巧用动量定理求解流体问题

巧建模型求解流体问题

流体问题涉及的对象有液体流、气体流、粒子流等，因其与外界作用具有一定的连续性，与平时研究的独立实物有所不同，故此它的有关计算成为同学们学习中的一个难点。本文拟从巧妙构建模型、恰当选取规律出发，探究其解法，旨在培养同学们处理此类问题的能力。

一、 模型的建立。

大家之所以对此问题感到比较棘手，主要是不知道“选取谁作为研究对象去进行分析”。求解此类问题，通常建立如下“柱状模型”：

如图1所示，沿流体流动方向取一截面，面积为S ，取t ∆时间内流过该截

面的流体为研究对象，则t ∆内流过该截面的流体的体积t Sv V ∆⋅=∆，这段流体的质量为t Sv V m ∆⋅=∆⋅=∆ρρ。由此可近一步确定这段流体的其它物理量，如动量t Sv mv p ∆=∆=2ρ、动能t sv mv E K ∆=∆=322

121ρ等。 这样，把流体转化成了我们熟悉的独立实物，具备了物体的特征，再选取合适的物理规律，便可求解。因流体与外界作用时，作用时间短，涉及的物理量主要有力、时间及速度的变化，故此动量定理是处理流体问题的首选取规律。

二、模型的应用

例1 水力采煤就是利用从高压水枪中喷出的强力水柱冲击煤层而使煤层碎裂。设水枪的直径为d ，水速为v ，水的密度为ρ，水柱垂直地冲击到竖直煤壁上后，沿竖直煤壁流下，求水柱施于煤层上的冲力大小。

解析 如图2所示

取t ∆时间内射到煤层的水为研究对象，设这部分水的质量为m ∆，则 t v d m ∆⋅⋅=∆02

4πρ

这部分水经t ∆时间，其水平方向的动量由m ∆v 0变成零，以水喷出方向为正方向，由动

量定理得00mv t F -=∆（F 表示水受到的煤层的作用力），故4

2

020v d t mv F ρπ-=∆∆-= 由牛顿第三定律，水柱对煤层的作用力为 42020/v d t mv F F ρπ=∆∆=-=。

S 图1 图2

v

例2 竖直发射的火箭质量M =kg 3

106⨯，已知每秒喷出气体的质量为m 0=200kg ，若使火箭最初能得到20m/s 2的向上加速度，喷气的速度应为多大？（g 取10 m/s 2）

解析 取t ∆时间内喷出的气体为研究对象，则t m m ∆⋅=∆0

因m ∆相对火箭质量很小，故可忽略喷出气体后火箭重力的变化，设火箭受到的推力为F ，对火箭应用牛顿第二定律得 Ma Mg F =-

以这部分气体为研究对象，由动量定理得mv t F ∆=∆⋅/

由于F =F /，所以火箭喷射气体的速度为 s m m a g M m t a g M v /900)()(0

=+=∆∆+=。 例3 有一宇宙飞船，它的正面面积S =0.98m 2,该飞船以速度v =2km/s 飞入一宇宙微尘区，此尘区每立方米空间有一个微粒，每个微粒平均质量kg m 4102-⨯=。若要使飞船速度保持不变，飞船的牵引力应增加多少？（设微粒与飞船外壳碰撞后即附于飞船上）

解析 在微尘区中一个横截面积为S ，长为vt 的柱体，则t 时间内与飞船发生碰撞的陨石的质量为vt S m m ⋅⋅=∆，这些陨石与飞船碰撞后的速度从0增加到v ，由动量定理得：t mSv mv Ft 2=∆= 所以N mSv F 784)102(98.01022342=⨯⨯⨯⨯==-

故为使飞船匀速飞行，应增加的平均牵引力为784N 。