染色问题练习题

染色问题练习题

1.（2012•常州模拟）用3种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形

中有且仅有两个矩形颜色相同的概率是 2

3 ．

解：根据题意，每个矩形有3种涂色方法，则3个矩形有33327⨯⨯=种涂色方法； 要使3个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同，分2步进行， ①、在3个矩形中任取2个，有233C =种取法，

②、为选出的2个矩形选1种颜色，有3种情况，剩余的1个再选1种，有2种情况， 则3个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同有33218⨯⨯=种情况，

则3个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同的概率为182

273

=；

故答案为2

3

．

2.（2017春•莲湖区校级月考）用五种不同的颜色，给图中的（1）（2）（3）（4）的各部分涂色，每部分涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则涂色的方法有( )种．

A ．240

B ．120

C ．60

D ．180 解：由题意知本题是一个分步计数问题， 第一步先给（3）涂色共有5种结果， 第二步再给（1）（2）涂色共有43⨯种结果， 第三步给（4）涂色有4种结果，

∴由分步计数原理知共有5434240⨯⨯⨯= 故选：A ．

3.（2008•温州模拟）用4种不同的颜色对圆上依次排列的A ，B ，C ，D 四点染色，每个点染一种颜色，且相邻两点染不同的颜色，则染色方案的总数为( ) A ．72 B ．81 C ．84 D ．108 解：根据题意，按选取颜色的数目分3种情况讨论；

①、4种颜色都选取，无论如何排列，相邻两点颜色不同；此时染色方案有4

4

24A =种； ②、选取3种颜色，有3

4C 种方法；选取后，有32212⨯⨯=种染色方法；此时染色方案有41248⨯=种； ③、选取2种颜色，有24C 种方法；选取后，各有有2种染色方法；此时染色方案有2

4

212C ⨯=种； 共24481284++=种； 故选：C ．

4.若给一个正方体的八个顶点染色，要求相邻的两个顶点（即同一条棱的两个端点）颜色不能相同，则至少需要 2 种颜色；现有5种不同的颜色，要给正方体的六个面涂色，要求相邻的两个面不能用同一种颜色，则共有 种不同的涂色方法． 解：（1）如图，顶点A 的先选一种，则B ，D ，1A ，可以相同选另一种颜色，若C ，

1D ，1B 与A 的颜色相同，1C 和B 的颜色相同，故至少需要2种颜色．

（2）解：由于涂色过程中，要保证满足用五种颜色，且相邻的面不同色，对于正方体的三对面来说，必然有三对同色或两对同色，一对不同色，而且三对面具有“地位对等性”，因此，

三对同色：3

5

10C =种不同的涂法； 两对同色，一对不同色：只需从四种颜色中选择2种涂在其中两对面上，剩下的两种颜色涂在另外两个面即可．因此共有2510C =种不同的涂法．故共有101020+=种不同的涂法 故答案为：2，20．

5.（2011•潜江校级模拟）将正三棱柱ABC A B C -'''的六个顶点染色，要求每条棱的两个端点不同色，现在有四种不同的颜色供选择，则不同的染法总数为 264 ．

解：根据题意，三棱柱的下底面的颜色互不相同，有3

4

24A =种情况， 对上底面分情况讨论可得：

①、A 点用第四种颜色，按B 的颜色不同又分2种情况； 1︒当B 与C '处颜色一致时，C 处有2种方法， 2︒当B 与A '处颜色一致时，C 处有1种方法； 共3种方法；

②、A 点的颜色与B '处一致时；按B 的颜色不同又分3种情况； 1︒当B 处用第四种颜色时，C 处有1种情况， 2︒当B 与A '处颜色一致时，C 处有2种方法， 3︒当B 与C '处颜色一致时，C 处有1种方法， 共1214++=种方法；

③、A 点的颜色与C '处一致时，与②的情况相同，有4种方法； 上底面共11种不同的方法；

综合可得：不同的染法总数为2411264⨯=种； 故答案为：264．

6.（2013春•海州区校级期末）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个顶点不同色，现有5种不同颜色可用，则不同染色方法的总数是 420 ．（用数字作答） 解：四棱锥为P ABCD -．下面分两种情况即C 与B 同色与C 与B 不同色来讨论，

（1）各个点的不同的染色方法15:P C ，14:A C ，13:B C ，C 与A 同色：13:D C ，故共有1111

5433C C C C g g g 种．

（2）各个点的不同的染色方法15:P C ，14:A C ，13:B C ，C 与A 不同色12C ，12:D C ，故共有11111

54322C C C C C g g g g

种

由分步计数原理可得不同的染色方法总数有：1111111115

43354322420C C C C C C C C C +=g g g g g g g ． 故答案为：420．

7.（2018春•三明期末）在如图所示的十一面体ABCDEFGHI 中，用3种不同颜色给这个几何体各个顶点染色，每个顶点染一种颜色，要求每条棱的两端点异色，则不同的染色方案种数为 6 ．

解：根据题意，分3步分析：

①，对于A 、B 、C 三点，A 、B 、C 三点两两相邻，颜色互补相同，则A 、B 、C 三点的涂法有3

3

6A =种，

②，对于E 、D 、F 三点，E 与A 、B 相邻，则E 只有1种涂色方法，同理D 、F 都只有一种颜色，则

E 、D 、

F 三点只有1种涂色方法，

③，对于G 、H 、I 三点，G 与D 、E 相邻，则G 只有1种涂色方法，同理H 、I 都只有一种颜色，则G 、

H 、I 三点只有1种涂色方法，

则有6116⨯⨯=种不同的染色方案种数； 故答案为：6

8. （2008春•南通期末）用五种不同的颜色给图中的“五角星”的五个顶点染色，（每点染一色，有的颜色也可以不用）使每条线段上的两个顶点皆不同色，则不同的染色方法有 1020 种．

解：将其转化为具有五个扇形格的

圆盘染五色，使邻格不同色的染色问题．设有k 个扇形格的圆盘染五色的方法数 为k x ，则有1154k k k x x --+=g ，

于是43255443322()()()5(4444)1020x x x x x x x x =+-+++-=-+-=，故答案为1020

9.用五种不同的颜色，把ABC ∆的3个顶点染上其中的一种颜色．

（1）如果要求三条边的两端点都有不同的颜色，则有多少种不同的染色方法？ （2）如果只要求A 、B 异色，则有多少种不同的染色法？ 解：（1）Q 三条边的两端点都有不同的颜色，∴顶点A ，B ，C 上的颜色都不相同， ∴有五种不同的颜色，∴点A 处有5种染色方法，

点B 在点A 用过剩余的4种颜色中，选用一种染色，有4种染色方法， 点C 在剩余的三种颜色中，任选一种，有3种染色方法， 所以一共有54360⨯⨯=种不同的染色方法；

（2）A Q 、B 异色，∴点A 在5中颜色种选用一种，

则点B 在剩余的4种颜色中，选用一种染色，有四种方法，

点C 五种颜色中，任选一种，有5种染法，所以，一共有545100⨯⨯=种不同的染色方法．

10.（2017春•徐州期末）给一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使得同一条棱的两端异色如果有4种颜色可供使用，则共有x 种不同的染色方法；如果有5种颜色可供使用，则共有y 种不同的染色方法，那么y x -的值为 348 ．

解：设四棱锥为P ABCD -．如果有5种颜色可供使用， 下面分两种情况即B 与D 同色与B 与D 不同色来讨论，

（1）15:P C ，14:A C ，13:B C ，B 与D 同色：:1D ，1

3:C C ．

（2）15:P C ，14:A C ，13:B C ，B 与D 不同色：12:D C ，12:C C ．

共有111111111

5

433543221420C C C C C C C C C +=g g g g g g g g ．则420y =种， 如果有4种颜色可供使用，下面分两种情况即C 与A 同色与C 与A 不同色来讨论，

（1）P 的着色方法种数为14C ，A 的着色方法种数为13C ，B 的着色方法种数为1

2C ， C 与A 同色时C 的着色方法种数为1，D 的着色方法种数为1

2

C ．