(完整版)反三角函数与最简三角方程专题精选(知识总结与试题)
28第六章-6反三角函数与三角方程
（
）
x k , k Z
x k 56 , k Z
（B） x | 2k
3 6
x 2k , k Z
x 2k 56 , k Z
（D） x | 2k
3．函数 f ( x ) x | arcsin x a | b arccos x 是奇函数的充要条件是 (A) a b 0
1
( ) 6
．
6． （2014 年松江三模 9） 已知 y f
1
( x) 是函数 f ( x ) arcsin(1 x ) 的反函数，则 f 1 ( x)
．
7． （2013 年闵行一模 10） 已知定义在 (0， ) 上的函数 y 2(sin x 1) 与 y
2
8 的图像的交点为 P ，过 P 作 PP 1 x 轴于 P 1 ，直 3
．
线 PP 1 与 y tan x 的图像交于点 P 2 ，则线段 P 1P 2 的长为
8． （2014 年奉献二模 10） 已知函数 f ( x )
3 cos x 1 sin x
， 则方程 f x cos x
『双基达标』 1．动点 P 从点 (1 , 0) 出发，在单位圆上逆时针旋转 角，到点 M ( 1 3, 轴，顶点为 (0 , 0) ，且终边与角 的终边关于 x 轴对称，下面正确的（ （A） 2k arccos 1 3 ,k Z （C） 2k arccos 1 3 ,k Z
x
arcsinsin x x x , 2 2
单调递增、奇函数
单调性、 奇偶性
单调递增、奇函数
2．三角方程： （ a 1， k Z ） （1）最简三角方程： 1 sin x a x 2k arcsin a或x 2k arcsin a ； ○ 2 cos x a x 2k arccos a ； ○ 3 tan x a x k arctan a ． ○ （2）常见的三角方程： 1 A sin x B cos x C 0 ○ 2 A sin ○ 3 A sin ○
高三数学-高考复习讲义-反三角函数与最简三角方程讲义资料(Word版)
高三数学二高考复一习讲义■反三角函数与最简三角方程、反三角函数的图像与性质、最简单三角方程的解集:1、反三角函数的定义1【例1】右sinx=— , x =[—为可，贝U x =.3【巩固训练】1.函数y =cosx,xw (-冗,0 )的反函数是2、反三角函数的性质与图像1【例2】求函数y = v arcsin-的定义域与值域. x【例3】求函数y =arcsin(1 —x) +arccos2x的值域. 【例4】.求函数y =arccos(x2 -2x)的单调区间【例5】.函数f x =xarcsinx ' a 【巩固训练】+ barccosx是奇函数的充要条件是2.求函数y = Jarcsin(x—6)的定义域和值域.3.写出下列函数的定义域2 、. x 互(1) y=2arcsinjx (2) y =arcsin(x +x) (3) y = log2 arccos——2 3，一一二x ,,4.求函数y =—+arccos-的反函数，并指出反函数的定乂域和值域2 2心一「冗5元"|…，一…一一一5.右arccos x= —,——,则x的取值氾围是<3 6」3、反三角函数的恒等式19【例6】arcsin I sin —二,124 c 5【例7】化间：arccos 2arccos—二5 5［例8］求下列各式的值:“、一 4 . ( 11) cos arccos- + arccos5一.二1 ,(2) sin —十—arctan1 - x -【例9】求y =arctanx + arctan -------- 的值.1 x【巩固训练】6.计算arcsin(cos2) = 16二、7.下列关系式中，正确的是（八.二3A.arcsin —二一3 2B.sin(arcsin，一2) =、. 21 .C.arccos 一一1= arcsinD.arctan — arctan —一=03 . 38.求值:… ，一，3(1)arctan 7 + arctan 一 4 (2),1-tan 25 arctan -------1 tan 25JI9 设——W x W0,求arcsin (cosx )-arccos (sin x )的值24、最简三角方程的解集x x【例10］斛方程：sin - - cos- =1 .2 2【例11】解方程：2sec2 x+19tan x =12 .【例12］解方程：sin2x+3sin xcosx+1 =0 .【例13］解方程：sin2x—12(sin x — cosx)+12 = 0 .【巩固训练】10.方程：sin x —、,r3cosx = J2在0,冗】上的解是11.方程：5cosx cos2x , sin x = 0在0,2二1上的解丸12.解方程：sin5x-cosx=013.解方程：sin 2x-12 (sin x-cosx )+12 = 05、综合应用【例14］解三角方程：asin(x +n =sin 2x+9,a 为一实常数. 4【巩固训练】14 .关于X 的方程3+2sin x +cosx = k 恒有解，求实数k 的取值范围.1 2sin x 3cosx【课后作业】1.函数y =arcsin(x-2 )的定义域为，值域为 2,若 x =」是方程 2cos(x +a ) = 1 的解 其中 a w (0,2n ),则 a =3冗 JT3.若1=$的乂，x = .1--,—,则arccost 的取值范围是 ______________________ .一 6 3一..1 -2x .. _____ __ _ 一 4 .函数 y = 3arccos --- 的反函数的取大值是，取小值是 .4「. 7立).一11 15 . arccos.sin - \=, sin |-arccos -- =26 .万程 1g (cosx +sin x )=lg (2cos x -1 )的解集是.27 .函数y=arccos(2x -x )的值域为( )8 .下列命题中，正确命题的个数是( )(1) y =arcsin x 的反函数是 y =sin xA. 0,二 1B."*'」C. \ 71)1 0,arccos ——1 I 84C n 1D. 0,arccos-一 8(2)y=cosx, x^ [-n,0]的反函数是y - -arccosx, x [-1,1](3)y=tanx, x e 1-—,—i的反函数是y = arctanx, xw (口,西2 2 3A.0个B.1个C.2个D.3个_____ . . 2 . 3x-1 ......9. (1)求函数y=lg(1—4x )+arcsin---的定义域；(2)求y =arcsin(1 -x )+arccos2x的值域；2(3)求y =arcsin(x -x )的定乂域；(4)判断函数y = sin(2arccosx)的奇偶性；(5)求满足不等式arccos(1 -x )> arccosx的x的取值范围.2 1、，10.求函数y =arccos（x -x-金）的TE义域和值域.11.解下列三角方程：(1)sinx+cosx =cos2x ；1(2)cosxcos2xcos4x =一；82(3)3tan x +2 =2sec x ；x(4)cos x = 2 tan --1 I.212.已知方程cos2x 十J3sin 2x = k+1.(1)k为何值时，方程在区间|0,三।内有两个相异的解" _ ,2(2)求a + P的值.(3)。
反三角函数及最简三角方程.docx
标准实用反三角函数及最简三角方程一、知识回顾：1、反三角函数：概念：把正弦函数y sin x ， x,时的反函数，成为反正弦函数，记作22y arcsin x .y sin x( x R) ，不存在反函数.含义： arcsin x 表示一个角；角,；sin x .22反余弦、反正切函数同理，性质如下表.名称函数式定义域值域奇偶性单调性反正弦函数y arcsin x1,1 增,2奇函数增函数2y arccosx arccos( x)arccosx反余弦函数1,1 减0,减函数非奇非偶反正切函数y arctanx R增,2奇函数增函数2y arc cot x arc cot( x)arc cot x反余切函数R减0,减函数非奇非偶其中：（）．符号arcsin x 可以理解为－，]上的一个角弧度，也可以理解为1[2() 2区间[－，]上的一个实数；同样符号arccosx 可以理解为[0，π 上的一个角2]2(弧度 )，也可以理解为区间 [0 ，π]上的一个实数；（2）． y ＝arcsin x 等价于 sin y＝x, y∈ [－，], y＝ arccos x 等价于 cos y22＝x, x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；（3）．恒等式 sin(arcsin x)＝x, x∈ [－ 1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈ [－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈ Rarcsin(sin x) ＝ x, x ∈ [ －，], arccos(cos x) ＝ x, x ∈ [0,22π],arctan(tanx)=x, x∈（－，）的运用的条件；22（4）．恒等式 arcsin x＋arccos x＝, arctan x＋arccot x＝的应用。
222、最简单的三角方程方程方程的解集a1x | x2k arcsin a, k Zsin x aa1x | x k 1 k arcsin a, k Za1x | x2k arccos a, k Zcos x aa1x | x2k arccos a, k Ztan x a x | x k arctana, k Zcot x a x | x k arc cot a, k Z其中：（1 ）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
高考中的反三角函数与简单三角方程
高考中的反三角函数与简单三角方程一、选择题1. (86(10)3分)当x ∈[－1，0]时，在下面的关系式中正确的是A.π－arccos(－x)＝arcsin 21x -B.π－arcsin(－x)＝arccos 21x -C.π－arccosx ＝arcsin 21x -D.π－arcsinx ＝arccos 21x -2. (87(8)3分)函数y ＝arccos(cosx) (x ∈[－2,2ππ])的图象是3. (88(7)3分)方程4cos2x －43cosx ＋3＝0的解集是A.{x|x ＝k π＋(－1)6πk ，k ∈Z}B.{x|x ＝k π＋(－1)3πk ，k ∈Z} C.{x|x ＝k π±6π，k ∈Z} D.{x|x ＝k π±3π，k ∈Z} 4. (88(10)3分)tg[arctg 51＋arctg3]的值等于 A.4 B.41 C.81 D.8 5. (89(4)3分)cos[arcsin(－54)－arccos(－53)]的值等于 A.－1 B.－257 C.257 D.－5106. (89上海)函数y ＝arccos x1的值域是 A.[0，2π) B.(0，2π] C.[0，π) D.(0，π] 7. (89上海)下面四个函数中为奇函数的是 A.y ＝x 2sin(x ＋2π) B.y ＝x 2cos(x ＋4π) C.y ＝cos(arcctgx) D.y ＝arcctg(sinx)8. (90(4)3分)方程sin2x ＝sinx 在区间(0，2π)内的解的个数是A.1B.2C.3D.49. (90(15)3分)设函数y ＝arctgx 的图象沿x 轴正方向平移2个单位所得到的图象为C ，又设图象C'与C 关于原点对称，那么C'所对应的函数是A.y ＝－arctg(x －2)B.y ＝arctg(x －2)C.y ＝－arctg(x ＋2)D.y ＝arctg(x ＋2)10.(90上海)下列函数中在定义域内不具有单调性的函数是A.y ＝ctg(arccosx)B.tg(arcsinx)C.sin(arctgx)D.cos(arctgx)11.(90广东)已知函数①y ＝arctgx ；②y ＝2π－arcctgx ，那么 A.①和②都是奇函数 B.①和②都是偶函数C.①是奇函数，②是偶函数D.①和②都既不是奇函数，也不是偶函数12.(91上海)下列四个式子中，正确的是 A.sin(arccos 32)＞sin(arccos 31) B.tg(arccos 32)＞tg(arccos 31) C.sin[arccos(－32)]＞sin[arccos(－31)] D.tg[arccos(－32)]＞tg[arccos(－31)] 13.(92(4)3分)方程sin4xcos5x ＝－cos4xsin5x 的一个解是A.10oB.20oC.50oD.70o14.若0＜a ＜1，在[0，2π]上满足sinx ≥a 的x 的取值范围是(92(12)3分)A.[0，arcsina]B.[arcsina ，π－arcsina]C.[π－arcsina ，π]D.[arcsina ，2π＋arcsina] 15.(92上海)函数y ＝arccos 的值域是A.[0，2π]B.(0，2π) C.[0，π] D.(0，π) 16. (94(14)5分)函数y ＝arccos(sinx)(－323ππ<<x )的值域是 A.(65,6ππ) B.[0，65π] C.(32,3ππ) D.[32,6ππ]17. (95(7)4分)使arcsinx ＞arccosx 成立的x 的取值范围是A.(0，22]B.(22，1]C.[－1，22) D.[－1，0) 18. (95上海)方程tg(2x ＋33)3=π在区间[0，2π)上解的个数是 A.5 B.4 C.3 D.219. 96(8)4分)0＜α＜2π，arcsin[cos(2π＋α)]＋arccos[sin(π＋α)]等于A.2π B.－2π C.2π－2α D.－2π－2α 20. (97(6)4分)满足arccos(1－x)≥arccosx 的x 的取值范围是A.[－1，－21]B.[－21，0]C.[0，21]D.[21，1] 21. (98(14)5分)一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为 A.arccos 215- B.arcsin 215- C.arccos 251- D.arcsin 251- 22. (2000上海(16)4分)下列命题中正确的是 A.若点P(a ，2a)(a≠0)为角α终边上一点，则sinα＝552； B.同时满足sinα＝21，cosα＝23的角α有且只有一个； C.当|a|＜1时，tg(arcsina)的值恒正；D.三角方程tg(x ＋3)3π=的解集为{x|x ＝kπ，k∈Z}.二、填空题1. (85(6)4分)方程2sin(x ＋6π)＝1的解集是__________________. 2. (85(7)4分)设|a|≤1，那么arccosa ＋arccos(－a)等于_________. 3. (89(13)4分)方程sinx －3cosx ＝2的解集是__________________.4. (90上海)函数y ＝arcsinx(x ∈[－1，1])的反函数是_______________.5. (91(16)3分)arctg 31＋arctg 21的值是_________. 6. (93上海)函数y ＝arccosx(－1≤x ≤0)的反函数是_______________.7. (94上海)计算sin(21arccos 81)＝____________ 三、解答题(无)。
高三第一轮复习讲义【18】-反三角及最简三角方程
高三第一轮复习讲义【18】-反三角及最简三角方程一、知识梳理：1．反三角函数的图像和性质【提醒】常用关系式（1）()[]arcsin arcsin ,1,1x x x -=-∈- ()s i n a r c s i n ,x x =[]1,1x ∈- ()arcsin sin ,x x x =∈,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）()[]arccos arccos ,1,1x x x π-=-∈-()cos arccos ,x x =[]1,1x ∈-()arccos cos ,x x x =∈[]0,π（3）R x x x ∈-=-,arctan )arctan(()tan arctan ,x x R =∈()arc tan tan ,,22x x x ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭2． 最简三角方程的解集，见下表：【注意】特别注意反三角函数自身的定义域和值域,要通过诱导公式进行转化，然后再借助于反三角求解.例：求sin ,,2y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦上的反函数时，先算()sin y x π=- .二、基础检测：1．用反三角函数值的形式表示下列各式中的角：(1)1sin ,[,],322x x x ππ=-∈-= ；1sin ,[0,],4x x x π=∈= .(2)1cos ,[0,],4x x x π=-∈= ； 1cos ,[,0],5x x x π=∈-= ．(3)在ABC ∆中，1sin ,tan 2,4A B ==-A = ；B = ．2．函数sin ,[,]24y x x ππ=∈-的反函数是 . 3.(1)函数arcsin(35)y x =-的定义域是 ．(2)若1[,22x ∈-，则arccos y x =的值域是 . 4.方程2sin 1x =，当[,]x ππ∈-时的解集是 .5.2sin()12x π-=的解集是 .6.tan()112x π+=-的解集是 .三、例题精讲：【例1】下列命题正确的是（ ）A ．函数y sinx =与函数y arcsinx =互为反函数B ．函数y sinx =与函数y arcsinx =都是增函数C ．函数y sinx =与函数y arcsinx =都是奇函数D ．函数y sinx =与函数y arcsinx =都是周期函数【解析】C ．【例2】已知,x R ∈的值为 ． 【解析】0；【例3】若]65,3(arccos ππ∈x ，则x 的取值范围是 ．【解析】)21,23[-； 【例4】求下列反三角函数的值： (1)1arcsin ； (2))22arccos(-； (3))3arctan(-． 【解析】(1)2π； (2)43π； (3)3π-．【例5】函数()|arcsin |arccos f x x x a b x =++是奇函数的充要条件是 ( )A ．220a b +=B ．0a b +=C ．a b =D ．0ab = 【解析】A ．【例6】研究函数)arcsin(sin )(x x f =的性质．【解析】函数的定义域为R ． 因为)()arcsin(sin )]2(arcsin[sin )2(x f x x x f ==+=+ππ， 所以)arcsin(sin )(x x f =是周期为π2的周期函数．因为)()arcsin(sin )sin arcsin()](arcsin[sin )(x f x x x x f -=-=-=-=-，所以此函数是 奇函数．因为当]2,2[ππ-∈x 时，x x =)arcsin(sin ，所以)arcsin(sin )(x x f =在)](2,2[Z k k k ∈+-ππππ上单调增，在)](23,2[Z k k k ∈++ππππ上单调减． 当)(22Z k k x ∈+=ππ时，)arcsin(sin )(x x f =取得最大值2π；当)(22Z k k x ∈-=ππ时，)arcsin(sin )(x x f =取得最大值2π-．【例7】解下列三角方程：(1)sin cos 2x x -=; (2)22sin 5sin 40x x --=； (3)22sin 5cos 40x x --=；【解析】(1)由辅助角公式，sin cos )42x x x π-=-=，sin()42x π-=．则243x k πππ-=+或2243x k πππ-=+，k Z ∈． 解得7212x k ππ=+或11212x k ππ=+，k Z ∈． （2）22sin 5sin 4(sin 4)(2sin 1)0x x x x --=-+=， 解得sin 4x =（舍）或1sin 2x =- 解得26x k ππ=-+或526x k ππ=-+，k Z ∈． （3）2222sin 5cos 42(1cos )5cos 42cos 5cos 20x x x x x x --=---=---= 即22cos 5cos 20x x ++=，解得cos 2x =-（舍）或1cos 2x =-． 解得22,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭； 【例8】化简下列各式：(1) )65arcsin(sin π； (2) )21sin(arccos ； (3) )]1312(cos[arcsin -． 【解析】(1)因为]2,2[65πππ-∉，而]2,2[6πππ-∈，且65sin6sin ππ=， 设a ==65sin 6sin ππ，所以6arcsin )6arcsin(sin )65arcsin(sin πππ===a ．(2)因为,321arccos π=所以23)3sin()21sin(arccos ==π． (3)因为135)1312(1)]1312(cos[arcsin 2=--=-． 【例9】求k 的取值范围 ，使得关于x 的方程0sin sin 2=+-k x x 在[,]22ππ-上（1）无解; （2）仅有一解; （3）有两解 【解析】用分离参数的方法x x k sin sin 2+-=，只需要考虑k 与函数x x y sin sin 2+-=的交点个数就是方程解的个数， 令]1,1[,sin -∈=t x t则函数t t y +-=2，画出二次函数t t y +-=2在]1,1[-∈t 上的图像， 观察常值函数k y =与二次函数t t y +-=2的交点个数，可知(1)当),41()2,(+∞⋃--∞∈k 时，两函数图像没有交点，即原方程无解； (2)当}41{)0,2[⋃-∈k 时，两函数图像只有一个交点，即原方程只有一个解； (3)当)41,0[∈k 时，两函数图像有两个交点，即原方程有两个解．【例10】解下列三角方程：(1)sin 2sin3x x =； (2)cos23cos 1x x =+；(3)3sin 4cos 50x x --=． (4) 1cos sin 8sin 62-=x x x解（1）322x x k π=+或322,x x k k Z ππ=-+∈{|2x x k π∴=或2,}55k x k Z ππ=+∈ 解：（2）22cos 3cos 20x x --= 1cos 2x =-或cos 2x =（舍）2{|2,}3x x k k Z ππ∴=±∈ 解（3）45sin(arcsin )55x -={|22x x k ππ∴=++4arcsin ,}5k Z ∈解：(4)解法一：转齐次方程。
反三角函数与简单三角方程
1、反三角函数:概念：把正弦函数y =sinx , X _一，一时的反函数，成为反正弦函数，记作y = arcsinx.IL 2 2y = Sin X（X二R）,不存在反函数含义：arcsinx表示一个角：•；角• _一，一；sin〉=x.1 2 2J反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1 ）•符号arcsi nx可以理解为［—二，丄］上的一个角（弧度），也可以理解为区间［—丄，丄］上的一个实2 2 2 2数；同样符号arccosx可以理解为［0, ∏］上的一个角（弧度），也可以理解为区间［0, ∏］上的一个实数；(2) •y= arcsinx 等价于Siny= x, y∈[ —, — ], y= arccosx 等价于cosy = x, x∈[0, ∏],这两个等价关2 2系是解反三角函数问题的主要依据；(3) •恒等式sin(arcsinX)= x, X∈[ —1, 1] , cos(arccosx) = x, x∈[—1, 1],arcsin(sinx) = x, x∈[ —— , — ], arccos(cosx) = x, X∈[0, ∏]的运用的条件; 2 2(4) • 恒等式arcsinx + arccosx= — , arctanx+ arccotx= —的应用。
2 2方程方程的解集Sin X = aa ∣ = 1 {χ I x = 2k 兀 + arcs in a, k 壬 Z }a <1{χ ∣x = k 兀 +(_1 arcsina, k Z> COSX= aa ∣ = 1{χ | x = 2k 兀 + arccosa, k z }a <1{χ I x = 2k 兀 ± arccosa, k z } tan x = a {x| x = k 兀 + arcta na ,k 乏 Z } cot x = a{χ∣x = k 兀 +arccota,k 乏 Z}(1).含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
10309反三角函数与三角方程(答案)
第九讲：反三角函数与三角方程原函数和反函数关于y=x 对称三角函数选特定区间也能找到反函数[]:arcsin :1,1;:,;:;:.22y x ππ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦什么样的函数具有反函数呢？答：定义域与值域之间存在一对一的关系的函数。
1、反三角函数定义域值域奇偶性奇函数单调性增函数arcsin [1,1]y x x =∈-单调性的描述要注意：应该描述成在上单调递增。
[][][]()()arccos :1,1;:0,;:;:.121101023223arcta y x y x y ππππππ=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==定义域值域奇偶性非奇非偶单调性减函数注意：这是0,上的反函数，我们把它定为标准区间。
那么其它区间的反函数怎么表示呢？解题思路：非标准区间要转化成标准区间来解画出反余弦函数图像的方法：（1）描点法：，，，，，，，，，；（2）利用反函数图像与原函数关于对称作图。
()n :,;:,;:;:22x ππ⎛⎫-∞+∞- ⎪⎝⎭定义域值域奇偶性奇函数单调性增函数[][][][]2:sin(arcsin ),1,1;arcsin()arcsin ,1,1;cos(arccos ),1,1;arccos()arccos ,1,1;tan(arctan ),; arctan()arctan ,x x x x x x x x x x x x x x x R x x x Rπ=∈--=-∈-=∈--=-∈-=∈-=-∈、反三角函数的恒等式有arcsin(sin ),,;22x x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦3.1(1)arcsin 12arccos k x k a x k a πππ⇔≤=+-⇔≤=±⇔最简三角方程：sinx=a 当a 时,cosx=a 当a 时,tanx=a x=k +arctanaa 提示：（1）要有字母观点，要根据的情况分类讨论； （2）这个解是一般解，适合所有情况，但对于某些特殊值（如0，1等），可以用更简洁的形式表示。
反三角函数与最简三角方程期末复习
反三角函数与最简三角方程
已知关于x的方程 3 sin 2 x cos 2 x k 1 在区间0, 内有相异的两个实数解 , 求k 2 的取值sin x a
当 a 1时, 方程无解;
当a 1时, x
x 2k
3 4 y sin x, x , 2 2
2
2三角方程 cos x a
当a 1时, x 一般地, 当 a 1时, x
. x 2k , k Z
2
, k Z
.
.
k (1) k arcsin a, k
当 a 1时, 方程无解; 当a 1时, x x 2k , k Z . 当a 1时, x x 2k , k Z . 一般地, 当 a 1时, x x 2k arccosa, k .
一、复习反三角函数，完成下列习题：
1 arcsin 1
2 y sin x, x , 2 2 arcsin 4 ; 2 2 2 7函数f x arccos x 1 的反函数是 3 arccos1 3 ; 2 y sin x, x 0, 2 5 2 3 4 arccos 6 ;8函数f x 2 arctanx的反函数是 2 x y tan , x , 5 arct an 1 4 ;
3三角方程 tan x a, a R
x x k arctana, k .
1.解下列三角方程
1 3 sin x cos x 1, x 0, 2cos2 x sin 2 x 1 37 cos x 3 cos2 x 0 46 sin 2 x 8 sin x cos x 1 2.求下列函数的反函数 1 y arcsin 2 x; 2 y arccos x ; 3 y arctan2 x 1;
十年高考试题分类汇编--第四章 反三角函数与简单三角方程
第四章 反三角函数与简单三角方程 考试内容：反正弦函数.反余弦函数.反正切函数与反余切函数.最简单的三角方程.简单的三角方程.考试要求：(1)理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图象得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题.(2)能够熟练地写出最简单的三角方程的解集，并会解简单的三角方程.一、选择题1. 当x ∈[－1，0]时，在下面的关系式中正确的是(86(10)3分)A.π－arccos(－x)＝arcsin 21x -B.π－arcsin(－x)＝arccos 21x -C.π－arccosx ＝arcsin 21x -D.π－arcsinx ＝arccos 21x -2. 函数y ＝arccos(cosx) (x ∈[－2,2ππ])的图象是(87(8)3分)3. 方程4cos2x －43cosx ＋3＝0的解集是(88(7)3分)A.{x|x ＝k π＋(－1)6πk ，k ∈Z}B.{x|x ＝k π＋(－1)3πk ，k ∈Z} C.{x|x ＝k π±6π，k ∈Z} D.{x|x ＝k π±3π，k ∈Z} 4. tg[arctg 51＋arctg3]的值等于(88(10)3分) A.4 B.41 C.81 D.8 5. cos[arcsin(－54)－arccos(－53)]的值等于(89(4)3分) A.－1 B.－257 C.257 D.－5106. 函数y ＝arccosx 1的值域是(89上海) A.[0，2π) B.(0，2π] C.[0，π) D.(0，π] 7. 下面四个函数中为奇函数的是(89上海)A.y ＝x 2sin(x ＋2π)B.y ＝x 2cos(x ＋4π) C.y ＝cos(arcctgx) D.y ＝arcctg(sinx)8. 方程sin2x ＝sinx 在区间(0，2π)内的解的个数是(90(4)3分)A.1B.2C.3D.49. 设函数y ＝arctgx 的图象沿x 轴正方向平移2个单位所得到的图象为C ，又设图象C'与C 关于原点对称，那么C'所对应的函数是(90(15)3分)A.y ＝－arctg(x －2)B.y ＝arctg(x －2)C.y ＝－arctg(x ＋2)D.y ＝arctg(x ＋2)10.下列函数中在定义域内不具有单调性的函数是(90上海)A.y ＝ctg(arccosx)B.tg(arcsinx)C.sin(arctgx)D.cos(arctgx)11.已知函数①y ＝arctgx ；②y ＝2π－arcctgx ，那么(90广东) A.①和②都是奇函数 B.①和②都是偶函数C.①是奇函数，②是偶函数D.①和②都既不是奇函数，也不是偶函数12.下列四个式子中，正确的是(91上海) A.sin(arccos 32)＞sin(arccos 31) B.tg(arccos 32)＞tg(arccos 31) C.sin[arccos(－32)]＞sin[arccos(－31)] D.tg[arccos(－32)]＞tg[arccos(－31)] 13.方程sin4xcos5x ＝－cos4xsin5x 的一个解是(92(4)3分)A.10oB.20oC.50oD.70o14.若0＜a ＜1，在[0，2π]上满足sinx ≥a 的x 的取值范围是(92(12)3分)A.[0，arcsina]B.[arcsina ，π－arcsina]C.[π－arcsina ，π]D.[arcsina ，2π＋arcsina] 15.函数y ＝arccos 的值域是(92上海)A.[0，2π)B.(0，2π] C.[0，π) D.(0，π] 16. 函数y ＝arccos(sinx)(－323ππ<<x )的值域是(94(14)5分) A.(65,6ππ) B.[0，65π) C.(32,3ππ) D.[32,6ππ) 17. 使arcsinx ＞arccosx 成立的x 的取值范围是(95(7)4分)A.(0，22] B.(22，1] C.[－1，22) D.[－1，0) 18. 方程tg(2x ＋33)3=π在区间[0，2π)上解的个数是(95上海)A.5B.4C.3D.219. 0＜α＜2π，arcsin[cos(2π＋α)]＋arccos[sin(π＋α)]等于96(8)4分) A.2π B.－2π C.2π－2α D.－2π－2α 20. 满足arccos(1－x)≥arccosx 的x 的取值范围是(97(6)4分)A.[－1，－21]B.[－21，0]C.[0，21]D.[21，1] 21. 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为(98(14)5分) A.arccos 215- B.arcsin 215- C.arccos 251- D.arcsin 251- 22. 下列命题中正确的是(2000上海(16)4分) A.若点P(a ，2a)(a≠0)为角α终边上一点，则sin α＝552； B.同时满足sin α＝21，cos α＝23的角α有且只有一个； C.当|a|＜1时，tg(arcsina)的值恒正；D.三角方程tg(x ＋3)3π=的解集为{x|x ＝k π，k∈Z}. 二、填空题1. 方程2sin(x ＋6π)＝1的解集是__________________.(85(6)4分) 2. 设|a|≤1，那么arccosa ＋arccos(－a)等于_________.(85(7)4分) 3. 方程sinx －3cosx ＝2的解集是__________________.(89(13)4分)4. 函数y ＝arcsinx(x ∈[－1，1])的反函数是_______________.(90上海)5. arctg 31＋arctg 21的值是_________.(91(16)3分) 6. 函数y ＝arccosx(－1≤x ≤0)的反函数是_______________.(93上海)7. 计算sin(21arccos 81)＝____________(94上海) 三、解答题(无)。
反三角函数知识点总结
《反三角函数知识点总结》一、引言三角函数是数学中一个重要的分支，在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
而反三角函数则是三角函数的反函数，它们为解决一些特定类型的问题提供了有力的工具。
本文将对反三角函数的知识点进行全面总结，帮助读者更好地理解和掌握这一重要概念。
二、反三角函数的定义1. 反正弦函数- 定义：对于任意实数\(x\)，如果\(\sin y = x\)，且\(-\frac{\pi}{2}\leq y\leq\frac{\pi}{2}\)，那么\(y=\arcsin x\)，反正弦函数\(\arcsin x\)的定义域是\([-1,1]\)，值域是\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)。
- 图像：反正弦函数的图像是一段在\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)区间内的曲线，关于原点对称。
2. 反余弦函数- 定义：对于任意实数\(x\)，如果\(\cos y = x\)，且\(0\leq y\leq\pi\)，那么\(y=\arccos x\)，反余弦函数\(\arccos x\)的定义域是\([-1,1]\)，值域是\([0,\pi]\)。
- 图像：反余弦函数的图像是一段在\([0,\pi]\)区间内的曲线，关于\(y\)轴对称。
3. 反正切函数- 定义：对于任意实数\(x\)，如果\(\tan y = x\)，且\(-\frac{\pi}{2}\lt y\lt\frac{\pi}{2}\)，那么\(y=\arctan x\)，反正切函数\(\arctan x\)的定义域是\(R\)，值域是\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)。
- 图像：反正切函数的图像是一条在\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)区间内的曲线，关于原点对称。
三、反三角函数的性质1. 定义域和值域- 反正弦函数、反余弦函数和反正切函数的定义域都是有一定限制的，分别是\([-1,1]\)、\([-1,1]\)和\(R\)。
反三角函数与最简单的三角方程
反三角函数与最简单的三角方程 (99.9.15) 班别 学号 姓名 成绩 一、 在下面各式中，对的在括号内打√，错的打×。
（10分） (1) arcsin 2π=1 ( ) (2) arccos 21=3π±( )(3) sin(arcsin215-)=215-( ) (4) sin(arcsin 3π)=3π( )(5) arccos[cos(3π-)]=3π-( ) (6) arctg 4π=n π+4π,n ∈Z( )(7) arctg(3-)=65π( ) (8) x ∈R,arcsinx+arccosx=2π( ) (9) arcsin(sin 32π)=3π-( ) (10) arccos(cos 21)=3π( )二、 选择题（把答案写在指定的括号内，每题8分，共40分）1，已知函数y=21arccos213-x ，则其定义域和值域分别是（ ） （A ）131≤≤-x 20,π≤≤y （B ）ππ≤≤-≤≤-y x ,131（C ）2121,31231≤≤-+≤≤y x π （D ）22,31231≤≤-+≤≤y x π 2，已知x(π，2π)，则arcctg(ctgx)等于（ ） （A ）π－x （B ）x －π （C ）x －2π （D ）2π－x3，方程cos 2x=cos 26π的解集是（ ）（A ）{x |x=k π6π±，k ∈Z} （B ）{x |x=k π3π±，k ∈Z}（C ）{x |x=2k π6π±，k ∈Z} （D ）{x |x=2k π3π±，k ∈Z}4，方程sinx+cosx=26，0<x<2π，则x 等于（ ）（A ）125π （B ）12π （C ）65π （D ）12512ππ或 5，方程sin4xcos5x=－cos4xsin5x 的一个解是（ ） （Ａ）100 （Ｂ）200 （Ｃ）500 （Ｄ）700三、 填空题（每题８分，共２４分） ６，比较大小：arccos(31-) arcsin 53 ７，方程tg(2x+3π)=33在区间［０，２π）上的解集是 ８，方程cos(2π+x)=x )21(在区间［０，１００π）内实数解的个数是四、 解答题（每题１３分，共２６分） ９，求值：cos(arcsin 53+2arctg2)10，如图，有一块正方形钢板，一个角上有伤痕，要把它截成一块正方形钢板，面积是原钢板的32，应按怎样的角度x 来截？a五、 附加题：（10分）11，写出方程4sin(x+3π)=1的解集，并求其在[0，2π]上所有解的和。
反三角函数与三角方程解读
反三角函数与三角方程
1．arccos(1)arccos ,x x x ->则的范围
2．求值
（1）5arctan(tan())6
π= （2）4arcsin(sin )3
π= （3）11sin(arccos )28= 3.arccos 2y x π
=-是（ ）
A ．奇函数且单调递减
B 奇函数且单调递增
C 偶函数且单调递减
D 偶函数且单调递增
4．求21arcsin(2)2
y x x =+的值域 5
．)y x =的定义域
6
．当1[,22x ∈-，求2arccos 3y x π=+的值域
7．35sin [,]22
y x
x ππ=∈求的反函数 8．解方程 （1）22cos cos 7x π
=
（2
）sin cos (,)x x x ππ-=∈-
（3）cos23sin 1x x =+
（4）
3 cos(cos)0[0,]
2
x x
ππ=∈
9．如图，欲修建一横断面为等腰梯形的水渠。
为降低成本，
必须尽量减少水与水渠壁的接触面。
若水渠横断面的面积为定值S，水渠深8米，则水渠壁的倾角为α为多少时才能使
修建成本最低？
A
B C
D
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沪教高三数学第一轮复习：反三角函数及其简单三角方程共15页文档
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
பைடு நூலகம்
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
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沪教高三数学第一轮复习：反三角函数及 其简单三角方程
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
反三角函数知识点归纳总结
反三角函数知识点归纳总结反三角函数是三角函数的逆运算，用于解决三角函数的反问题。
常见的反三角函数包括反正弦函数（arcsin或sin⁻¹）、反余弦函数（arccos或cos⁻¹）和反正切函数（arctan或tan⁻¹）。
1. 反正弦函数（arcsin或sin⁻¹），它的定义域是[-1, 1]，值域是[-π/2, π/2]。
当给定一个数x，反正弦函数的值表示满足sin(y) = x的角度y，其中y的范围在[-π/2, π/2]之间。
2. 反余弦函数（arccos或cos⁻¹），它的定义域是[-1, 1]，值域是[0, π]。
当给定一个数x，反余弦函数的值表示满足cos(y) = x的角度y，其中y的范围在[0, π]之间。
3. 反正切函数（arctan或tan⁻¹），它的定义域是整个实数集，值域是[-π/2, π/2]。
当给定一个数x，反正切函数的值表示满足tan(y) = x的角度y，其中y的范围在[-π/2, π/2]之间。
反三角函数的应用广泛，特别是在解决三角方程和三角函数的求值问题时非常有用。
它们可以帮助我们找到角度，从而解决与角度相关的问题。
需要注意的是，反三角函数的结果通常以弧度表示，但也可以通过转换成度数来表示。
此外，反三角函数还有一些重要的性质：反正弦函数的值域是[-π/2, π/2]，反余弦函数的值域是[0, π]，反正切函数的值域是[-π/2, π/2]。
反三角函数的图像通常是关于y = x的直线对称的。
反三角函数具有周期性，即在一定范围内的值重复出现。
总结起来，反三角函数是用于解决三角函数的反问题的函数，包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
它们的定义域、值域和性质都有一定的规律和特点。
在解决三角方程和求解三角函数值的问题时，反三角函数是非常有用的工具。
反三角函数知识点总结
千里之行，始于足下。
反三角函数知识点总结反三角函数是数学中的一个重要概念，用来求解三角函数的反函数。
在解决三角函数相关问题时，反三角函数能够帮助我们转化为求反三角函数的值，从而得到所需结果。
接下来，我将总结一下关于反三角函数的一些重要知识点。
一、反三角函数的定义1. 反正弦函数（arcsin）反正弦函数是指将给定值的正弦值（-1≤ sinx ≤ 1）作为自变量，输出对应的角度值（-π/2 ≤ x ≤π/2）的一个单值函数。
其函数表示为：y = arcsin(x)其中，x 的取值范围为 [-1, 1]，y 的取值范围为 [-π/2, π/2]。
2. 反余弦函数（arccos）反余弦函数是指将给定值的余弦值（-1≤ cosx ≤ 1）作为自变量，输出对应的角度值（0≤ x ≤π）的一个单值函数。
其函数表示为：y = arccos(x)其中，x 的取值范围为 [-1, 1]，y 的取值范围为 [0, π]。
3. 反正切函数（arctan）反正切函数是指将给定值的正切值作为自变量，输出对应的角度值（-π/2 < x < π/2）的一个单值函数。
其函数表示为：y = arctan(x)其中，x 的取值范围为 (-∞, +∞)，y 的取值范围为 (-π/2, π/2)。
二、反三角函数的性质1. 定义域和值域：反正弦函数的定义域为 [-1, 1]，值域为 [-π/2, π/2]；第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。
反余弦函数的定义域为 [-1, 1]，值域为 [0, π]；反正切函数的定义域为 (-∞, +∞)，值域为 (-π/2, π/2)。
2. 关系：对于任意的实数 x，有 sin(arcsin(x)) = x，-1 ≤ x ≤ 1；对于任意的实数 x，有 cos(arccos(x)) = x，-1 ≤ x ≤ 1；对于任意的实数 x，有 tan(arctan(x)) = x。
3. 奇偶性：反正弦函数为奇函数，即 arcsin(-x) = -arcsin(x)；反余弦函数为偶函数，即 arccos(-x) = arccos(x)；反正切函数为奇函数，即 arctan(-x) = -arctan(x)。
反三角函数及最简三角方程答案
反三角函数及最简三角方程反三角函数的定义域，值域，图像，最值，奇偶性，单调性简单的三角方程巩固练习 1、求值：=23arcsin=-)21arcsin( =-)22arccos( =-)3arctan( 2、下列命题中正确的是 3（1）函数x y sin =与x y arcsin =互为反函数 (2) 函数x y sin =与x y arcsin =都是增函数 (3) 函数x y sin =与x y arcsin =都是奇函数 (4) 函数x y sin =与x y arcsin =都是周期函数 3、若函数)2arcsin(2-=x y 值域是],3[ππ-，则此函数定义域为 ]3,23[ 4、设αsin =x ，且]47,65[ππα∈，则x arccos 的取值范围是 ],3[ππ5、方程k x x =+cos sin 2有解，实数k 的取值范围是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-45,16、函数3arcsin2x y =的反函数为______)23,23(3sin 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=ππx x y __________ 7、已知tan (,)2x x ππ=∈，则x ＝______22arctan -π_______(用反正切函数表示) 8、下列各式中正确的是（C ） （A ）216arcsin =π (B)3)3cos(arccos ππ= (C)1222arctan arctan π=- (D)53)]53(arcsin[sin ππ=9、函数]23,2[,sin ππ∈=x x y 的反函数)(1x f -= （ D ） （A ）]1,1[,arcsin -∈-x x (B)]1,1[,arcsin -∈--x x π(C) ]1,1[,arcsin -∈+x x π (D) ]1,1[,arcsin -∈-x x π10、若1arcsin >x ，则x 的取值范围是 （ B ） （A ）]2,1(π(B)]1,1(sin (C)]2,1(sin π(D)φ 11、求函数)arcsin(2x x y -=的定义域、值域及单调区间。
(完整版)反三角函数与最简三角方程专题精选(知识总结与试题)DOC
反三角函数与最简三角方程专题1、反三角函数： 概念：把正弦函数sin y x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的反函数，成为反正弦函数，记作x y arcsin =.sin ()y x x R =∈，不存在反函数.含义：arcsin x 表示一个角α；角α,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；sin x α=. 反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1）． 符号arcsin x 可以理解为[－2π，2π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－2π，2π]上的一个实数；同样符号arccos x 可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； （2）． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈[－2π，2π], y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；（3）．恒等式sin(arcsin x )＝x , x ∈[－1, 1] , cos(arccos x )＝x , x ∈[－1, 1],arcsin(sin x )＝x , x ∈[－2π，2π], arccos(cos x )＝x , x ∈[0, π]的运用的条件； （4）． 恒等式arcsin x ＋arccos x ＝2π, arctan x ＋arccot x ＝2π的应用。
2、最简单的三角方程其中：（1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；（2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解； （3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用； 如：若sin sin αβ=，则sin (1)k k απβ=+-；若cos cos αβ=，则2k απβ=±；若tan tan αβ=，则a k πβ=+；若cot cot αβ=，则a k πβ=+；（4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。
高一(下)数学练习十六——反三角函数与最简三角方程
高一（下）数学练习十六——反三角函数与最简三角方程一．填空题： 1．函数y ＝)3arcsin(x -的定义域是 ．2．方程x 2sin ＝－1，x ∈[－2π，2π]的解集是 ．3．若αcos ＝－51，α∈(π，23π)，则α用反三角函数表示为 ． 4．计算：)]31arcsin(2cos[-＝ ． 5．若x 满足0＜x ＜2π且)arccos(sin x ＝7π，则x 的值为 ． 6．若)(x f ＝2π－2)12arcsin(+x ，则)2(1π--f ＝ ． 7．若x ∈[－21，21]，则y ＝x arccos 的值域是 ． 8．方程x sin ＝7sin π的解集是 ． 9．满足)322tan(π-x ＝1的x 中，绝对值最小的是 ． 10．在△ABC 中，∠A 满足A 2sin －A 2cos ＝1，则∠A ＝ ．11．函数y ＝)arccos(2x x -的单调递增区间为 ．12．设a ∈(0，1)，则在[0，2π]内使x sin ≥a 的x 的取值范围是： ． 二．选择题：13．方程x a 22sin ＋x a sin －2＝0有解的条件是（ ）（A ）|a |≤1； （B ）|a |≥1； （C ）|a |≥2； （D ）a ∈R ． 14．若0＜x ＜2π，则)]2(arccos[cos x +π＋)](arcsin[sin x +π等于（ ） （A ）2π； （B ）－2π； （C ）2π－2x ； （D ）－2π－2x ． 15．已知关于x 的方程22x －4ϑsin x ＋3ϑcos ＝0有两个相等的实数根，则ϑ的值是（ ）（A ）±3π； （B ）πk ±3π； （C ）2πk ±3π； （D ）不存在． 16．若方程)3sin(x a ＋)3cos(x ＝2a －1有解，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）a ≤0； （B ）a ≥34； （C ）0≤a ≤34； （D ）a ≤0或a ≥34． 三．解答题：17．求函数y ＝)2arccos(2x x -的定义域和值域．解：18．计算：（1）)]53arccos(21cos[-； （2）)178arcsin53sin(arcsin +． 解： 解：19．解下列三角方程：（1）3x 2cos ＋x sin ＋1＝0； （2）3x sin －4x cos ＝5；解： 解：（3）x 2sin －3x x cos sin ＋1＝0．解：20．已知α、β是方程x sin ＋x cos 3＝m 在(0，2π)上的两相异实数根，试求m 的取值范围．解：高一（下）数学练习十六——反三角函数与最简三角方程（答案）一．填空题： 1．函数y ＝)3arcsin(x -的定义域是 [2，3] ．2．方程x 2sin ＝－1，x ∈[－2π，2π]的解集是 {－45π，－4π，43π，47π} ． 3．若αcos ＝－51，α∈(π，23π)，则α用反三角函数表示为 π＋51arccos ． 4．计算：)]31arcsin(2cos[-＝ 97 ． 5．若x 满足0＜x ＜2π且)arccos(sin x ＝7π，则x 的值为 145π或149π ． 6．若)(x f ＝2π－2)12arcsin(+x ，则)2(1π--f ＝ 0 ． 7．若x ∈[－21，21]，则y ＝x arccos 的值域是 [3π，32π] ． 8．方程x sin ＝7sin π的解集是 {x |x ＝2πk ＋7π或x ＝2πk ＋76π，k ∈Z } ． 9．满足)322tan(π-x ＝1的x 中，绝对值最小的是 －24π ． 10．在△ABC 中，∠A 满足A 2sin －A 2cos ＝1，则∠A ＝ 4π或2π ． 11．函数y ＝)arccos(2x x -的单调递增区间为 [251-，21] ． 12．设a ∈(0，1)，则在[0，2π]内使x sin ≥a 的x 的取值范围是：[a a r c s i n，π－a arcsin ] ． 二．选择题：13．方程x a 22sin ＋x a sin －2＝0有解的条件是（ B ）（A ）|a |≤1； （B ）|a |≥1； （C ）|a |≥2； （D ）a ∈R ． 14．若0＜x ＜2π，则)]2(arccos[cos x +π＋)](arcsin[sin x +π等于（ A ） （A ）2π； （B ）－2π； （C ）2π－2x ； （D ）－2π－2x ． 15．已知关于x 的方程22x －4ϑsin x ＋3ϑcos ＝0有两个相等的实数根，则ϑ的值是（ C ）（A ）±3π； （B ）πk ±3π； （C ）2πk ±3π； （D ）不存在． 16．若方程)3sin(x a ＋)3cos(x ＝2a －1有解，则实数a 的取值范围是（ C ） （A ）a ≤0； （B ）a ≥34； （C ）0≤a ≤34； （D ）a ≤0或a ≥34．三．解答题：17．求函数y ＝)2arccos(2x x -的定义域和值域．解：∵－1≤22x －x ≤1，解得：x ∈[－21，1]． 又22x －x ＝22)41(-x －81≥－81，∴－81≤22x －x ≤1， 得：y ∈[0，π－81arccos ]．18．计算：（1）)]53arccos(21cos[-； （2）)178arcsin 53sin(arcsin +． 解：原式＝55； 解：原式＝8577．19．解下列三角方程：（1）3x 2cos ＋x sin ＋1＝0； （2）3x sin －4x cos ＝5； 解：x ＝2πk －2π，k ∈Z ； 解：x ＝2πk ＋2π＋34arctan ，k ∈Z ；（3）x 2sin －3x x cos sin ＋1＝0．解：x ＝πk ＋21arctan 或x ＝πk ＋4π，k ∈Z ．20．已知α、β是方程x sin ＋x cos 3＝m 在(0，2π)上的两相异实数根，试求m 的取值范围．解：x sin ＋x cos 3＝2)3sin(π+x ＝m ，x ∈(0，2π)，由图像可知：m ∈(－2，3)∪(3，2)时，方程在(0，2π)上有两相异实数根．。
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反三角函数与最简三角方程专题
1、反三角函数： 概念：把正弦函数
sin y x =，,22x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时的反函数，成为反正弦函数，记作x y arcsin =.
sin ()y x x R =∈，不存在反函数.
含义：arcsin x 表示一个角α；角α
,22ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
；sin x α=. 反余弦、反正切函数同理，性质如下表.
其中：（1）． 符号arcsin x 可以理解为[－
2π，2π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－2π，2π
]上的一个实数；同样符号arccos x 可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； （2）． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈[－2π，2
π
], y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；
（3）．恒等式sin(arcsin x )＝x , x ∈[－1, 1] , cos(arccos x )＝x , x ∈[－1, 1],
arcsin(sin x )＝x , x ∈[－2π，2
π
], arccos(cos x )＝x , x ∈[0, π]的运用的条件； （4）． 恒等式arcsin x ＋arccos x ＝2π, arctan x ＋arccot x ＝2
π
的应用。
2、最简单的三角方程
其中：（1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；
（2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解； （3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用； 如：若sin sin αβ=，则sin (1)k k απβ=+-；若cos cos αβ=，则2k απβ=±；
若tan tan α
β=，则a k πβ=+；若cot cot αβ=，则a k πβ=+；
（4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。
【例题】
例1. 函数，，的反函数为（
）y x x =∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥sin ππ232
例2. 函数，，的图象为（
）y x x =∈-⎡⎣⎢⎤⎦
⎥arccos(cos )ππ22
（A ） （B ）
（C ） （D ）
例3. 求值：(1)3sin 2arcsin 5⎡⎤
⎛⎫-
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
(2)11tan arccos 23⎛⎫ ⎪⎝⎭
例4.画出下列函数的图像（1）
)arcsin(sin x y =
函数是以π2为周期的周期函数 当]2,2[π
π-
∈x 时，x x =)arcsin(sin
当]2
3,2[π
π∈x 时，x x -=π)arcsin(sin 其图像是折线，如图所示： （2）
]1,1[),sin(arccos -∈=x x y ∵ ],0[arccos π∈x
∴
)1(1)(arccos cos 122≤-=-=x x x y
其图像为单位圆的上半圆（包括端点）如图所示：
例5.已知)2
3,(,135sin ),2,0(,2572cos π
πββπαα∈-=∈=
求βα+（用反三角函数表示）
例6.已知函数
2()arccos()f x x x =-
（1）求函数的定义域、值域和单调区间；（2）解不等式：
()(21)f x f x <+
简单的三角方程
例1.写出下列三角方程的解集
(1)sin()8
x π
-
=
; (2)2cos310x +=; (3)cot 3=
例2.求方程tan(3)4
x π
+=[]0,2π上的解集.
例3.解方程2
2sin
10x x ++=
例4. 解方程①3sin 2cos 0x x -= ②2
22sin
3sin cos 2cos 0x x x x --=
例5.解方程：2cos 21x x -= (2)5sin312cos3 6.5x x -=
例6.解方程2
2sin
3cos 0x x +=．
例7.解方程：tan()tan()2cot 44
x x x π
π
++-=
例8.已知方程sin 0x x a +=在区间[]0,2π上有且只有两个不同的解，求实数a 的取值范围。
例9.若方程cos22sin 10x x m -+-=存在实数解，求m 的取值范围． 例10.求方程sin 2cos()x x π=-的解集．
【巩固练习】 反三角函数
1.3arctan(tan
)5
π
的值是 ( C ) A.35π- B. 25π C.25
π-
D.
35π
2.下列关系式中正确的是 ( C ) A. 55cos cos 44arc ππ⎡⎤⎛⎫-
=- ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣⎦
B. sin arcsin
33
ππ
⎛⎫=
⎪⎝
⎭
C. cos cos
cos cos 44arc arc ππ⎛⎫
⎛
⎫= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
D.1tan(2)cot()2arc arc -=- 3.函数
()arcsin(tan )f x x =的定义域是 ( B )
A.
,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B.(),44k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ C.
(),(1)44k k k Z ππππ⎡⎤++-∈⎢⎥⎣⎦ D.()2,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦ 4.在
31,2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上和函数y x =相同的函数是 ( B ) A.
arccos(cos )y x = B.arcsin(sin )y x = C.sin(arcsin )y x = D.cos(arccos )y x =
5.函数
arctan
2
x
y π=+的反函数是 . 6.求
sin y x =在3,22ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的反函数.
7.比较arccos ⎛ ⎝⎭
与1
cot()2arc -的大小.
1arccos cot()2
arc ⎛
>- ⎝⎭ 8.研究函数
()2arccos y x x =-的定义域、值域及单调性.
9.计算:45cos arccos
arccos 513⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
10.求下列函数的定义域和值域： (1) y ＝arccos
x
1; (2) y ＝arcsin(－x 2＋x ); (3) y ＝arccot(2x
－1),
11.求函数y ＝(arccos x )2
－3arccos x 的最值及相应的x 的值。
简单的三角方程 1.解下列方程. (1)2
tan 1x = (2)sin5sin3x x =
2.方程sin2x ＝sin x 在区间(0, 2π)内的解的个数是 .
3.(1) 方程tan3x ＝tg x 的解集是 (2) 方程sin x ＋cos x ＝
2
2
在区间[0, 4π]上的所有的解的和是 .
4.解方程2
2sin cos cos 0x x x x -=．。