新课标2020高考数学大一轮复习第二章函数与基本初等函数第3课时函数的单调性和最值ppt课件文

2020届高考数学总复习第二章函数的概念与基本初等函数2_2函数的单调性与最值课件文新人教A版

1 调递增，结合 a＞b＞0 可得 log2a＞log2b；函数 y＝x2在(0，＋∞)
上单调递增，结合
a＞b＞0
可得
11 a2＞b2；函数
y＝12x是单调递
减函数，所以21a＜12b.故选 D.
【答案】 D
角度 3 求解函数不等式【例 5】已知函数 f(x)＝x22x＋－2xx2，，xx≥ ＜00，，函数 g(x)＝|f(x)|－ 1.若 g(2－a2)＞g(a)，则实数 a 的取值范围是( ) A．(－2，1) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－2，2) D．(－∞，－2)∪(－1，1)∪(2，＋∞)
(2)若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间为(－∞ ，4]，则a的值为________．
【解析】 (1)函数图象的对称轴为直线x＝1－a，由1－ a≥4，得a≤－3.
(2)函数图象的对称轴为直线x＝1－a，由1－a＝4，得a ＝－3.
【答案】 (1)a≤－3 (2)－3
考点一函数单调性的判断【例 1】 (2019·佛山联考)试讨论函数 f(x)＝x－ax1(a≠0)在(－ 1，1)上的单调性．
【答案】 A
角度 2 比较函数值或自变量的大小
【例 4】已知 a＞b＞0，则下列命题成立的是( )
A．sin a＞sin b
B．log2a＜log2b
11 C．a2＜b2
D.21a＜21b
【解析】函数 y＝sin x 在(0，＋∞)上不是单调函数，所以
不能判断出 sin a 与 sin b 的大小；函数 y＝log2x 在(0，＋∞)上单
－1)＋x＋1在[－1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M
＋m＝( )

2020版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数第2讲函数的单调性与最值课件理新人教A版

1．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( )
A．y＝1－x2
B．y＝x2＋x
C．y＝－－x D．y＝x－x 1
答案 D
解析选项 D 中，y＝x－x 1＝1＋x－1 1.易知其在(－∞，1)上为减函数．故选 D.
答案
解析
2．(2019·信阳模拟)函数 y＝－2x2－4ax＋3 在区间[－4，－2]上是单调
2
∴y＝log1 (x2－3x＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－ 2
∞，1)．
答案
触类旁通确定函数单调性的方法
(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法或导数法． 2复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”. 3图象法，图象不连续的单调区间一般不能用“∪”连接.
3a－1<0，

则有0<a<1， 3a－1＋4a≥0，
解得17≤a<13.
解析Leabharlann 触类旁通函数单调性应用问题的解题策略
(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
2 在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将 “f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时，应特别注意函数的定义域.
函数，则 a 的取值范围是( )
A．(－∞，1]
B．[4，＋∞)
C．(－∞，2]∪[4，＋∞) D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
答案 C 解析函数 y＝－2x2－4ax＋3 的图象的对称轴为 x＝－a，由题意可得－ a≤－4 或－a≥－2，解得 a≤2 或 a≥4，故选 C.
答案

2020版高考数学一轮复习第2章函数概念与基本初等函数2第2讲函数的单调性与最值教案理

第2讲函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值与值域(1)最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值①函数的值域是函数在定义域内对应的函数值的取值范围，其求解关键是确定相应的最值．因此，求解函数的值域时要求出定义域内的所有极值和端点处的函数值，并进行比较，得到函数的最值．②常见函数的值域一次函数的值域为R；二次函数利用配方法，结合定义域求出值域；反比例函数的值域为{y∈R|y≠0}；指数函数的值域是{y|y>0}；对数函数的值域是R；正、余弦函数的值域是[－1，1]，正切函数的值域是R .判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (3)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：选A .选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．(教材习题改编)函数y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则( )A ．m >12B ．m <12C ．m >－12D ．m <－12解析：选B .使y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则2m －1<0，即m <12.(教材习题改编)函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈ [－2，4]的单调递增区间为________，f (x )max ＝__________．解析：函数f (x )的对称轴为x ＝1，单调增区间为[1，4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1，4] 8设定义在[－1，7]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的增区间为________．解析：由图可知函数的单调递增区间为[－1，1]和[5，7]．答案：[－1，1]，[5，7]确定函数的单调性(区间)[典例引领](1)试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性； (2)求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间．【解】 (1)(定义法)设－1＜x 1＜x 2＜1，f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1），由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0，故当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递减；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．(2)(图象法)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2＋2，x ≥0，－（x ＋1）2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．若将本例(2)中函数变为f (x )＝|－x 2＋2x ＋1|，如何求解？解：函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调递增区间为(1－2，1)和(1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－2)和(1，1＋2)．[提醒] 对于函数y ＝f (φ(x ))的单调性可以利用口诀——“同增异减”来判断，即内外函数的单调性相同时为增函数；单调性不同时为减函数．[通关练习]1．判断函数y ＝2x 2－3x的单调性．解：因为f (x )＝2x 2－3x ＝2x －3x，且函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而函数y ＝2x和y ＝－3x 在区间(－∞，0)上均为增函数，根据单调函数的运算性质，可得f (x )＝2x －3x在区间(－∞，0)上为增函数．同理，可得f (x )＝2x －3x在区间(0，＋∞)上也是增函数．故函数f (x )＝2x 2－3x在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数．2．作出函数y ＝|x 2－1|＋x 的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间．解：当x ≥1或x ≤－1时，y ＝x 2＋x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－54；当－1<x <1时，y ＝－x 2＋x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋54.画出函数图象如图所示：由函数图象可知，函数的减区间为(－∞，－1]，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，[1，＋∞)．求函数的最值(值域)[典例引领](1)(2018·福建漳州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a ，x ≤0，x ＋4x ，x ＞0有最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．[4，＋∞)C ．(－∞，4]D ．(－∞，4)(2)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________．【解析】 (1)(基本不等式法)由题意知，当x >0时，f (x )＝x ＋4x≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时取等号；当x ≤0时，f (x )＝2x ＋a ∈(a ，1＋a ]，因此要使f (x )有最小值，则必须有a ≥4，故选B .(2)法一(换元法)：令t ＝x －1，且t ≥0，则x ＝t 2＋1，所以原函数变为y ＝t 2＋1＋t ，t ≥0.配方得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34，又因为t ≥0，所以y ≥14＋34＝1，故函数y ＝x ＋x －1的最小值为1.法二：因为函数y ＝x 和y ＝x －1在定义域内均为增函数，故函数y ＝x ＋x －1在[1，＋∞)内为增函数，所以y min ＝1. 【答案】 (1)B (2)1求函数最值的五种常用方法[通关练习]1．函数f (x )＝2x －1在[－2，0]上的最大值与最小值之差为( )A．8 3B．43C．23D．1解析：选B.易知f(x)在[－2，0]上是减函数，所以f(x)max－f(x)min＝f(－2)－f(0)＝－23－(－2)＝43，故选B.2．函数f(x)＝|x－1|＋x2的值域为________．解析：因为f(x)＝|x－1|＋x2＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋x－1，x≥1x2－x＋1，x<1，所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x＋122－54，x≥1，⎝⎛⎭⎪⎫x－122＋34，x<1，作出函数图象如图，由图象知f(x)＝|x－1|＋x2的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞函数单调性的应用(高频考点)函数单调性结合函数的图象以及函数其他性质的应用已成为近几年高考命题的一个新的增长点，常以选择、填空题的形式出现．高考对函数单调性的考查主要有以下三个命题角度：(1)比较两个函数值或两个自变量的大小；(2)解函数不等式；(3)求参数的值或取值范围．[典例引领]角度一比较两个函数值或两个自变量的大小已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c【解析】因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.由x 2>x 1>1时， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2<52<e ，所以f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (e )，所以b >a >c . 【答案】 D角度二解函数不等式(2016·高考天津卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，12)B ．(－∞，12)∪(32，＋∞)C ．(12，32)D ．(32，＋∞)【解析】由f (x )是偶函数得f (－2)＝f (2)，再由偶函数在对称区间上单调性相反，得f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以由2|a －1|＜2，得|a －1|＜12，即12＜a ＜32.【答案】 C角度三求参数的值或取值范围设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．[1，4] C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)【解析】作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4，故选D .【答案】 D利用函数单调性求解四种题型[通关练习]1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是( ) A ．(1，2)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 解析：选C .由已知条件得f (x )为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，（2－a ）×1＋1≤a ，解得32≤a <2，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2.故选C .2．(2018·甘肃肃南调研)已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2－4)<2，则实数x 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝ln x ＋2x 在定义域上单调递增，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x 2－4)<2得，f (x 2－4)<f (1)，所以0<x 2－4<1，解得－5<x <－2或2<x < 5. 答案：(－5，－2)∪(2，5)函数单调性的常用结论(1)若f (x )，g (x )均是区间A 上的增(减)函数，则f (x )＋g (x )也是区间A 上的增(减)函数． (2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反． (3)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反． (4)函数y ＝f (x )(f (x )≥0)在公共定义域内与y ＝f （x ）的单调性相同．函数最值的有关结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)． (3)函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在．(4)若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间上端点值就是函数的最值．易错防范(1)区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．(2)函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”．例如，函数f (x )在区间(－1，0)上是减函数，在(0，1)上是减函数，但在(－1，0)∪(0，1)上却不一定是减函数，如函数f (x )＝1x.(3)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：①对变量所在区间的讨论；②保证各段上同增(减)时，要注意端点值间的大小关系；③弄清最终结果是取并集还是取交集．1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C.当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1，2] B ．[－1，0] C ．[0，2]D ．[2，＋∞)解析：选A.由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1，2]．3．“a ＝2”是“函数f (x )＝x 2＋3ax －2在区间(－∞，－2]内单调递减”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D .若函数f (x )＝x 2＋3ax －2在区间(－∞，－2]内单调递减，则有－3a 2≥－2，即a ≤43，所以“a ＝2”是“函数f (x )＝x 2＋3ax －2在区间(－∞，－2]内单调递减”的既不充分也不必要条件．4．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6D ．12解析：选C .由已知得，当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2；当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.因为f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数，所以f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.5．已知函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，g (x )＝－f (|x |)，若g (lg x )>g (1)，则x 的取值范围是( ) A ．(0，10)B ．(10，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫110，10 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110∪(10，＋∞) 解析：选C.因为g (lg x )>g (1)，g (x )＝－f (|x |)，所以－f (|lg x |)>－f (1)，所以f (|lg x |)<f (1)．又因为f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以|lg x |<1，所以－1<lg x <1，所以110<x <10.6．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________．解析：易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝1，f （b ）＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －1＝1，1b －1＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4. 所以a ＋b ＝6. 答案：67．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3，所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －1）x －2a ，x <2，log a x ，x ≥2(a >0且a ≠1)在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －1）x －2a ，x <2，log a x ，x ≥2(a >0且a ≠1)在R 上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1<0，0<a <1，log a 2≤（a －1）×2－2a⇒22≤a <1，即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 9．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．解：(1)证明：设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，因为f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，所以f (x 2)>f (x 1)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调增函数，所以f (12)＝12，f (2)＝2，易知a ＝25.10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）. 因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）.因为a >0，x 2－x 1>0，所以要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，所以a ≤1. 综上所述知0<a ≤1.1．(2018·石家庄市教学质量检测(一))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <1x 3＋x ，x ≥1，则f (f (x ))<2的解集为＝( )A ．(1－ln 2，＋∞)B ．(－∞，1－ln 2)C ．(1－ln 2，1)D ．(1，1＋ln 2)解析：选B .因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x <1时，f (x )＝2e x －1<2，所以f (f (x ))<2等价于f (x )<1，即2e x －1<1，解得x <1－ln 2，所以f (f (x ))<2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B .2．已知函数f (x )＝4＋x 2ln 1＋x 1－x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上的最大值与最小值分别为M 和m ，则M ＋m ＝( ) A ．0 B ．2 C ．4D ．8解析：选D .令g (x )＝x 2ln 1＋x 1－x，则g (－x )＝(－x )2ln 1－x 1＋x ＝－x 2ln 1＋x 1－x ＝－g (x )，所以函数g (x )为奇函数，其图象关于原点对称，则函数g (x )＝f (x )－4的最大值M －4和最小值m －4之和为0，即M －4＋m －4＝0，所以M ＋m ＝8.3．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值，则函数f (x )＝min{4x ＋1，x ＋4，－x ＋8}的最大值是__________．解析：在同一直角坐标系中分别作出函数y ＝4x ＋1，y ＝x ＋4，y ＝－x ＋8的图象后，取位于下方的部分得函数f (x )＝min{4x ＋1，x ＋4，－x ＋8}的图象，如图所示，不难看出函数f (x )在x ＝2时取得最大值6. 答案：64．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．解析：函数y ＝x 3在(－∞，0]上是增函数，函数y ＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上是增函数，且x >0时，ln(x ＋1)>0，所以f (x )在R 上是增函数，由f (2－x 2)>f (x )，得2－x 2>x ，解得－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．答案：(－2，1)5．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x >0，－f （x ），x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2，2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．解：(1)因为f (－1)＝0，所以a －b ＋1＝0，所以b ＝a ＋1，所以f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1. 因为对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝（a ＋1）2－4a ≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，（a －1）2≤0.所以a ＝1，从而b ＝2，所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x >0，－x 2－2x －1，x <0.(2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. 因为g (x )在[－2，2]上是单调函数，所以k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2或k ≥6.故k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞) .6．已知函数f (x )＝lg(x ＋a x－2)，其中a 是大于0的常数． (1)当a ∈(1，4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (2)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解：(1)设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1，4)，x ∈[2，＋∞)时，所以g ′(x )＝1－a x2＝x 2－ax 2>0. 因此g (x )在[2，＋∞)上是增函数，所以f (x )在[2，＋∞)上是增函数．则f (x )min ＝f (2)＝ln a2.(2)对任意x ∈[2，＋∞)，恒有f (x )>0. 即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立．所以a >3x －x 2.令h (x )＝3x －x 2，x ∈[2，＋∞)．由于h (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h (x )max ＝h (2)＝2.故a >2时，恒有f (x )>0.因此实数a 的取值范围为(2，＋∞)．。

2020版高考数学新增分大一轮新高考第二章 2.2 函数的单调性与最值 Word版含解析

§函数的单调性与最值最新考纲.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.学会运用函数图象理解和研究函数的性质．．函数的单调性()单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数()的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当<时，都有()<()，那么就说函数()在区间上是增函数当<时，都有()>()，那么就说函数()在区间上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的()单调区间的定义如果函数＝()在区间上是增函数或减函数，那么就说函数＝()在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做＝()的单调区间．．函数的最值前提设函数＝()的定义域为，如果存在实数满足条件()对于任意的∈，都有()≤；()存在∈，使得()＝()对于任意的∈，都有()≥；()存在∈，使得()＝结论为最大值为最小值概念方法微思考．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对∀，∈，>⇔()在上是增函数，减函数类似．．写出对勾函数＝＋(>)的增区间．提示(－∞，－]和[，＋∞)．题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()若定义在上的函数()，有(－)<()，则函数()在上为增函数．(×)()函数＝()在[，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[，＋∞)．(×)()函数＝的单调递减区间是(－∞，)∪(，＋∞)．(×)()如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(×)()所有的单调函数都有最值．(×)题组二教材改编．函数()＝－的单调递增区间是．答案[，＋∞)(或(，＋∞))．函数＝在[]上的最大值是．答案。

高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数第二节函数的基本性质课件(理)

奇偶性
定义
图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，偶函数都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数f(x)是偶关于
y轴
对
称
函数
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数f(x)是奇关于
原点
对
称
函数
2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝ f(x) ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
数f(x)在区间D上是减函数
(2)单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间. 2.函数的最值
前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有 f(x)≤M ；
2
减函数，故 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1).故选 C.
答案 C [点评] 判断函数的单调性，应首先求出函数的定义域，在定
义域内求解.
函数的奇偶性解题方略奇偶性的判断 (1)定义法
答案 [－2，＋∞)
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
(2)[函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示，：可
以用逗号或 “ 和 ”] 函数
f(x)
＝xBiblioteka ＋1 x的
单
调
递
增

数学课标通用(理科)一轮复习配套教师用书：第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ 对数与对数函数

§2.6对数与对数函数考纲展示►1。

理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，和对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．3．知道对数函数是一类重要的函数模型．4．了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数（a〉0，且a≠1)．考点1 对数的运算1.对数的概念如果a x＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作________，其中________叫做对数的底数，________叫做真数．答案:x＝log a N a N2．对数的性质与运算法则（1）对数的运算法则:如果a>0且a≠1,M〉0，N>0,那么①log a（MN）＝____________；②log a错误!＝____________；③log a M n＝________（n∈R）；④log a m M n＝错误!log a M。

（2)对数的性质：①a log a N＝________；②log a a N＝________(a>0且a≠1）．(3）对数的重要公式：①换底公式：log b N＝错误!（a，b均大于0且不等于1)；②log a b＝错误!，推广log a b·log b c·log c d＝________。

答案:（1)①log a M＋log a N②log a M－log a N③n log a M (2）①N②N(3)②log a d（1）[教材习题改编］lg错误!＋lg错误!的值是（)A。

错误!B．1C．10 D．100答案:B(2）［教材习题改编］(log29)·(log34）＝（)A.错误!B．错误!C．2 D．4答案:D(3）[教材习题改编］已知log53＝a，log54＝b，lg 2＝m，求错误!＋lg 4b的值（用m表示）．解:错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝2lg 5＝2(1－lg 2)＝2(1－m）．误用对数运算法则．(1）log3错误!－log3错误!＋错误!－1＝________.（2）(log29)·(log34)＝________.答案：(1)2 （2)4解析：（1)原式＝log3错误!＋31＝log3错误!＋3＝－1＋3＝2。

一轮基础知识复习9、函数的单调性与最值

5、常用的函数单调性判定方法
确定函数单调性的四种方法 (1)方法1、定义法：利用定义用于证明或判断函数单调性. 步骤：
例、用定义法证明函数 f (x) x b (b 0) 的单调性
证明：由题意，因为函数
x f (x) x b (b 0)
的定义域为
x (,0) (0,)
且函数满足 f (x) f (x) x
函数 f (x) x b (b 0)在 x ( b,0)上为单调递减函数 x 在 x (, b)上为单调递增函数
综上： f (x) x b (b 0) 在其定义域上有四个单调区间
x
(2)方法2、导数法（后续学习）：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数. (3)方法3、图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用 “∪”连接. 例如：对于反比例函数f (x) k (k 0) ，其图像为位于一、二象限的双曲线，
解析解题思路：解二次函数问题，牢记方法常用数形结合法，作图分析与解决；但要记住作二次函数图像的要求：先化为二次函数顶点式，再找开口、对称轴，然后借助图像分析性质
由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，∴m≤2.
4.函数y＝f (x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a＋1)<f (2a)，则实数a的
√D.当直线y＝t与f(x)的图象有三个交点时－1<t<2
3. 函数 y＝x－2 1在[2,3]上的最大值是___2___.
解题思路：牢记解决函数问题常用方法--数形结合、单调性
3.若函数f (x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是

2020版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数第2讲函数的单调性与最值教案理新人教A版

第2讲函数的单调性与最值基础知识整合1．函数的单调性 (1)增函数与减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ：①如果对于定义域I 内某个区间D 上的□01任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是□02增函数． ②如果对于定义域I 内某个区间D 上的□03任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是□04减函数． (2)单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)□05单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的□06单调区间． 2．函数的最值 (1)最大值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x ∈I ，都有□07f (x )≤M ； ②存在x 0∈I ，使得□08f (x 0)＝M . 那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最大值． (2)最小值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数N 满足： ①对于任意的x ∈I ，都有□09f (x )≥N ； ②存在x 0∈I ，使得□10f (x 0)＝N . 那么我们称N 是函数y ＝f (x )的最小值．1．对勾函数y ＝x ＋ax(a >0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)；减区间为[－a ，0)和(0，a ]，且对勾函数为奇函数．2．设∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，则①x 1－x 2>0(<0)，f (x 1)－f (x 2)>0(<0)⇔f (x )在D 上单调递增；x 1－x 2>0(<0)，f (x 1)－f (x 2)<0(>0)⇔f (x )在D 上单调递减；②f x 1－f x 2x 1－x 2>0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0)⇔f (x )在D 上单调递增；③f x 1－f x 2x 1－x 2<0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0)⇔f (x )在D 上单调递减．1．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( ) A ．y ＝1－x 2B ．y ＝x 2＋xC ．y ＝－－xD ．y ＝xx －1答案 D解析选项D 中，y ＝xx －1＝1＋1x －1.易知其在(－∞，1)上为减函数．故选D. 2．(2019·信阳模拟)函数y ＝－2x 2－4ax ＋3在区间[－4，－2]上是单调函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[4，＋∞)C ．(－∞，2]∪[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)答案 C解析函数y ＝－2x 2－4ax ＋3的图象的对称轴为x ＝－a ，由题意可得－a ≤－4或－a ≥－2，解得a ≤2或a ≥4，故选C.3．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－6 D ．6 答案 C解析由图象易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，＋∞，令－a2＝3，所以a＝－6.故选C.4．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．答案 (－3，－1)∪(3，＋∞)解析由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3，所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．5．(2019·衡水模拟)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________．答案 2 解析 f (x )＝xx －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1，∵x ≥2，∴x －1≥1,0<1x －1≤1，∴1＋1x －1∈(1,2]，故当x ＝2时，函数f (x )＝x x －1取得最大值2.6．(2019·浙江模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，x 2＋，x <1，则f [f (－3)]＝________，f (x )的最小值是________．答案 0 22－3解析 ∵f (－3)＝lg [(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f [f (－3)]＝f (1)＝1＋2－3＝0.当x ≥1时，x ＋2x－3≥2x ·2x －3＝22－3，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝22－3<0；当x <1时，lg (x 2＋1)≥lg (02＋1)＝0，此时f (x )min ＝0.所以f (x )的最小值为22－3.核心考向突破考向一确定函数的单调区间例1 求下列函数的单调区间：(1)y ＝－x 2＋2|x |＋1；(2)y ＝log 12(x 2－3x ＋2)．解 (1)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2＋2，x ≥0，－x ＋2＋2，x <0.画出函数图象如图所示．由图象可知，函数的单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝log 12 u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2>0，则x <1或x >2.∴函数y ＝log 12 (x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又∵u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上，∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y ＝log 12 (x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．触类旁通确定函数单调性的方法(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法或导数法．复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”.图象法，图象不连续的单调区间一般不能用“∪”连接.即时训练 1.求出下列函数的单调区间：(1)f(x)＝|x2－4x＋3|；(2)f(x)＝13－2x－x2.解(1)先作出函数y＝x2－4x＋3的图象，由于绝对值的作用，把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数y＝|x2－4x＋3|的图象．如图所示．由图可知f(x)在(－∞，1]和[2,3]上为减函数，在[1,2]和[3，＋∞)上为增函数，故f(x)的增区间为[1,2]，[3，＋∞)，减区间为(－∞，1]，[2,3]．(2)∵3－2x－x2>0，∴－3<x<1.由二次函数图象(图略)可知f(x)的递减区间是(－3，－1]，递增区间为[－1,1)．考向二函数单调性的应用角度1 利用函数的单调性比较大小例2 (1)(2019·长沙模拟)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(－1)与f(a2－2a＋3)的大小关系是( )A．f(－1)≥f(a2－2a＋3)B．f(－1)＝f(a2－2a＋3)C．f(－1)>f(a2－2a＋3)D．f(－1)<f(a2－2a＋3)答案 D解析a2－2a＋3＝(a－1)2＋2≥2，由偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，可得f(－1)＝f(1)<f(a2－2a＋3)，故选D.(2)(2019·大同模拟)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)满足f(m)<0，则( )A．f(m＋1)＝0 B．f(m＋1)≤0C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1)<0答案 C解析 ∵f (x )图象的对称轴为x ＝－12，f (0)＝f (－1)＝a ，∴f (x )的大致图象如图所示．结合图象，由f (m )<0，得－1<m <0，∴m ＋1>0，∴f (m ＋1)>f (0)>0.故选C.角度2 利用函数的单调性解不等式例3 (1)(2019·长春模拟)f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞) B．(8,9] C ．[8,9] D ．(0,8) 答案 B解析 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x x －解得8<x ≤9.(2)函数y ＝f (x )是R 上的增函数，且y ＝f (x )的图象经过点A (－2，－3)和B (1,3)，则不等式|f (2x －1)|<3的解集为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1解析因为y ＝f (x )的图象经过点A (－2，－3)和B (1,3)，所以f (－2)＝－3，f (1)＝3.又|f (2x －1)|<3，所以－3<f (2x －1)<3，即f (－2)<f (2x －1)<f (1)．因为函数y ＝f (x )是R 上的增函数，所以－2<2x －1<1，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>－2，2x －1<1，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－12，x <1，所以－12<x <1.角度3 利用函数的单调性求参数例4 (1)(2019·太原模拟)若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2mx ＋1在区间[2,4]上都是减函数，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0,1]B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0，＋∞)D ．(0,1]答案 D解析函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2mx的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得，m 的取值范围是(0,1]．故选D.(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4a ，x <1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1 答案 C解析由f (x )在R 上单调递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，0<a <1，a －＋4a ≥0，解得17≤a <13.触类旁通函数单调性应用问题的解题策略(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时，应特别注意函数的定义域.利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.解决分段函数的单调性问题，要注意上、下段端点值的大小关系.即时训练 2.(2019·商丘模拟)若f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)且x 1≠x 2，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (1)<f (－2)B ．f (3)<f (－2)<f (1)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (1)<f (－2)<f (3)答案 B解析 ∵对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)且x 1≠x 2，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，∴当x ≥0时，函数f (x )为减函数，∴f (3)<f (2)<f (1)，又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，∴f (3)<f (－2)<f (1)．故选B.3．(2019·曲阜师大附中质检)已知函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)满足f (a ＋1)>f (a ＋2)，则f (2x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，2)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 D ．(2，＋∞)答案 C解析因为函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)满足f (a ＋1)>f (a ＋2)，所以0<a <1，则函数f (x )＝log a x (0<a <1)是减函数，所以f (2x －3)>0可化为0<2x －3<1，求解可得32<x <2，故选C.4．(2018·山东泰安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞) B．[4,8) C ．(4,8) D ．(1,8) 答案 B解析由f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2＋2≤a ，解得4≤a <8.考向三函数的最值(值域)问题例5 (1)函数y ＝1－x21＋x 2的值域是________．答案 (－1,1]解析 (分离常数法)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，又因为1＋x 2≥1，所以0<21＋x 2≤2，所以－1<－1＋2x 2＋1≤1，所以函数的值域为(－1,1]． (2)(2019·福建厦门质检)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案 3解析 (单调性法)由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1,1]上单调递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.(3)函数f (x )＝x ＋1－2x 的值域为________．答案 (－∞，1]解析 (代数换元法)函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12. 令t ＝1－2x (t ≥0)，则x ＝1－t22.所以y ＝1－t 22＋t ＝－12(t －1)2＋1(t ≥0)，故当t ＝1(即x ＝0)时，y 有最大值1，故函数f (x )的值域为(－∞，1]．(4)函数f (x )＝3x ＋2x，x ∈[1,2]的值域为________．答案 [5,7]解析解法一：(基本不等式)f (x )＝3x ＋23x，易证f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上是增函数． ∴f (x )在[1,2]上为增函数，从而得值域为[5,7]．解法二：(导数法)f ′(x )＝3－2x2，当1≤x ≤2时，f ′(x )>0， ∴f (x )在[1,2]上为增函数，又f (1)＝5，f (2)＝7.∴f (x )＝3x ＋2x，x ∈[1,2]的值域为[5,7]．触类旁通函数值域的几种求解方法(1)分离常数法：分子上构造一个跟分母一样的因式，把分式拆成常量和变量，进一步确定变量范围破解．单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.即时训练 5.(2019·莱州质检)对于每一个实数x ，f (x )是y ＝2－x 2和y ＝x 这两个函数中的较小者，则f (x )的最大值是( )A ．2B ．1C ．0D ．－2 答案 B解析解法一：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2，x <－2或x >1，x ，－2≤x ≤1.当x <－2时，函数f (x )的值域为(－∞，－2)；当－2≤x ≤1时，函数f (x )的值域为[－2,1]；当x >1时，函数f (x )的值域为(－∞，1)．故函数f (x )的值域为(－∞，1]，所以f (x )max ＝1.故选B.解法二：画出函数f (x )的图象，如图所示：其中A (1,1)，B (－2，－2)，故当x ＝1时，函数f (x )的最大值为1.故选B. 6．函数f (x )＝x ＋21－x 的最大值为________．答案 2解析设1－x ＝t (t ≥0)， ∴x ＝1－t 2.∴y ＝x ＋21－x ＝1－t 2＋2t ＝－t 2＋2t ＋1＝－(t －1)2＋2. ∴当t ＝1即x ＝0时，y max ＝2.7．已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m M的值为________．答案22解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋3≥0.所以函数的定义域为{x |－3≤x ≤1}．两边平方，得y 2＝4＋21－x ·x ＋3 ＝4＋2－xx ＋.所以当x ＝－1时，y 取得最大值M ＝22；当x ＝－3或1时，y 取得最小值m ＝2，所以mM ＝22. 8．设a ，b ∈R ，a 2＋2b 2＝6，则a ＋b 的最小值是________．答案－3解析因为a ，b ∈R ，a 2＋2b 2＝6，所以令a ＝6cos α，2b ＝6sin α，α∈R .则a ＋b ＝6cos α＋3sin α＝3sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝63＝2，所以a ＋b 的最小值是－3.函数f (x )对任意的m ，n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1.(1)求证：f (x )在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2. 解 (1)证明：设x 1<x 2，所以x 2－x 1>0. 因为当x >0时，f (x )>1，所以f (x 2－x 1)>1，f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1，所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0⇒f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在R 上为增函数． (2)因为m ，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1，所以f (1＋1)＝f (1)＋f (1)－1⇒f (2)＝2f (1)－1，f (3)＝4⇒f (2＋1)＝4⇒f (2)＋f (1)－1＝4⇒3f (1)－2＝4，所以f (1)＝2，所以f (a 2＋a －5)<2＝f (1)，因为f (x )在R 上为增函数，所以a 2＋a －5<1⇒－3<a <2，即原不等式的解集为{a |－3<a <2}．答题启示对于抽象函数单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f x 1f x 2与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形，如x 1＝x 2＋x 1－x 2或x 1＝x 2·x 1x 2等．深挖已知条件，是求解此类题的关键．对点训练函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x >0，y >0都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，当x >1时，有f (x )>0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性并证明；(3)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋5)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x <2.解 (1)f (1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x x ＝f (x )－f (x )＝0，x >0.(2)f (x )在(0，＋∞)上是增函数．证明：设0<x 1<x 2，则由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，得f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x1，因为x 2x 1>1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>0.所以f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (3)因为f (6)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫366＝f (36)－f (6)，又f (6)＝1，所以f (36)＝2，原不等式化为f (x 2＋5x )<f (36)，又因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋5>0，1x >0，x 2＋5x <36，解得0<x <4.。

2020版高考数学(文)一轮复习通用版课件导数与函数的单调性

∴函数 f(x)在1a，＋∞上单调递增，在0，1a上单调递减．综上所述，当 a<0 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当 a>0 时，函数 f(x)在1a，＋∞上单调递增，在0，1a上单调递减．
返回
[解题技法] 讨论函数 f(x)单调性的步骤 (1)确定函数 f(x)的定义域； (2)求导数 f′(x)，并求方程 f′(x)＝0 的根； (3)利用 f′(x)＝0 的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论 f′(x)的正负，由符号确定 f(x)在该区间上的单调性． [提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
解：函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为 f(x)＝aln x＋x2，所以 f′(x)＝ax＋2x＝2x2x＋a. ①当 a>0 时，f′(x)>0，所以函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当 a<0 时，令 f′(x)＝0，解得 x＝－a2(负值舍去)，
当 0<x<
－2a时，f′(x)<0，所以函数
当 x∈(0,5)时，f′(x)<0，故 f(x)在(0,5)内单调递减；
当 x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故 f(x)在(5，＋∞)内单调递增．
故 f(x)的单调递减区间是(0,5)，单调递增区间是(5，＋∞)．
[典例] 设函数 f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，曲线 y＝f(x)在点返回 (0，f(0))处的切线方程为 y＝1.
返回
[解题技法] 利用导数求函数单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0 求出单调区间． (2)当方程 f′(x)＝0 可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间 f′(x)的符号，从而确定单调区间． (3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据 f′(x)结构特征，利用图象与性质确定 f′(x)的符号，从而确定单调区间． [提醒] 若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．

2020版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数第2讲函数的单调性与最值教案理(含解析)新人教A版

第2讲函数的单调性与最值基础知识整合1．函数的单调性 (1)增函数与减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ：①如果对于定义域I 内某个区间D 上的□01任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是□02增函数． ②如果对于定义域I 内某个区间D 上的□03任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是□04减函数． (2)单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)□05单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的□06单调区间． 2．函数的最值 (1)最大值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x ∈I ，都有□07f (x )≤M ； ②存在x 0∈I ，使得□08f (x 0)＝M . 那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最大值． (2)最小值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数N 满足： ①对于任意的x ∈I ，都有□09f (x )≥N ； ②存在x 0∈I ，使得□10f (x 0)＝N . 那么我们称N 是函数y ＝f (x )的最小值．1．对勾函数y ＝x ＋ax(a >0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)；减区间为[－a ，0)和(0，a ]，且对勾函数为奇函数．2．设∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，则①x 1－x 2>0(<0)，f (x 1)－f (x 2)>0(<0)⇔f (x )在D 上单调递增；x 1－x 2>0(<0)，f (x 1)－f (x 2)<0(>0)⇔f (x )在D 上单调递减；②f x 1－f x 2x 1－x 2>0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0)⇔f (x )在D 上单调递增；③f x 1－f x 2x 1－x 2<0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0)⇔f (x )在D 上单调递减．1．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( ) A ．y ＝1－x 2B ．y ＝x 2＋xC ．y ＝－－xD ．y ＝xx －1答案 D解析选项D 中，y ＝xx －1＝1＋1x －1.易知其在(－∞，1)上为减函数．故选D. 2．(2019·信阳模拟)函数y ＝－2x 2－4ax ＋3在区间[－4，－2]上是单调函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[4，＋∞)C ．(－∞，2]∪[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)答案 C解析函数y ＝－2x 2－4ax ＋3的图象的对称轴为x ＝－a ，由题意可得－a ≤－4或－a ≥－2，解得a ≤2或a ≥4，故选C.3．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－6 D ．6 答案 C解析由图象易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，＋∞，令－a2＝3，所以a＝－6.故选C.4．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．答案 (－3，－1)∪(3，＋∞)解析由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3，所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．5．(2019·衡水模拟)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________．答案 2 解析 f (x )＝xx －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1，∵x ≥2，∴x －1≥1,0<1x －1≤1，∴1＋1x －1∈(1,2]，故当x ＝2时，函数f (x )＝x x －1取得最大值2.6．(2019·浙江模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，x 2＋，x <1，则f [f (－3)]＝________，f (x )的最小值是________．答案 0 22－3解析 ∵f (－3)＝lg [(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f [f (－3)]＝f (1)＝1＋2－3＝0.当x ≥1时，x ＋2x－3≥2x ·2x －3＝22－3，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝22－3<0；当x <1时，lg (x 2＋1)≥lg (02＋1)＝0，此时f (x )min ＝0.所以f (x )的最小值为22－3.核心考向突破考向一确定函数的单调区间例1 求下列函数的单调区间：(1)y ＝－x 2＋2|x |＋1；(2)y ＝log 12(x 2－3x ＋2)．解 (1)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2＋2，x ≥0，－x ＋2＋2，x <0.画出函数图象如图所示．由图象可知，函数的单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝log 12 u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2>0，则x <1或x >2.∴函数y ＝log 12 (x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又∵u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上，∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y ＝log 12 (x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．触类旁通确定函数单调性的方法(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法或导数法．复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”.图象法，图象不连续的单调区间一般不能用“∪”连接.即时训练 1.求出下列函数的单调区间：(1)f(x)＝|x2－4x＋3|；(2)f(x)＝13－2x－x2.解(1)先作出函数y＝x2－4x＋3的图象，由于绝对值的作用，把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数y＝|x2－4x＋3|的图象．如图所示．由图可知f(x)在(－∞，1]和[2,3]上为减函数，在[1,2]和[3，＋∞)上为增函数，故f(x)的增区间为[1,2]，[3，＋∞)，减区间为(－∞，1]，[2,3]．(2)∵3－2x－x2>0，∴－3<x<1.由二次函数图象(图略)可知f(x)的递减区间是(－3，－1]，递增区间为[－1,1)．考向二函数单调性的应用角度1 利用函数的单调性比较大小例2 (1)(2019·长沙模拟)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(－1)与f(a2－2a＋3)的大小关系是( )A．f(－1)≥f(a2－2a＋3)B．f(－1)＝f(a2－2a＋3)C．f(－1)>f(a2－2a＋3)D．f(－1)<f(a2－2a＋3)答案 D解析a2－2a＋3＝(a－1)2＋2≥2，由偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，可得f(－1)＝f(1)<f(a2－2a＋3)，故选D.(2)(2019·大同模拟)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)满足f(m)<0，则( )A．f(m＋1)＝0 B．f(m＋1)≤0C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1)<0答案 C解析 ∵f (x )图象的对称轴为x ＝－12，f (0)＝f (－1)＝a ，∴f (x )的大致图象如图所示．结合图象，由f (m )<0，得－1<m <0，∴m ＋1>0，∴f (m ＋1)>f (0)>0.故选C.角度2 利用函数的单调性解不等式例3 (1)(2019·长春模拟)f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞) B．(8,9] C ．[8,9] D ．(0,8) 答案 B解析 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x x －解得8<x ≤9.(2)函数y ＝f (x )是R 上的增函数，且y ＝f (x )的图象经过点A (－2，－3)和B (1,3)，则不等式|f (2x －1)|<3的解集为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1解析因为y ＝f (x )的图象经过点A (－2，－3)和B (1,3)，所以f (－2)＝－3，f (1)＝3.又|f (2x －1)|<3，所以－3<f (2x －1)<3，即f (－2)<f (2x －1)<f (1)．因为函数y ＝f (x )是R 上的增函数，所以－2<2x －1<1，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>－2，2x －1<1，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－12，x <1，所以－12<x <1.角度3 利用函数的单调性求参数例4 (1)(2019·太原模拟)若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2mx ＋1在区间[2,4]上都是减函数，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0,1]B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0，＋∞)D ．(0,1]答案 D解析函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2mx的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得，m 的取值范围是(0,1]．故选D.(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4a ，x <1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1 答案 C解析由f (x )在R 上单调递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，0<a <1，a －＋4a ≥0，解得17≤a <13.触类旁通函数单调性应用问题的解题策略(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时，应特别注意函数的定义域.利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.解决分段函数的单调性问题，要注意上、下段端点值的大小关系.即时训练 2.(2019·商丘模拟)若f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)且x 1≠x 2，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (1)<f (－2)B ．f (3)<f (－2)<f (1)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (1)<f (－2)<f (3)答案 B解析 ∵对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)且x 1≠x 2，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，∴当x ≥0时，函数f (x )为减函数，∴f (3)<f (2)<f (1)，又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，∴f (3)<f (－2)<f (1)．故选B.3．(2019·曲阜师大附中质检)已知函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)满足f (a ＋1)>f (a ＋2)，则f (2x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，2)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 D ．(2，＋∞)答案 C解析因为函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)满足f (a ＋1)>f (a ＋2)，所以0<a <1，则函数f (x )＝log a x (0<a <1)是减函数，所以f (2x －3)>0可化为0<2x －3<1，求解可得32<x <2，故选C.4．(2018·山东泰安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞) B．[4,8) C ．(4,8) D ．(1,8) 答案 B解析由f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2＋2≤a ，解得4≤a <8.考向三函数的最值(值域)问题例5 (1)函数y ＝1－x21＋x 2的值域是________．答案 (－1,1]解析 (分离常数法)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，又因为1＋x 2≥1，所以0<21＋x 2≤2，所以－1<－1＋2x 2＋1≤1，所以函数的值域为(－1,1]． (2)(2019·福建厦门质检)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案 3解析 (单调性法)由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1,1]上单调递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.(3)函数f (x )＝x ＋1－2x 的值域为________．答案 (－∞，1]解析 (代数换元法)函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12. 令t ＝1－2x (t ≥0)，则x ＝1－t22.所以y ＝1－t 22＋t ＝－12(t －1)2＋1(t ≥0)，故当t ＝1(即x ＝0)时，y 有最大值1，故函数f (x )的值域为(－∞，1]．(4)函数f (x )＝3x ＋2x，x ∈[1,2]的值域为________．答案 [5,7]解析解法一：(基本不等式)f (x )＝3x ＋23x，易证f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上是增函数． ∴f (x )在[1,2]上为增函数，从而得值域为[5,7]．解法二：(导数法)f ′(x )＝3－2x2，当1≤x ≤2时，f ′(x )>0， ∴f (x )在[1,2]上为增函数，又f (1)＝5，f (2)＝7.∴f (x )＝3x ＋2x，x ∈[1,2]的值域为[5,7]．触类旁通函数值域的几种求解方法(1)分离常数法：分子上构造一个跟分母一样的因式，把分式拆成常量和变量，进一步确定变量范围破解．单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.即时训练 5.(2019·莱州质检)对于每一个实数x ，f (x )是y ＝2－x 2和y ＝x 这两个函数中的较小者，则f (x )的最大值是( )A ．2B ．1C ．0D ．－2 答案 B解析解法一：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2，x <－2或x >1，x ，－2≤x ≤1.当x <－2时，函数f (x )的值域为(－∞，－2)；当－2≤x ≤1时，函数f (x )的值域为[－2,1]；当x >1时，函数f (x )的值域为(－∞，1)．故函数f (x )的值域为(－∞，1]，所以f (x )max ＝1.故选B.解法二：画出函数f (x )的图象，如图所示：其中A (1,1)，B (－2，－2)，故当x ＝1时，函数f (x )的最大值为1.故选B. 6．函数f (x )＝x ＋21－x 的最大值为________．答案 2解析设1－x ＝t (t ≥0)， ∴x ＝1－t 2.∴y ＝x ＋21－x ＝1－t 2＋2t ＝－t 2＋2t ＋1＝－(t －1)2＋2. ∴当t ＝1即x ＝0时，y max ＝2.7．已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m M的值为________．答案22解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋3≥0.所以函数的定义域为{x |－3≤x ≤1}．两边平方，得y 2＝4＋21－x ·x ＋3 ＝4＋2－xx ＋.所以当x ＝－1时，y 取得最大值M ＝22；当x ＝－3或1时，y 取得最小值m ＝2，所以mM ＝22. 8．设a ，b ∈R ，a 2＋2b 2＝6，则a ＋b 的最小值是________．答案－3解析因为a ，b ∈R ，a 2＋2b 2＝6，所以令a ＝6cos α，2b ＝6sin α，α∈R .则a ＋b ＝6cos α＋3sin α＝3sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝63＝2，所以a ＋b 的最小值是－3.函数f (x )对任意的m ，n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1.(1)求证：f (x )在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2. 解 (1)证明：设x 1<x 2，所以x 2－x 1>0. 因为当x >0时，f (x )>1，所以f (x 2－x 1)>1，f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1，所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0⇒f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在R 上为增函数． (2)因为m ，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1，所以f (1＋1)＝f (1)＋f (1)－1⇒f (2)＝2f (1)－1，f (3)＝4⇒f (2＋1)＝4⇒f (2)＋f (1)－1＝4⇒3f (1)－2＝4，所以f (1)＝2，所以f (a 2＋a －5)<2＝f (1)，因为f (x )在R 上为增函数，所以a 2＋a －5<1⇒－3<a <2，即原不等式的解集为{a |－3<a <2}．答题启示对于抽象函数单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f x 1f x 2与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形，如x 1＝x 2＋x 1－x 2或x 1＝x 2·x 1x 2等．深挖已知条件，是求解此类题的关键．对点训练函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x >0，y >0都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，当x >1时，有f (x )>0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性并证明；(3)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋5)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x <2.解 (1)f (1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x x ＝f (x )－f (x )＝0，x >0.(2)f (x )在(0，＋∞)上是增函数．证明：设0<x 1<x 2，则由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，得f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x1，因为x 2x 1>1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>0.所以f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (3)因为f (6)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫366＝f (36)－f (6)，又f (6)＝1，所以f (36)＝2，原不等式化为f (x 2＋5x )<f (36)，又因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋5>0，1x >0，x 2＋5x <36，解得0<x <4.。

高中数学第二章函数第3节函数的单调性基础知识素

§3 函数的单调性1．理解函数单调性的定义．2．会用函数单调性的定义判断函数的单调性．3．能从给定的函数图像上直观得出函数的单调性及单调区间．1．增函数(1)定义：在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有________，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递增的．设x1，x2∈A，x1≠x2，f(x)在A上是增加的(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0f x1－f x2x1－x2＞0.(2)几何意义：函数f(x)的图像在区间A上是____________的．(3)图示：如图所示．【做一做1】下列命题正确的是( )．A．定义在(a，b)上的函数f(x)，如果存在x1，x2∈(a，b)，使得x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数B．定义在(a，b)上的函数f(x)，如果有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数C．如果f(x)在区间I1上为增函数，在区间I2上也为增函数，那么f(x)在I1∪I2上也一定为增函数D．如果f(x)在区间I上为增函数且f(x1)＜f(x2)(x1，x2∈I)，那么x1＜x22．减函数(1)定义：在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有________，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递减的．设x1，x2∈A，x1≠x2，f(x)在A上是减少的(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0f x1－f x2x1－x2＜0.(2)几何意义：函数f(x)的图像在区间A上是__________的．(3)图示：如图所示．【做一做2－1】设函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 是R 上的减函数，则有( )．A ．a ≥12B ．a ≤12C ．a ＞－12D ．a ＜12【做一做2－2】函数f (x )在R 上是减函数，则有( )．A ．f (3)＜f (5)B ．f (3)≤f (5)C ．f (3)＞f (5)D ．f (3)≥f (5) 3．单调性(1)定义：如果函数y ＝f (x )在定义域的某个子集上是______或是______，那么就称函数y ＝f (x )在这个子集上具有单调性．如果函数y ＝f (x )在__________内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．(2)几何意义：函数f (x )的图像在区间A 上是____或____的．一个函数出现两个或者两个以上单调区间时，不能用“∪”而应该用“和”来表示．如函数y ＝1x，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，不能说函数在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减，而只能说函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上递减．书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可以；若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间．【做一做3－1】函数y ＝－x 2的单调增区间为( )．A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 【做一做3－2】已知函数y ＝f (x )的图像如图所示，则它的单调减区间为__________．4．最大值和最小值(1)定义：一般地，对于函数y ＝f (x )，其定义域为D ，如果存在x 0∈D ，f (x 0)＝M ，使得对于任意的x ∈D ，都有f (x )≤M [或f (x )≥M ]，那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最大(小)值，即当x ＝x 0时，f (x 0)是函数y ＝f (x )的最大(小)值，记作y max ＝f (x 0)[或y min ＝f (x 0)]．(2)几何意义：函数y ＝f (x )的最大(小)值是其图像上最高(低)点的纵坐标．【做一做4】函数f (x )＝x －1在区间[3,6]上的最大值和最小值分别是( )． A ．6,3 B ．5,2 C ．9,3 D ．7,4答案：1．(1)f (x 1)＜f (x 2) (2)上升【做一做1】 D A ，B 项中的x 1，x 2不具有任意性，C 项中f (x )在I 1和I 2上均为增函数，但在I 1∪I 2上的单调性无法判定．2．(1)f (x 1)＞f (x 2) (2)下降【做一做2－1】 D ∵f (x )是R 上的减函数，∴2a －1＜0，即a ＜12.【做一做2－2】 C ∵函数f (x )在R 上是减函数，3＜5， ∴f (3)＞f (5)．3．(1)增加的减少的整个定义域 (2)上升下降【做一做3－1】 A【做一做3－2】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32和⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 【做一做4】 B 函数f (x )＝x －1在区间[3,6]上是增加的，则当3≤x ≤6时，f (3)≤f (x )≤f (6)，即2≤f (x )≤5，所以最大值和最小值分别是5,2.理解函数的单调性剖析：函数的单调性刻画了函数的图像特征，它反映了函数图像的变化趋势(当自变量增大时，函数值是增大还是减小，图像是上升还是下降)；函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数(减函数)，等价于对于D 中任意的两个自变量x 1，x 2且x 1＜x 2，都有f (x 1)＜f (x 2)〔f (x 1)＞f (x 2)〕，其中“任意”二字是关键，不能用具体的两个自变量代替，否则会产生错误．比如函数f (x )＝1x，取x 1＝－1＜x 2＝1，f (x 1)＝－1，f (x 2)＝1，f (x 1)＜f (x 2)，如果由此推出f (x )＝1x是增函数就会产生错误，原因就在于x 1，x 2是定值，不具有任意性．另一方面，从反面考虑，由于存在x 1＝－1＜x 2＝1，f (x 1)＝－1，f (x 2)＝1，f (x 1)＜f (x 2)，我们可以下这样的结论：f (x )＝1x在整个定义域上肯定不是减函数；由定义还可以看出，函数的单调性是函数定义域内某个区间上的性质，因此它是一个局部的性质，并且在考察单调性时，必须先看函数的定义域，如果一个函数有多个单调增(减)区间，这些增(减)区间应该用逗号隔开(即“局部”)，而不能用并集的符号连接(并完之后就成了“整体”)．例如f (x )＝1x的单调减区间可以写成(0，＋∞)，(－∞，0)〔或者写成(0，＋∞)和(－∞，0)〕，但不能写成(0，＋∞)∪(－∞，0)；由于函数的单调性是反映函数图像变化趋势的，所以在一点处没法讨论函数的单调性，比如函数y ＝x 2的单调增区间可以写成(0，＋∞)，也可以写成[0，＋∞)，但是如果定义域中不包含这个点，则必须使用开区间表示；如果要证明一个函数的单调性，要严格按照定义进行，步骤如下：(1)取值：在指定区间上任意取两个自变量x 1，x 2且x 1＜x 2； (2)变形：主要是配方或分解因式、通分等； (3)定号：判断f (x 1)－f (x 2)的符号； (4)结论：由定义给出结论．题型一判断或证明函数的单调性【例1】证明函数f (x )＝x ＋1x在(0,1)上是减少的．分析：在(0,1)上任取x 1，x 2，且x 1＜x 2，只需证明f (x 1)＞f (x 2)即可．反思：证明函数单调性，主要有2种方法． (1)定义法．其步骤是：①在所给的区间上任取．两个自变量x 1和x 2，通常令x 1＜x 2；②比．较f (x 1)和f (x 2)的大小，通常是用作差比较法比较大小，此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；③再．归纳结论． (2)图像法．借助图像，依据函数单调性的几何意义来判断．此法适合客观题(选择题和填空题)．题型二求函数的单调区间【例2】画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图像，并指出函数的单调区间．分析：只需画出函数的图像，看曲线在哪些区间是上升的，在哪些区间是下降的，即可确定函数的单调区间．反思：利用函数图像确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数解析式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间．题型三函数单调性的应用【例3】已知函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，试比较f (a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的大小．分析：要比较两函数值的大小，需先比较自变量的大小．反思：利用函数单调性的定义比较大小，一方面是正向应用，即若y ＝f (x )在给定区间上是增函数，当x 1＜x 2时，f (x 1)＜f (x 2)，当x 1＞x 2时，f (x 1)＞f (x 2)；另一方面是逆向应用，即若y ＝f (x )在给定区间上是增函数，当f (x 1)＜f (x 2)时，x 1＜x 2，当f (x 1)＞f (x 2)时，x 1＞x 2.当y ＝f (x )在给定区间上是减函数时，同理可得相应的结论．【例4】已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －2)＜f (1－x )，求x 的取值范围．分析：欲求x 的取值范围，需由f (x －2)＜f (1－x )得出x －2与1－x 的大小关系，同时要注意函数的定义域．反思：解答此类问题的关键是充分利用函数的单调性，将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系，即将抽象不等式转化为具体不等式求解．题型四单调性与最值的综合运用【例5】已知函数y ＝f (x )对任意x ，y ∈R 均有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.(1)判断并证明f (x )在R 上的单调性； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大、最小值．分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用．反思：证明函数的单调性，必须用定义严格证明，不能用特殊值去检验，判断函数的最值，往往从单调性入手．题型五易错辨析易错点对单调区间与在区间上单调两个概念理解错误【例6】若函数y ＝|x －a |在区间(－∞，4]上是减少的，则实数a 的取值范围是__________．错解：函数y ＝|x －a |的图像如图所示，由于函数在区间(－∞，4]上是减少的，因此a ＝4.错因分析：错解中把函数在区间(－∞，4]上是减少的误认为函数的单调减区间是(－∞，4]．若把原题目改为：函数y ＝|x －a |的单调减区间是(－∞，4]，则a ＝4符合题意．答案：【例1】证明：设0＜x 1＜x 2＜1，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2 ＝x 1－x 2x 1x 2－1x 1x 2.∵0＜x 1＜x 2＜1，∴x 1x 2－1＜0，x 1－x 2＜0.则f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)．∴f (x )＝x ＋1x在(0,1)上是减少的．【例2】解：y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3＝－x －12＋4，x ≥0，－x 2－2x ＋3＝－x ＋12＋4，x <0.函数图像如图所示．函数在(－∞，－1]和[0,1]上是增加的；函数在[－1,0]和[1，＋∞)上是减少的．所以函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．【例3】解：∵a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34，∴34与a 2－a ＋1都是区间(0，＋∞)上的值．又∵f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34≥f (a 2－a ＋1)．【例4】解：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，解得1≤x ≤2.∵f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －2)＜f (1－x )， ∴x －2＜1－x .∴x ＜32.∴1≤x ＜32为满足题设条件的x 的取值范围．【例5】解：(1)令x ＝y ＝0，可得f (0)＝0，令y ＝－x 可得f (－x )＝－f (x )．在R 上任取x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)． ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0. 又∵x ＞0时，f (x )＜0，∴f (x 2－x 1)＜0，即f (x 2)＜f (x 1)．由定义可知f (x ) 在R 上为单调递减函数． (2)∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上是减少的． ∴f (－3)最大，f (3)最小．f (3)＝f (2)＋f (1)＝f (1)＋f (1)＋f (1)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－2. ∴f (－3)＝－f (3)＝2，即f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.【例6】正解：函数y ＝|x －a |的图像如图所示，所以只要a ＝4或a 在4的右侧，都能保证函数y ＝|x －a |在区间(－∞，4]上是减少的，因此a ≥4.1 函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( )．A ．递减函数B ．递增函数C ．先递增再递减D ．先递减再递增2 函数6y x=的单调递减区间是( )．A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)，(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞) 3 下列函数中，在区间(0,2)上增加的是( )．A ．y ＝3－xB ．y ＝x 2＋1C ．y ＝－x 2D ．y ＝x 2－2x －34 函数f (x )＝x 2－|x |的单调递减区间是__________．5 求证：函数f (x )＝11x +在(－1，＋∞)上是减少的．答案：1．D 由函数图像可知，函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上先递减再递增，选D.2．C 由y ＝6x的图像知，选C. 3．B (排除法)选项A ，y ＝3－x 在R 上是减函数；选项C ，y ＝－x 2在(0，＋∞)上是减少的；选项D ，y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，当x ≤1时，y 是x 的减函数，当x ≥1时，y 是x 的增函数，而在(0,2)上并不严格单调，故选B.4.10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭和1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 当x ≥0时，f (x )＝x 2－x ，f (x )的单调减区间是10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭，当x ＜0时，f (x )＝x 2＋x ，f (x )的单调减区间是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.5．证明：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2112121111(1)(1)x x x x x x --=++++. ∵x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1＜x 2， ∴x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，x 2－x 1＞0.∴f (x 1)－f (x 2)＝2112(1)(1)x x x x -++＞0.∴f (x )＝11x +在(－1，＋∞)上是减少的．。

2020高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2-2函数的单调性与最值学案理

【2019最新】精选高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2-2函数的单调性与最值学案理考纲展示►1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质.考点1 函数单调性的判断(证明)单调函数的定义(1)[教材习题改编]函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则( )A．k> B．k<12C．k>－D．k<－12答案：D(2)[教材习题改编]当k<0时，函数f(x)＝kx＋m在R上是________函数．(填“增”或“减”)答案：减解析：当k ＜0时，函数f(x)＝kx ＋m 在R 上是减函数．单调性易错点：单调性是区间内的性质．函数f(x)＝x2－1在定义域内________单调性．(填“有”或“没有”)答案：没有解析：虽然函数在区间(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，但不能说函数在定义域内为单调函数，函数的单调区间是函数定义域的子集，定义域不一定是函数的单调区间．[典题1] (1)[2017·浙江金华模拟]若函数f(x)＝－x2＋2ax 与g(x)＝(a ＋1)1－x 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1][答案] D[解析] f(x)＝－x2＋2ax 的对称轴为x ＝a ，要使f(x)在[1,2]上为减函数，必须有a≤1，又g(x)＝(a ＋1)1－x 在[1,2]上是减函数，所以a ＋1>1，即a>0，故0<a≤1.(2)[2017·广东佛山联考]试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．[解] 解法一(定义法)：设－1<x1<x2<1，f(x)＝a ＝a ，f(x1)－f(x2)＝a －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x2－1 ＝，由于－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．解法二(导数法)：f′(x)＝－－－＝＝－.当a＞0时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a＜0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．[点石成金] 判断函数单调性的方法(1)定义法：取值，作差，变形，定号，下结论．(2)利用复合函数关系：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．(3)图象法：从左往右看，图象逐渐上升，单调递增；图象逐渐下降，单调递减．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性．考点2 求函数的单调区间单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是________或________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做函数y＝f(x)的单调区间．答案：增函数减函数区间D (1)[教材习题改编]函数f(x)＝在[－6，－2]上的最大值和最小值分别是________．答案：－，－23 (2)[教材习题改编]f(x)＝x2－2x，x∈[－2,4]的单调递增区间为________，f(x)max＝________.答案：[1,4] 81.常见函数的单调性：一次函数、二次函数、反比例函数．函数f(x)＝－x2＋2x的单调递增区间是________；函数y＝的单调递减区间是_____________________________________．答案：(－∞，1] (－∞，0)，(0，＋∞)解析：根据二次函数、反比例函数的单调性可得．2．复合函数的单调性：同增异减．函数f(x)＝log(x2－1)的单调递增区间是________．答案：(－∞，－1)解析：函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所求区间即为内层函数在定义域上的单调递减区间，即(－∞，－1)．[典题2] (1)[2017·河北衡水月考]函数f(x)＝log(x2－x －2)的单调递增区间为( )A.B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C ．(－∞，－1)D ．(2，＋∞)[答案] C [解析] 由x2－x －2>0得x<－1或x>2，又u ＝x2－x －2在(－∞，－1)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，y ＝logu 为减函数，故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，故选C.(2)求函数y ＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．[解] 由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x2＋2x ＋1，x≥0，－x2－2x ＋1，x<0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －－＋2，x≥0，－＋＋2，x<0. 画出函数图象如图所示．单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．[题点发散1] 若将本例(2)中函数变为“f(x)＝|－x2＋2x ＋1|”，如何求解？解：函数y ＝|－x2＋2x ＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|－x2＋2x ＋1|的单调递增区间为(1－，1)和(1＋，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－)和(1,1＋)．[题点发散2] 若将本例(2)中函数变为“f(x)＝”，如何求解？解：由－x2＋2|x|＋1≥0，得1－≤|x|≤1＋，又|x|≥0，∴0≤|x|≤1＋，即－1－≤x≤1＋.根据函数图象可知，f(x)的单调递增区间为[－1－，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1,1＋ ]．[点石成金] 1.确定有解析式的函数单调区间的三种方法[提醒] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．2．求复合函数y ＝f(g(x))的单调区间的步骤(1)确定函数的定义域．(2)将复合函数分解成基本初等函数y ＝f(u)，u ＝g(x)．(3)分别确定这两个函数的单调区间．(4)若这两个函数同增同减，则y ＝f(g(x))为增函数；若一增一减，则y ＝f(g(x))为减函数，即“同增异减”.[2017·天津模拟]函数y ＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0<a<1)的单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 B ．[，1]C ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D ．[， ]答案：B解析：由图象知f(x)在(－∞，0]和上单调递减，而在上单调递增．又0<a<1时，y ＝logax 为(0，＋∞)上的减函数，所以要使g(x)＝f(logax)单调递减，需要logax∈，即0≤logax≤，解得x∈[，1]，故选B.考点3 函数单调性的应用函数的最值[考情聚焦] 高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题的某一问中．主要有以下几个命题角度：角度一利用函数的单调性求最值[典题3] (1)函数f(x)＝的最大值为________．[答案] 2[解析] 当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.(2)已知函数f(x)＝2x－的定义域为(0,1](a为实数)．①当a＝1时，求函数y＝f(x)的值域；②求函数y＝f(x)在区间(0,1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x的值．[解] ①当a＝1时，f(x)＝2x－，任取1≥x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)－＝(x1－x2).∵1≥x1＞x2＞0，∴x1－x2＞0，x1x2＞0.∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(0,1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值1，所以f(x)的值域为(－∞，1]．②当a≥0时，y＝f(x)在(0,1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值2－a；当a＜0时，f(x)＝2x＋，当≥1，即a∈(－∞，－2]时，y＝f(x)在(0,1]上单调递减，无最大值，当x＝1时取得最小值2－a，当＜1，即a∈(－2,0)时，y＝f(x)在上单调递减，在上单调递增，无最大值，当x＝时取得最小值2.角度二比较两个函数值或两个自变量的大小[典题4] [2017·黑龙江哈尔滨联考]已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为( )A．c>a>b B．c>b>aC．a>c>b D．b>a>c[答案] D[解析] 因为f(x)的图象关于直线x＝1对称．由此可得f＝f .由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．∵1<2<<e，∴f(2)>f>f(e)，∴b>a>c.角度三利用函数的单调性求解不等式[典题5] f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是( )A．(8，＋∞)B．(8,9]C．[8,9] D．(0,8)[答案] B[解析] 2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x －8)≤2，可得f(x(x －8))≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有解得8＜x≤9.角度四利用单调性求参数的取值范围或值[典题6] (1)[2017·湖南师大附中月考]已知函数f(x)＝是R 上的增函数，则a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－2]C ．[－3，－2]D ．(－∞，0) [答案] C[解析] 由题设可得解得－3≤a≤－2，故选C.(2)已知函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2，都有<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138C ．(－∞，2]D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2 [答案] B[解析] 由题意可知，函数f(x)是R 上的减函数，于是有由此解得a≤，即实数a 的取值范围是.[点石成金] 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集区间上也是单调的．(4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．[方法技巧] 1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤(1)取值；(2)作差；(3)变形；(4)定号；(5)下结论．2．判断函数单调性的常用方法(1)定义法；(2)复合法：同增异减；(3)导数法；(4)图象法．3．设任意x1，x2∈[a，b]且x1< x2，那么(1)>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．(2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．[易错防范] 1.区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．真题演练集训1．[2014·北京卷]下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )B．y＝(x－1)2A．y＝D．y＝log0.5(x＋1)C．y＝2－x答案：A解析：A项，函数y＝在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故正确；B项，函数y＝(x－1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故错误；C项，函数y＝2－x＝x在R上为减函数，故错误；D项，函数y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故错误．2．[2014·陕西卷]下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是( )B．f(x)＝x3A．f(x)＝x)C ．f(x)＝xD ．f(x)＝3x 答案：D解析：根据各选项知，选项C ，D 中的指数函数满足f(x ＋y)＝f(x)·f(y)．又f(x)＝3x 是增函数，故选D.3．[2015·天津卷]已知定义在R 上的函数f(x)＝2|x －m|－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f(log0.53)，b ＝f(log25)，c ＝f(2m)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a 答案：C解析：由f(x)＝2|x －m|－1是偶函数可知m ＝0，所以f(x)＝2|x|－1.所以a ＝f(log0.53)＝2|log0.53|－1＝2|log23|－1＝2，b ＝f(log25)＝2|log25|－1＝2|log25|－1＝4，c ＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c<a<b.4．[2014·新课标全国卷Ⅱ]已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x －1)>0，则x 的取值范围是________．答案：(－1,3)解析：由题可知，当－2<x<2时，f(x)>0.f(x －1)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的，若f(x －1)>0，则－1<x<3.5．[2016·北京卷]设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x3－3x ，x≤a，－2x ，x ＞a. (1)若a ＝0，则f(x)的最大值为________；(2)若f(x)无最大值，则实数a 的取值范围是________．答案：(1)2 (2)(－∞，－1)解析：(1)若a ＝0，则f(x)＝当x>0时，－2x<0；当x≤0时，f′(x)＝3x2－3＝3(x ＋1)(x －1)，令f′(x)>0，得x<－1，f′(x)<0，得－1<x≤0，所以函数f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1,0]上单调递减，所以函数f(x)在(－∞，0]上的最大值为f(－1)＝2.综上可得，函数f(x)的最大值为2.(2)函数y＝x3－3x与y＝－2x的大致图象如图所示．若函数f(x)＝无最大值，由图象可知－2a>2，解得a<－1.课外拓展阅读转化与化归思想在求解函数不等式中的应用[典例] [2017·陕西西安模拟]已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1；②当x>0时，f(x)>－1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数；(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4. [审题视角] (1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．借助于赋值法比较出f(x2)与f(x1)的大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入点．要构造出f(M)>f(N)的形式．[解] (1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1.在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1.又f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，所以函数f(x)在R上是单调增函数．(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4，得f(x2＋x＋1)>f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，解得x<－2或x>1，故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．[方法点睛] (1)在利用定义法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对x1或x2进行适当变形，进而将f(x1)与f(x2)比较出大小．(2)求解含“f”的不等式问题，应先利用已知条件将不等式转化为f(x1)>f(x2)的形式，然后再根据其单调性脱掉“f”，转化为关于x1与x2的不等式问题求解．。