小则由输入向 量的长度和夹角决定。
THANKS
感谢观看
向量加法的几何意义
总结词
向量加法的几何意义是表示两个向量在平面或空间中的相对 位置关系。
详细描述
向量加法的几何意义在于表示两个向量在平面或空间中的相 对位置关系。通过向量加法，我们可以理解一个向量是如何 由另一个向量产生的，以及它们之间的角度和长度关系。
向量加法的性质
总结词
向量加法满足交换律和结合律，不满足消去律。
向量减法的性质
总结词
向量减法的性质
详细描述
向量减法具有一些重要的性质，包括交换律、结合律和反身性。交换律指的是向量减法 的结果不依赖于减数向量的顺序，结合律指的是向量的加减运算满足结合律，反身性指
的是任意向量减去其自身等于零向量。
03 向量的加法与减 法的应用
在物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，向量加法和减法常用于表 示力的合成与分解。通过向量加法， 可以将多个力合成一个力；通过向量 减法，可以将一个力分解成多个分力 。
速度和加速度的计算
在运动学中，向量的加法和减法用于 计算速度和加速度。例如，在平抛运 动中，水平和垂直方向的速度可以通 过向量加法和减法计算出物体的最终 速度和加速度。
在数学中的应用
向量模的计算
向量的加法和减法可以用于计算向量的 模。通过向量加法，可以计算两个向量 的和的模；通过向量减法，可以计算两 个向量的差的模。
详细描述
向量加法满足交换律，即向量a加向量b等于向量b加向量a。同时，向量加法也 满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。但是，向量加法不满足消去律，即 a+b=b+a并不意味着a=b。这是因为向量的加法不具有唯一性，与实数加法不 同。
THANKS
感谢观看
向量加法的几何意义
总结词
向量加法的几何意义是表示两个向量在平面或空间中的相对 位置关系。
详细描述
向量加法的几何意义在于表示两个向量在平面或空间中的相 对位置关系。通过向量加法，我们可以理解一个向量是如何 由另一个向量产生的，以及它们之间的角度和长度关系。
向量加法的性质
总结词
向量加法满足交换律和结合律，不满足消去律。
向量减法的性质
总结词
向量减法的性质
详细描述
向量减法具有一些重要的性质，包括交换律、结合律和反身性。交换律指的是向量减法 的结果不依赖于减数向量的顺序，结合律指的是向量的加减运算满足结合律，反身性指
的是任意向量减去其自身等于零向量。
03 向量的加法与减 法的应用
在物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，向量加法和减法常用于表 示力的合成与分解。通过向量加法， 可以将多个力合成一个力；通过向量 减法，可以将一个力分解成多个分力 。
速度和加速度的计算
在运动学中，向量的加法和减法用于 计算速度和加速度。例如，在平抛运 动中，水平和垂直方向的速度可以通 过向量加法和减法计算出物体的最终 速度和加速度。
在数学中的应用
向量模的计算
向量的加法和减法可以用于计算向量的 模。通过向量加法，可以计算两个向量 的和的模；通过向量减法，可以计算两 个向量的差的模。
详细描述
向量加法满足交换律，即向量a加向量b等于向量b加向量a。同时，向量加法也 满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。但是，向量加法不满足消去律，即 a+b=b+a并不意味着a=b。这是因为向量的加法不具有唯一性，与实数加法不 同。
人教版数学必修第二册6.2.1向量的加法运算课件
________，a＋b的方向是________．
4．如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：
(1) ＋ ；
＋ =
(2) ＋ ；
= = =
＋ = + =
本课小结
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是
依题意，有||＋||＝800＋800＝1600(km)，
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以||＝
2
+
2
= 8002 + 8002 ＝800 2(km)．
跟踪训练
2．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行
800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞
任意的组合来进行．
(2)应用原则
利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，
通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
跟踪训练
1．向量(＋)＋(＋)＋化简后等于( D )
A.
B.
C.
D.
原式= (＋)＋(＋ ＋)
= ＋0
(3)向量加法的运算律有哪两条？
(4)|a＋b|，|a|＋|b|，|a|－|b|三者之间的大小有何关系？
课前小测
1．下列各式不一定成立的是( D )
A．a＋b＝b＋a
B．0＋a＝a
C．＋＝
D．|a＋b|＝|a|＋|b|
2. ＋ ＋ 等于( C )
A.
B.
a
O
b
A
B
✓ 第一作向量 ＝a，
甲
✓ 然后作向量 ＝b，
4．如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：
(1) ＋ ；
＋ =
(2) ＋ ；
= = =
＋ = + =
本课小结
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是
依题意，有||＋||＝800＋800＝1600(km)，
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以||＝
2
+
2
= 8002 + 8002 ＝800 2(km)．
跟踪训练
2．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行
800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞
任意的组合来进行．
(2)应用原则
利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，
通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
跟踪训练
1．向量(＋)＋(＋)＋化简后等于( D )
A.
B.
C.
D.
原式= (＋)＋(＋ ＋)
= ＋0
(3)向量加法的运算律有哪两条？
(4)|a＋b|，|a|＋|b|，|a|－|b|三者之间的大小有何关系？
课前小测
1．下列各式不一定成立的是( D )
A．a＋b＝b＋a
B．0＋a＝a
C．＋＝
D．|a＋b|＝|a|＋|b|
2. ＋ ＋ 等于( C )
A.
B.
a
O
b
A
B
✓ 第一作向量 ＝a，
甲
✓ 然后作向量 ＝b，
平面向量的加法PPT课件
04Biblioteka 向量加法的应用解决物理问题
力的合成与分解
通过向量加法，可以计算多个力的合 力或分力，从而解决与力相关的物理 问题。
速度和加速度的合成
在运动学中，向量加法用于计算物体 在多个方向上的速度和加速度，以解 决运动问题。
解决数学问题
向量模的计算
向量加法可以用于计算向量的模，即向量的 长度或大小。
02 向量加法的坐标表示
坐标表示的定义
总结词
坐标表示是平面向量加法中的一种重要方法，通过坐标系将向量表示为坐标形式 ，进而进行向量的加法运算。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量$overrightarrow{AB}$可以表示为从原点$O$ 到点$B$的有向线段，记作$(x_2-x_1, y_2-y_1)$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$ 分别是点$A$和点$B$的坐标。
结合律
总结词
向量加法的结合律是指向量的加法满足 结合性，即改变向量的加法括号，结果 不变。
VS
详细描述
结合律也是向量加法的基本性质之一，表 示向量加法不依赖于括号的组合方式。设 $vec{A}$、$vec{B}$和$vec{C}$为任意 三个向量，则有$(vec{A} + vec{B}) + vec{C} = vec{A} + (vec{B} + vec{C})$。
坐标表示的几何意义
总结词
坐标表示不仅将向量数量化，还揭示了向量的方向和大小。
详细描述
在坐标系中，向量的坐标表示形式不仅包含了向量的长度信 息（即模长），还包含了向量的方向信息。例如，向量$(3, 4)$和$(-3, -4)$的模长相等，但方向相反。
坐标表示的性质
力的合成与分解
通过向量加法，可以计算多个力的合 力或分力，从而解决与力相关的物理 问题。
速度和加速度的合成
在运动学中，向量加法用于计算物体 在多个方向上的速度和加速度，以解 决运动问题。
解决数学问题
向量模的计算
向量加法可以用于计算向量的模，即向量的 长度或大小。
02 向量加法的坐标表示
坐标表示的定义
总结词
坐标表示是平面向量加法中的一种重要方法，通过坐标系将向量表示为坐标形式 ，进而进行向量的加法运算。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量$overrightarrow{AB}$可以表示为从原点$O$ 到点$B$的有向线段，记作$(x_2-x_1, y_2-y_1)$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$ 分别是点$A$和点$B$的坐标。
结合律
总结词
向量加法的结合律是指向量的加法满足 结合性，即改变向量的加法括号，结果 不变。
VS
详细描述
结合律也是向量加法的基本性质之一，表 示向量加法不依赖于括号的组合方式。设 $vec{A}$、$vec{B}$和$vec{C}$为任意 三个向量，则有$(vec{A} + vec{B}) + vec{C} = vec{A} + (vec{B} + vec{C})$。
坐标表示的几何意义
总结词
坐标表示不仅将向量数量化，还揭示了向量的方向和大小。
详细描述
在坐标系中，向量的坐标表示形式不仅包含了向量的长度信 息（即模长），还包含了向量的方向信息。例如，向量$(3, 4)$和$(-3, -4)$的模长相等，但方向相反。
坐标表示的性质
6.2.1向量的加法运算课件(人教版)(1)
6.2.1 向量的加法运算
1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及
其运算律;
2.会用向量的三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和;
3.能够利用向量的交换律和结合律进行向量运算.
理解并掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则
向量加法的几何意义及运算律
直尺、双色笔、练习本、笔记本
知识回顾： 1、向量的概念
向量加法的三角形法则
① 在平面内任取一点O，
a
b
首尾相连，连首尾
A
O
② 作 OA a ， AB b ，
③ 则向量 OB 叫做 a 和 b 的和，记作
ab
a . b
即 a b OA AB OB
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。
B
引入2：力的合成
问题2 对于矢量的合成，物理学中还有其他方法吗？如图，在光滑的平面上，
ab
a
a
b
b
(3)
a
b
B
ab
Oab B
b
A
b
a
思考： 对于非零向量a, b, a b 与 a b , a b 之间什么关系？
向量的加法的运算律
D
B
C
A
C
A
O
B
加法交换律：
加法结合律：
化简
（1）AB CA _____
(2) AB CD DA _______
例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图，一艘船从
既有大小，又有方向的量叫做向量.
2、向量的表示方法及向量的模？
表示方法：（1）有向线段
A
B
1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及
其运算律;
2.会用向量的三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和;
3.能够利用向量的交换律和结合律进行向量运算.
理解并掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则
向量加法的几何意义及运算律
直尺、双色笔、练习本、笔记本
知识回顾： 1、向量的概念
向量加法的三角形法则
① 在平面内任取一点O，
a
b
首尾相连，连首尾
A
O
② 作 OA a ， AB b ，
③ 则向量 OB 叫做 a 和 b 的和，记作
ab
a . b
即 a b OA AB OB
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。
B
引入2：力的合成
问题2 对于矢量的合成，物理学中还有其他方法吗？如图，在光滑的平面上，
ab
a
a
b
b
(3)
a
b
B
ab
Oab B
b
A
b
a
思考： 对于非零向量a, b, a b 与 a b , a b 之间什么关系？
向量的加法的运算律
D
B
C
A
C
A
O
B
加法交换律：
加法结合律：
化简
（1）AB CA _____
(2) AB CD DA _______
例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图，一艘船从
既有大小，又有方向的量叫做向量.
2、向量的表示方法及向量的模？
表示方法：（1）有向线段
A
B
向量加法运算及其几何意义 课件
（1） a
b
（2） b a
想一想
1.若两向量互为相反向量,则它们的和为什么?
a （-a）（-a） a 0
2.零向量和任一向量 a的和为什么?
a0 0a a
3. a b , a b 和 a b 的大小关系如何?
a b ab a b
何时取得等号?
判断 | a b | 与 | a | | b | 的大小.
D
d
O
C
c
ab
A
B
２.根据图示填空
EeD
g
f
d
c
A
C
a
b
B
(1)a b c
(2)c d f (3)a b d f (4)c d e g
例2 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如 图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于对 岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留 两个有效数字); (2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角 表示,精确到度).
因为 tanCAB 5 , 2
CAB 68
A
B
答：船实际航行速度大小约为5.4km/h,方向与水的流 速间的夹角为68°.
引例2：力 F 对橡皮条产生的效果，与力 F1 与 F2 共同作用 的效果 相同 .
物理学中把力F 叫做F1与F2的合力
B
C
b
ab
O
a
A
即 a b OA OB OC
向量的加法
上述分析表明，两个向量可以相加，并且两个向量的和还
是一个向量.
一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
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a
c
bb
a
a+ b
2020/4/25
b+ a b
rr a ab
b rrc bc
abc
a
探究 向量加法的运算律
数的加法满足交换律和结合律，即对任
意a, b ，R有
a+b=b+a,
(a+b)+c=a+(b+c).
a, b 任意向量
的加法也满足交换律和结合律
交换律 a b b a
结合律
ab c a bc
2020/4/25
数学应用
例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
（1）OA OC (2) BC FE (3)OA FE
解：（1）OA OC OB.
E
D
（2）BC FE AD; （3）OA FE 0.
FO
C
A
B
2020/4/25
2020/4/25
数学应用
已知矩形ABCD中，宽为2，长为2 3，AB a, BC b, AC c 试做出向量a b c,并求出其模的大小
D
C
A
B
变式训练：
上述问题中，若BD d,试做出a b d,并求其模的大小
2020/4/25
课时小结
2.2.1 向量的加法运算及其几何意义
创设情境
AC a b
(2)向量的和仍然是向量
小试身手
判断下列求 a b的三角形法则的做法正 确吗？
a
ab
b
b
a ab
a
ab
b
a
ab
b
如图：已知 a和b，用向量加法的三角形 法则作出a b
a
(1)
b
a
b
ab
a
(2)
b
a
ab
b
(3) a b
(4)
2020/4/25
b a
b
a
ab
a b
ab
向量加法的平行四边形法则
请你帮我想办法
阿克苏 苏
乌鲁木齐
宝鸡
A 阿克苏
B乌鲁木齐
C 宝鸡
AC AB BC
情境设置
某人从A到B，再从B改变方向到C， 则两次的位移和： AB BC AC
C
A
B
思考：（1）向量 AB和BC有什么样的特点？
（2）向量 AB和BC的和向量有什么特点？
二、向量的加法：
1、定义：求两个向量和的运算叫向量的加法。
2.2.1 向量加法运算
及其几何意义
2.2.1 向量的加法及其几何意义
复习提问：
1、什么叫向量？一般用什么表示？
2、有向线段的三个要素是什么？
3、什么叫相等向量？
两个实数可以相加，从而给数赋予 了新的内涵.如果向量仅停留在概念的 层面上，那是没有多大意义的.我们希 望两个向量也能相加，拓展向量的数学 意义，提升向量的理论价值，这就需要 建立相关的原理和法则.
A
a a a a a a a a a a a+b
bb
b
O
b
b
bC
a
B
共起点
2020/4/25
练一练
如图,已知 a, b 用向量加法的平行四边形法则 作出 a b
（1） b
ab
共
ba
起 点
（2）
b
a
ab
a
2020/4/25
如图：已知 a、b、cc
向量加法的三角形法则
首尾相连
向量加法的平行四边形法则
有共同的起点
例题讲解
随堂练习
2020/4/25
布置作业
1、课本 91页 2、3、4 2、练习册
2020/4/25
2020/4/25
练一练
１.化简 (1) AB CD BC __A_D_____
(2) MA BN AC CB _M__N_____
(3)AB BD CA DC ___0_____
２.根据图示填空
EeD
gf
d
c
A
C
b
a
B
(1)a b c (2)c d f (3)a b d f (4)c d e g
2、图示：
B C
aaaaaaaaaa
b b b bA b b b
b b
作法：[1]在平面内任取一点A； [2]作AB= a , BC= b；
[3]则向量AC叫 a 与 b 的和。
这种作法叫做三角形法则(首尾相接)
特例：
方向相同
a b
方向相反
a b
A
B
C
CA
B
AC a b
注:(1) a +0 = 0 +a = a