角平分线和垂直平分线

角平分线和垂直平分线

一、角平分线上的点到角两边的距离相等：（点与边）已知角度被平分和垂直的

关系，求线段相等：如已知AO是∠BAC的角平分线——即∠BAO=∠CAO，则O到AB和AC的距离相等——即若OD⊥AB，OE⊥AC，D、E分别是垂足，则OD=OE。（已知条件是∠BAO=∠CAO，OD⊥AB，OE⊥AC，求证的是OD=OE。）

作图：

（1）用于三角形的判定；

如图，已知AD是∠BAC的角平分线，CE⊥AB，BF⊥AC，E、F分别是垂足，求证：DB=DC。

（2）用于线段长度的计算；

如图，已知BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BA，DE⊥BC，A、E分别是垂足，AC=9，DE=4，求DC的大小。

二、到角两边距离相等的点在角平分线上：（点与边）已知垂直的关系和线段相

等，求角度被平分或角度相等：如已知O到∠BAC两边AB和AC的距离相等——即若OD⊥AB，OE⊥AC，D、E分别是垂足，有OD=OE，则AO 是∠BAC的角平分线——即∠BAO=∠CAO。（已知条件是OD⊥AB，OE ⊥AC，OD=OE，求证的是∠BAO=∠CAO。）

作图：

（1）用于角平分线的判定

如图，已知EC ⊥AC ，EB ⊥AB ，C 、B 分别是垂足，且EC= EB ，求证：AE 是∠BAC 的角平分线。

（2）用于角度大小的计算 在（1）中，已知∠BEC=120°，∠CDE =4∠CAD ，求∠BAC 和∠BDC 的度数。

三、线段的垂直平分线上的点到两端点的距离相等：（点与点）已知点在线段的垂直平分线上，求点与端点的距离相等。如已知OD 是AB 的垂直平分线——即OD ⊥AB ，D 平分线段AB ——DA=DB ，则O 到线段AB 两端点的距离相等——即OA=OB 。（已知条件是OD ⊥AB ，DA=DB ，求证的是OA=OB 。） 作图：

（1）用于等腰三角形的判定

如图，在△ABC 中，AD 是AB 的垂直平分线，E 是AD 上的一点，求证：△ABC 和△EBC 是等腰三角形。

E

D C

B

A

（2）用于线段长度的计算

如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线，AF=12，BF=3，求BC的大小。

四、到线段两端点距离相等的点在其垂直平分线上；（点与点）已知点与端点的距离相等，若垂直线段求平分线段或若平分线段求垂直线段。如已知O到线段AB两端点的距离相等——即OA=OB，则OD是AB的垂直平分线——即若OD ⊥AB，则D平分线段AB——DA=DB或若D平分线段AB——DA=DB，则OD ⊥AB。

（已知条件是OA=OB，OD⊥AB，求证的是DA=DB或已知条件是OA=OB，DA=DB，求证的是OD⊥AB。）

作图：

（1）用于判定点在线段的垂直平分线上

如图，△ABC中，AB=AC，点P、Q、R分别在AB，BC，AC上，且PB=QC，

QB=RC。求证：点Q在PR的垂直平分线上。

（2）用于角度大小或线段长度的计算

在（1）中，已知∠C=50°，求∠QPR的大小。

A

B C P

Q

R

（3）用于判定等腰三角形的三线合一的性质

如图，在△ABC 中，AD是AB的垂直平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别是垂足，求证：AD是AB的角平分线，且DE=DF。

F

E

D C

B

A