高二数学参数方程
高中数学参数方程知识点总结
高中数学参数方程知识点总结
高中数学参数方程知识点总结
导语：高中数学涉及的知识点很多，今天小编就来为广大高中同学们总结一下高中数学参数方程的知识点，参数方程和函数很相似：它们都是由一些在指定的集的数，称为参数或自变量，以决定因变量的结果。
例如在运动学，参数通常是“时间”，而方程的结果是速度、位置等。
以下是小编为大家精心整理的高中数学参数方程知识点总结，欢迎大家参考！
高中数学知识点之参数方程定义
一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y 都是某个变数t的函数x=f(t)、y=g(t)
并且对于t的.每一个允许值，由上述方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么上述方程则为这条曲线的参数方程，联系x，y的变数t叫做变参数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
(注意：参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义和几何意义的变数，也可以是没有实际意义的变数。
高中数学知识点之参数方程
圆的参数方程x=a+rcosθy=b+rsinθ(a,b)为圆心坐标r为圆半径θ为参数
椭圆的参数方程x=acosθy=bsinθa为长半轴长b为短半轴长θ为参数
双曲线的参数方程x=asecθ(正割)y=btanθa为实半轴长b为虚半轴长θ为参数
抛物线的参数方程x=2pty=2ptp表示焦点到准线的距离t为参数直线的参数方程x=x'+tcosa y=y'+tsina,x',y'和a表示直线经过(x',y')，且倾斜角为a,t为参数
高中数学知识点之参数方程的应用。
高二数学选修4-42参数方程的概念优选课堂.ppt
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选修4-4 坐标系与参数方程
信宜第二中学 高二数学1、2班
简易辅导
8
y
M(x,y)
r
o
M0 x
简易辅导
9
如果在时刻t，点M转过的角度是，坐标是
M (x, y)，那么＝t，设OM ＝r，那么由三
角函数的定义有：
cost x ,sin t y 即{x r cost (t为参数)
r
r y r sin t
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由于选取的参数不同，圆有不同的参 数方程，一般地，同一条曲线，可以 选取不同的变数为参数，因此得到的 参数方程也可以有不同的形式，形式 不同的参数方程，它们表示 的曲线可
以是相同的，另外，在建立曲线的参 数参数时，要注明参数及参数的取值 范围。
简易辅导
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例、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
表示圆的圆心坐标、半径，并化为普通方程。
(x 5)2 ( y 3)2 4
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选修4-4 坐标系与参数方程
信宜第二中学 高二数学1、2班
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由参数方程
x y
cos sin
3,
(
为参数)直接判断点M的轨迹的
曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通
方程，则比较简单。
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
投放点
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
高二数学,人教A版,选修4-4 , 参数方程的概念,与圆的 参数方程 , 课件
课前教材预案
•要点一 参数方程的概念
1．在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数 t 的函
x＝ft 数 y＝gt
(*) ，并且对于 t 的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点 M(x，y)都在这
条曲线上，那么方程(*)就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x，y 的变数 t 叫做参变 数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．参数是联系变数 x，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也 可以是没有明显实际意义的变数．
，方程组无解．即点 M2 不在曲线 C 上．
2＝2t， (2)∵点 M(2，a)在曲线 C 上，∴ 2 a ＝ 3 t －1.
∴t＝1，a＝3×12－1＝2，即 a 的值为 2.
•考点二 圆的参数方程及其应用
• (1)解决此类问题的关键是根据圆的参数方程 写出点的坐标，并正确确定参数的取值范 围． • (2)利用圆的参数方程求参数或代数式的取值 范围的实质是利用正余弦函数的有界性．
第二讲
参数方程
分类考试 要求
考点及能力要求 1.圆的参数方程 2.参数方程和普通方程5.渐开线与摆线
高考 d d
a d a
•2.1 曲线的参数方程
•2.1.1 参数方程的概念与圆的参数 方程
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2＝2cos ①， 1＝2sin
θ ②， 在[0,2π) θ
π 内，方程组①的解是 θ＝3，而方程组②无解，故 A 点在方程的曲线上，而 B 点不在方 程的曲线上．
【变式 1】
x＝2t， 已知曲线 C 的参数方程是 2 y ＝ 3 t －1
高二数学曲线的参数方程
x2 y, x [ 2, 2]. 这是抛物线的一部分。
y
2 o
x
2
例4、求椭圆 x2 y2 1的参数方程 94
（1）设x 3cos,为参数。
（2）设y 2t,t为参数
解：（1）把x 3cos代入椭圆方程，得到
9 cos2 y2 1,
在过去的学习中我们已经掌握了 一些求曲线方程的方法，在求某些曲 线方程时，直接确定曲线上的点的坐 标x,y的关系并不容易，但如果利用某 个参数作为联系它们的桥梁，那么就 可以方便地得出坐标x,y所要适合的条 件，即参数可以帮助我们得出曲线的 方程f(x,y)＝0。
一、曲线的参数方程
1、参数方程的概念
探究：
如图，一架救援飞机在离灾区地面500m 的高处以100m/s的速度作水平直线飞行， 为使投放的救援物资准确落于灾区指定 的地面（不计空气阻力），飞行员应如 何确定投放时机呢？
y A
o
M(x,y)
x
纯天然的壮扭公主！！”Ｌ．了个，团身犀醉后空翻七百二十度外加 傻转七周的惊人招式！接着像灰蓝色的飞臂海湾鹏一样疯喊了一声，突然耍了一套倒立狂跳的特技神功，身上忽然生出了六十只美如木瓜一般的暗黑色鼻子！紧接着 纯黄色花苞耳朵奇特紧缩闪烁起来……笨拙的眼睛喷出浓绿色的飘飘雪气……矮胖的牙齿透出浓黑色的点点神香……最后摆起粗犷的鼻子一叫，萧洒地从里面窜出一 道流光，他抓住流光豪华地一颤，一套明晃晃、凉飕飕的兵器『褐光伞魔滚珠壶』便显露出来，只见这个这件东西儿，一边扭曲，一边发出“咕 ”的美音！…… 猛然间Ｌ．崴敕柯忍者狂鬼般地使了一套盘坐振颤盗的怪异把戏，，只见他活像黄瓜般的屁股中，萧洒地涌出四十串深峡煤角鸟状的漏斗，随着Ｌ．崴敕柯忍者的晃 动，深峡煤角鸟状的漏斗像布条一样在双臂上明丽地调整出朦胧光盔……紧接着 Ｌ．崴敕柯忍者 又使自己威风的腰带耍出青古磁色的叉子味，只见他新奇的金橙色香 槟一样的磨盘海天帽中，酷酷地飞出四十片磁盘状的仙翅枕头号，随着Ｌ．崴敕柯忍者的扭动，磁盘状的仙翅枕头号像皮球一样，朝着壮扭公主圆润光滑的下巴飞劈 过来……紧跟着Ｌ．崴敕柯忍者也旋耍着兵器像痰盂般的怪影一样向壮扭公主飞劈过紫红色的金毛雪原狮一样长嘘了一声，突然来了一出曲身蠕动的特技神功，身上顷刻生出了八十只犹如狮子似的亮红色手掌。紧接着扁圆的蒜瓣鼻子闪 眼间转化颤动起来……憨厚自然、但却带着田野气息的嘴唇跃出亮青色的缕缕美云……浓密微弯、活像蝌蚪般的粗眉毛跃出深橙色的隐约幽热！最后颤起震地摇天、 夯锤一般的金刚大脚一挥，猛然从里面流出一道玉光，她抓住玉光奇特地一扭，一套亮光光、银晃晃的兵器¤飞轮切月斧→便显露出来，只见这个这件东西儿，一边 膨胀，一边发出“咻咻”的疑声。……猛然间壮扭公主狂鬼般地秀了一个滚地抽动叹蛋黄的怪异把戏，，只见她震地摇天、夯锤一般的金刚大脚中，猛然抖出四十片 甩舞着¤飞轮切月斧→的森林玻璃耳虎状的猪精，随着壮扭公主的抖动，森林玻璃耳虎状的猪精像糖块一样在双臂上明丽地调整出朦胧光盔……紧接着壮扭公主又使 自己涂绘着自娱自乐、充满童趣的梦幻纹身隐出暗白色的鸡妖味，只见她白绿双色条纹包中，轻飘地喷出三十团转舞着¤飞轮切月斧→的漩涡状的仙翅枕头蝇拍，随 着壮扭公主的旋动，漩涡状的仙翅枕头蝇拍
高二数学选修4-4参数方程知识点总结
高二数学选修4-4参数方程知识点总结参数方程是解决实际问题的重要的数学模型，高二学习的重要内容之一，下面是店铺给大家带来的高二数学选修4-4参数方程知识点，希望对你有帮助。
高二数学参数方程知识点高二数学学习方法(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。
记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
(2)建立数学纠错本。
把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。
争取做到：找错、析错、改错、防错。
达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。
(3)熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。
(4)经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然;经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。
(5)阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。
(6)及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。
(7)学会从多角度、多层次地进行总结归类。
如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。
(8)经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。
(9)无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要问题。
高二数学选修4-4单元测试题1.极坐标方程分别是和的两个圆的圆心距是 .2.已知圆的极坐标方程，直线的极坐标方程为，则圆心到直线的距离为_________.3.在极坐标系下，直线与圆的公共点个数是_______.4.在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 .5.在极坐标系中，圆的极坐标方程是 .现以极点为原点，以极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则圆的半径是，圆心的直角坐标是.6.在极坐标系中，若过点且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点，则________ _.7. 设、分别是曲线和上的动点，则、的最小距离是 .8.已知曲线、的极坐标方程分别为， ( ). 则曲线与交点的极坐标为 .9.在极坐标系中，过点作圆的切线，则切线的极坐标方程是 .10.在极坐标系下，已知直线的方程为，则点到直线的距离为__________.11.在极坐标系中，点到直线：的距离为__________.12.过点且平行于极轴的直线的极坐标方程为 .13.在极坐标系中，点的坐标为，曲线的方程为，则 ( 为极点)所在直线被曲线所截弦的长度为 .14.在极坐标系下，圆的圆心到直线的距离是 .15.已知直线的极坐标方程为，则点(0,0)到这条直线的距离是 .16.在极坐标系中，曲线截直线所得的弦长为 .17.在极坐标系中，点关于极点的对称点的极坐标是.18.若直线与直线垂直，则常数 = .19. 在直角坐标系中，曲线的极坐标方程为，写出曲线的直角坐标方程____ ____.20.在极坐标系中，已知两点、的极坐标分别为，，则△(其中为极点)的面积为 .21.在极坐标系中，曲线截直线所得的弦长等于 .22.在极坐标系( ，)( )中，曲线与的交点的极坐标为______________.23.点M，N分别是曲线上的动点，则|MN|的最小值是 .24.在极坐标系中, 圆上的点到直线的距离的最大值是 .25.在极坐标系中，直线被曲线：所截得弦的中点的极坐标为 .26.以极坐标系中的点为圆心，为半径的圆的直角坐标方程是 .27. 圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为，该圆的面积为 .28.同时给出极坐标系与直角坐标系，且极轴为，则极坐标方程化为对应的直角坐标方程是 .29.在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为 __ .30.在极坐标系中，点与点关于直线对称，则 =____________.31.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是，它与方程所表示的图形的交点的极坐标是 .32.在极坐标系中，点和点的极坐标分别为和，为极点，则的面积= .33.在极坐标系中,和极轴垂直相交的直线与圆相交于、两点,若 ,则直线的极坐标方程为 .34.已知直线的极坐标方程为，则点到这条直线的距离为____.35.两直线，的位置关系是__________. (判断垂直或平行或斜交)36.在极坐标系中，是圆，则点A 到圆心C的距离是 .37.在极坐标系中，曲线的中心与点的距离为 .38.在极坐标系下，圆与圆的公切线条数为 .39.在极坐标系中，曲线与的交点的极坐标为 .40.在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为 .。
高二数学参数方程讲课文档
第一页，共9页。
一、复习引入：
求轨迹方程的一般步骤
圆的参数方程及参数的几何
意义
第二页，共9页。
二、讲授新课：
问题:
第三页，共9页。
与圆类似,把方程(1)叫做椭圆的参数方程.
练习1： 将下列参数方程化为普通方程,普通
方程化为参数方程:
第四页，共9页。
例1、如图,以原点为圆心,分别以a、b(a>b>0) 为半径作两个大圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点， 过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足
第八页，共9页。
练习2：
1、
第九页，共9页。
为M，求当半径OA绕点O旋转时，点M的轨迹的参数方程 。
第五页，共9页。
解:
第六页，共9页。
y
A
BM
O
N
x
问题:椭圆的参数方程和圆的参数方程有何异同?名称方程各元素的几何意义圆
椭圆
第七页，共9页。
例2、如图在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P到直 线l:x-y+4=0的距离最小.
Y
P
O l
X
高中数学参数方程知识点详解(讲义+过关检测+详细答案)
5．【答案】D
【解析】 x2 t, y2 1 t 1 x2, x2 y2 1,而t 0, 0 1 t 1,得0 y 2 .
4
4
6.【答案】D
【解析】圆
x=2 cos，
的圆心为原点，半径为
y =2 sin
2，
则圆心到直线 3x-4y-9=0 的距离为 9 ，小于半径 2，故直线与圆相交. 5
D．(1, 3)
2.已知某曲线的参数方程为 xy==ccooss2， +1，则该曲线是（
）
A．直线
B．圆
C．双曲线
3.若一直线的参数方程为
x
x0
1 2
t
（t 为参数），则此直线的倾斜Байду номын сангаас为（
y
y0
3t 2
A．30º
B. 60º
C．120º
4．若点
P(4，a)在曲线
x＝
t 2
(t 为参数)上，点 F(2，0)，则|PF|等于(
)
y＝2 t
A．4
B．5
C．6
D．抛物线 ） D．150º
D．7
5．与参数方程为
x
t
(t为参数) 等价的普通方程为（ ）
y 2 1 t
A． x2 y2 1 4
B． x2 y2 1(0 x 1) 4
C. x2 y2 1(0 y 2) 4
D． x2 y2 1(0 x 1, 0 y 2) 4
y2 b2
1（ a
0 , b 0 ）的参数方程为：
x a sec
y
b
tan
（
为参数，
[0, 2 ) 且
, 2
3 2
人教版高二数学2-2第二章参数方程
4-4第二章 参数方程【知识点梳理】一、参数方程的概念：一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )①，并且对于t 取的每一个允许值，由方程组①所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作参变数，简称 参数 . 相对于参数方程，我们把直接用坐标(x ，y )表示的曲线方程f (x ，y )＝0叫作曲线的普通方程.说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。
（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
二、几种常见的参数方程1．直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 0≤α<π．2．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．3．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．(2)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝btan θ(θ为参数，0≤θ≤2π且2π3θ，2πθ≠≠)．，则{，有sec 2θ-tan 2θ=1(3)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．三、参数方程与普通方程的互化将参数方程化成普通方程的常用方法有： (1)代数法消去参数①代入法：从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程.②代数运算法：通过乘、除、乘方等运算把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行代数运算，消去参数，得到曲线的普通方程. (2)利用三角恒等式消去参数如果参数方程中的x ，y 都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数，得到曲线的普通方程. (3)注意事项① 互化中必须使,x y 的取值范围保持一致. ② 同一个普通方程可以有不同形式的参数方程.几种常见的参数方程例1：(1)过点(0,0)且倾斜角为60°的直线的参数方程是________.【答案】 (1)⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝32t【解析】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos 60°，y ＝t sin 60°，即⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝32t(t 为参数).(2)过点P (－4,0)，倾斜角为5π6的直线的参数方程为________.【答案】 ⎩⎨⎧x ＝－4－32t ，y ＝t2【解析】∵直线l 过点P (－4,0)，倾斜角α＝5π6，所以直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋t cos 5π6，y ＝0＋t sin 5π6，即(t 为参数)⎩⎨⎧x ＝－4－32t ，y ＝t2.(3)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 20°，y ＝2＋t sin 20°(t 为参数)表示的直线的倾斜角是________. 【解析】方程符合直线参数方程的标准形式，易知倾斜角为20°.(4)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 50°，y ＝3－t sin 40°(t 为参数)的倾斜角α等于( ) A.40° B.50° C.－45° D.135°【答案】 D 【解析】 根据tan α＝－sin 40°cos 50°＝－1，因此倾斜角为135°.例2：(1)圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则圆的圆心坐标为( )A.(0,2)B.(0，－2)C.(－2,0)D.(2,0)【答案】 D 【解析】 由圆的参数方程知，圆心为(2,0). (2)圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－cos θ，y ＝5＋2sin θ(0≤θ<2π) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝－1＋5sin θ(0≤θ<2π) C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<π) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π) 【答案】 D 圆心在点C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ∈[0,2π)).故圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π).例3：(1)椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ的长轴长和短轴长分别为( )A.3 2B.6 2C.3 4D.6 4【答案】 D 【解析】 由方程可知a ＝3，b ＝2，∴2a ＝6,2b ＝4.(2)曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为________.【答案】 23 【解析】由曲线C 的参数方程可以看出a ＝3，b ＝5，得a 2＝9，b 2＝5，⇒c 2＝4，所以e＝c a ＝23. 例4：双曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sec φ，y ＝4tan φ(φ为参数)的焦点坐标为________.【答案】 (－5,0)，(5,0)【解析】 曲线C 的普通方程为x 29－y 216＝1，得焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)参数方程与普通方程的互化例1：(1)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t(t 为参数)化为普通方程是________.【解析】 把t ＝x 代入②得y ＝2x 即普通方程为y ＝2x .(2)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝t ＋1(t 为参数)化为普通方程是________.【解析】由②得t ＝y －1，代入①得x ＝2(y －1)2.(3)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)化为普通方程是________.【解析】由sin 2 θ＋cos 2 θ＝1得x 2＋y 2＝1.(4)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)化为普通方程是________【解析】由y ＝－1＋cos 2θ，可得y ＝－2sin 2θ， 把sin 2θ＝x －2代入y ＝－2sin 2θ，可得y ＝－2(x －2)， 即2x ＋y －4＝0. 又∵2≤x ＝2＋sin 2θ≤3，∴所求的方程是2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)，它表示的是一条线段. (5)将(x －2)2＋y 2＝1化为参数方程是 【解析】令x －2＝cos α，y ＝sin α，∴C 1的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数，α∈R )．【练一练】1.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ－1，y ＝2sin θ＋2(θ为参数)的一条对称轴的方程为( )A.y ＝0B.x ＋y ＝0C.x －y ＝0D.2x ＋y ＝0【答案】 D 【解析】 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ－1，y ＝2sin θ＋2(θ为参数)的普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心C的坐标为(－1,2)，过圆心的直线都是圆的对称轴，故选D.2.与普通方程x 2＋y －1＝0等价的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t ，y ＝cos 2t (t 为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos t ，y ＝sin 2t (t 为参数) C.⎩⎨⎧x ＝1－t ，y ＝t(t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1－tan 2t (t 为参数) 【答案】 D【解析】 A 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[－1,1]，y ∈[0,1]. B 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[－1,1]，y ∈[0,1]. C 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[0，＋∞)，y ∈(－∞，1]. D 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈R ，y ∈(－∞，1].参数方程的应用【例1】(1)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________. 【答案】 (1,1) 【解析】 C 1的普通方程为y 2＝x (x ≥0，y ≥0)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x ，(x ≥0，y ≥0)，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴C 1与C 2的交点坐标为(1,1).(2)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t －a ，(t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________.【答案】 3 【解析】 直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a 消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1.又椭圆C 的右顶点为(3,0)，代入y ＝x －a 得a ＝3.【例2】已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，a ∈R )，点M (5,4)在该曲线上.(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程.【解】 (1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1，所以a ＝1. (2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2，由第一个方程，得t ＝x －12，代入第二个方程，得y ＝⎝⎛⎭⎫x －122，即(x －1)2＝4y 为所求.【例3】已知直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋2t (t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4(θ为参数)． (1)将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)判断直线l 和圆C 的位置关系．解：(1)消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y ＝2x ＋1；ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4即ρ＝2(sin θ＋cos θ)．两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， 消去参数θ，得圆C 的直角坐标方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝255＜2，所以直线l 和圆C 相交．【例4】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 1：ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0,2π]，曲线C 2：ρ＝34sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ，θ∈[0,2π]．(1)求曲线C 1的一个参数方程；(2)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ，B 两点，求|AB |的值． 解 (1)由ρ2－4ρcos θ＋3＝0，可得x 2＋y 2－4x ＋3＝0. ∴(x －2)2＋y 2＝1.令x －2＝cos α，y ＝sin α，∴C 1的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数，α∈R )．(2)C 2：4ρ⎝⎛⎭⎫sin π6cos θ－cos π6sin θ＝3， ∴4⎝⎛⎭⎫12x －32y ＝3，即2x －23y －3＝0.∵直线2x －23y －3＝0与圆(x －2)2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且圆心到直线的距离d ＝14，∴|AB |＝2× 1－⎝⎛⎭⎫142＝2×154＝152.。
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