状态变量与状态方程
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《信号与系统》第8章
) RC
(is
(t
)
iL
(t
))
经整理：
x1
(t
)
x2
(t
)
0
1 L
x1 (t )
1 C
RC L
x2 (t) RL x2 (t)
1 C
RC L
f1 (t )
f1(t)
1 L
f2 (t)
（3）建立输出方程
iuC((tt))uC
(t) iS
(t
RCiL (t) ) iL (t)
RC
iS
RC
iS
(t)
RC
iL (t)......... ...(3)
状态变量与系统输入变量的关系（状态方程）：
duC (t
dt diL (t)
)
1
dt L
uC
(t)
1 L
1 C (RL
RCiL (t) )iL 源自t)1C RC L
iS (t)(4) iS (t).........(5)
1H
x1
1F
+ -
x2
1F
i2
+
+-x3
2
u(t)
-
把该式代入上式，得：
x2
f
x1 x2 x3 (t) x2 x2
x3
x1
x3
x1
1 2
x3
x2
x3
x1 0 x2 x3 0
x2
1 3
x1
2 3
x2
1 6
x3
2 3
f (t)
x3
1 3
x1
1 3
x2
1 3
热力学中的状态变量和状态方程
热力学中的状态变量和状态方程热力学是研究物质能量转化和传递的科学，它描述了物质在不同条件下的行为。
在研究物质的热力学性质时，我们需要引入状态变量和状态方程这两个重要概念。
本文将深入探讨这两个概念的含义和应用。
一、状态变量状态变量是用来描述物质所处状态的量。
在热力学中，常见的状态变量包括温度、压强、体积和物质的组成等。
这些状态变量可以用来描述物质的宏观状态，例如物质的热力学性质和热平衡条件。
温度是物质的一种状态变量，它反映了物质内部分子的平均能量。
温度的单位是开尔文（K），它是国际单位制中的温度标准。
温度是一个非常重要的状态变量，它不仅可以描述物质的热平衡状态，还可以用来计算物质的热力学性质，例如热容和热导率等。
压强是物质的另一种状态变量，它反映了物质所受到的力的大小。
压强的单位一般是帕斯卡（Pa），它是国际单位制中的压强标准。
压强可以用来描述物质的力学平衡状态，在研究物质的热力学性质时起到重要作用。
除了温度和压强，体积也是一个重要的状态变量。
体积用来描述物质所占据的空间大小，它可以用来计算物质的密度和体积变化等。
在研究物质的热力学性质时，体积是一个非常重要的参数，它可以用来描述物质的物理性质和热力学过程。
此外，物质的组成也是一个重要的状态变量。
物质的组成决定了物质的化学性质和相态行为。
在研究物质的热力学性质时，我们需要考虑物质的组成对物质性质的影响。
二、状态方程状态方程是用来描述物质状态的数学表达式。
它是热力学中最基本的方程之一，可以用来计算物质的热力学性质和描述物质的相态行为。
最著名的状态方程之一是理想气体状态方程。
理想气体状态方程是一个简化模型，它假设气体分子之间没有相互作用，只考虑气体的温度、压强和体积之间的关系。
理想气体状态方程可以用以下公式表示：PV = nRT其中，P表示气体的压强，V表示气体的体积，n表示气体的物质量（摩尔数），R表示气体常数，T表示气体的温度。
这个方程描述了理想气体的状态，可以用来计算理想气体的性质和热力学过程。
第9章系统的状态变量分析
状态变量法不仅关心输入和输出间的关系，而且可提供系 统内部各变量的情况。它是用两组方程来描述系统，即： （1）状态方程，它描述了系统内部状态变量与激励之间的关 系。对于线性时不变系统是一阶常系数微分方程组（连续系统） 和一阶差分方程组（离散系统）； （2）输出方程，它描述了系统的响应与状态变量和激励的关 系，输出方程通常是代数方程。因而特别适用于多输入、多输 出系统。它不仅适用于线性时不变系统，也便于推广应用于时 变系统和非线性系统。
(9.1-1)
式中 a ij，bij 是由系统参数组成的系数。对于线性非时变系统，
它们都是常数。
用矩阵形式表达为 x(t) Ax(t) Bf (t)
式中
def
x(t) x1(t)
def
x(t) x1(t)
def
f (t) f1(t)
x2 (t) xn (t)T x2 (t) xn (t)T f2 (t) fn (t)T
(9.1-2)
a11
A
a21
an1
a12 a1n
a22
a2n
(9.1-3)
an2
ann
b11
B
b21
bn1
b12 b1p
b22
b2 p (9.1-4)
bn2 bnp
分别为系数矩阵，对于线性非时变系统，它们都是常量矩阵， 其中A为n×n方阵，常称为系统矩阵，B为n×n矩阵，常称为
第9章 系统的状态变量分析
9.1 系统状态方程与输出方程 9.2 状态方程、输出方程的时域求解方法 9.3 状态方程、输出方程的变换求解方法
9 .1 系统状态方程与输出方程
9.1.1 状态变量与状态方程的基本概念 9.1.2 状态方程、输出方程的建立方法 9.1.3 系统的可控性和可观察性
(9.1-1)
式中 a ij，bij 是由系统参数组成的系数。对于线性非时变系统，
它们都是常数。
用矩阵形式表达为 x(t) Ax(t) Bf (t)
式中
def
x(t) x1(t)
def
x(t) x1(t)
def
f (t) f1(t)
x2 (t) xn (t)T x2 (t) xn (t)T f2 (t) fn (t)T
(9.1-2)
a11
A
a21
an1
a12 a1n
a22
a2n
(9.1-3)
an2
ann
b11
B
b21
bn1
b12 b1p
b22
b2 p (9.1-4)
bn2 bnp
分别为系数矩阵，对于线性非时变系统，它们都是常量矩阵， 其中A为n×n方阵，常称为系统矩阵，B为n×n矩阵，常称为
第9章 系统的状态变量分析
9.1 系统状态方程与输出方程 9.2 状态方程、输出方程的时域求解方法 9.3 状态方程、输出方程的变换求解方法
9 .1 系统状态方程与输出方程
9.1.1 状态变量与状态方程的基本概念 9.1.2 状态方程、输出方程的建立方法 9.1.3 系统的可控性和可观察性
状态方程
例6 输出: uc , iC , uR
电路理论基础
解 若已知状态量 uC在
t=0
R
ic
uc(t1)=3V和us=10V，也 uR us uc 可以确定t>t1电路的响应 uc , iC , uR。 uc 3e 500 ( t t1 ) 10(1 e 500 ( t t1 ) ) 500 ( t t1 ) ic 3.5e mA uR 7e 500( t t1 ) V 可推广到一阶、二阶和高阶动态电路中，当t =t1 时uC ， iL 和t t1 后的输入 uS(t)为已知，就可以确 定t1及t1以后任何时刻系统的响应。问题是确定状 态变量及初始值。
上例中也可选uC和duC /dt为状态变量
duC uC d(C ) dt R u u (t ) L C S dt d 2 uC L duC LC uC uS ( t ) 2 R dt dt
iL L + uL + + uC uS(t)
电路理论基础
iL iC
C R 2 + uR
状态方程为
x (t ) A x (t ) Bv(t )
式中，A、B为系数阵，由电路结构和参数确定。 状态方程特点： (1)联立的一阶微分方程组 (2)左端为一个状态变量的一阶导数 (3)右端为状态变量和输入量的线性表示 (4)方程数等于状态变量数，等于独立储能元件数
电路理论基础
整理为矩阵形式
duC 1 dt RC di 1 L dt L
状态变量
1 0 u C C i 1 uS ( t ) 0 L L
输入量
状态变量模型的基本概念
状态变量模型的基本概念状态变量模型是一种用于描述动态过程中各种状态的数学模型。
它是由一组状态变量和状态方程组成，通过定义状态变量之间的关系，可以推导出系统在不同时间点的状态。
在物理学、工程学、经济学等领域中都有广泛的应用。
状态变量是用来描述系统状态的变量，它们可以是离散的或连续的。
比如，机械系统的状态变量可以是位置、速度和加速度；电路系统的状态变量可以是电荷和电流；经济系统的状态变量可以是价格和产量等。
这些状态变量的变化规律可以通过一组状态方程来描述。
状态方程是用来描述状态变量之间的关系的方程。
它可以是代数方程、微分方程或差分方程，取决于系统的性质和应用的要求。
状态方程通常包含两部分：状态变量的演化方程和外部输入的影响方程。
状态变量的演化方程描述了状态变量随时间的变化规律，而外部输入的影响方程描述了外部因素对系统状态的影响。
在状态变量模型中，系统的状态可以通过给定初始条件和外部输入来确定。
通过求解状态方程，可以得到系统在不同时间点的状态。
这种方法可以用于模拟和预测系统的行为，从而为系统设计、控制和优化提供依据。
状态变量模型的应用非常广泛。
在物理学中，状态变量模型可以用来描述天体运动、流体力学和热传导等过程。
在工程学中，状态变量模型可以用来描述机械系统、电路系统和控制系统等。
在经济学中，状态变量模型可以用来描述市场供需关系、经济增长和金融市场等。
此外，状态变量模型还可以用于生态学、生物学和社会科学等领域。
在实际应用中，状态变量模型可以通过数值方法进行求解。
常用的数值方法包括欧拉法、龙格-库塔法和有限元法等。
这些方法可以通过离散化状态方程，将连续的变化转化为离散的时间步骤，从而得到系统在离散时间点的状态。
总之，状态变量模型是一种描述动态过程中各种状态的数学模型。
通过定义状态变量和状态方程，可以推导出系统在不同时间点的状态。
它在物理学、工程学、经济学等领域中有广泛的应用，可以用于模拟和预测系统的行为，为系统设计、控制和优化提供依据。
第七章 系统的状态变量分析法
•
X AX BF
Y CX DF
由H ( s )写状态方程的规律： A矩阵：n n.第n行的元素即为 H ( s )分母多项式的系数
a0 ,a1 an1的负值，其它各行除对 角线右边 的元素为1外，其余均为 0。 B矩阵：n 1.最后一行为1，其余均为 0。
C矩阵：1 n.前m＋1个元素即为H ( s )分子多项式的系数 b0 ,b1bm的值，其n m 1个元素均为0。
y(t) b0x1(t) b1x2(t)
y"(t) a1 y' (t) a0 y(t) b1e' (t) b0e(t)
x1'(t) x2'(t)
0
a0
1 a1
x1(t) x2(t)
0
1
e(t)
y(t) [b0 b1]xx12((tt))
et
q' '
x2 '(t)
q'
x2 (t)
例2：已知一系统函数bs33s
3 b2s a2s2
2 b1s b0 a1s a0
解：此时：m n b3
b2
es
s3q(s) sx3 (s)
1 s2q(s) s x3(s)
1 sq(s) s x2 (s)
b1
1 q(s)
s x1(s)
b0
a2 a1
a0
ys
x1' ( t ) 0 1 0x1( t ) 0
dx1 dt
us
1 c
x2
dx2
dt
1 L
x1
R L
x2
上例说明:
状态变量的选择不是唯一的,但对于一个具体系统
而言,不论如何选择,状态变量的个数总是相等的.
系统的状态变量分析
《信号与线性系统》
第7章 系统的状态变量分析
2．状态变量 状态变量是指一组最少的变量，若已知它们在t0时 的数值，则连同所有在t≥t0时的输入就能确定在t≥t0时 系统中的任何运动状态。需要指出的是，通常系统中 这样一组变量并不一定是唯一的。 3．状态向量 将n阶系统中的n个状态变量λ1(t)，λ2(t)，…，λn(t)， 排成一个n×1阶的列矩阵λ(t)，即
(7―6)
《信号与线性系统》
第7章 系统的状态变量分析
f1(k ) f2(k )
fm(k )
…
{i(k 0)}
…
y1(k ) y2(k )
yL(k )
图7.2 多输入―输出离散时间系统 《信号与线性系统》
第7章 系统的状态变量分析
设有n阶多输入―输出离散系统如图7.2所示。它
的m个输入为f1(k)，f2(k)，…，fm(k)，其L个输出为y1(k)， y2(k)，…，yL(k)，系统的状态变量为λ1(k)，λ2(k)，…， λn(k)。则其状态方程和输出方程可写为
《信号与线性系统》
第7章 系统的状态变量分析
6．状态轨迹 在描述一个动态系统的状态空间中，状态向量的 端点随时间变化所经历的路径称为系统的状态轨迹。 一个动态系统的状态轨迹不仅取决于系统的内部结构， 还与系统的输入有关，因此，系统的状态轨迹可以形 象地描绘出在确定的输入作用下系统内部的动态过程。
《信号与线性系统》
1 2
b11 b21
a33
n
b31
b12 b22 b32
b13 f1
b23 b33
f2 f3
(7―3)
上式可简记为
(t) A(t) Bf (t)
(7―4)
第7章 系统的状态变量分析
2．状态变量 状态变量是指一组最少的变量，若已知它们在t0时 的数值，则连同所有在t≥t0时的输入就能确定在t≥t0时 系统中的任何运动状态。需要指出的是，通常系统中 这样一组变量并不一定是唯一的。 3．状态向量 将n阶系统中的n个状态变量λ1(t)，λ2(t)，…，λn(t)， 排成一个n×1阶的列矩阵λ(t)，即
(7―6)
《信号与线性系统》
第7章 系统的状态变量分析
f1(k ) f2(k )
fm(k )
…
{i(k 0)}
…
y1(k ) y2(k )
yL(k )
图7.2 多输入―输出离散时间系统 《信号与线性系统》
第7章 系统的状态变量分析
设有n阶多输入―输出离散系统如图7.2所示。它
的m个输入为f1(k)，f2(k)，…，fm(k)，其L个输出为y1(k)， y2(k)，…，yL(k)，系统的状态变量为λ1(k)，λ2(k)，…， λn(k)。则其状态方程和输出方程可写为
《信号与线性系统》
第7章 系统的状态变量分析
6．状态轨迹 在描述一个动态系统的状态空间中，状态向量的 端点随时间变化所经历的路径称为系统的状态轨迹。 一个动态系统的状态轨迹不仅取决于系统的内部结构， 还与系统的输入有关，因此，系统的状态轨迹可以形 象地描绘出在确定的输入作用下系统内部的动态过程。
《信号与线性系统》
1 2
b11 b21
a33
n
b31
b12 b22 b32
b13 f1
b23 b33
f2 f3
(7―3)
上式可简记为
(t) A(t) Bf (t)
(7―4)
第十章 状态方程PPT课件
10.1 状态变量和状态方程 10.2 状态方程的列写方法
用途：在时域内分析动态电路 线性动态电路的时域分析法：根据换路后的电路，在 时域中建立含待求量的一个一元n阶微分方程并求解此
状态变量法：根据换路后的电路，在时域中建立含状态
变量的n元一阶微分方程组（也称状态方程），并解此方
程组，再根据用状态变量和激励表示的输出方程来求电路
2020/10/13
4
二. 叠加法：替代定理＋线性叠加定理
用电压为 u C的电压源替代电路中的电容、用电流
为i L 的电流源替代电路中的电感；
求每个独立源单独作用时在电容中产生的电流和 电感中的电压； 应用线性叠加定理将各分量叠加即得到状态方程； 将状态方程整理成标准矩阵形式。
2020/10/13
20响20/应10/1的3 方法。
ห้องสมุดไป่ตู้
1
一. 状态变量
在任意瞬时都能与输入激励一起用一组线性代数方程来 确定电路全部响应的一组独立完备的变量。对于一个电路， 状态变量的选取不是唯一的，但在电路分析中，常取电容电 压和电感电流作为状态变量。
二. 状态方程
用来从已知的激励和初始状态求状态变量的一阶微分方程， 称为状态方程，它描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系。
2020/10/13
2
三. 输出方程
用来从已知的激励和状态变量求响应相量的代数方程，称 为输出方程。它描述了输出与状态变量和激励之间的关系。
iS
R1
R2
C
iL L
2020/10/13
3
一. 观察法
选所有独立的电容电压和电感电流作为状态变量； 对接有独立电容的节点列写KCL方程，对含有独 立电感的回路列写KVL方程； 若第2)步所列的KCL和KVL方程中含有非状态变 量，则利用适当的KCL和KVL方程，将非状态变量 消去； 将状态方程整理成标准矩阵形式。
用途：在时域内分析动态电路 线性动态电路的时域分析法：根据换路后的电路，在 时域中建立含待求量的一个一元n阶微分方程并求解此
状态变量法：根据换路后的电路，在时域中建立含状态
变量的n元一阶微分方程组（也称状态方程），并解此方
程组，再根据用状态变量和激励表示的输出方程来求电路
2020/10/13
4
二. 叠加法：替代定理＋线性叠加定理
用电压为 u C的电压源替代电路中的电容、用电流
为i L 的电流源替代电路中的电感；
求每个独立源单独作用时在电容中产生的电流和 电感中的电压； 应用线性叠加定理将各分量叠加即得到状态方程； 将状态方程整理成标准矩阵形式。
2020/10/13
20响20/应10/1的3 方法。
ห้องสมุดไป่ตู้
1
一. 状态变量
在任意瞬时都能与输入激励一起用一组线性代数方程来 确定电路全部响应的一组独立完备的变量。对于一个电路， 状态变量的选取不是唯一的，但在电路分析中，常取电容电 压和电感电流作为状态变量。
二. 状态方程
用来从已知的激励和初始状态求状态变量的一阶微分方程， 称为状态方程，它描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系。
2020/10/13
2
三. 输出方程
用来从已知的激励和状态变量求响应相量的代数方程，称 为输出方程。它描述了输出与状态变量和激励之间的关系。
iS
R1
R2
C
iL L
2020/10/13
3
一. 观察法
选所有独立的电容电压和电感电流作为状态变量； 对接有独立电容的节点列写KCL方程，对含有独 立电感的回路列写KVL方程； 若第2)步所列的KCL和KVL方程中含有非状态变 量，则利用适当的KCL和KVL方程，将非状态变量 消去； 将状态方程整理成标准矩阵形式。
第十四章 状态变量分析法
输出方程的一般形式
y = Cx + Dv
状态方程的建立方法： 第一步：选状态变量。即选电容电压和电感电流 第二步：选择特有树。它的树支包含了电路中所 有的电压源支路和电容支路，它的连支包含了电 路中所有的电流源支路和电感支路。 第三步：选一个特有树对单电容树支割集列写 KCL方程，对单连支回路列写KVL方程。 第四步：消去非状态变量，最后整理并写成矩 阵形式。
第14章 状态变量分析法
第14章 状态变量分析法
第十四章 状态变量分析法
14.1 状态变量、状态方程和输出方程
14.2 电路状态方程的建立方法 14.3 线性时不变电路状态方程的求解
前面第5章介绍的时域分析法、第11章介 绍的复频域分析法，是分析电路动态过程的 方法。这两种方法存在欠缺：手工计算、只 是分析线性定常网络。 本章将介绍的状态变量分析法，适宜于 用计算机对大型网络进行暂态分析。这一分 析方法不仅适用于线性网络，还适用于非线 性网络、时变网络。由于状态变量法具有以 上优点，目前已得到广泛应用。
则有
电路的输出方程
y[h×1] = C[h×n ] x[n×1] + D[h×m ]v[m×1]
作业：
第一次: 14-7, 14-9，14-14, 14-16 (状态方程) 第二次: 14-19 (输出方程）
C du C =Biblioteka iL dt di L L = −u C − RiL + u s dt
du C 1 = iL dt C diL 1 1 R = − uC − iL + u s dt L L L
uc(t0+)和iL(t0+)则提供了用来确定积分 常数的初始值，因此方程就是描写电路动态 过程的状态方程。 如果用矩阵形式来写上述方程，则有
8.1线性系统的状态方程
状 态 方 程
1 1 duC (t ) − iL (t ) + is (t ) dt = C C diL (t ) = 1 u (t ) − RL + RC i (t ) + RC i (t ) C L s dt L L L
i 为输出。 为输入， 选取 is (t ) 为输入，u (t ) 、C (t )为输出。
x2 (t )
几个概念： 几个概念： • 状态 ：指系统的储能状态，对不具有储能的系统 指系统的储能状态， 也就无状态可言。 也就无状态可言。 • 状态变量：描述系统状态随时间变化的一组变量。 状态变量：描述系统状态随时间变化的一组变量。 • 状态方程：用状态变量和激励表示的一组独立的 状态方程： 一阶微分方程； 一阶微分方程； • 输出方程：用状态变量和激励表示的代数方程； 输出方程：用状态变量和激励表示的代数方程； • 动态方程：状态方程和输出方程的总称。 动态方程：状态方程和输出方程的总称。 注意：状态变量的选取不是唯一的； 注意：状态变量的选取不是唯一的；不是每一个 电路都可以建立状态方程。 电路都可以建立状态方程。
简写成
y (n) = Cx(n) + Df(n)
3. 动态方程的建立 (1) 直接编写法（略，见1. 中例子）。 8.2.1 直接编写法（ 中例子）。
状态方程列写步骤： 状态方程列写步骤： • 确定状态变量，选取所有独立的电容电压和电感 确定状态变量， 电流作为状态变量； 电流作为状态变量； • 对每一个独立的电容列写节点电流方程；对每一 对每一个独立的电容列写节点电流方程； 个独立的电感写回路电压方程； 个独立的电感写回路电压方程； • 消去中间变量，写出状态变量、输入变量、输出 消去中间变量，写出状态变量、输入变量、 变量表示的状态方程和输出方程。 变量表示的状态方程和输出方程。 输出方程列写步骤： 输出方程列写步骤： • 确定输出变量； 确定输出变量； • 由KCL、KVL及元件的约束特性找出状态变量、 及元件的约束特性找出状态变量、 、 及元件的约束特性找出状态变量 输入变量、输出变量表示的输出方程， 输入变量、输出变量表示的输出方程，消去中 间变量。 间变量。
1 1 duC (t ) − iL (t ) + is (t ) dt = C C diL (t ) = 1 u (t ) − RL + RC i (t ) + RC i (t ) C L s dt L L L
i 为输出。 为输入， 选取 is (t ) 为输入，u (t ) 、C (t )为输出。
x2 (t )
几个概念： 几个概念： • 状态 ：指系统的储能状态，对不具有储能的系统 指系统的储能状态， 也就无状态可言。 也就无状态可言。 • 状态变量：描述系统状态随时间变化的一组变量。 状态变量：描述系统状态随时间变化的一组变量。 • 状态方程：用状态变量和激励表示的一组独立的 状态方程： 一阶微分方程； 一阶微分方程； • 输出方程：用状态变量和激励表示的代数方程； 输出方程：用状态变量和激励表示的代数方程； • 动态方程：状态方程和输出方程的总称。 动态方程：状态方程和输出方程的总称。 注意：状态变量的选取不是唯一的； 注意：状态变量的选取不是唯一的；不是每一个 电路都可以建立状态方程。 电路都可以建立状态方程。
简写成
y (n) = Cx(n) + Df(n)
3. 动态方程的建立 (1) 直接编写法（略，见1. 中例子）。 8.2.1 直接编写法（ 中例子）。
状态方程列写步骤： 状态方程列写步骤： • 确定状态变量，选取所有独立的电容电压和电感 确定状态变量， 电流作为状态变量； 电流作为状态变量； • 对每一个独立的电容列写节点电流方程；对每一 对每一个独立的电容列写节点电流方程； 个独立的电感写回路电压方程； 个独立的电感写回路电压方程； • 消去中间变量，写出状态变量、输入变量、输出 消去中间变量，写出状态变量、输入变量、 变量表示的状态方程和输出方程。 变量表示的状态方程和输出方程。 输出方程列写步骤： 输出方程列写步骤： • 确定输出变量； 确定输出变量； • 由KCL、KVL及元件的约束特性找出状态变量、 及元件的约束特性找出状态变量、 、 及元件的约束特性找出状态变量 输入变量、输出变量表示的输出方程， 输入变量、输出变量表示的输出方程，消去中 间变量。 间变量。
状态、状态变量、状态空间、状态方程和动态方程
系统输入U(t)以及时间t的关系的方程就称作系统的输出方程,
如式(2-2)所示。
其中,G=(g1,g2,…,gm ),G 是一个函数矢量。
第2章 状态空间分析法
在现代控制理论中,用系统的状态方程和输出方程来描
述系统的动态行为,状态方程和输出方程合起来称作系统的
状态空间表达式或动态方程。
根据函数向量F 和G 的不同情况,一般控制系统可以分
取每个积分器的输出端信号为状态变量x1 和x2,积分器的输
入端即ሶ 1 和ሶ 2,从图可得系统状态方程:
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
例2-6 求如图2-10(a)所示系统的动态方程。
图2-10 方块图
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
2.4 由系统的微分方程或传递函数求其动态方程
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
例2-2-电路如图2-6所示。以ei 作为系统的控制输入u(t),
eo 作为系统输出y(t)。建立系统的动态方程。
图2-6 RLC 电路
第2章 状态空间分析法
解 该RLC 电路有两个独立的储能元件L 和C,我们可以
取电容C 两端电压和流过电感L 的电流作为系统的两个状态
性,因此会产生一定程度上的结构差异,这也会导致动态方程
差异的产生;从系统微分方程或传递函数出发的系统实现问
题,更是会导致迥然不同的系统内部结构的产生,因而也产生
了不同的动态方程。所以说系统动态方程是不唯一的。
第2章 状态空间分析法
例如图2-11所示的传递函数的直接法实现,按照图上所
示各状态变量的取法,我们有式(2-24)所示动态方程。如果将
如式(2-2)所示。
其中,G=(g1,g2,…,gm ),G 是一个函数矢量。
第2章 状态空间分析法
在现代控制理论中,用系统的状态方程和输出方程来描
述系统的动态行为,状态方程和输出方程合起来称作系统的
状态空间表达式或动态方程。
根据函数向量F 和G 的不同情况,一般控制系统可以分
取每个积分器的输出端信号为状态变量x1 和x2,积分器的输
入端即ሶ 1 和ሶ 2,从图可得系统状态方程:
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
例2-6 求如图2-10(a)所示系统的动态方程。
图2-10 方块图
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
2.4 由系统的微分方程或传递函数求其动态方程
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
例2-2-电路如图2-6所示。以ei 作为系统的控制输入u(t),
eo 作为系统输出y(t)。建立系统的动态方程。
图2-6 RLC 电路
第2章 状态空间分析法
解 该RLC 电路有两个独立的储能元件L 和C,我们可以
取电容C 两端电压和流过电感L 的电流作为系统的两个状态
性,因此会产生一定程度上的结构差异,这也会导致动态方程
差异的产生;从系统微分方程或传递函数出发的系统实现问
题,更是会导致迥然不同的系统内部结构的产生,因而也产生
了不同的动态方程。所以说系统动态方程是不唯一的。
第2章 状态空间分析法
例如图2-11所示的传递函数的直接法实现,按照图上所
示各状态变量的取法,我们有式(2-24)所示动态方程。如果将
电路分析第十四章-状态变量法
iL L + uL -
R1 + uS -
iC1
+uC1 -
R2
iS
iC2
+ uL R1
iC1 + uC1R2
设uC1、 uC2 、iL为状态变量
解
（1） uC1 单独作用： iL=0，iS=0， uS=0 , uC2=0。 求：iC1 ， iC2 , uL 。
iC 1
=
−
uC 1 R1 + R2
iC 2
[it]= -[Ql] [il] 用连支电流表示树支电流；
（5） 对基本回路列写KVL方程
[ul ]= -[Bt ][ut] 用树支电压表示连支电压；
（6） 消去非状态量；
（7） 整理，得到状态方程。
例
+ uC -R1
（1） 选 uC ， iL 为 状态变量。
+ uS
-
C3
iL L4 R5
iS
（2） 以1，2，3为 树支的常态树。
uL=e(t)-uC(t) iC(t)= iL(t)- uC(t)/R uR(t)= uC(t)
iR(t)= uC(t)/R
L iL
+ + uL - iC
e(t)
C
-
iR + uC R
-
+ uR -
uL − 1
iC
=
−
1
/
R
uR iR
1 1/ R
0
1
1 0
uC iL
+
0 0
e(t
)
0
0
一般形式 [Y(t)] = [C ][X(t)] +[D][v(t)]
14状态方程
第十四章 状态方程§14-1 电路的状态、状态变量及状态方程一、状态和状态变量经典法分析一阶、二阶电路时，求响应除了要知道电路结构及参数和外加激励之外，还必须知道电路中电容电压，C u 和电感电流C i 的初始值。
有了这些初始值才能确定积分常数，才能确定唯一解．．．，即电路在换路后任意时刻的情况。
C u 及L i 的初始值称为电路的初始状态．．。
只要知道了一个已知电路在换路时的初始状态和换路后作用于电路的外加激励。
就可以确定在换路后任何时刻的电路的响应。
一般意义上的定义： 一个电路在0t t=时的状态．．，是指能完全描述在这一时刻电路性能的最小变量组（的值）。
这个变量组中的每一个变量，称为状态变量。
完全描述电路性能──如果给定0t t=时这组变量的值和0t t ≥时的外加激励，就能完全确定电路在0t t ≥的任何时刻的任一响应。
在电路分析中，这些所谓变量，就是各元件（支路）电流、电压（电荷、磁链）。
最小是指这些变量组中每一个变量都是独立的，不可能用其它变量的线性组合来表示。
相应的，电路中0t t =时刻的其它任何一个电压、电流都可以用状态变量和激励的线性组合来表达。
若一个电路中有几个状态变量)( , ),( ),(21t x t x t x n ，这几个状态变量就构成了一个数学上的矢量)(t X 。
（变量组）)(t X 称为电路的状态矢量。
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)( )()()(21t x t x t x t X n 一个电路可以选出多种不同的状态矢量，但其中最容易选取的是由电容电压)(t u C 、电感电流)(t i L 构成的状态矢量。
结合以上定义和讨论可以看出， )(t u C 及)(t i L 确实满足状态变量的基本定义。
所以，一般在电路中将各独立电容的)(t u C ，各独立电感的)(t i L 作为一组状态变量，有时也可以将)(t q 、)(t ψ作为一组状态变量（多用于非线性电路）。
第九章 状态变量
状态方程！ 状态方程！
如果电感电压为所求未知量， 如果电感电压为所求未知量，则：
uL = −uC − RiL +uS 1
E-mail:lynwindsent@
输出方程！ 输出方程！
返 回
Tel:22896276
广东医学院生物医学工程教研室
信号与线性系统
状态方程一般写成矩阵的形式： 状态方程一般写成矩阵的形式：
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信号与线性系统
三、已知系统模拟图，列写状态方程 已知系统模拟图，
以积分器的输出作为状态变量， 以积分器的输出作为状态变量，输入就 是状态变量的导数。 是状态变量的导数。
f(t)
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信号与线性系统
支路： ① ② ③支路：
C2u'C2 + iL + iS = 0
uC1 −uS 支路： ② ④ ⑤支路： Cu' + +iL = 0 1 C1 R
(4)写出电感连枝相关的 写出电感连枝相关的KVL方程： 方程： 写出电感连枝相关的 方程
（2，7） ， ）
（3，6，7） ， ， ）
（4，6，8） ， ， ）
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信号与线性系统
5、列出基本回路的KVL方程 、列出基本回路的 方程
di7 L7 = −u2 −u3 dt
Li 'L −uC2 −uC1 + uS = 0
§14-1 状态、状态变量及状态方程
d 2uc du c + uc = us 二阶方程：LC 2 + RC dt dt
ห้องสมุดไป่ตู้
用状态变量 u c 、 i L 列方程：
du c C dt = i L di L L + u c + Ri L = u s dt
西南交通大学
整理
duc 1 = iL dt C diL = − 1 u − R i + 1 u c L s L L L dt
x2 = iL
diL &2 = x dt
&1 x1 x = A +B [u s ] x x2 &2
状态方程的一般形式
&1 a11 x x & 2 a 21 = M M & n a n1 x a12 a 22 M an2 K K M a1n x1 b11 x b a2n 2 + 21 M M M a nn x n bn1 b12 b22 M bn 2 K K M b1m f1 f b2 m 2 M M bnm f m
简写为
y = Cx + Df
西南交通大学
矩阵形式：
duc dt 0 = diL 1 − dt L 1 0 u c C + [u s ] 1 R i − L L L
西南交通大学
若令 则
x1 = u c duc &1 = x dt
y1 c11 y c 2 = 21 M M y n c n1 c12 c 22 M cn 2 K K M K c1n x1 d 11 x d c2n 2 + 21 M M M c nn x n d n1 d 12 d 22 M d n2 K K M K d 1m f 1 f d 2m 2 M M d nm f m
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1 C
iL1
1 C
iL2
d iL1 dt
1 L1
uC
R1 L1
iL1
1 L1
uS1
d iL2 dt
1 L2
uC
R2 L2
iL2
1 L2
uS
2
这是由三个内部变量uC(t)、iL1(t)和iL2(t)构成的一 阶微分方程组。
若初始值uC(t0)、iL1(t0)和iL2(t0)已知，则根据t≥t0时 的给定激励uS1(t)和uS2(t)就可唯一地确定在t≥t0时的解 uC(t)、iL1(t)和iL2(t)。
一、状态与状态变量的概念 从一个电路系统实例引入
以u(t)和iC(t)为输出 若还想了解内部三个 变量uC(t), iL1(t), iL2(t) 的变化情况。
R1
L1 aa L2
R2
iL1
iCiL 2
uS1
uC
u uS2
这时可列出方程
C
duC dt
iL2
iL1
0
R1iL1
L1
d iL1 dt
uC
d2
p
f
p
yq cq1x1 cq2 x2 cqnxn dq1 f1 dq2 f2 dqp f p
▲
■
第7页
矩阵形式
状态方程 x(t) Ax(t) Bf (t)
输出方程 y(t) Cx(t) Df (t)
其中A为n×n方阵，称为系统矩阵， B为n×p矩阵，称为控制矩阵， C为q×n矩阵，称为输出矩阵，D为q×p矩阵
1 L2
uS2
一组代数方程
状态与状态变量的定义
系统在某一时刻t0的状态是指表示该系统所必需最 少的一组数值，已知这组数值和t≥t0时系统的激励， 就能完全确定t≥t0时系统的全部工作情况。
状态变量是描述状态随时间t 变化的一组变量， 它们在某时刻的值就组成了系统在该时刻的状态。
▲
■
第4页
在初始时刻的值称为初始状态。
uS1
0
L2
d iL2 dt
R2iL 2
uS2
uC
0
d uC dt
1 C
iL1
1 C
iL2
d iL1 dt
1 L1
uC
R1 L1
iL1
1 L1
uS1
d iL2 dt
1 L2
uC
R2 L2
iL2
1 L2
uS2
▲
■
第2页
R1
L1 a L2
R2
iL1
iCiL 2
uS1
uC
u uS2
d uC dt
b22
f2
b2 p
f
p
xn an1x1 an2 x2 ann xn bn1 f1 bn2 f2 bnp f p
y1 c11x1 c12x2 c1n xn d11 f1 d12 f2 d1p f p
y2
c21x1 c22x2
c2n xn
d21 f1 d22 f2
对离散系统，类似有
状态方程 x(k 1) Ax(k) Bf (k) 输出方程 y(k) Cx(k) Df (k)
状态变量分析的关键在于状态变量的选取以及状态方程的建立。
▲
■
第8页
§8.2 连续系统状态方程的建立
一、由电路图直接建立状态方程
uC1
首先选择状态变量 。
通常选电容电压和电 uC2
对n阶动态系统需有n个独立的状态变量，通常用 x1(t)、x2(t)、···、xn(t)表示。
说明： （1）系统中任何响应均可表示成状态变量及输入 的线性组合； （2）状态变量应线性独立；
（3）状态变量的选择并不是唯一的 。
▲
■
第5页
二、状态方程和输出方程
在选定状态变量的情况下 ，用状态变量分析系统时， 一般分两步进行： （1）第一步是根据系统的初始状态求出状态变量； （2）第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的 系统输出。
对于输出方程，通常可用观察法由电路直接列出。
▲
■
第 10 页
由电路图直接列写状态方程和输出方程的步骤：
（1）选电路中所有独立的电容电压和电感电流作为 状态变量； （2）对接有所选电容的独立结点列出KCL电流方程， 对含有所选电感的独立回路列写KVL电压方程； （3）若上一步所列的方程中含有除激励以外的非状 态变量，则利用适当的KCL、KVL方程将它们消去， 然后整理给出标准的状态方程形式； （4）用观察法由电路或前面已推导出的一些关系直 接列写输出方程，并整理成标准形式。
由于
iC
C
d uC dt
uL
L
d iL dt
为使方程中含有状态变量uC的一阶导数 ， 可对接有该电容的独立结点列写KCL电流方程；
为使方程中含有状态变量iL的一阶导数 ， 可对含有该电感的独立回路列写KVL电压方程。
对列出的方程，只保留状态变量和输入激励，设法消 去其他中间的变量，经整理即可给出标准的状态方程。
状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方 程组来得到，该一阶微分方程组称为状态方程。
状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系 。 而描述输出与状态变量和激励之 间关系的一组代数方程称为输出方程 。
通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。
▲
■
第6页
动态方程的一般形式
▲
■
第3页
系统的输出容易地由三 个内部变量和激励求出：
u(t) R2iL2 (t) uS2 (t)
iC (t) iL1(t) iL2 (t)
d uC dt
11 C iL1 C iL2
d iL1 dt
1 L1
uC
R1 L1
iL1
1 L1
uS1
d iL2 dt
1 L2
uC
R2 L2
iL2
f1(t)
y1(t)
n阶多输入–多输出LTI 连续系统，如图 。
f2(t)
fp(t)
其状态方程和输出方程为
{xi(t0)}
y2(t)
yq(t)
x1 a11x1 a12x2 a1n xn b11 f1 b12 f2 b1p f p
x2
a21x1
a22x2
aБайду номын сангаасn xn
b21 f1
uC3
感电流为状态变量。
必须保证所选状态变
(a) 任选两个电容电压 独立
量为独立的电容电压
和独立的电感电流。
iL1
iL3
iL2
uC1
uS
uC2
(b) 任选一个电容电压 独立
iL 1
iS
iL2
四种非独立的电路结构 (c) 任选两个电感电流 独立
(d) 任选一个电感电流 独立
■
第9页
状态方程的建立：
根据电路列出各状态变量的一阶微分方程。
内部法——状态变量法
本章将介绍的内部法——状态变量法，它是用n个 状态变量的一阶微分或差分方程组（状态方程）来描 述系统。 优点有： （1）提供系统的内部特性以便研究； （2）便于分析多输入多输出系统； （3）一阶方程组便于计算机数值求解，并容易推广用 于时变系统和非线性系统。
▲
■
第1页
§8.1 状态变量与状态方程