第四章根轨迹的基本概念

❖ 暂态性能
（1）当0＜K＜1/4时，闭环特征根为两个实根（不相等），系统呈 过阻尼状态，阶跃响应为非周期过程。
（2）当K＝1/4时，闭环特征根为两个相等的实根，系统处于临界阻 尼状态。
（3）当K>1/4时，闭环特征根变成一对共轭复数，系统呈欠阻尼状 态，阶跃响应变为衰减振荡过程，有超调量出现。
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第二节 根轨迹方程
采用根轨迹法分析和设计系统，必须绘制出根 轨迹图。用数学分析法去逐个求出闭环特征方程的 根，再绘制根轨迹图，特别是对于高阶系统是十分 困难的。重要的是找到一些规律，以便根据开环传 递函数与闭环传递函数的关系，以及开环传递函数 零点和极点的分布，迅速绘出闭环系统的根轨迹。 这种作图方法的基础就是根轨迹方程。
j
1 0.5 0
S2 P2
S2 P1
s2
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小结
根轨迹定义 根轨迹的幅值条件和相角条件 相角条件的表示，幅值条件的使用 用解析法画根轨迹的方法
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s pj
j 1
Gk (s) 1 e j(2k1)
m
n
Gk (s) (s zi ) (s p j ) (2k 1) , k 0,1,2...
i 1
j 1
其中：(s zi )为从开环有限零点 zi到点s的向量角
(s p j )为从开环极点 p j到s的向量角
在测量相角时规定以逆时针方向为正。
K
K 1
j1
K 0
1K 0
1 0 j1
③ 当K=1时，
s1, 2
1 2
3j 2
④ 当K=∞时，s1=-1/2+∞j, s2=-1/2-∞j
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① 当K=0时，闭环极点等于开环极点，即S1=P1=0，S2=P2=-1。 ② 当K由0逐渐增加时，两个闭环极点将分别由0和-1出发，沿着
第四章 根轨迹法
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本章主要内容
根轨迹的基本概念 根轨迹的绘制准则 特殊根轨迹 利用根轨迹分析闭环系统
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❖ 引言
控制系统的基本性能（稳定性、动态性能）主 要取决于闭环系统特征方程的根（闭环极点）。因 此，确定闭环极点的位置，对于分析和设计系统具 有重要意义。为了避免直接求解高阶系统特征方程 根的麻烦，1948年W.R.Evans提出了一种在复平 面上由开环传递函数确定闭环特征根的图解法－－ 根轨迹法。
上述两式分别称为满足根轨迹方程的幅值条件和相角条件。
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相角条件的含义： 对任何正K值，在S平面上从G(s)H(s)的各零点和极点分
别向某点S引向量，如果从各零点所引向量的相角之和减去 从各极点所引向量的相角之和等于180º的奇数倍时，那么该 点就是根轨迹上的点。
满足相角条件和幅值条件的S值就是系统的闭环极点， 即闭环特征根。当某一参数，例如Kg变化时，所有满足上述 条件的这些根在S平面上所构成的迹线就是系统的根轨迹。
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❖ 从幅值条件和相角条件来看，增益Kg只与幅值条件有关。将 满足相角条件的s值代入幅值条件中，可求得一个相应的Kg 值。也就是说，s值如果满足相角条件，则必定同时满足幅 值条件。因此相角条件是决定根轨迹的充分必要条件。
[一些约定]：在根轨迹图中，“ ”表示开环极点，“ ”表
示开环有限值零点。粗线表示根轨迹，箭头表示某一参数增
[例2] 求上例中根轨迹上S2点(-0.5,-j1)对应的K值。
解：根据幅值条件得：
m
| (s zi ) |
i 1
n
| (s pj) |
1 K
j 1
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K s p1 . s p2 ......s pn s z1 . s z2 ......s zm
s2 p1 . s2 p2 0.5 j 0. 0.5 j 1 1.1181.118 1.25
R(s)
K
C(s)
闭环传递函数：
- s(s 1)
(s) C(s) K R(s) s2 s K
闭环特征方程为： s2 s K 0
特征根为：s1,2
1 2
1 2
1 4K
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根轨迹定义
s1,2
1 2
1 2
1 4K
[讨论]： ① 当K=0时，s1=0,s2=-1
② 当K=1/4时，s1=s2=-1/2 （分离点）
实轴向着-1/2点移动。
③ 当K增加到1/4时，两个闭环极点重合，都等于-1/2（重根）， 因此在S平面上P1=0和P2=-1之间的一段负实轴即为根轨迹的一 部分，根轨迹用粗实线表示。
④ 当K由1/4继续增加并趋于∞时，S1、S2变为共轭复根，两个极 点将从实轴上分离开，开始分离的这一点叫做分离点。
(S1 P2 ) 90
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m
n
(S1 Zi ) (S1 Pj )
i 1
j 1
(S1 P1) (S1 P2 ) 135 90
225
不满足相角条件，所以S1不在根轨迹上，即S1不是该系统 的闭环极点。
j
同样用P1，P2作引向S2的矢量， 通过计算可知：
(S2 P1) 116.5 (S2 P2 ) 63.5
⑤ 在该例中，分开的两个闭环极点的实部都恒等于-1/2，虚部将 随着K的增加，一个沿正虚轴方向垂直向＋∞增长，另一个沿负 虚轴方向垂直向－∞增长。
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根据上面分析，可以得出
❖ 稳定性
由于K从0变到∞时，所有闭环特征方程根总是位于左半S平面， 因此只要K是正值，系统总是稳定的。
因为开环传递函数有一个极点位于S平面原点（s=0），所以 系统为Ⅰ型系统，阶跃作用下的稳态误差为零，静态速度误差系数 为Kv，即为根轨迹上对应的K值。
m
称
(s zi )
i 1
n
(s pj )
1 kg
为根轨迹方程。
j 1
当可变参数kg从0变化到时，由根轨迹方程可在S平面上绘出闭环
系统的全部根轨迹。
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根轨迹的幅值和相角条件
由于Gk (s)是复数，则Gk (s) 1可写成
m
s zi
| Gk (s) | kg
i 1 n
1
式中：kg 传递系数，或称为跟轨迹增益； zi，p j为开环零极点。
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根轨迹定义
闭环传递函数的极点就是闭环特征方程：1 Gk (s) 0 的根。
m
(s zi )
换句话说，满足Gk (s) 1或
kg
i 1 n
1的点就是闭环系统
Hale Waihona Puke Baidu
(s pj )
j 1
的极点，闭环特征方程的根。
❖ 根轨迹法是用于分析和设计线性系统的一种工 程方法。具有简便、直观及物理概念明确等特点， 因此在工程实践中获得广泛应用。
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第一节 根轨迹的基本概念
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根轨迹定义
[根轨迹定义]：系统开环传递函数的某一个参数变化时，闭环系 统特征根在复平面上变化的轨迹。
例：如图所示控制系统，
判断点S1(-1,j1)和S2(-0.5,-j1)是否在其根轨迹上。
R(s) -
k
C(s)
s(s 1)
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解：此系统无开环零点，开环极点为P1=0，P2=-1 作P1,P2引向S1的矢量(S1－P1)， (S1－P2)
s1
S1 P2
j
S1 P1
1
0
通过计算可知： (S1 P1) 135
加的方向。“ ”表示根轨迹上的点。
我们先以根轨迹增益 k g （当然也可以用其它变量）作为变化量
来讨论根轨迹。
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根轨迹方程的应用
1、用相角条件求根轨迹曲线
根据相角条件可判断S平面上的点是否在根轨迹上，这样就 可以用试探法来绘制根轨迹。
[例1] 如图所示系统的开环传递函数为：
G(s) k s(s 1)
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1 0.5 0
S2 P2
S2 P1
s2
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m
n
(S2 Zi ) (S2 Pj )
i 1
j 1
(S2 P1) (S2 P2 ) 116.5 63.5
180
满足相角条件，说明S2是该系统的闭环极点，在根轨迹上。
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2、用幅值条件确定K值 应用幅值条件，可确定根轨迹上各点所对应的K值。
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根轨迹基本概念
系统的结构图如下：
R(s)
-
G(s)
C(s)
闭环传递函数为：(s) G(s)
1 G(s)H (s)
H (s)
开环传递函数为：Gk (s) G(s)H (s)
m
(s zi )
将Gk (s)写成以下标准型，得：Gk (s) kg
i 1 n
(s pj)
j 1