k52006年高考第一轮复习数学：13.3 函数的极限

本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考

13.3 函数的极限

●知识梳理

1.函数极限的概念：（1）如果+∞

→x lim f （x ）=a 且-∞

→x lim f （x ）=a ,那么就说当x 趋向于无穷

大时，函数f （x ）的极限是a ,记作∞

→x lim f （x ）=a ,也可记作当x →∞时，f （x ）→a.

（2）一般地，当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x 不等于x 0）时，如果函数f （x ）无限趋近于一个常数a ,就说当x 趋近于x 0时，函数f （x ）的极限是a ,记作0

lim x x →f （x ）=a ,也可

记作当x →x 0时，f （x ）→a .

（3）一般地，如果当x 从点x =x 0左侧（即x ＜x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数f （x ）在点x 0处的左极限，记作-→0

lim x x f （x ）=a .如果从点x =x 0

右侧（即x ＞x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数 f （x ）在点x 0处的右极限，记作+→0

lim x x f （x ）=a .

2.极限的四则运算法则：

如果0

lim x x → f （x ）=a , 0

lim x x →g （x ）=b ,那么

lim x x →[f （x ）±g （x ）]=a ±b ; 0

lim x x →[f （x ）

·g （x ）]=a ·b ; 0

lim x x →)

()(x g x f =

b

a （

b ≠0）.

特别提示

（1）上述法则对x →∞的情况仍成立； （2）0

lim x x →[Cf （x ）]=C 0

lim x x →f （x ）（C 为常数）;

（3）0

lim x x →[f （x ）]n =[0

lim x x →f （x ）]n （n ∈N *）.

●点击双基

1.+→0

lim x x f （x ）=-→0

lim x x f （x ）=a 是f （x ）在x 0处存在极限的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 答案:C 2.f （x ）=⎩⎨

⎧<≥,

10

,12x x x 下列结论正确的是

A.)(lim 1

x f x +→=-→1

lim x f （x ）

B.)(lim 1

x f x +→=2，)(lim 1

x f x -→不存在

C.+→1

lim x f （x ）=0, )(lim 1

x f x -→不存在

D.+→1

lim x f （x ）≠-→1

lim x f （x ）

答案:D

3.函数f （x ）在x 0处连续是f （x ）在点x 0处有极限的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 答案:A

4.（2005年西城区抽样测试） 1

lim

→x x

x x x

--+2

2

2

=________________.

解析: 1

lim

→x x

x x x

--+2

2

2

=1

lim

→x )

1()2)(1(-+-x x x x =1

lim

→x x

x 2+=3.

答案:3 5.若1

lim

→x 3

32

2

+++x ax x

=2,则a =__________.

解析: 1

lim

→x 3

32

2

+++x

ax x

=2,

∴

4

4+a =2.∴a =4.

答案:4

●典例剖析

【例1】求下列各极限： （1） 2

lim →x （

)2

14

42

--

-x x

；

（2）∞

→x lim （))((b x a x ++－x ）；

（3） 0

lim

→x |

|x x ；

（4） 2

πlim

→

x .2

sin

2

cos

cos x x x

-

剖析:若f （x ）在x 0处连续，则应有0

lim x x → f （x ）=f （x 0）,故求f （x ）在连续点x 0处

的极限时，只需求f （x 0）即可；若f （x ）在x 0处不连续，可通过变形，消去x －x 0因式，转化成可直接求f （x 0）的式子.

解:（1）原式＝2

lim

→x 4

)2(42

-+-x

x ＝2

lim

→x 2

1+-x =－

4

1.

（2）原式=∞

→x lim

x

ab x b a x ab x b a ++++++)()(2

=a +b .

（3）因为+

→0

lim x ||x x =1,而=-

→0

lim x |

|x x =－1，

+

→0

lim x |

|x x ≠-

→0

lim x |

|x x ,

所以0

lim

→x |

|x x 不存在．

（4）原式=2

πlim

→

x 2

sin

2

cos

2sin 2cos

2

2

x x x

x --＝2

πlim →x （cos 2x +sin 2x ）＝2.

思考讨论

数列极限与函数极限的区别与联系是什么？

【例2】 （1）设f （x ）=⎪⎪

⎩⎪

⎪⎨⎧

<+=>+→,

02

1;)(lim ,,00

,

020

x x f b x x b x x

x 存在使的值试确定;

（2）f （x ）为多项式,且∞

→x lim

x

x

x f 3

4)(-=1,0

lim

→x x

x f )(=5,求f （x ）的表达式.

解:（1）+→0

lim x f （x ）= +→0

lim x （2x +b ）=b ,-→0

lim x f （x ）= -→0

lim x （1+2x ）=2,

当且仅当b =2时, +→0

lim x f （x ）= -→0

lim x f （x ）,

故b =2时,原极限存在.

（2）由于f （x ）是多项式,且∞

→x lim

x

x

x f 3

4)(-=1,

∴可设f （x ）=4x 3+x 2+ax +b （a 、b 为待定系数）. 又∵0

lim

→x x

x f )(=5,

即0

lim →x （4x 2+x +a +

x

b ）=5,

∴a =5,b =0,即f （x ）=4x 3+x 2+5x .

评述:（1）函数在某点处有极限,与其在该点处是否连续不同.

（2）初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值,也就是对初等函数而言,求极限就是求函数值,使极限运算大大简化.