参数方程与普通方程的互化(教学设计)

2.1.3 参数方程与普通方程互化（教学设计）

教学目标：

知识与技能：掌握参数方程化为普通方程几种基本方法

过程与方法：选取适当的参数化普通方程为参数方程

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：参数方程与普通方程的互化

教学难点：参数方程与普通方程的等价性

教学过程：

一、复习引入：

1、圆的参数方程；

（1）圆222r y x =+参数方程⎩

⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数） （2）圆2

2020)\()(r y y x x =+-参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）

2、参数方程的定义

二、师生互动，新课讲解：

小结：

1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：

（1） 代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数

（2） 三角法：利用三角恒等式消去参数

（3） 整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。

化参数方程为普通方程为0),(=y x F ：在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一致性，必须根据

参数的取值范围，确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围。

2、探析常见曲线的参数方程化为普通方程的方法，体会互化过程，归纳方法。

3、理解参数方程与普通方程的区别于联系及互化要求。

答：B

变式训练2：曲线y=x 2的一种参数方程是（ D ）

例3：指出下列参数方程表示什么曲线：

(1)⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ⎝⎛⎭⎫θ为参数，0＜θ＜π2； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t

(t 为参数，π≤t ≤2π)； (3)⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝3＋15cos θ，y ＝2＋15sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)． 解析：(1)由⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)得x 2＋y 2＝9.

2224sin A B C sin x t x t x t x y t y t y t y t ==⎧⎧=⎧⎧=⎪⎪⎨⎨⎨⎨====⎪⎪⎩⎩⎩⎩、、、、

又由0＜θ＜π2

，得0＜x ＜3，0＜y ＜3， 所以所求方程为x 2＋y 2＝9(0＜x ＜3且0＜y ＜3)．

这是一段圆弧(圆x 2＋y 2＝9位于第一象限的部分)．

(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t

(t 为参数)得x 2＋y 2＝4. 由π≤t ≤2π，得－2≤x ≤2，－2≤y ≤0.

所求圆方程为x 2＋y 2＝4(－2≤x ≤2，－2≤y ≤0)．

这是一段半圆弧(圆x 2＋y 2＝4位于y 轴下方的部分，包括端点)．

(3)由参数方程⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝3＋15cos θ，y ＝2＋15sin θ(θ为参数)得(x －3)2＋(y －2)2＝152，由0≤θ＜2π知这是一个整圆弧．

变式训练3：（1）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为：

C 1：⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝

⎛⎭⎫θ为参数，0≤θ≤π2， C 2

：⎩⎨⎧x ＝1－22t ，

y ＝－22t (t 为参数)， 它们的交点坐标为________．

答：(2，1)

（2）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为：

C 1：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t ()t 为参数和C 2：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ

(θ为参数)，它们的交点坐标为________． 答．(1，1)

例4：在直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋sin θ，y ＝cos θ－sin θ(θ为参数)和⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2－t ，y ＝t (t 为参数)．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C 1与C 2的交点的极坐标为________．

答.⎝

⎛⎭⎫2，π4 变式训练4：将下列参数方程化为普通方程．

(1)⎩⎨⎧

x ＝3k 1＋k 2，y ＝6k 2

1＋k 2； (2)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ.

解：(1)两式相除，得k ＝y 2x ，将其代入得x ＝3·y 2x 1＋⎝⎛⎭

⎫y 2x 2， 化简得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6)．

(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)

得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]，

得所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]．

三、课堂小结，巩固反思：

熟练理解和掌握把参数方程化为普通方程的几种方法。抓住重点题目反思归纳方法，进一步深化理解。

四、分层作业：

A 组：

1、（课本P26习题2.1 NO:4）

解析：(1)消去t 得y ＝2x －7，即普通方程为y ＝2x －7，表示直线．

(2)y ＝cos 2θ＋1＝2cos 2θ－1＋1＝2x 2，∵x ＝cos θ，∴－1≤x ≤1.∴普通方程为y ＝2x 2(－1≤x ≤

1)，表示以(－1，2)，(1，2)为端点的一段抛物线弧．

(3)⎩⎨⎧

x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t

(t 为参数)，∴⎩

⎨⎧x 2＝t 2＋1t 2＋2，y 2＝t 2＋1t 2－2，两式相减得x 2－y 2＝4，即普通方程为x 2－y 2－4＝0，表示双曲线． (4)⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，∴cos φ＝x 5，sin φ＝y 3，cos 2φ＋sin 2φ＝1，∴普通方程为x 225＋y 29＝1，表示椭圆．

2、（课本P26习题2.1 NO:5）