第四章 空间力系

M O M O (F i)
主矩与简化中心的位置无关 2F . R ' 0 ,M O 0
简化结果：过简化中心的合力
3 F R ' . 0 ,M O 0 且 F R ' M O
MO
简化结果：不过简化中心的合力
FR'
FR
O
d
FR" O'
合力作用线距简化中心 d|M O| F R
§4-4 空间任意力系向一点的简化●主矢和主矩
§4-5 空间力系任意力系的平衡方程 例4-6 已知：P =1000N ,各杆重不计，求：三根杆所受力。
§4-2 力对点的矩和力对轴的矩
三、力对点之矩与力对轴之矩的关系
|M O(F )| 2SOAB |Mz(F)| 2SOab
2SOa b2SOAcBos
|M z ( F ) | |M O ( F ) |cos
z MO(F)
Mz(F)
B F
O
A
r
y
M o FxM x F
x
M OFyM y F （4-11）
30
P
A
F TC F TD 3.5k4N ; FA8.66kN
y
FA x
第四章 空间力系 §4-2 力对点的矩和力对轴的矩
§4-2 力对点的矩和力对轴的矩
一、空间的力对点之矩
空间的一个力使物体绕某一空间点转动的作用效果。
方位: 指向:
MO(F) — 力矩矢
|MO(F)| Fh 2SOAB
M3M4cos45 M5cos45 193.1Nm
M yM iy M 2 8 0 N m
Mz Miz
M1M4cos45 M5cos45 193.1Nm
第四章 空间力系 §4-4 空间任意力系向一点的简化●主矢和主矩
§4-4 空间任意力系向一点的简化●主矢和主矩
一、空间任意力系向一点的简化
已知力F与三个坐标轴的夹角 力F在坐标轴的投影为：
Fx Fcos
Fy Fcos Fz Fcos
直接投影法
（4－1）
§4-1 空间汇交力系
一、力在空间直角坐标轴上的投影
2、间接（二次）投影法
先将力向一个坐标平面投影，
再求出力在三个轴的投影。
γ
已知F力与z轴正向间的夹角 以及
先将力F投影到xoy平面上
力偶矢量的移动： 力偶矢量向上下移动——
力偶移动到平行平面上 力偶矢量平移动——
平面力偶的移动
§4-3 空间力偶
例4-4 已知：在工件四个面上同时钻5个孔， 每个孔所受 切削力偶矩均为80Nm， 求：工件所受力偶在坐标轴上的投影。 解：将力偶用力偶矩矢表示，平移到A点。
力偶矩矢在坐标轴上的投影：
Mx Mix
b a Fxy
M o FzM z F
力对点之矩在过该点的坐标轴上的投影 = 力对该轴之矩。
第四章 空间力系 §4-3 空间力偶
§4-3 空间力偶
一、力偶矩以矢量表示，力偶矢矩 1、空间力偶矩矢
空间力偶对刚体的作用效 应，可以用力偶矩矢度量。
力偶中的两个力对某点 之矩的矢量和来度量。
M O F ,F M OFM O F
M O(F)在 x轴 上 的 投 影
§4-2 力对点的矩和力对轴的矩
二、力对轴之矩
平面里的力对点之矩，实际是空间里力对轴之矩。
y
z
M z(F ) M o (F x y ) F x yh
x
空间的力对轴之矩：
（a）力与轴平行，力对轴的力矩等于零； （b）、（c）力与轴垂直，力对轴的力矩等于零；
§4-2 力对点的矩和力对轴的矩
§4-1 空间汇交力系
空间力系实例：
F R x
有效推进力 飞机向前飞行
F R y
有效升力
飞机上升
F R z
侧向力
飞机侧移
M Ox
滚转力矩
飞机绕x轴滚转
M Oy
偏航力矩
飞机转弯
M Oz
俯仰力矩
飞机仰头
§4-1 空间汇交力系
一、力在空间直角坐标轴上的投影 1、直接投影法
力F直接向坐标轴投影的方法称为直接投影法。
空间汇交力系的平衡方程
§4-1 空间汇交力系
二、例题
例4-1 已知：Fn、、求：力 F 在n 三个坐标轴上的投影。
解：
Fz Fnsin FxyFncos
F x F xs y in F ncossin
F y F xc y o s F nco cso s
§4-1 空间汇交力系
例4-2 不计自重的起重杆用球铰链固定在地面上。CD//x轴； CE= EB=DE, P=10kN，求起重杆和绳子的力。
[ M x ( F i ) 2 ] [ M y ( F i) 2 ] [ M z ( F i) 2]（4-19a） 方 cM o O , 向 i ) s M x ( F i ) M O
§4-4 空间任意力系向一点的简化●主矢和主矩
二、空间任意力系的简化结果分析
1F . R ' 0 ,M O 0 简化结果：合力偶 合力偶矩矢
第四章 空间力系
第四章 空间力系
§4-1 空间汇交力系 §4-2 力对点之矩和力对轴之矩 §4-3 空间力偶 §4-4 空间任意力系向一点的简化●主矢和主矩 §4-5 空间任意力系的平衡方程 §4-6 重心
第四章 空间力系
【本章重点内容】
力在空间坐标轴上的投影 力对轴之矩 空间力系的平衡方程 重心
MO"
FR'
6F . R ' 0 ,M O 0空间任意力系为平衡
MO'
FR'
MO'
FR
O
d O' FR"
第四章 空间力系 §4-5 空间任意力系的平衡方程
§4-5 空间力系任意力系的平衡方程 一、空间力系的平衡方程 空间力系平衡的充要条件：该力系的主矢、主矩分别为零。
FR 0 MFR0
Baidu Nhomakorabea
Fxy Fsin
一次投影
再将力Fxy投影到x、y轴上， 以及将力F投影到z轴上。
FxFsincos 二次投影
Fy Fsinsin
（4-2）
Fz Fcos
间接投影法（二次投影法）
§4-1 空间汇交力系
二、空间汇交力系的合力与平衡条件
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作 用线通过汇交点。
F R F 1 F 2 F n F i （4-3）
空间力系的平衡方程：
Fx 0 Fy 0 Fz 0
M x F 0 M y F 0 M z F 0
（4-22）
空间任意力系平衡的充要条件： 各力在三个坐标轴上投影的代数和等于零，以及这些力
对于每一个坐标轴之矩的代数和也等于零。
空间力系满足上述六个方程，则物体必然保持平衡状态。
方 向 c o s ( F R ', i ) F i x F R '
（4-18a）
§4-4 空间任意力系向一点的简化●主矢和主矩
一、空间任意力系向一点的简化
空间力偶系:合力偶矩矢 = 原力系对O点的主矩
M O M i M O ( F i ) ( r i F i )
(y iF iz ziF iy )i
力矢量：
F F x i F yj F zk
i j k M O (F )rF x y z
Fx Fy Fz
z
B
MO(F)
F
k A (x, y, z)
r
O h
j
y
xi
( y z z F y ) i F ( z x x F z ) j F ( x y y F x ) k F
[M O (F)x]i [ M O ( F )y j ] [ M O ( F )z k ]
FA
P1
O
FB
1.2m F D
y
2）列平衡方程
x 0.2m P
Fz 0
2m
P P 1 F A F B F D 0
MxF0
0.2P 11.2P2F D0
MyF0
0 .8 P 1 0 .6 P 1 .2 F B 0 .6 F D 0
3）解方程组
F D 5 .8 k N ,F B 7 .7 7 k N , F A 4 .4 3 k N
或
F R F x iiF y ijF z ik
（4-4）
其中 F F xi, F yi, F zi 为合力 R 沿x、y、z轴的投影。
空间汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零。
由此得
FR
F0 i
F x 0 , F y 0 , F z 0
（4-5） （4-6）
该力系中各力在3个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。
z MO(F)
与力矩作用面的法线方向相同
O
符合右手螺旋法则
x
r — 力作 A 矢 用 径 r点 FM O(F )
B F
A r
y
h
力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。 力对点的矩矢也等于2倍的OAB三角形面积。
§4-2 力对点的矩和力对轴的矩
一、空间的力对点之矩
矢径：
rxiyjzk
二、力对轴之矩
M z(F ) M o (F x y ) F x yh
右手螺旋法
空间力系中，力对z轴之矩 M z F 等于力在垂直于z轴
的平面内的投影Fxy 与力臂d（即轴与平面的交点O到力Fxy 的垂直距离）的乘积。 单位: N ·m 或 kN ·m
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对
二、空间任意力系的简化结果分析
4 F R ' . 0 ,M O 0 且 F R '/M / O
MO
FR'
简化结果：过简化中心的力螺旋
F
F' O
5F R . ' 0 ,M O 0 且 F R '与 M O 成任意角
简化结果：不过简化中心的力螺旋
力螺旋中心轴距简化中心
MO
d MO sin
Fz 0
M xF 0
M yF 0
（4-23）
§4-5 空间力系任意力系的平衡方程
例4-5 已知：P=8kN作用在E点（0.6m，1.2m），P1 10kN,
作用在C点（0.8m，0.2m）， 求：A、B、C 处约束力
解：1）研究对象：小车
约束力：FA,FB,FD,
z
0.6m 0.6m
该轴的矩为零。
正负号规定：从坐标轴正向看，逆时针转向为正，反之为负。
§4-2 力对点的矩和力对轴的矩
例4-3 已知：F,l,a,
求：M xF ,M yF ,M zF
解：将力 F 分解如图 Fz Fcos Fx Fsin
M xF F l a c o s
M yF F lco s
M zF F l a s in
§4-5 空间力系任意力系的平衡方程
二、空间汇交力系的平衡方程
由于： M x F 0 , M y F 0 , M z F 0
Fx 0 Fy 0 Fz 0
（4-6）
F5
三、空间平行力系的平衡方程
由于： F x 0 , F y 0 , M zF 0
F i' F i;M i M O (F i)
空间汇交力系 空间任意力系 空间力偶系
空间汇交力系:合力 = 力系的主矢
F R ' F i F ii x F ij y F ik z
MOz
F1'
F1'
M2A
BM1F2FF'2R'' o
y
x
M3
CF3' F3'
（4-18）
大 小 F R ' F ix 2 F iy 2 F iz 2;
体的作用效果不变。
证明：
加平衡力系
分力求合力
减平衡力系
=
=
=
§4-3 空间力偶
（4）只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与
此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。
证明：
选平行平面Ⅱ
加平衡力偶系
=
=
F1F1F2 F2F3F3 =
减平衡力偶系
=
§4-3 空间力偶
（5）力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。
（4-19）
F1'
( z i F i x x i F i) z j ( x i F i y y i F i) k x x
MOz
B A
o C F3'
FR'
F2'
y
大 M O [ M 小 O ( F i ) 2 x [ ] M O ( F i ) 2 y [ ] M O ( F i ) 2 z]
解：取AB杆和重物为研究对象，画受力图
Fx 0, F Tc Co 4 s 5 F Tc Do 4 s 5 0
Fy 0,
C
F A s3 i n ( 0 F T C F T ) c D 4 o c 5 s 3 o 0 s
zD
E
FT D
F 30
B
FTC
Fz 0, F A c3 o ( F 0 T s F C T ) c D 4 o s 5 3 s i P n 0 0
2、空间力偶的三要素：
（1）大小： MFd
（2）方位：垂直力偶作用面
（3）指向：力偶的转向
§4-3 空间力偶
3、空间力偶的性质：
（1）力偶中两力在任意坐标轴投影的代数和为零；
（2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变； （3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，
且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚