第7章 静电场作业答案
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静电场作业答案
一、选择题 1.真空中A、B两平行金属板，相距d，板面积为 S（S→∞），各带电＋q和－q，两板间作用力大 小为
A .q / 0 S
2
B . q / 4 0 d
2
C . q / 2 0 S
2
D . q / 2 0 Sd
2
2.在静电场中，作一闭合曲面S，有 D ds 0 S 则S面内必定 A．既无自由电荷，也无束缚电荷 B．没有自由电荷 C．自由电荷和束缚电荷的代数和为零 D．自由电荷的代数和为零
A. Φ1 Φ 2 , Φ S q / 0
S2
O
B . Φ1 Φ 2 , Φ S 2q / 0
q
S1
q
a 2a
X
C . Φ1 Φ 2 , Φ S q / 0
D . Φ1 Φ 2 , Φ S q / 0
10．一均匀带电球面，若球内电场强度处处为 零，则球面上的带电量σdS 面元在球面内产生 的电场强度是 A．处处为零 B．不一定为零 C．一定不为零 D．是常数
E
E 大小 3 / 2 0 ，方向 x 轴 正 向 .
大小 / 2 0 ，方向 x 轴 正 向 . 大小 / 2 0 ，方向 x 轴 负 向 .
I
2
Ш区 E
II
III
x
5. 半径为R1和R2 两个同轴金属圆筒，其间充满 着相对介电常数为εr 均匀介质，设两筒上单位长 度带电量分别为+λ和-λ, 则介质中电位移矢
o
s
x
D外
2
d , E外
d
2 0
D ds 2 Dds q i
s s
s内
2 D s s 2 x
（侧视图）
D内 x , E内
x
5 一均匀带电的半球面，半径为R，电荷面密度为Q， 求球心o处的电场。 解 图中圆环产生的电场：
2
0
由静电平衡 UP = UO
UO
q
UP
Q 4 0 R
q 4 0 x
4 0 ( x R / 2 )
8.半径分别为R1和R2的两个导体球A、B，相距 很远且离地面亦很远（可视为两孤立导体球）， A球原来带电Q，B球不带电。现用一要导线将 两球连接，静电平衡后忽略导线带电，问: (1) A 、B各带多少是电量？(2) 在电荷移动过程中放 出多少热能？ (1)
2
Q / 4 0 R
10. 一质量为m、电量为q小球，在电场力作用下 从电势为U的a点，移动到电势为零的b点，若已 知小球在b点的速率为Vb，则小球在a点的速率
Va＝
V
2 b
2qU m
。
11. 两根互相平行的长直导线，相距为a，其上均 匀带电，电荷线密度分别为λ1和λ2，则导线单 位长度所受电场力的大小为F0＝ 1 2 / 2 0 a 。
二、填空题 1. 真空中有一半径为R均匀带正电的细圆环，其 电荷线密度为λ，则电荷在圆心处产生的电场强 度 E 的大小为 0 。 2. 真空中一半径为R的均匀带电球面，总电量为 Q(Q > 0)。在球面上挖去非常小块的面积ΔS (连 同电荷)，且假设不影响原来的电荷分布，则挖
去ΔS后球心处电场强度大小E＝
al a
2．一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为 (r R ) Ar ,A为一常数，试求球体内外的场强
0 (r R )
分布和电势分布。
解： S D dS
D内 4 r
2 r
R
r
4
qi
S内
2
0 4 r dr Ar
;
AR
4
4 0 r
AB 3．如图示， 2 l ,OCD是以B为中心，l为半经 的半圆，A点有正电荷+q，B点有负电荷-q，求： （1）把单位正电荷从O点沿OCD移到D点，电场 力对它作的功？ （2）把单位正电荷从D点沿AB的延长线移到无穷 C 远去，电场力对它作的功？
解：（1） A q (U 0 U D )
Q
2
能量：
QU ' 2
R2
Q
2
80 ( R1 R2 )
Q热 W 1 W 2 ＝ － ＝ 8 0 R1 R1 R2 （ ＋ ）
6. 描述静电场性质两个基本物理量是 E和 U ； 参考点 E dl 。 它们定义式是 E f / q 0 和 U p
p
量大小D＝ / 2 r ，电场强度大小E＝ / 2 0 r r
7. 在场强为E 均匀电场中，A、B两点间距离为 d，A、B连线方向与E方向一致，从A点经任意 路径到B点的场强线积分 AB
＋
解：由于静电感应，使电荷重新 ＋ 分布,球内处处场强为零.因此P 点＋ ＋ 总的电场强度也为零.
E P U P
U P
＋
－
R
O
＋
. .
R/2
－ － －
+q
P
.
＋
x
q 4 0 ( x R / 2 ) q 4 0 ( x R / 2 )
Q 4 0 R q 4 0 x
R
D内
Ar 4
2
2
E内 ＝
Ar 4
2
2
U内
r E内 dr＋R E 外 dr
A( R r )
3 3
R
＝
D外 4 r
D外 AR 4r
4 2
0 4 r
; E外
dr AR
4 2
4
12
AR
3
4 0
AR
4 0 r
.
U 外 r E 外 dr
1 1 A. 4 0 r R q
1 1 B. 4 0 R r Q
q Q C. 4 0 r R 1
D.
q 4 0 r
9. 两个点电荷电量都是 +q，相距为2a。以左边 点电荷所在处为球心，以a为半径作一球形高斯 面， 在球面上取两块相等的小面积S1和S2, 其位 置如图所示。设通过S1 和 S2的电场强度通量分 别为 Φ 1 和 Φ 2 ,通过整个球面电场强度通量为 Φ S 则
U D
q
q
A
O 2l
q B
l
D
6 0 l
（2） A q (U D U )
q 6 0 l
4. 一厚度为d 的无限大平板，平板内均匀带电， 电荷体密度为，求板内、外场强的分布。
D ds 2 Dds q
s s s内
2 Ds s d
dE 1
2
dqz
2 3/2
4 o ( z r )
r
z
dq= .2 r.Rd z2+r2=R2,z =Rcos
Eo 4 o
o
R
d
2
s in 2θdθ
E
E 1
2
0
4 o
Q 8 0 R
2
q x
2 3/2
4 o ( x R )
6.如图所示,半径为R的导体球原来带电为Q,现将一点电荷 q 放在球外离球心距离为x（>R）处，导体球上的电荷在 P点（OP = R/2）产生的场强和电势.
11. 如图，沿x轴放置“无限长”分段均匀带电 直线，电荷线密度分别为+ λ和- λ，点（0，a） 处的电场强度
A．0
C.
4 0 a
i
2 0 a D. (i j ) 4 0 a
B.
i
12．有两个完全相同的导体球，带等量的正电 荷Q,现使两球相互接近到一定程度时，则 A．二球表面都将有正、负两种电荷分布 B．二球中至少有一种表面上有正、负两种 电荷分布 C．无论接近到什么程度二球表面都不能 有负电荷分布 D．结果不能判断，要视电荷Q的大小而定
E dl
= Ed
.
8．半径为R的不均匀带电球体，电荷体密度分 布为ρ＝Ar，式中 r 为离球心的距离，(r≤R)、A 4 A R 。 为一常数，则球体上的总电量Q＝
9. 把一个均匀带电量+Q的球形肥皂泡由半径 r1吹胀到r2，则半径为R（ r1< R < r2）的高斯 球面上任一点场强大小E由 变为 0 ； Q / 4 0 r2 电势U由 Q / 4 0 R 变为________ . （选无穷远处为电势零点）。
其方向为 指 向 S 。
R
S
Q
2 2
4 0 R 4R
，
O
S
3. 在相对介电常数为εr的各向同性的电介质中， 电位移矢量与场强之间的关系是 D 0 r E 。 4. 两块“无限大”的带电平行电板，其电荷面密 度分别为(>0)及－2 ，如图所示，试写出各 区域的电场强度 E І区 Π区
U1 U 2
q1 + q 2 = Q
q1 = R1Q R1 + R2 R2 Q R1 + R2
q1 4 0 R1
q2 4 0 R2
q2 =
(2) 移动前：U
=
Q 4 0 R1
Fra Baidu bibliotek能量：
W1 = QU 2 = Q
2
8 0 R1
移动后：
U '
Q 40 ( R1 R2 )
W2
3. 在真空中的静电场中，作一封闭的曲面，则 下列结论中正确的是 A.通过封闭曲面电通量仅是面内电荷提供 B.封闭曲面上各点的场强是面内电荷激发 C.由高斯定理求得的场强仅由面内电荷所激发 D.由高斯定理求得场强是空间所有电荷激发 4. 关于静电场中的电位移线，下列说法中，哪 一种是正确的？ A.起自正电荷,止于负电荷,不形成闭合线,不中断 B.任何两条电位移线互相平行 C.起自正自由电荷，止于负自由电荷，任何两 条电位移线在无自由电荷的空间不相交 D.电位移线只出现在有电介质的空间
5.高斯定理 S D ds
dV
V
A.适用于任何静电场 B.只适用于真空中的静电场 C.只适用于具有球对称性、轴对称性和平面 对称性的静电场 D.只适用于虽然不具有（C）中所述的对称性、但可 以找到合适的高斯面的静电场
6.两无限大均匀带电平行平面A和Ｂ，电荷面密度分别 为+σ和－σ，在两平面中间插入另一电荷面密度为＋σ 平行平面C后，P点场强大小
A．不变 C．原来的2倍
B．原来的 1/2 D．零
7．静电场中a、b两点的电势差 U a U b 取决于 A. 零电势位置选取 C. a、b点场强的值 B. 检验电荷由a到b路径 D．a
b
E dl
（任意路径）
8. 半径为 r 均匀带电球面1，带电量为q；其外有 一同心半径为R的均匀带电球面2，带电量为Q， 则此两球面之间的电势差U1－U2为：
三、计算题
1. 图中所示为一沿 x 轴放置的长度为l的不均匀 带电细棒，其电荷线密度为 = 0(x-a), 0为一 常量。取无穷远处为电势零点，求坐标原点o处 的电势。 a l O 解： U dU x
q
x
dx
al
dx
4 0 x
a
0 l
4 0
0a
4 0
ln
一、选择题 1.真空中A、B两平行金属板，相距d，板面积为 S（S→∞），各带电＋q和－q，两板间作用力大 小为
A .q / 0 S
2
B . q / 4 0 d
2
C . q / 2 0 S
2
D . q / 2 0 Sd
2
2.在静电场中，作一闭合曲面S，有 D ds 0 S 则S面内必定 A．既无自由电荷，也无束缚电荷 B．没有自由电荷 C．自由电荷和束缚电荷的代数和为零 D．自由电荷的代数和为零
A. Φ1 Φ 2 , Φ S q / 0
S2
O
B . Φ1 Φ 2 , Φ S 2q / 0
q
S1
q
a 2a
X
C . Φ1 Φ 2 , Φ S q / 0
D . Φ1 Φ 2 , Φ S q / 0
10．一均匀带电球面，若球内电场强度处处为 零，则球面上的带电量σdS 面元在球面内产生 的电场强度是 A．处处为零 B．不一定为零 C．一定不为零 D．是常数
E
E 大小 3 / 2 0 ，方向 x 轴 正 向 .
大小 / 2 0 ，方向 x 轴 正 向 . 大小 / 2 0 ，方向 x 轴 负 向 .
I
2
Ш区 E
II
III
x
5. 半径为R1和R2 两个同轴金属圆筒，其间充满 着相对介电常数为εr 均匀介质，设两筒上单位长 度带电量分别为+λ和-λ, 则介质中电位移矢
o
s
x
D外
2
d , E外
d
2 0
D ds 2 Dds q i
s s
s内
2 D s s 2 x
（侧视图）
D内 x , E内
x
5 一均匀带电的半球面，半径为R，电荷面密度为Q， 求球心o处的电场。 解 图中圆环产生的电场：
2
0
由静电平衡 UP = UO
UO
q
UP
Q 4 0 R
q 4 0 x
4 0 ( x R / 2 )
8.半径分别为R1和R2的两个导体球A、B，相距 很远且离地面亦很远（可视为两孤立导体球）， A球原来带电Q，B球不带电。现用一要导线将 两球连接，静电平衡后忽略导线带电，问: (1) A 、B各带多少是电量？(2) 在电荷移动过程中放 出多少热能？ (1)
2
Q / 4 0 R
10. 一质量为m、电量为q小球，在电场力作用下 从电势为U的a点，移动到电势为零的b点，若已 知小球在b点的速率为Vb，则小球在a点的速率
Va＝
V
2 b
2qU m
。
11. 两根互相平行的长直导线，相距为a，其上均 匀带电，电荷线密度分别为λ1和λ2，则导线单 位长度所受电场力的大小为F0＝ 1 2 / 2 0 a 。
二、填空题 1. 真空中有一半径为R均匀带正电的细圆环，其 电荷线密度为λ，则电荷在圆心处产生的电场强 度 E 的大小为 0 。 2. 真空中一半径为R的均匀带电球面，总电量为 Q(Q > 0)。在球面上挖去非常小块的面积ΔS (连 同电荷)，且假设不影响原来的电荷分布，则挖
去ΔS后球心处电场强度大小E＝
al a
2．一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为 (r R ) Ar ,A为一常数，试求球体内外的场强
0 (r R )
分布和电势分布。
解： S D dS
D内 4 r
2 r
R
r
4
qi
S内
2
0 4 r dr Ar
;
AR
4
4 0 r
AB 3．如图示， 2 l ,OCD是以B为中心，l为半经 的半圆，A点有正电荷+q，B点有负电荷-q，求： （1）把单位正电荷从O点沿OCD移到D点，电场 力对它作的功？ （2）把单位正电荷从D点沿AB的延长线移到无穷 C 远去，电场力对它作的功？
解：（1） A q (U 0 U D )
Q
2
能量：
QU ' 2
R2
Q
2
80 ( R1 R2 )
Q热 W 1 W 2 ＝ － ＝ 8 0 R1 R1 R2 （ ＋ ）
6. 描述静电场性质两个基本物理量是 E和 U ； 参考点 E dl 。 它们定义式是 E f / q 0 和 U p
p
量大小D＝ / 2 r ，电场强度大小E＝ / 2 0 r r
7. 在场强为E 均匀电场中，A、B两点间距离为 d，A、B连线方向与E方向一致，从A点经任意 路径到B点的场强线积分 AB
＋
解：由于静电感应，使电荷重新 ＋ 分布,球内处处场强为零.因此P 点＋ ＋ 总的电场强度也为零.
E P U P
U P
＋
－
R
O
＋
. .
R/2
－ － －
+q
P
.
＋
x
q 4 0 ( x R / 2 ) q 4 0 ( x R / 2 )
Q 4 0 R q 4 0 x
R
D内
Ar 4
2
2
E内 ＝
Ar 4
2
2
U内
r E内 dr＋R E 外 dr
A( R r )
3 3
R
＝
D外 4 r
D外 AR 4r
4 2
0 4 r
; E外
dr AR
4 2
4
12
AR
3
4 0
AR
4 0 r
.
U 外 r E 外 dr
1 1 A. 4 0 r R q
1 1 B. 4 0 R r Q
q Q C. 4 0 r R 1
D.
q 4 0 r
9. 两个点电荷电量都是 +q，相距为2a。以左边 点电荷所在处为球心，以a为半径作一球形高斯 面， 在球面上取两块相等的小面积S1和S2, 其位 置如图所示。设通过S1 和 S2的电场强度通量分 别为 Φ 1 和 Φ 2 ,通过整个球面电场强度通量为 Φ S 则
U D
q
q
A
O 2l
q B
l
D
6 0 l
（2） A q (U D U )
q 6 0 l
4. 一厚度为d 的无限大平板，平板内均匀带电， 电荷体密度为，求板内、外场强的分布。
D ds 2 Dds q
s s s内
2 Ds s d
dE 1
2
dqz
2 3/2
4 o ( z r )
r
z
dq= .2 r.Rd z2+r2=R2,z =Rcos
Eo 4 o
o
R
d
2
s in 2θdθ
E
E 1
2
0
4 o
Q 8 0 R
2
q x
2 3/2
4 o ( x R )
6.如图所示,半径为R的导体球原来带电为Q,现将一点电荷 q 放在球外离球心距离为x（>R）处，导体球上的电荷在 P点（OP = R/2）产生的场强和电势.
11. 如图，沿x轴放置“无限长”分段均匀带电 直线，电荷线密度分别为+ λ和- λ，点（0，a） 处的电场强度
A．0
C.
4 0 a
i
2 0 a D. (i j ) 4 0 a
B.
i
12．有两个完全相同的导体球，带等量的正电 荷Q,现使两球相互接近到一定程度时，则 A．二球表面都将有正、负两种电荷分布 B．二球中至少有一种表面上有正、负两种 电荷分布 C．无论接近到什么程度二球表面都不能 有负电荷分布 D．结果不能判断，要视电荷Q的大小而定
E dl
= Ed
.
8．半径为R的不均匀带电球体，电荷体密度分 布为ρ＝Ar，式中 r 为离球心的距离，(r≤R)、A 4 A R 。 为一常数，则球体上的总电量Q＝
9. 把一个均匀带电量+Q的球形肥皂泡由半径 r1吹胀到r2，则半径为R（ r1< R < r2）的高斯 球面上任一点场强大小E由 变为 0 ； Q / 4 0 r2 电势U由 Q / 4 0 R 变为________ . （选无穷远处为电势零点）。
其方向为 指 向 S 。
R
S
Q
2 2
4 0 R 4R
，
O
S
3. 在相对介电常数为εr的各向同性的电介质中， 电位移矢量与场强之间的关系是 D 0 r E 。 4. 两块“无限大”的带电平行电板，其电荷面密 度分别为(>0)及－2 ，如图所示，试写出各 区域的电场强度 E І区 Π区
U1 U 2
q1 + q 2 = Q
q1 = R1Q R1 + R2 R2 Q R1 + R2
q1 4 0 R1
q2 4 0 R2
q2 =
(2) 移动前：U
=
Q 4 0 R1
Fra Baidu bibliotek能量：
W1 = QU 2 = Q
2
8 0 R1
移动后：
U '
Q 40 ( R1 R2 )
W2
3. 在真空中的静电场中，作一封闭的曲面，则 下列结论中正确的是 A.通过封闭曲面电通量仅是面内电荷提供 B.封闭曲面上各点的场强是面内电荷激发 C.由高斯定理求得的场强仅由面内电荷所激发 D.由高斯定理求得场强是空间所有电荷激发 4. 关于静电场中的电位移线，下列说法中，哪 一种是正确的？ A.起自正电荷,止于负电荷,不形成闭合线,不中断 B.任何两条电位移线互相平行 C.起自正自由电荷，止于负自由电荷，任何两 条电位移线在无自由电荷的空间不相交 D.电位移线只出现在有电介质的空间
5.高斯定理 S D ds
dV
V
A.适用于任何静电场 B.只适用于真空中的静电场 C.只适用于具有球对称性、轴对称性和平面 对称性的静电场 D.只适用于虽然不具有（C）中所述的对称性、但可 以找到合适的高斯面的静电场
6.两无限大均匀带电平行平面A和Ｂ，电荷面密度分别 为+σ和－σ，在两平面中间插入另一电荷面密度为＋σ 平行平面C后，P点场强大小
A．不变 C．原来的2倍
B．原来的 1/2 D．零
7．静电场中a、b两点的电势差 U a U b 取决于 A. 零电势位置选取 C. a、b点场强的值 B. 检验电荷由a到b路径 D．a
b
E dl
（任意路径）
8. 半径为 r 均匀带电球面1，带电量为q；其外有 一同心半径为R的均匀带电球面2，带电量为Q， 则此两球面之间的电势差U1－U2为：
三、计算题
1. 图中所示为一沿 x 轴放置的长度为l的不均匀 带电细棒，其电荷线密度为 = 0(x-a), 0为一 常量。取无穷远处为电势零点，求坐标原点o处 的电势。 a l O 解： U dU x
q
x
dx
al
dx
4 0 x
a
0 l
4 0
0a
4 0
ln