大一高数课件第五章 5-1-1

1 x dx ; 4
2
cos xdx 2 cos xdx ;
2 0
五、水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力，已知 闸门上水的压强 P 是 水深 h 的 函数，且有 p 9.8h(千米 米 2 ) ，若闸门高 H 3米 ，宽 L 2米 ，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水 压力 P （见教材图 5-3）.
称 f ( x ) 在区间[a, b]上可积.
三、存在定理
定理1 当函数 f (x ) 在区间[a, b]上连续时，
称 f ( x ) 在区间[a, b]上可积.
定理2
设函数 f ( x ) 在区间[a, b]上有界，且只有有限个间断点，
则 f ( x ) 在区间[a, b]上可积.
四、定积分的几何意义
A lim f ( i )x i
0 i 1
n
特殊乘积和式的极限
s lim v ( i )t i
0 i 1
n
二、定积分的定义
在 定义 设函数 f ( x ) 在[a , b]上有界， [a, b]中任意插入 若干个
分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b
f ( x ) 0,
b a f ( x )dx
A
曲边梯形的面积
例1
1 2 利用定义计算定积分 0 x dx.
解 将[0,1]区间 n 等分，分点为 xi i ，( i 1,2, , n ) n
1 小区间[ xi 1 , xi ]的长度 xi ，( i 1,2, , n ) n
二、利用定积分的定义计算由抛物线 y x 2 1 , 两直线 x a , x b ( b a ) 及横轴所围成的图形的面积 . 三、利用定积分的定义计算积分a xdx ，( a b ) .
b
bБайду номын сангаас
四、利用定积分的几何意义，说明下列等式： 1、 2、
0
1
2 2
A?
o
a b x
x b 所围成.
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
xo
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
观察下列演示 过程，注意当 分割加细时， 矩形面积和与
曲边梯形面积
的关系．
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解决步骤 :
1) 分割.在区间[a, b]中任意插入 n 1 个分点
练习题答案
一、1、lim f ( i )x i ；
0
i 1 n
2、被积函数,积分区间,积分变量； 3、介于曲线 y f ( x ) , x 轴 ,直线 x a , x b 之间 各部分面积的代数和； b 4、 dx .
a
1 3 3 二、 ( b a ) b a . 3 1 2 2 三、 ( b a ) . 2 五、88.2(千牛).
把区间[a, b]分成 n 个小区间， 各小区间的长度依次为
xi xi xi 1 ， (i 1,2,) ， 在各小区间上任取 一点
i （ i xi ）， 作乘积 f ( i )xi (i 1,2,)
并作和 S
i 1

n
f ( i )xi ，记 max{x1 , x2 ,, xn }，
a x0 x1 x2 xn1 xn b
用直线 x x i 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
y
2) 取近似. 在第 i 个窄曲边梯形上任取
i [ x i 1 , x i ] 作以 [ x i 1 , x i ] 为底 ,
f ( i ) 为高的小矩形,
１．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法： 分割 求和 取极限 化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
积零为整
取极限
精确值——定积分
思考题
将和式极限：
1 2 ( n 1) lim sin sin sin n n n n n
表示成定积分.
也不论在小区间[ xi 1 , xi ]上 如果不论对[a, b] 怎样的分法，
只要当 0 时， S 总趋于确定的极限 I ， 点 i 怎样的取法， 和
记为 我们称这个极限 I 为函数 f ( x )在区间[a , b]上的定积分，
积分上限
积分和
b
a f ( x )dx I lim f ( i )xi 0 i 1
第五章 第一节
• • • • •
定积分
定积分的概念
一、问题的提出 二、定积分的定义 三、定积分存在定理 四、定积分的几何意义 五、小结
一、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积） y
y f ( x)
曲边梯形由连续曲线
y f ( x ) ( f ( x ) 0)、
x 轴与两条直线 x a 、
积分下限
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
[a , b] 积分区间
注意：
（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量
的字母无关.
a
b b b f ( x )dx a f ( t )dt a f ( u)du
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
（3）当函数 f ( x ) 在区间[a, b]上的定积分存在时，

练习题
一、填空题： 1、函数 f ( x ) 在 a , b 上的定积分是积分和的极限， 即 a f ( x )dx _________________ . 2、定 积 分 的 值 只 与 ______ 及 _______ 有 关 ， 而 与 _________的记法无关 . 3、定积分的几何意义是_______________________ . 4、区间 a , b 长度的定积分表示是_____________ .
（2）取近似
部分路程值 （3）求和 s （4）取极限
i 1
某时刻的速度
v ( i )t i
n
max{t1 , t2 ,, tn }
s lim
0 i 1
路程的精确值

n
v ( i )t i
上述两个问题的共性:
• 解决问题的方法步骤相同 : “分割 , 取近似 , 求和 , 取极限 ” • 所求量极限结构式相同:
o a x1
x i 1 x i
i
并以此小梯形面积近似代替相应
y
窄曲边梯形面积 得 Ai f ( i )x i ( x i xi xi 1 )
3) 求和. A
n
i 1

A i
i 1

n
f ( i )x i
o
a
x1
x i 1 x i
i
4) 取极限.令
A lim lim

n
则曲边梯形面积
y
Ai f ( i )x i
0 i 1
0 i 1

n
o
a
x1
x i 1 x i
i
实例2
（求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度 v v(t ) 是时间间隔 [T1 ,T2 ] 上 t 的一个连续函数，且 v(t ) 0 ，求物体在这段时 间内所经过的路程.
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不 变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最 后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．
（1）分割
T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2 ti ti ti 1 si v( i )ti
n
2
1 1 1 1 2 , 6 n n
1 2 0 x dx
n 2
0 n
1 1 1 1 lim i xi lim 1 2 . n n 3 n 6 0 i 1
五、小结
思考题解答
原式
1 2 ( n 1) n lim sin sin sin sin n n n n n n
n 1 n i 1 i lim sin lim sin n n i 1 n n i 1 n n i xi 1 0 sin xdx .
取 i xi ，( i 1,2, , n )
i 1
f ( i )xi i xi xi2 xi ,
2 i 1 i 1
n
n
n
i 1 1 n i 2 1 n( n 1)( 2n 1) 3 3 6 n i 1 n i 1 n n