隐函数组概念隐函数组定理反函数组与坐标变换-PPT课件

( x , y , f ( x , y ), g ( x , y )) U ( P ) 当 ( x ,y ) U ( Q )时， 0 0 且 F ( x , y , f ( x , y ), g ( x , y )) 0 ，
G ( x , y , f ( x , y ), g ( x , y )) 0
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则在 P 的 点 某 U ( 邻 P ) 内 域 ，( 方 1 ) 唯 程 一 组 0 0 地一确定一个定义在点 Q (x ,y 0 0 0)的某一邻域 U ( Q ) 内的两个隐函数 u f ( x ,y ) ， v g ( x ,y ) 0 使得
o 1 u f ( x , y ) ， v g ( x , y ) 0 0 0 0 0 0
( i ) F ( x , y , u , v ) 与 G ( x , y , u , v ) 满足在以 P ( x , y , u , v ) 0 0 0 0 0
(F ,G ) (iv )J 0 (u ,v) P 0
F (F ,G ) F u v J 其中 (u ,v ) G u G v 称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
u v , y y
三、反函数组与坐标变换
设函数组 v v (x ,y ) u u (x ,y ), ⑼ 是定义在 x y 平面点集 B 上的两个函数，其值域为 B 都有唯一确定的点 ( u ,v ) B 若对每一点 Q
P (x ,y ) B 与 u , v 一起满足方程组⑼，由此产生
§2 隐函数组
隐函数组概念 隐函数组定理 反函数组与坐标变换
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一、隐函数组概念
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,
F(x, y, u, v) 0 G(x, y, u, v) 0
例如, 方程组 xu yv 0 yu xv 1
u u ( x , y ) v v ( x, y )
y u 2 2 x y x v 2 2 x y
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设 F ( x ,y , u , v ) 0 , G ( x ,y , u , v ) 0 为定义在区 4 V R 上的四元函数，若存在 平面区域 D ，对于 D 中每一点 ( x ,y ), 分别存在区间 J 和 K 上唯一的一 u J ， v K ，它们与 x ,y一起满足方程组
v 1 (F ,G ) y J (u , y)
u u v v u y v 0 , y u x v 1 , 求 , , , . 例. 设 x x y x y
解: 方程组两边对 x 求导，并移项得
v u 0 u y x x x u v x y v0 x x x y 2 2 由题设 J x y 0 y x
F ( x ,y , u , v ) u u ( x ,y ) 0 , G ( x ,y , u , v ) v v ( x ,y ) 0 ,
应用定理 18.4 ，可得下述定理：
定理 18.5 （反函数组定理） 设
u u (x ,y )与 vv (x ,y )及其一 阶偏导数在某 域 D
F ( x , y , u , v ) 0 ( 1 ) G ( x , y , u , v ) 0 则称由方程组（ 1 ）确定的两个定义在 D 上，值域分
J 和 K 内的函数 u f ( x ,y ), v g ( x ,y ) ， 称这两个 方程组（ 1 ）所确定的隐函数组 .
隐函数组在 D 上成立恒等式：
F ( x ,y ,f( x ,y ), g ( x ,y )) 0 G ( x ,y ,f( x ,y ), g ( x ,y )) 0
二、隐函数组定理
定理 18.4 （隐函数组定理） 设
4 为内点的区域 V R 上连续； ( ii) F ( x , y , u , v ) 0 , G ( x , y , u , v ) 0 ; 0 0 0 0 0 0 0 0 (iii )在 V内 F,G存在一阶连续的偏导数 ;
o 2 f ( x ,y ), g ( x ,y ) 在 U ( Q ) 内连续 ; 0
o 3 f(x ,y ),g (x ,y )在 U ( Q 内有连续的一阶 : 0)
u 1 (F ,G ) x J (x , v) u 1 (F ,G ) y J ( y, v)
v 1 (F ,G ) x J (u , x)
定义在 B 上的一个函数组： xx ( u ,v ), yy ( u ,v ),
⑽
称方程组⑽为方程组⑼的反函数组. 它们满足： v v ( x ( u , v ), y ( u , v )), u u ( x ( u , v ), y ( u , v )),
反函数组的存在性 反函数组的存在性问题，是隐函数组存在性 问题的一种特殊情形，将方程组⑼改写成
上连续，点 P ( x ,y )是 D 的内点，且 0 0 0
(F,G) 0, u u ( x , y ), v v ( x , y ), P 0 0 0 0 0 0 0 (u,v) 则在点 P ( u , v ) 的某一邻域 U ( P ) 内存在唯一 0 0 0 0

v u y u x x x u v y x v x x
故有
u 1 u x J v v 1 x J
y x

x u yv x2 y2
x y
u v
xv y u ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 x y2
类似地可计算:
答案: u yuxv 2 y x y2 v xuyv 2 2 y x y