§8.1状态变量与状态方程
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《信号与系统》第8章
) RC
(is
(t
)
iL
(t
))
经整理：
x1
(t
)
x2
(t
)
0
1 L
x1 (t )
1 C
RC L
x2 (t) RL x2 (t)
1 C
RC L
f1 (t )
f1(t)
1 L
f2 (t)
（3）建立输出方程
iuC((tt))uC
(t) iS
(t
RCiL (t) ) iL (t)
RC
iS
RC
iS
(t)
RC
iL (t)......... ...(3)
状态变量与系统输入变量的关系（状态方程）：
duC (t
dt diL (t)
)
1
dt L
uC
(t)
1 L
1 C (RL
RCiL (t) )iL 源自t)1C RC L
iS (t)(4) iS (t).........(5)
1H
x1
1F
+ -
x2
1F
i2
+
+-x3
2
u(t)
-
把该式代入上式，得：
x2
f
x1 x2 x3 (t) x2 x2
x3
x1
x3
x1
1 2
x3
x2
x3
x1 0 x2 x3 0
x2
1 3
x1
2 3
x2
1 6
x3
2 3
f (t)
x3
1 3
x1
1 3
x2
1 3
热力学中的状态变量和状态方程
热力学中的状态变量和状态方程热力学是研究物质能量转化和传递的科学，它描述了物质在不同条件下的行为。
在研究物质的热力学性质时，我们需要引入状态变量和状态方程这两个重要概念。
本文将深入探讨这两个概念的含义和应用。
一、状态变量状态变量是用来描述物质所处状态的量。
在热力学中，常见的状态变量包括温度、压强、体积和物质的组成等。
这些状态变量可以用来描述物质的宏观状态，例如物质的热力学性质和热平衡条件。
温度是物质的一种状态变量，它反映了物质内部分子的平均能量。
温度的单位是开尔文（K），它是国际单位制中的温度标准。
温度是一个非常重要的状态变量，它不仅可以描述物质的热平衡状态，还可以用来计算物质的热力学性质，例如热容和热导率等。
压强是物质的另一种状态变量，它反映了物质所受到的力的大小。
压强的单位一般是帕斯卡（Pa），它是国际单位制中的压强标准。
压强可以用来描述物质的力学平衡状态，在研究物质的热力学性质时起到重要作用。
除了温度和压强，体积也是一个重要的状态变量。
体积用来描述物质所占据的空间大小，它可以用来计算物质的密度和体积变化等。
在研究物质的热力学性质时，体积是一个非常重要的参数，它可以用来描述物质的物理性质和热力学过程。
此外，物质的组成也是一个重要的状态变量。
物质的组成决定了物质的化学性质和相态行为。
在研究物质的热力学性质时，我们需要考虑物质的组成对物质性质的影响。
二、状态方程状态方程是用来描述物质状态的数学表达式。
它是热力学中最基本的方程之一，可以用来计算物质的热力学性质和描述物质的相态行为。
最著名的状态方程之一是理想气体状态方程。
理想气体状态方程是一个简化模型，它假设气体分子之间没有相互作用，只考虑气体的温度、压强和体积之间的关系。
理想气体状态方程可以用以下公式表示：PV = nRT其中，P表示气体的压强，V表示气体的体积，n表示气体的物质量（摩尔数），R表示气体常数，T表示气体的温度。
这个方程描述了理想气体的状态，可以用来计算理想气体的性质和热力学过程。
8.系统分析的状态变量法_信号与系统
8 系统分析的状态变量法
8.2.1 连续时间系统状态方程的建立
一个动态连续系统的时域数学模型可利用信号 的各阶导数来描述。 的各阶导数来描述 。 作为连续系统的状态方程表现 为状态变量的联立一阶微分方程组. 为状态变量的联立一阶微分方程组 标准形式的状态方程为
或记为
8 系统分析的状态变量法 表示状态变量， 式中 表示状态变量， 为常数矩阵。 和 为常数矩阵。 是与外加信号有关的项， 是与外加信号有关的项，
8 系统分析的状态变量法 6．状态轨迹 在描述一个动态系统的状态空间中， 在描述一个动态系统的状态空间中，状态向 量的端点随时间变化所经历的路径称为系统的状 态轨迹。一个动态系统的状态轨迹不仅取决于系 态轨迹。 统的内部结构，还与系统的输入有关，因此， 统的内部结构，还与系统的输入有关，因此，系 统的状态轨迹可以形象地描绘出在确定的输入作 用下系统内部的动态过程。 用下系统内部的动态过程。
8 系统分析的状态变量法 【例】 试写出下图所示电路的状态方程。 试写出下图所示电路的状态方程。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
根据电路结构可知，电容电压、 根据电路结构可知，电容电压、电感电流 可作为为状态变量即 . 建立状态变量 之间的方程为 和激励
8 系统分析的状态变量法 状态变量分析法优点: 状态变量分析法优点: (1)便于研究系统内部物理量的变化 (1)便于研究系统内部物理量的变化 (2)适合于多输入多输出系统 (2)适合于多输入多输出系统 (3)也适用于非线性系统或时变系统 (3)也适用于非线性系统或时变系统 (4)便于分析系统的稳定性 (4)便于分析系统的稳定性 (5)便于采用数字解法 便于采用数字解法， (5)便于采用数字解法，为计算机分析系统提供了 有效途径 (6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念 引出了可观测性和可控制性两个重要概念。 (6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。
《信号与系统》第八章知识要点+典型例题
y(t) 8x1 2x2
再稍作变换，写出矩阵形式的动态方程为
x 1 x 2
0 2
1 3
x1 x2
0 1
f
y 8
2
x1 x2
（8.6） （8.7）
2
3、 连续系统状态方程的求解 求解状态方程有时域解法和变换域解法两种。变换域解法比较简单，其求解步骤如下： 一 n 阶连续系统状态方程与输出方程的一般形式分别为
（8.3）
1
若式（8.3）中仅包含状态变量与输入变量，符合状态方程的标准形式，状态方程的编
写到此完成。若式（8.3）中还含有不需要的中间变量，再应用 KCL、KVL 方程消除中间变
量，整理成状态方程的标准形式。
输出方程的编写，要根据电路的具体输出情况而定。有的，可以由状态变量与输入直接
就能简便写出；有的，需要再应用某些 KCL、KVL 及欧姆定律，消除不需要的中间变量而
相连节点的 KCL 方程、电感 L 所在回路的 KVL 方程，即
ìïïïïíïïïïîiucL((t
) = C duc (t ) dt
t ) = L diL(t ) dt
=+ =+
整理以上方程组，有
ìïïïïíïïïïî
duc (t ) dt
diL (t ) dt
= =
1 C 1 L
( + ) ( + )
【分析】本题主要考察状态方程的求解。
5
【解】 故
(s)
sI
A 1
s
1
1
s 4 2
再稍作变换，写出矩阵形式的动态方程为
x 1 x 2
0 2
1 3
x1 x2
0 1
f
y 8
2
x1 x2
（8.6） （8.7）
2
3、 连续系统状态方程的求解 求解状态方程有时域解法和变换域解法两种。变换域解法比较简单，其求解步骤如下： 一 n 阶连续系统状态方程与输出方程的一般形式分别为
（8.3）
1
若式（8.3）中仅包含状态变量与输入变量，符合状态方程的标准形式，状态方程的编
写到此完成。若式（8.3）中还含有不需要的中间变量，再应用 KCL、KVL 方程消除中间变
量，整理成状态方程的标准形式。
输出方程的编写，要根据电路的具体输出情况而定。有的，可以由状态变量与输入直接
就能简便写出；有的，需要再应用某些 KCL、KVL 及欧姆定律，消除不需要的中间变量而
相连节点的 KCL 方程、电感 L 所在回路的 KVL 方程，即
ìïïïïíïïïïîiucL((t
) = C duc (t ) dt
t ) = L diL(t ) dt
=+ =+
整理以上方程组，有
ìïïïïíïïïïî
duc (t ) dt
diL (t ) dt
= =
1 C 1 L
( + ) ( + )
【分析】本题主要考察状态方程的求解。
5
【解】 故
(s)
sI
A 1
s
1
1
s 4 2
第八系统的状态变量分析
对于离散系统也可以用状态变量分析。设有阶多输入多输出 离散系统如图：
... f1 k
f2 k fn k
{xi k0 }
...
y1 k
... y2 k yn k
其状态方程和输出方程为
第9页/共47页
§8.2 状态方程的建立
一.电路状态方程的列写 （1）选所有的独立电容电压和电感电流作为状态变量；
t
f
t
uC
t
1 C
t -
iL
t
dt
d dt
uC
t
1 C
iL
t
d
dt d
dt
iL
t
-
R L
iL
t
uC
t
1 C
iL
t
-
1 L
uC
t
1 L
e t
第5页/共47页
写为矩阵形式：
d dt
iL
t
R L
d dt
vC
t
1 C
-
1 L
0
iL t
vC
t
1
L
0
f
t
iL t、uc t
一．状态方程的时域解
求解矢量差分方程的方法之一是迭代法或递推法。但用 递推法一般难以得到闭合形式的解，所以，一般而言可 用迭代法解状态方程式。
例题 某离散系统的状态方程为
1
x1 x2
k k
1 1
2 1
4
0
1
x1 k
x2
k
1 0
c1n c2n
c nn
x1 x2 x3
k k k
d11 d21 dn1
第八章 连续时间系统状态方程的建立
C
则
iL
t
E L
te0t
vC t E 1 e0t 0t 1
0
1 LC
iL t I Lmax
1 0
0
t
vC t
E
0
iL t I Lmax
t t0
t=0
t 1 0
四．名词定义
状态：表示动态系统的一组最少变量（被称为状态
变量），只要知道 t t0 时这组变量和 t t0 时的输 入，那么就能完全确定系统在任何时间 t t0 的行为。
二．状态变量分析法
•产生于20世纪50至60年代； •卡尔曼(R.E.Kalman)引入； •利用状态变量描述系统的内部特性； •运用于多输入－多输出系统；
•用n个状态变量的一阶微分（或差分）方程组来描述系
统。
三．状态变量分析法优点
(1)提供了系统的内部特性以供研究； (2)一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行
bk1
bk
2
bkk
r1 t
rt
r2
t
rr
t
c11 c12 c1k
C
c21
c22
c2k
cr1
cr2 crk
e1t
et
e2
t
em
t
状态方程和输出方程分析的示意结构图
D(t )
e(t)
B(t)
1
(t )
C(t)
p
r (t )
A(t )
1 p
是积分环节，它的输入为
d dt
k t
fk 1t , 2 t ,, k t ; e1t , e2 t ,, em t , t
输出方程
则
iL
t
E L
te0t
vC t E 1 e0t 0t 1
0
1 LC
iL t I Lmax
1 0
0
t
vC t
E
0
iL t I Lmax
t t0
t=0
t 1 0
四．名词定义
状态：表示动态系统的一组最少变量（被称为状态
变量），只要知道 t t0 时这组变量和 t t0 时的输 入，那么就能完全确定系统在任何时间 t t0 的行为。
二．状态变量分析法
•产生于20世纪50至60年代； •卡尔曼(R.E.Kalman)引入； •利用状态变量描述系统的内部特性； •运用于多输入－多输出系统；
•用n个状态变量的一阶微分（或差分）方程组来描述系
统。
三．状态变量分析法优点
(1)提供了系统的内部特性以供研究； (2)一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行
bk1
bk
2
bkk
r1 t
rt
r2
t
rr
t
c11 c12 c1k
C
c21
c22
c2k
cr1
cr2 crk
e1t
et
e2
t
em
t
状态方程和输出方程分析的示意结构图
D(t )
e(t)
B(t)
1
(t )
C(t)
p
r (t )
A(t )
1 p
是积分环节，它的输入为
d dt
k t
fk 1t , 2 t ,, k t ; e1t , e2 t ,, em t , t
输出方程
第八章 状态方程
dt
化简，得
d eAtλ t eAt Bet
dt
两边取积分，并考虑起始条件，有
eAtλ tλ 0
t eA Be( ) d
0
对上式两边左乘 e A，t 并考虑到 eAteAt I ，可得
λ为t方 程eA的tλ 一0般解0t eAt Be d eAtλ 0 eAt B et
求输出方程r(t)
et b1
dk 1 dt k1
et
bk1
d dt
et bket
此系统为k 阶系统，输入信号的最高次导数也为
k 次系统函数为
H
s
b0sk b1sk1 bk1s bk sk a1sk1 ak1s ak
为便于选择状态变量，系统函数表示成
H
s
b0
b1s1
bk
s1k
1
bk sk
d λ t， 输出为 λ t。
dt
若 A,B,C矩, D阵是 的函t数，表明系统是线性时变
的，对于线性时不变系统，A,B,C的, D各元素都为常
数，不随 t改变。
状态变量的特性
每一状态变量的导数是所有状态变量和输 入激励信号的函数；
每一微分方程中只包含有一个状态变量对 时间的导数；
输出信号是状态变量和输入信号的函数；
1 a1s1
ak
s1k
1
ak sk
当用积分器来实现该系统时，其流图如下
et 1
b0
1 s k a1
b1 b2
1 sk1
a2
bk 2
bk 1
3 1 s 2 1 s 1 bk
r t
ak2 ak1
ak
取积分器的输出作为状态变量，如图中所标的
化简，得
d eAtλ t eAt Bet
dt
两边取积分，并考虑起始条件，有
eAtλ tλ 0
t eA Be( ) d
0
对上式两边左乘 e A，t 并考虑到 eAteAt I ，可得
λ为t方 程eA的tλ 一0般解0t eAt Be d eAtλ 0 eAt B et
求输出方程r(t)
et b1
dk 1 dt k1
et
bk1
d dt
et bket
此系统为k 阶系统，输入信号的最高次导数也为
k 次系统函数为
H
s
b0sk b1sk1 bk1s bk sk a1sk1 ak1s ak
为便于选择状态变量，系统函数表示成
H
s
b0
b1s1
bk
s1k
1
bk sk
d λ t， 输出为 λ t。
dt
若 A,B,C矩, D阵是 的函t数，表明系统是线性时变
的，对于线性时不变系统，A,B,C的, D各元素都为常
数，不随 t改变。
状态变量的特性
每一状态变量的导数是所有状态变量和输 入激励信号的函数；
每一微分方程中只包含有一个状态变量对 时间的导数；
输出信号是状态变量和输入信号的函数；
1 a1s1
ak
s1k
1
ak sk
当用积分器来实现该系统时，其流图如下
et 1
b0
1 s k a1
b1 b2
1 sk1
a2
bk 2
bk 1
3 1 s 2 1 s 1 bk
r t
ak2 ak1
ak
取积分器的输出作为状态变量，如图中所标的
8.1线性系统的状态方程
状 态 方 程
1 1 duC (t ) − iL (t ) + is (t ) dt = C C diL (t ) = 1 u (t ) − RL + RC i (t ) + RC i (t ) C L s dt L L L
i 为输出。 为输入， 选取 is (t ) 为输入，u (t ) 、C (t )为输出。
x2 (t )
几个概念： 几个概念： • 状态 ：指系统的储能状态，对不具有储能的系统 指系统的储能状态， 也就无状态可言。 也就无状态可言。 • 状态变量：描述系统状态随时间变化的一组变量。 状态变量：描述系统状态随时间变化的一组变量。 • 状态方程：用状态变量和激励表示的一组独立的 状态方程： 一阶微分方程； 一阶微分方程； • 输出方程：用状态变量和激励表示的代数方程； 输出方程：用状态变量和激励表示的代数方程； • 动态方程：状态方程和输出方程的总称。 动态方程：状态方程和输出方程的总称。 注意：状态变量的选取不是唯一的； 注意：状态变量的选取不是唯一的；不是每一个 电路都可以建立状态方程。 电路都可以建立状态方程。
简写成
y (n) = Cx(n) + Df(n)
3. 动态方程的建立 (1) 直接编写法（略，见1. 中例子）。 8.2.1 直接编写法（ 中例子）。
状态方程列写步骤： 状态方程列写步骤： • 确定状态变量，选取所有独立的电容电压和电感 确定状态变量， 电流作为状态变量； 电流作为状态变量； • 对每一个独立的电容列写节点电流方程；对每一 对每一个独立的电容列写节点电流方程； 个独立的电感写回路电压方程； 个独立的电感写回路电压方程； • 消去中间变量，写出状态变量、输入变量、输出 消去中间变量，写出状态变量、输入变量、 变量表示的状态方程和输出方程。 变量表示的状态方程和输出方程。 输出方程列写步骤： 输出方程列写步骤： • 确定输出变量； 确定输出变量； • 由KCL、KVL及元件的约束特性找出状态变量、 及元件的约束特性找出状态变量、 、 及元件的约束特性找出状态变量 输入变量、输出变量表示的输出方程， 输入变量、输出变量表示的输出方程，消去中 间变量。 间变量。
1 1 duC (t ) − iL (t ) + is (t ) dt = C C diL (t ) = 1 u (t ) − RL + RC i (t ) + RC i (t ) C L s dt L L L
i 为输出。 为输入， 选取 is (t ) 为输入，u (t ) 、C (t )为输出。
x2 (t )
几个概念： 几个概念： • 状态 ：指系统的储能状态，对不具有储能的系统 指系统的储能状态， 也就无状态可言。 也就无状态可言。 • 状态变量：描述系统状态随时间变化的一组变量。 状态变量：描述系统状态随时间变化的一组变量。 • 状态方程：用状态变量和激励表示的一组独立的 状态方程： 一阶微分方程； 一阶微分方程； • 输出方程：用状态变量和激励表示的代数方程； 输出方程：用状态变量和激励表示的代数方程； • 动态方程：状态方程和输出方程的总称。 动态方程：状态方程和输出方程的总称。 注意：状态变量的选取不是唯一的； 注意：状态变量的选取不是唯一的；不是每一个 电路都可以建立状态方程。 电路都可以建立状态方程。
简写成
y (n) = Cx(n) + Df(n)
3. 动态方程的建立 (1) 直接编写法（略，见1. 中例子）。 8.2.1 直接编写法（ 中例子）。
状态方程列写步骤： 状态方程列写步骤： • 确定状态变量，选取所有独立的电容电压和电感 确定状态变量， 电流作为状态变量； 电流作为状态变量； • 对每一个独立的电容列写节点电流方程；对每一 对每一个独立的电容列写节点电流方程； 个独立的电感写回路电压方程； 个独立的电感写回路电压方程； • 消去中间变量，写出状态变量、输入变量、输出 消去中间变量，写出状态变量、输入变量、 变量表示的状态方程和输出方程。 变量表示的状态方程和输出方程。 输出方程列写步骤： 输出方程列写步骤： • 确定输出变量； 确定输出变量； • 由KCL、KVL及元件的约束特性找出状态变量、 及元件的约束特性找出状态变量、 、 及元件的约束特性找出状态变量 输入变量、输出变量表示的输出方程， 输入变量、输出变量表示的输出方程，消去中 间变量。 间变量。
系统的状态空间分析
系统有p个输入：f1, f2 , f p.
则状态方程为：
x1 a11x1 a12 x2 a1n xn b11 f1 b12 f2 b1p f p x2 a21x1 a22 x2 a2n xn b21 f1 b22 f2 b2 p f p xn an1x1 an2 x2 ann xn bn1 f1 bn2 f2 bnp f p
二、状态空间分析法的应用及优点：
1、可以提供系统的内部信息，使人们能够比较容易地解 决那些与系统内部情况有关的分析设计问题。
2、不仅适用于线性、时不变、单输入单输出系统分析， 也适用于非线性、时变、多输入多输出系统分析。
3、描述方法规律性强，便于用计算机解决复杂系统的分 析设计问题。
第第88--33页页
信号与系统 电电子子教教案案
8.1 系统的状态空间描述
输出方程： 描述系统输出、输入、状态之间关系的代数方程组。
输出方程一般形式：
设n阶系统有n个状态、p个输入、q个输出，则输出方程为：
y1 c11x1 c12x2 c1n xn d11 f1 d12 f2 d1p f p
设t0时刻的初始状态为：x1(t0 ), x2 (t0 )......, xn (t0 ). 则系统的状态变量— — 任一时刻t的状态为：
x1(t), x2 (t)......, xn (t)
第第88--66页页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电电子子教教案案
8.1 系统的状态空间描述
xn (k 1) an1
an2
ann
xn
( k )
bn1
bn 2
bnp
f p
则状态方程为：
x1 a11x1 a12 x2 a1n xn b11 f1 b12 f2 b1p f p x2 a21x1 a22 x2 a2n xn b21 f1 b22 f2 b2 p f p xn an1x1 an2 x2 ann xn bn1 f1 bn2 f2 bnp f p
二、状态空间分析法的应用及优点：
1、可以提供系统的内部信息，使人们能够比较容易地解 决那些与系统内部情况有关的分析设计问题。
2、不仅适用于线性、时不变、单输入单输出系统分析， 也适用于非线性、时变、多输入多输出系统分析。
3、描述方法规律性强，便于用计算机解决复杂系统的分 析设计问题。
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8.1 系统的状态空间描述
输出方程： 描述系统输出、输入、状态之间关系的代数方程组。
输出方程一般形式：
设n阶系统有n个状态、p个输入、q个输出，则输出方程为：
y1 c11x1 c12x2 c1n xn d11 f1 d12 f2 d1p f p
设t0时刻的初始状态为：x1(t0 ), x2 (t0 )......, xn (t0 ). 则系统的状态变量— — 任一时刻t的状态为：
x1(t), x2 (t)......, xn (t)
第第88--66页页
■
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8.1 系统的状态空间描述
xn (k 1) an1
an2
ann
xn
( k )
bn1
bn 2
bnp
f p
第8章 系统的状态变量分析
+ annλn (t) + bn1x1(t) + bn2 x2 (t) +
+ b1m xm (t) + b2m xm (t)
+ bnm xm (t)
（8-4）
和
⎧ y1(t) = c11λ1(t) + c12λ2 (t) +
⎪⎪ ⎨
y2
(t
)
=
c21λ1
(t
)
+
c22λ2
(t
)
+
⎪
⎪⎩ yr (t) = cr1λ1(t) + cr2λ2 (t) +
的一阶导数与状态变量和激励的关系。式(8-3)形式的代数方程称为输出方程(output equation)，
它描述了系统输出与状态变量和激励之间的关系。
状态变量分析法对于离散时间系统也是同样适用的，即上面给出的概念对离散时间系统同
样有效。只不过对于离散时间系统，其状态方程是一阶联立差分方程组，状态变量λ[n]是离散
输出方程可写为
λ(t)n×1 = An×n λ(t)n×1 + Bn×m x(t)m×1
（8-6）
y(t)r×1 = Cr×n λ(t)n×1 + Dr×m x(t)m×1
（8-7）
其中
λ(t) = ⎡⎣λ1(t), λ2 (t), , λn (t)⎤⎦T ， λ (t ) = [λ1(t)，λ 2 (t)，… , λ n ( t )]T,
(constant matrix)；如果系数矩阵中有的是时间 t 的函数，则此系统是线性时变系统。
2. 离散时间系统状态方程和输出方程的一般形式
对于一个动态的离散时间系统，它的时域数学模型是一个高阶差分方程。作为其状态方程
+ b1m xm (t) + b2m xm (t)
+ bnm xm (t)
（8-4）
和
⎧ y1(t) = c11λ1(t) + c12λ2 (t) +
⎪⎪ ⎨
y2
(t
)
=
c21λ1
(t
)
+
c22λ2
(t
)
+
⎪
⎪⎩ yr (t) = cr1λ1(t) + cr2λ2 (t) +
的一阶导数与状态变量和激励的关系。式(8-3)形式的代数方程称为输出方程(output equation)，
它描述了系统输出与状态变量和激励之间的关系。
状态变量分析法对于离散时间系统也是同样适用的，即上面给出的概念对离散时间系统同
样有效。只不过对于离散时间系统，其状态方程是一阶联立差分方程组，状态变量λ[n]是离散
输出方程可写为
λ(t)n×1 = An×n λ(t)n×1 + Bn×m x(t)m×1
（8-6）
y(t)r×1 = Cr×n λ(t)n×1 + Dr×m x(t)m×1
（8-7）
其中
λ(t) = ⎡⎣λ1(t), λ2 (t), , λn (t)⎤⎦T ， λ (t ) = [λ1(t)，λ 2 (t)，… , λ n ( t )]T,
(constant matrix)；如果系数矩阵中有的是时间 t 的函数，则此系统是线性时变系统。
2. 离散时间系统状态方程和输出方程的一般形式
对于一个动态的离散时间系统，它的时域数学模型是一个高阶差分方程。作为其状态方程
系统的状态变量分析
形式与连续时间系统的形式相同。
用状态变量分析法研究系统具有如下优点。
(1) 便于研究系统内部的一些物理量在信号转换过程中的变化。这些物理量可以用状态矢
量的一个分量表现出来，从而便于研究其变化规律。
361
(2) 系统的状态变量分析法与系统的复杂程度无关，它和简单系统的数学模型相似，都表 现为一些状态变量的线性组合，因而这种分析法更适用于多输入多输出系统。
(3) 状态变量分析法还适用于非线性和时变系统，因为一阶微分方程或差分方程是研究非 线性和时变系统的有效方法。
(4) 状态变量分析法可以用来定性地研究系统的稳定性及如何控制各个参数使系统的性能 达到最佳等。
(5) 由于状态方程都是一阶联立微分方程组或一阶联立差分方程组，因而便于采用数值解 法，从而为使用计算机进行分析系统提供有效的途径。
时间信号。
上述关于状态变量和状态方程的基本概念，可用于讨论系统状态方程和输出方程的一般形
式。
1. 连续时间系统状态方程和输出方程的一般形式
一个动态连续时间系统的时域数学模型都是用输入、输出信号的各阶导数来描述的。作为
连续时间系统的状态方程表现为状态变量的一阶联立微分方程组，对于线性时不变系统，状态
方程和输出方程简化为状态变量和输入信号的线性组合，即线性时不变系统的状态方程和输出
的一阶导数与状态变量和激励的关系。式(8-3)形式的代数方程称为输出方程(output equation)，
它描述了系统输出与状态变量和激励之间的关系。
状态变量分析法对于离散时间系统也是同样适用的，即上面给出的概念对离散时间系统同
样有效。只不过对于离散时间系统，其状态方程是一阶联立差分方程组，状态变量λ[n]是离散
（8-8）
【精品】§8.1状态变量与状态方程
uS1 R1 iL uR 1
a L a
uC
R2
iR 2 uS2
C
0 0 u (t ) 1 u ( t ) x ( t ) R1 S1 1 1 1 消去 iR (t),列右网孔 KVL 方程： 0 2 0 uS 2 (t ) x2 (t ) iR 2 (t ) R Ru 2 2 ( t) – x ( t) R2i ( t ) + = 0 R2 S2 2
这是由三个内部变量uC(t)、iL1(t)和iL2(t)构成的一 阶微分方程组。 若初始值uC(t0)、iL1(t0)和iL2(t0)已知，则根据t≥t0时 的给定激励uS1(t)和uS2(t)就可唯一地确定在t≥t0时的解 uC(t)、iL1(t)和iL2(t)。
▲ ■ 第 4页
系统的输出容易地由三 个内部变量和激励求出：
▲ ■ 第 7页
动态方程的一般形式
n阶多输入–多输出LTI {xi(t0)} 连续系统，如图 。 fp(t) 其状态方程和输出方程为 1 a11x1 a12 x2 a1n xn b11 f1 b12 f 2 b1 p f p x 2 a21x1 a22 x2 a2 n xn b21 f1 b22 f 2 b2 p f p x n an1 x1 an 2 x2 ann xn bn1 f1 bn 2 f 2 bnp f p x y1 c11x1 c12 x2 c1n xn d11 f1 d12 f 2 d1 p f p y2 c21x1 c22 x2 c2 n xn d 21 f1 d 22 f 2 d 2 p f p yq cq1 x1 cq 2 x2 cqn xn d q1 f1 d q 2 f 2 d qp f p
a L a
uC
R2
iR 2 uS2
C
0 0 u (t ) 1 u ( t ) x ( t ) R1 S1 1 1 1 消去 iR (t),列右网孔 KVL 方程： 0 2 0 uS 2 (t ) x2 (t ) iR 2 (t ) R Ru 2 2 ( t) – x ( t) R2i ( t ) + = 0 R2 S2 2
这是由三个内部变量uC(t)、iL1(t)和iL2(t)构成的一 阶微分方程组。 若初始值uC(t0)、iL1(t0)和iL2(t0)已知，则根据t≥t0时 的给定激励uS1(t)和uS2(t)就可唯一地确定在t≥t0时的解 uC(t)、iL1(t)和iL2(t)。
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系统的输出容易地由三 个内部变量和激励求出：
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动态方程的一般形式
n阶多输入–多输出LTI {xi(t0)} 连续系统，如图 。 fp(t) 其状态方程和输出方程为 1 a11x1 a12 x2 a1n xn b11 f1 b12 f 2 b1 p f p x 2 a21x1 a22 x2 a2 n xn b21 f1 b22 f 2 b2 p f p x n an1 x1 an 2 x2 ann xn bn1 f1 bn 2 f 2 bnp f p x y1 c11x1 c12 x2 c1n xn d11 f1 d12 f 2 d1 p f p y2 c21x1 c22 x2 c2 n xn d 21 f1 d 22 f 2 d 2 p f p yq cq1 x1 cq 2 x2 cqn xn d q1 f1 d q 2 f 2 d qp f p
信号与系统第八章(1) 状态方程
{x(k0)}
y1(k) y2(k)
yq(k)
它的p个输入为 它的q个输出为
f1(k), f2(k), , f p (k)
y1(k), y2 (k), , yq (k)
将系统的n个状态变量记为 x1(k), x2 (k), , xn (k)
则其状态方程和输出方程可写为
x(k 1) Ax(k) Bf (k) y(k) Cx(k) Df (k)
上式简记为 y(t) Cx(t) Df (t)
d1p f1(t)
d2
p
f
2
(t
)
dqp
f
p
(
t
)
式中
c11
C
c21
cq1
y(t) [ y1(t) y2(t) yp (t)]T 输出矢量
c12 c22 cq2
y2 (t
)
c21
yq
(
t
)
cq1
c12 c22 cq2
c1n x1(t ) d11
c22
x2(
t
)
d 21
cqn
xn
(t
)
dq1
d12 d22 dq2
R5
L5
x3
C1
l2 a
C2 b L6 i6
Q
＋ ＋x1－
＋ ＋x2－
us －
l1
C3
u3 －
R4
is
图 8.2-2
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根据电路列出各状态变量的一阶微分方程。
由于
iC
C
d uC dt
uL
L
d iL dt
为使方程中含有状态变量uC的一阶导数 ， 可对接有该电容的独立结点列写KCL电流方程；
为使方程中含有状态变量iL的一阶导数 ， 可对含有该电感的独立回路列写KVL电压方程。
对列出的方程，只保留状态变量和输入激励，设法消 去其他中间的变量，经整理即可给出标准的状态方程。
C消ui代输RxR去212入出(((ttt)i))整方RR+2(理 程2ti)iRR,得 ：2列R20((1tt)右)=+xx网R1210x((u2tt1孔)S)(2t()Kxtx)12V((–ttxL))1R2L方(1t)程=00：0 L11
0 1 R2
x1 x2
uS1 (t ) uS2 (t)
uC
0
d uC dt
1 C
iL1
1 C
iL2
d iL1 dt
1 L1
uC
R1 L1
iL1
1 L1
uS1
d iL2 dt
1 L2
uC
R2 L2
iL2
1 L2
uS2
▲
■
第3页
R1
L1 a L2
R2
iL1
iCiL 2
uS1
uC
u uS2
d uC dt
1 C
iL1
1 C
iL2
d iL1 dt
具体方法：
（1）由系统的输入–输出方程或系统函数，首先画出 其信号流图或框图； （2）选一阶子系统(积分器)的输出作为状态变量； （3）根据每个一阶子系统的输入输出关系列状态方 程； （4）在系统的输出端列输出方程。
▲
■
第 14 页
例1：某系统的微分方程为
y(t) + 3 y (t) + 2y(t) = 2 f (t) + 8 f (t)
▲
■
第4页
系统的输出容易地由三 个内部变量和激励求出：
u(t iC
) (t)
R2iL2 (t) uS2 (t iL1(t) iL2 (t)
)
d uC dt
11 C iL1 C iL2
d iL1 dt
1 L1
uC
R1 L1
iL1
1 L1
uS1
d iL2 dt
1 L2
uC
R2 L2
X
(s)
11 F
(s)
(sI
4 3
1 0)
X
(s)
1 1
F
(s)
X
(s)
(sI
4 3
1 0)
1
1 1
F
(s)
Y(s) 1 0X (s)
Y (s) 1
0(sI
4 3
10)1
1 1
F
(s)
▲
■
第 20 页
H (s) Y (s) 1
F (s)
0(sI
4 3
10)1
1 1
(sI
4 3
10)1
s
3
4
s 1
1 1
s
3 s2
s 4 4s 3
H (s) 1
sห้องสมุดไป่ตู้
0
3 s2
1 s 4
4s 3
1 1
s
s2
111
4s 3
s2
s
1 4s
3
y+4 y + 3y= f (t) + f (t)
▲
■
第 21 页
§8.3 离散系统状态方程的建立
与连续系统类似，具体方法为：
（1）由系统的输入–输出方程或系统函数，首先画出其信 号流图或框图； （2）选一阶子系统(迟延器）的输出作为状态变量； （3）根据每个一阶子系统的输入输出关系列状态方程； （4）在系统的输出端列输出方程。
y (t)=x1(t) = – 4 x1(t) + x2(t)+ f(t)
y(t)=– 4 x1(t) + x2(t)+ f (t) =–4[–4 x1(t) + x2(t)+ f (t)] + [–3 x1(t) + f (t)] + f (t) =13 x1(t) –4x2(t) –3 f (t) + f (t)
x2 y1 2x2 3x1 2x2 f
x1 x2
1
3
0 2
x1 x2
1 1[
f
]
系统输出端，有 y(t) =2 x2
▲
■
第 16 页
方法三：
H (s)
2(s 4) s2 3s 2
s
6 1
4 s2
画出并联形式的信号流图
设状态变量x1(t)、 x2(t)
x1 x1 f
1
(t ) (t)
L 0
uR1(t) = R1x1(t)
C
R2C
▲
0 1
uS1 uS2
(t ) (t)
R2C
■
第 13 页
二、由输入–输出方程建立状态方程
这里需要解决的问题是：
已知系统的外部描述（输入–输出方程、系统函数、 模拟框图、信号流图等）；如何写出其状态方程及输 出方程。
第八章 系统的状态变量分析
前面几章的分析方法称为外部法，它强调用系统 的输入、输出之间的关系来描述系统的特性。 其特点： （1）适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出系 统，将增加复杂性； （2）只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的 内部情况一无所知，也无法控制。
■
第1页
内部法——状态变量法
f(t)
x2 2x2 f
x1
x2
1
0
0 2
x1 x2
11[
f
]
系统输出端，有 y(t) = 6x1 -4 x2
x 1 1 s1
6
x1
-1
x 1 2s1
-4
y(t)
x2
-2
可见H(s)相同的系统， 状态变量的选择并不 唯一。
▲
■
第 17 页
例2： 某系统框图如图，状态变量如图标示，试 列出其状态方程和输出方程。
状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方 程组来得到，该一阶微分方程组称为状态方程。
状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系 。 而描述输出与状态变量和激励之 间关系的一组代数方程称为输出方程 。
通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。
▲
■
第7页
动态方程的一般形式
uC3
感电流为状态变量。
必须保证所选状态变
(a) 任选两个电容电压 独立
量为独立的电容电压
和独立的电感电流。
iL1
iL3
iL2
uC1
uS
uC2
(b) 任选一个电容电压 独立
iL 1
iS
iL2
四种非独立的电路结构 (c) 任选两个电感电流 独立
(d) 任选一个电感电流 独立
■ 第 10 页
状态方程的建立：
y+a y + by=(13 –4a +b) x1+(–4+a) x2+ f (t) +(a–3) f (t) a=4，b=3 y+4 y + 3y= f (t) + f (t)
▲
■
第 19 页
解法二: 对方程取拉氏变换，零状态。
x(t)
4 3
1 0
x(t)
11[
f
(t)]
sX
(s)
4 3
1 0
iL2
1 L2
uS2
一组代数方程
状态与状态变量的定义
系统在某一时刻t0的状态是指表示该系统所必需最 少的一组数值，已知这组数值和t≥t0时系统的激励， 就能完全确定t≥t0时系统的全部工作情况。
状态变量是描述状态随时间t 变化的一组变量， 它们在某时刻的值就组成了系统在该时刻的状态。
▲
■
第5页
在初始时刻的值称为初始状态。
对于输出方程，通常可用观察法由电路直接列出。
▲
■
第 11 页
由电路图直接列写状态方程和输出方程的步骤：
（1）选电路中所有独立的电容电压和电感电流作为 状态变量； （2）对接有所选电容的独立结点列出KCL电流方程， 对含有所选电感的独立回路列写KVL电压方程； （3）若上一步所列的方程中含有除激励以外的非状 态变量，则利用适当的KCL、KVL方程将它们消去， 然后整理给出标准的状态方程形式； （4）用观察法由电路或前面已推导出的一些关系直 接列写输出方程，并整理成标准形式。
本章将介绍的内部法——状态变量法，它是用n个 状态变量的一阶微分或差分方程组（状态方程）来描 述系统。 优点有： （1）提供系统的内部特性以便研究； （2）便于分析多输入多输出系统； （3）一阶方程组便于计算机数值求解，并容易推广用 于时变系统和非线性系统。
▲
■
第2页
§8.1 状态变量与状态方程
一、状态与状态变量的概念 从一个电路系统实例引入
d2p
f
p
yq cq1x1 cq2 x2 cqnxn dq1 f1 dq2 f2 dqp f p
▲
■
第8页
矩阵形式
状态方程 x(t) Ax(t) Bf (t)
输出方程 y(t) Cx(t) Df (t)
其中A为n×n方阵，称为系统矩阵， B为n×p矩阵，称为控制矩阵， C为q×n矩阵，称为输出矩阵，D为q×p矩阵