勾股定理(含几何画板)PPT课件
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猜想：
如果直角三角形的两直角边长分别为a， b，斜边长为c，那么
a2 +b2 =c2
2020/4/2
8
证明结论
两千多年来，人们对勾股定理的证 明颇感兴趣。因为这个定理太贴近人们 的生活实际，以致于古往今来，下至平 民百姓，上至帝王总统都愿意探讨它的 证明，因此不断涌现新的证法。
请你利用手中的三角形，结合前面的探 究，也来探讨证明勾股定理的方法吧！
少呢？”伽菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方，一定
等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说
出其中的道理吗？……”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心
理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨
小20男20/4孩/2 给他留下的难题。
13
伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的
道理，并给出了简洁的证明方法．1876年4月1日，伽菲尔德
在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。
1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念
他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证
法称为“总统”证法。
b
∟
1 (a + b)(b + a) = 1 c2 + 2( 1 ab )
2020/4/2
12
“总统”证法
在1876年一个周末的傍晚,美国华盛顿的郊外,
有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时
美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的
一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声
争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩
所以：4 1 ab (b a)2 c2 2
2ab b2 2ab a2 c2
即：a 2 b2 c 2
10
2020/4/2
11
你知道吗？
希腊的著明数学家毕达格拉斯发 现了这个定理，为“毕达格拉斯”定 因此世界上许多国家都称勾股定理 理．为了庆祝这一定理的发现，毕达 哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神 灵，因此这个定理又有人叫做“百牛 定理”．
2002年国际数学家大会会标
2020/4/2
3
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次 在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺 成的地面中反映了直角三角形三边的某 种数量关系．
毕达哥拉斯（公元 前572~前492）， 古希腊著名的哲学 家、数学家、天文 学家。
2020/4/2
我们也来观察上图中的 地面，看看有什么发现？
2
2
2
ac
1 a2 + ab + 1 b2 = 1 c2 + ab
2
22
c
a2 + b2 = c2
b
∟
a 2020/4/2
14
勾股定理的命名
1.约2000年前,我国古代算书《周髀算经》中就记载了公元前 1120年我国古人发现的“勾三股四弦五”.当时把较短的直角 边叫做勾,较长的边叫做股,斜边叫做弦. “勾三股四弦五”的 意思是,在直角三角形中, 如果勾为3,股为4,那么弦为5. 2.西方国家称勾股定理为毕达哥拉斯定理.毕达哥拉 (Pythagoras,约公元前580～前500年)是古希腊杰出的数学家,天 文学家,哲学家.他不仅提出了定理,而且努力探求证明方法.
走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么,只见一个小男孩正俯着身
子，用树枝在地上画一个直角三角形，于是伽菲尔德便问，你
们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如
果直角三角形的两条直角边分别是３和4，那么斜边长为多少
呢？”伽菲尔德答到：“是５呀。”小男孩又问道：“如果两
条直角边分别为５和７，那么这个直角三角形的斜边长又是多
2020/4/2
15
欣赏
2020/4/2
16
小结
１、本节课我们经历了怎样的学习过程？
经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理， 再到探索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实 际问题的过程。
２、本节课我们学到了什么？
通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理， 还知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来 探索、验证数学结论的数形结合思想。
人教版八年级（下）第十八章
勾股定理
2020/4/2
1
勾
股
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部
分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者
把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的
直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
2020/4/2
2
这是一个会标， 同学们认识这是什么大会的会标吗？
这个图案是我国 汉代数学家赵爽 在证明勾股定理 时用到的，被称 为“赵爽弦图”
4
毕达哥拉斯
C A
B
你能发现图中直角三角形有什么性质吗?
2020/4/2
5
（1）观察图1-1
C A
正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积是
9 个单位面积。
B 图1-1
C A
B
正方形B的面积是 9 个单位面积。 正方形C的面积是
图1-2
18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积）
2020/4/2
３、学了本节课后你有什么感想？
很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们
用数学的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受
到了数学文化辉煌历史的教育。
2020/4/2
17
1、第45页：1 第47页：1、2、3
2、预习。
2020/4/2
18
谢谢
2020/4/2
19
6
C A
B 图1-1
Βιβλιοθήκη Baidu
C A
B 图1-2
（1）你能发现图1-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么 关系吗？
SA+SB=SC
（图中每个小方格代表一个单位面积）
即：等腰直角三角形两条直角边上的正方
形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
2020/4/2
7
等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角 形也有这个性质吗？
2020/4/2
9
2020/4/2
设图中直角三角形的两条直角边分别 为a、b，斜边为c，那么图中大正方形 的面积应该如何计算呢？学生会由正 方形的面积公式得出大正方形的面积, 也会从拼图活动中受到启发，将大正 方形分割为四个全等的直角三角形与 一个正方形。
解：大正方形的面积：c 2
小正方形的面积：(b a)2
如果直角三角形的两直角边长分别为a， b，斜边长为c，那么
a2 +b2 =c2
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证明结论
两千多年来，人们对勾股定理的证 明颇感兴趣。因为这个定理太贴近人们 的生活实际，以致于古往今来，下至平 民百姓，上至帝王总统都愿意探讨它的 证明，因此不断涌现新的证法。
请你利用手中的三角形，结合前面的探 究，也来探讨证明勾股定理的方法吧！
少呢？”伽菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方，一定
等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说
出其中的道理吗？……”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心
理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨
小20男20/4孩/2 给他留下的难题。
13
伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的
道理，并给出了简洁的证明方法．1876年4月1日，伽菲尔德
在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。
1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念
他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证
法称为“总统”证法。
b
∟
1 (a + b)(b + a) = 1 c2 + 2( 1 ab )
2020/4/2
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“总统”证法
在1876年一个周末的傍晚,美国华盛顿的郊外,
有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时
美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的
一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声
争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩
所以：4 1 ab (b a)2 c2 2
2ab b2 2ab a2 c2
即：a 2 b2 c 2
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你知道吗？
希腊的著明数学家毕达格拉斯发 现了这个定理，为“毕达格拉斯”定 因此世界上许多国家都称勾股定理 理．为了庆祝这一定理的发现，毕达 哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神 灵，因此这个定理又有人叫做“百牛 定理”．
2002年国际数学家大会会标
2020/4/2
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相传2500年前，毕达哥拉斯有一次 在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺 成的地面中反映了直角三角形三边的某 种数量关系．
毕达哥拉斯（公元 前572~前492）， 古希腊著名的哲学 家、数学家、天文 学家。
2020/4/2
我们也来观察上图中的 地面，看看有什么发现？
2
2
2
ac
1 a2 + ab + 1 b2 = 1 c2 + ab
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22
c
a2 + b2 = c2
b
∟
a 2020/4/2
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勾股定理的命名
1.约2000年前,我国古代算书《周髀算经》中就记载了公元前 1120年我国古人发现的“勾三股四弦五”.当时把较短的直角 边叫做勾,较长的边叫做股,斜边叫做弦. “勾三股四弦五”的 意思是,在直角三角形中, 如果勾为3,股为4,那么弦为5. 2.西方国家称勾股定理为毕达哥拉斯定理.毕达哥拉 (Pythagoras,约公元前580～前500年)是古希腊杰出的数学家,天 文学家,哲学家.他不仅提出了定理,而且努力探求证明方法.
走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么,只见一个小男孩正俯着身
子，用树枝在地上画一个直角三角形，于是伽菲尔德便问，你
们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如
果直角三角形的两条直角边分别是３和4，那么斜边长为多少
呢？”伽菲尔德答到：“是５呀。”小男孩又问道：“如果两
条直角边分别为５和７，那么这个直角三角形的斜边长又是多
2020/4/2
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欣赏
2020/4/2
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小结
１、本节课我们经历了怎样的学习过程？
经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理， 再到探索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实 际问题的过程。
２、本节课我们学到了什么？
通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理， 还知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来 探索、验证数学结论的数形结合思想。
人教版八年级（下）第十八章
勾股定理
2020/4/2
1
勾
股
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部
分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者
把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的
直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
2020/4/2
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这是一个会标， 同学们认识这是什么大会的会标吗？
这个图案是我国 汉代数学家赵爽 在证明勾股定理 时用到的，被称 为“赵爽弦图”
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毕达哥拉斯
C A
B
你能发现图中直角三角形有什么性质吗?
2020/4/2
5
（1）观察图1-1
C A
正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积是
9 个单位面积。
B 图1-1
C A
B
正方形B的面积是 9 个单位面积。 正方形C的面积是
图1-2
18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积）
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３、学了本节课后你有什么感想？
很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们
用数学的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受
到了数学文化辉煌历史的教育。
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1、第45页：1 第47页：1、2、3
2、预习。
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18
谢谢
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C A
B 图1-1
Βιβλιοθήκη Baidu
C A
B 图1-2
（1）你能发现图1-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么 关系吗？
SA+SB=SC
（图中每个小方格代表一个单位面积）
即：等腰直角三角形两条直角边上的正方
形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
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等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角 形也有这个性质吗？
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2020/4/2
设图中直角三角形的两条直角边分别 为a、b，斜边为c，那么图中大正方形 的面积应该如何计算呢？学生会由正 方形的面积公式得出大正方形的面积, 也会从拼图活动中受到启发，将大正 方形分割为四个全等的直角三角形与 一个正方形。
解：大正方形的面积：c 2
小正方形的面积：(b a)2