第3章_平面问题的有限元法
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有限元分析基础(推荐完整)
图1-5 驾驶室受侧向力应力云图
图1-6 接触问题结构件应力云图
10
第一章 概述
图1-7 液压管路速度场分布云图
图1-8 磨片热应力云图
图1-9 支架自由振动云图
11
第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性 2.2 结构计算基本知识 2.3 结构几何构造分析的自由度与约束 2.4 自由度计算公式
（1）结点： ① 铰结点；② 刚结点；③ 混合结点。 （2）支座： ① 活动铰支座；② 固定铰支座 ；
③ 固定支座 ；④ 定向支座
15
第二章 结构几何构造分析
2.2.2 结构的分类与基本特征
(1) 按结构在空间的位置分 结构可分为平面结构和空间结构两大类
(2) 按结构元件的几何特征分 ① 杆系结构： 梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。 ② 板壳结构 ③ 实体结构实体结构的长、宽、高三个尺寸都很 大，具有同一量级。 ④ 混合结构
d. 超静定结构中的多余约束破坏后，结构仍然保持 几何不变性，因而仍有一定的承载能力， 不致整个结构 遭受破坏。
e. 超静定结构由于具有多余的约束，因而比相应的 静定结构具有较大的刚度和稳定性， 在载荷作用下，内 力分布也较均匀，且内力峰值也较静定结构为小。
18
第二章 结构几何构造分析
2.2.3 结构对称性的利用
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。 (1) 具有奇数跨的刚架
① 正对称载荷作用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析
(c) 对称性利用
图2-22对称性利用示意图
19
第3章 有限元方法的一般步骤
3 F1 + lAγ 2 −3 0 0 u1 3 3 2 0 u2 ( 2 + 2 )lAγ EA − 3 3 + 2 − 2 = − 2 2 + 1 − 1 u3 ( 2 + 1 )lAγ l 0 −1 0 0 1 u4 2 2 1 lAγ 2
2 n 一维单元： u = a1 + a2 x + a3 x + ..... + an x 2 2 n 二维单元： u = a1 + a2 x + a3 y + a4 x + a5 xy + a6 y ..... + an x 2 2 2 三维单元： u = a1 + a2 x + a3 y + a4 z + a5 x + a6 y + a7 z
2、单元的尺寸：单元尺寸影响解的收敛性，越细越精确。 、单元的尺寸：单元尺寸影响解的收敛性，越细越精确。 原则：1、在应力集中区域网格要细化； 2、网格边界尺寸比越近越好，即纵横比尽可能接近1；
3、结点的设置：通常结点均匀分布，另外根据结构尺寸， 、结点的设置：通常结点均匀分布，另外根据结构尺寸， 材料，及外部条件发生突变处设置结点。 材料，及外部条件发生突变处设置结点。
单元全部结点力： 单元全部结点力： 单元e中的虚位移： 单元 中的虚位移： 中的虚位移 单元e中的虚应变： 单元 中的虚应变： 中的虚应变 结点力虚功： 结点力虚功： 虚应变能： 虚应变能：
{ε } = [ B]{δ } e ∗ e T δV = ({δ } ) {F } δU = ∫∫∫ { } {σ }dxdydz ε
《有限元基础及应用》课程大纲
《有限元基础及应用》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程目标（一）总体目标：有限元法是求解复杂工程问题进行数值模拟非常有效的方法，是现代数字化科技的一种重要基础性原理。
将它应用于科学研究中，可以成为探究物质客观规律的先进手段；将它应用于工程技术中，可成为工程设计和分析的可靠工具。
有限元法已经成为机械工程、车辆工程、航空航天工程、土木建筑等专业的必修课或选修课，有限元商用软件也是广大工程技术人员从事产品开发、设计、分析，以及生产服务的重要工具。
通过本课程的学习使同学们掌握有限元分析方法的基础知识和原理；掌握大型有限元分析软件（ANSYS）的使用；有限元方法的实际应用：能够针对具有复杂几何形状的变形体完整获取复杂外力作用下它内部准确力学信息，在准确进行力学分析的基础上，可以对所研究对象进行强度、刚度等方面的判断，以便对研究结构进行静态、动态的强度和刚度分析、参数设计以及结构优化设计。
内容由浅入深，通俗易懂，结合实践应用分析，培养学生理论联系实际和解决实际问题的能力。
（二）课程目标：课程目标1：掌握有限元方法的基本原理，分析过程和步骤，形函数的构造方法，以及针对不同维度、不同结构准确选择合适的单元的技巧；课程目标2：掌握有限元分析方法，具有对不同工程问题建立相应力学模型再选取适合的有限元模型离散，最后得到高精度低成本的数值模拟结果；课程目标3：利用有限元原理和应用软件（ANSYS），能够针对车辆结构中具有复杂几何形状的零部件完整获取复杂外力作用下其内部的准确力学信息（位移、应力和应变），并能根据强度、刚度、稳定性及疲劳等进行分析判断结构的安全性，具有分析和解决工程实际问题的能力；课程目标4：掌握大型商用有限元软件（ANSYS）对车辆结构部件的静力学、动力学和多物理场耦合问题进行数值模拟和分析。
能够了解不同单元的适用范围以及有限元方法数值模拟的局限性。
（三）课程目标与毕业要求、课程内容的对应关系本课程支撑专业培养计划中毕业要求1、2、3、5。
有限元 第3讲补充_平面问题-整体刚度矩阵
12
整体刚度矩阵
通过以上组装过程可以得到组装整体刚度矩阵的一般规则： 1 ）结构中的等效节点力是相关单元结点力的叠加，整体 刚度矩阵的子矩阵是相关单元的单元刚度矩阵子矩阵的集成； 2）当整体刚度矩阵中的子矩阵K rs 中r=s时，该节点（节点r 或s）被哪几个单元所共有，则K rs 就是这几个单元的刚度矩阵 e 中的子矩阵 K rs 的相加。如 K 33 应该是单元①－④中对应子矩阵 (1) (2) (3) (4) 的集成，即 K33 K33 K33 K33 K33
0
0
0
0 1 0 2 (2) 0 3 K 0 4 0 5
式中： Fi (2) ——②号单元中第i（i=1,3,4）节点所受力；
K (2) ——②号单元的扩大刚度矩阵。
y
4 ④ ② ① 1 2 3③ 5
(1)
0 0
0 0
0 0 1 0 0 2 (1) 0 0 3 K 0 0 4 0 0 5
4 ④ ② ① 1 2 3③
5
x
o
K (1) ——①号单元的扩大刚度矩阵或称为单元贡献矩阵。
5
整体刚度矩阵
y
4 ④ ② ① 14 ④ ② ① 1 2 3③ 5
x
o
(1) (2) (1) (1) (2) (2) K11 K11 K12 K13 K13 K14 0 (1) (1) (3) (1) (3) (3) K 22 K 22 K 23 K 23 0 K 25 K 21 (1) (2) (1) (3) (1) (2) (3) (4) (2) (4) (3) (4) K 31 K 31 K 32 K 32 K 33 K 33 K 33 K 33 K 34 K 34 K 35 K 35 (2) (2) (4) (2) (4) (4) 0 K 43 K 43 K 44 K 44 K 45 K 41 (3) (3) (4) (4) (3) (4) 0 K K K K K K 52 53 53 54 55 55
整体刚度矩阵
通过以上组装过程可以得到组装整体刚度矩阵的一般规则： 1 ）结构中的等效节点力是相关单元结点力的叠加，整体 刚度矩阵的子矩阵是相关单元的单元刚度矩阵子矩阵的集成； 2）当整体刚度矩阵中的子矩阵K rs 中r=s时，该节点（节点r 或s）被哪几个单元所共有，则K rs 就是这几个单元的刚度矩阵 e 中的子矩阵 K rs 的相加。如 K 33 应该是单元①－④中对应子矩阵 (1) (2) (3) (4) 的集成，即 K33 K33 K33 K33 K33
0
0
0
0 1 0 2 (2) 0 3 K 0 4 0 5
式中： Fi (2) ——②号单元中第i（i=1,3,4）节点所受力；
K (2) ——②号单元的扩大刚度矩阵。
y
4 ④ ② ① 1 2 3③ 5
(1)
0 0
0 0
0 0 1 0 0 2 (1) 0 0 3 K 0 0 4 0 0 5
4 ④ ② ① 1 2 3③
5
x
o
K (1) ——①号单元的扩大刚度矩阵或称为单元贡献矩阵。
5
整体刚度矩阵
y
4 ④ ② ① 14 ④ ② ① 1 2 3③ 5
x
o
(1) (2) (1) (1) (2) (2) K11 K11 K12 K13 K13 K14 0 (1) (1) (3) (1) (3) (3) K 22 K 22 K 23 K 23 0 K 25 K 21 (1) (2) (1) (3) (1) (2) (3) (4) (2) (4) (3) (4) K 31 K 31 K 32 K 32 K 33 K 33 K 33 K 33 K 34 K 34 K 35 K 35 (2) (2) (4) (2) (4) (4) 0 K 43 K 43 K 44 K 44 K 45 K 41 (3) (3) (4) (4) (3) (4) 0 K K K K K K 52 53 53 54 55 55
弹性力学平面问题的有限元法实例
分析与决策
(1)何种类型？
平面问题中的结构问题，且为静力问题；
平面问题中具有对称性，为减少[K]，简化模型取
1/4；
简化后加约束，（1）在ox面上，位移u是对称的，
位移v是反对称的；在oy面上，位移u是反对称的， 位移v是对称的； （2）在ox面上，载荷对称，在oy 面上，载荷对称；
(1)何种类型？
4.5剖分面（续）
以垂线剖分面。依次单击preprocessor-modelingoperate-booleans-divide-area by line，弹出对话框， 选择对话框中的box单选，用窗口选择两个面元素， 后单击apply,在窗口中选L6-ok,完成面元素剖分。 单击plotctrls菜单中的numbering命令，关闭line numbers –ok; 单击plot菜单中的area命令，用面元素显示模型， 剖分的模型如图所示，由2个面变为4个面，面元素 的编号同时发生变化。
Preprocessor-material
props-material models-弹出define material model behavior 对话框-列表框material models available中， 依次单击structural-linear-elastic-isotropic， 添加弹性模量2.1e+11，泊松比0.3-ok;
操作过程
一、建立新文件
二、类型的选择 Structural-ok；
二、前处理
1、添加单元类型 选择：Quad 4node 42(单元库编号)； 具有厚度：选择 option-plane str w/thk(平面应力有厚度)；
2、设置实常数（Real constants）
有限元分析——平面问题
Re=
NT
s
Pstds
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4、整体分析 整体刚度矩阵 整体刚度矩阵组装的基本步骤：
先求出各个单元的单元刚度矩阵； 将单元刚度矩阵中的每个子块放在整体刚度矩阵中的对应位置上，得到单 元的扩大刚度矩阵； 将全部单元的扩大矩阵相加得到整体刚度矩阵。
不失一般性，仅考虑模型中有四个单元，如图所示，四个单元的整体节点位 移列阵为
τZX z= + t/2 =0
因板很薄，载荷又不沿厚度变化，应力沿板 的厚度方向是连续分布的，可以认为，在整
Z
个板内各点都有
σZ=0 τYZ=0 τZX=0
O
tX
图1 平面应力问题
根据剪应力的互等性、物理方程，可得描述平面应力问题的八个独立的基本变量 为
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σ=[σX σY τXY]T ε=[εX εY γXY]T
x2 y2 ɑ1= x 3 y 3
1 y2 b1=- 1 y 3
1 c1= 1
x2 x3
(1,2,3)
上式表示下标轮换，即1 2，2 3，3 1同时更换。
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重写位移函数，并以节点位移的形式进行表达，有
uv((xx,,yy))N（x,y）qe
其中形函数矩阵为
Y
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图2 平面应变问题
技术中心 5 /33
根据几何方程、物理方程可得，描述平面应变问题的独立变量也是八个，且与 平面应力问题的一样。只是弹性矩阵变为
1
D=
E1
1 1 2 1
1
弹性力学与有限元程序设计--第三章
—— 对应于矩形梁的纯弯曲问题。
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3-2 矩形梁的纯弯曲
应力函数取三次多项式
ay
3
M
h
M
2 2
对应的应力分量：
x 6ay y 0 xy yx 0
（a）
x
x
图
y
y
l
h
x
1
h
结论：应力函数（a）能解决 矩形梁受纯弯曲的问题。 如图，取单位宽度的梁来考察，并命每单位宽度上力偶的矩为 M 。这 里 M 的因次是[力][长度]/[长度]，即[力]。 边界条件： 上下(主要)边界：
h 2 h 2
h 2 h 2
前一式总能满足，而后一式要求：
a 2M h3
代入式（a），得：
x
12 M y y 0 xy yx 0 3 h
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3-3 位移分量的求出
1. 形变分量与位移分量
（1）形变分量 由前节可知，其应力分量为：
x M y
u x l 0, v x l 0
y 0 y 0
v x
x l y 0
0
o
l
x
y
（中点不动）
u0 0
M 2 l l v0 0 2 EI
（轴线在端部不转动）
u0 0
v0 Ml 2 EI
2
代入式（f），有
代回式（f），有
u M (l x) y EI
2 x 2 fx x y
(2-25)
2 y 2 fy y x
(2-24)
（b）边界条件
4.5.14.5平面问题有限元分析步骤及计算实例
K
88
K 12 11 K21 1
K 12 31
K41 2
K22 1 K32 1
K 12 33
K43 2
K
44
2
由于[Krs]=[Ksr]T，又单元1和单元2的节点号按1、2、
3对应3、4、1，则可得：
K11 1
K33 2
3E 16
3 0
0 1
K21 1 K43 2
K12 1
3E 8
3 1 0
0 0 1
3 1 1
1 3 1
0 0 1
013
q/E 0
q/E 0
3E 8
8q
0 /(3E) 0
0 q1
0
0
单元应力可看作是单元形心处的应力值。
7）引入约束条件，修改刚度方程并求解
根据约束条件：u1 =v1=0；v2=0；u4=0和等效节点力列
阵：F 0 0 0 0 0 q / 2 0 q / 2T
五. 边界条件的处理及整体刚度矩阵的修正 整体刚度矩阵的奇异性可以通过引入边界约束条件来排除弹性体的
刚体位移，以达到求解的目的。
（两种）方法 “化1置0法”
“乘大数法”
⑴修改后的总刚为非奇异，对应的总体平衡方程可求解； ⑵如果已知位移不等于0，采用第二种方法，固定约束用 第一种方法。 ※求解可以采用解方程组的任何一种方法。（高斯消去法 常用），可借用一些计算机软件：如Matlab，Excel等。
所以 q / E0 0 1/ 3 0 1/ 3 1 0 1T
习题和思考题
• 4.1三角形常应变单元的特点？ • 4.2平面问题有限元法的基本思想和解题步骤。 • 4.3简述形函数的概念和性质。 • 4.4平面问题整体刚度矩阵的推导过程。 • 4.5矩形单元的特点？ • 4.6有限元方法解的收敛准则。
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Ai 1 (ai bi x ci y ) A 2A
y
（i,j,m)
Li
(i,j,m)
Lm N m
因此：
Li Ni
Lj N j
即三角形面积坐标就是三角形相应的形函数。
所以，位移模式也可以用面积坐标表示为：
u Li ui L j u j Lmum Liui v Li vi L j v j Lm vm Li vi
应力
→
节点力
单元分析
分为四步求出相邻各量之间的转换关系,综合起来,得出由 节点位移求节点力的转换关系:
k
e
F k
e e
e
单元刚度矩阵
1.位移模式
单元的若干个节点有基本未知量，即
ui vi wi ...
e
T
位移模式: 单元内任一点的位移表达式，假定为坐标的简 单函数。 反映单元的位移分布形态，是单元内的插值函数。 在节点处等于该节点位移。 位移模式可表示为：
4.节点的编号
应尽量使同一单元的节点编号相差小些，以减少整体 刚度矩阵的半带宽，节约计算机存储。
上图，节点顺短边编号为好。
3.2 三角形常应变单元的位移模式和形函数
首先以平面单元中最基本的三节点三角形单元为例，介绍 有限元法。
单元分析的→
应变
→
单元刚度矩阵为对称矩阵。
BiT kii k e BT D B B B j i j m k ji T k mi Bm
kij k jj k mj
kim k jm k mm
对于平面应力问题：
1 b b cr cs r s Et 2 k rs 4(1 2 ) A c b 1 b c r s r s 2
写成矩阵形式
f
Ni I N j I Nk I e N e
式中：I 二阶单位阵，N 形函数矩阵
3.三角形面积坐标
定义：在三角形内任一点P，向三个 角点（节点）连线，将原三角形分割 成三个子三角形，设子三角形的面积 分别是：Ai，Aj，Am，则：
Ai Li A
Lj
Aj A
同理，求解右边的三个方程，得到a4，a5，a6，解得：
整理后得：
1 v ai bi x ci y vi a j b j x c j y v j am bm x cm y vm 2A
式中： ai
xj
yj
xm ym
, bi
1 yj 1 ym
求逆得：
1 1 x x i y yi
1 xj yj
1 Li xm L j ym Lm
第1行展开为面积坐标性质1，第2行和第3行展开即为局部的面积坐标 和整体直角坐标的关系：
v Li yi L j y j Lm ym Li yi
f N
e
N为形态矩阵（形函数矩阵）
平面问题每个节点位移分量有两个，所以整个单元有6 个节点位移分量，即6个自由度。
单元节点位移列阵:
T e iT T j m
ui vi u j
v j u m vm
T
位移模式: 单元内任一点的位移表达式，假定为坐标的简 单函数。 反映单元的位移分布形态。
m-i:Lj=0
推论：三角形内一条平行于三角形任一边的直线 上的各点，具有相同的与该边对应的坐标值。
Li hi H i 形心处： Li L j Lm 1 3
面积坐标与直角坐标的转换：
1 A 1 xj 2 1 xm Ai 1 1 xj 2 1 xm 1 x 1 xi yi yj ym 1 y j (ai bi x ci y ) 2 ym
简写为：
W
F
e T
e
单元虚应变： 单元应力：
B
e
D DB e S e
单元内应力在虚应变上所做的功（虚应变能）：
U ( x x y y xy xy)tdxdy
A
A tdxdy
位移函数一般用多项式来构造。 三角形单元有6个自由度，内部任一点的位移是由6个节点 位移分量完全确定的，位移模式中应含有6个待定系数， 所以位移模式可取为：
u 1 2 x 3 y, v 4 5 x 6 y。
a
在弹性体内，位移变化非常复杂。有限元法将整个弹性体 分割成许多小单元，在每个单元内采用简单的函数来近似 表达单元的真实位移，将各单元连接起来，便可近似表达 整个弹性体的真实位移函数。
第3章 平面问题的有限元法
3.1 结构的离散化
3.2 三角形常应变单元的位移模式和形函数 3.3 单元刚度矩阵 3.4 单元位移函数的选择原则
3.5 整体分析 3.6 等效节点载荷计算
3.7 约束条件的处理 3.8 有限元分析的实例
3.1 结构的离散化
将连续体变换为离散化结构 将连续体划分为有限多个、有限大小的单元， 并使这些单元仅在节点处连结起来，构成所谓 “离散化结构”。
x Li xi L j x j Lm xm Li xi
例
题
下图为一平面应力的直角三角形单元，直角边长均为a, 厚度为t，弹性模量为E,泊松比μ=0.3,求形函数。
3.3 单元刚度矩阵
1.单元应变
u x x bi 0 b j 0 bm 0 v 1 e y 0 c 0 c 0 c i j m y 2 A c b c b c b j j m m xy u v i i y x
其中 r i, j, m;
br cs
1 cr bs 2 1 cr cs br bs 2
s i, j , m
例
题
下图为一平面应力的直角三角形单元，直 角边长均为a,厚度为t，弹性模量为E,泊松 比μ=0.3,求单元刚度矩阵。
虚位移（虚功）原理： 理论力学中质点、质点系（刚体）的虚位移原理； 材料力学中杆件的虚位移原理。 弹性力学中的虚位移（虚功）原理： 在外力作用下处于平衡状态的变形体，当给与该物体微小 位移时，外力总虚功在数值上等于变形体的总虚应变能。 虚：微小的、任意的、可能的，变分的思路 实功是力在自己产生位移上所做的功，虚功是力在别的 （人为的）因素产生的位移上做的功。所谓”虚“并不 是虚无，而是可能、虚设的意思。 “虚”的表达：δ
Sm
S——称为应力转换矩阵 应用平面应力问题的弹性矩阵：
bi E μb S i DBi i 2 2(1 μ ) A 1 μ ci 2 μci ci 。 (i, j , m) 1 μ bi 2 (f)
平面应力问题，弹性矩 阵： 1 E D 1 2 0
Am Lm A
即面积坐标定义为子三角形与原三角形面积之比； 记为：P（Li，Lj，Lm）。
面积坐标的性质： 1.
Ai Aj Am A
Li L j Lm 1
Li，Lj，Lm中只有两个是独立的。 2.三角形三个角点处
i(1,0,0) j (0,1,0) m(0,0,1)
3.三条边上 i-j:Lm=0 j-m:Li=0
3.虚位移（功）原理
能量转换与守恒定律，是自然界基本的运动规律之一。 能量法的优点：与坐标系的选择无关，因而应用极为广泛。 实功原理：处于平衡状态的可变形固体，在受外力作用 而变形时外力对其相应的位移所做的功（实功），等于 积蓄在物体中的应变能（实应变能）。
能量法与数学工具—变分法的结合，导出虚位移（虚功 ）原理，使得用数学分析的方法解决力学问题的理论得 到发展而更趋完善。
单元的形状和尺寸可以根据要求进行调整。对于重要或应 力变化急剧的部位，单元应划分得小些；对于次要和应力 变化缓慢的部位，单元可划分得大些；中间地带以大小逐 渐变化的单元来过渡。
单元的划分原则
根据误差分析，应力及位移的误差都和单元的最小内角 正弦成反比，所以单元的边长力求接近相等。即单元的三 （四）条边长尽量不要悬殊太大。
1 0
0 0 1 2
平面应变问题，弹性矩 阵： 1 E（ 1 - ） D 1 - （ 1 ）（ 1 - 2） 0
1-
1 0
0 1 2 2(1 ) 0
应变矩阵为常量，单元内应力也是常数，相邻单 元的应变与应力将产生突变，但位移是连续的。
利用结构和载荷的对称性：如结构和载荷都对于某轴对称， 可以取一半来分析；若对于x轴和y轴都对称，可以取四分之 一来分析。
3.单元的划分原则
通常集中载荷的作用点、分布载荷强度的突变点、 分布载荷与自由边界的分界点，支承点都应取为节点
单元的划分原则
不要把不同厚度或不同材料的区域划分在一个单元里。 单元数量要根据计算精度和计算机的容量来决定。在保 证精度的前提下，尽可能减少单元数量。
T
e T
T e B DB tdxdy A
其中：t为单元厚度
虚功原理 W U
Fe
B
T
DB tdxdy e
F e k e e
k e B T DB tdxdy
对于三角形常应变单元：
k e B T DB tA
A为单元面积
单元刚度矩阵ke取决于单元的大小、方向和弹性常数，而 与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改 变。
, ci
1 xj 1 xm
y
（i,j,m)
Li
(i,j,m)
Lm N m
因此：
Li Ni
Lj N j
即三角形面积坐标就是三角形相应的形函数。
所以，位移模式也可以用面积坐标表示为：
u Li ui L j u j Lmum Liui v Li vi L j v j Lm vm Li vi
应力
→
节点力
单元分析
分为四步求出相邻各量之间的转换关系,综合起来,得出由 节点位移求节点力的转换关系:
k
e
F k
e e
e
单元刚度矩阵
1.位移模式
单元的若干个节点有基本未知量，即
ui vi wi ...
e
T
位移模式: 单元内任一点的位移表达式，假定为坐标的简 单函数。 反映单元的位移分布形态，是单元内的插值函数。 在节点处等于该节点位移。 位移模式可表示为：
4.节点的编号
应尽量使同一单元的节点编号相差小些，以减少整体 刚度矩阵的半带宽，节约计算机存储。
上图，节点顺短边编号为好。
3.2 三角形常应变单元的位移模式和形函数
首先以平面单元中最基本的三节点三角形单元为例，介绍 有限元法。
单元分析的→
应变
→
单元刚度矩阵为对称矩阵。
BiT kii k e BT D B B B j i j m k ji T k mi Bm
kij k jj k mj
kim k jm k mm
对于平面应力问题：
1 b b cr cs r s Et 2 k rs 4(1 2 ) A c b 1 b c r s r s 2
写成矩阵形式
f
Ni I N j I Nk I e N e
式中：I 二阶单位阵，N 形函数矩阵
3.三角形面积坐标
定义：在三角形内任一点P，向三个 角点（节点）连线，将原三角形分割 成三个子三角形，设子三角形的面积 分别是：Ai，Aj，Am，则：
Ai Li A
Lj
Aj A
同理，求解右边的三个方程，得到a4，a5，a6，解得：
整理后得：
1 v ai bi x ci y vi a j b j x c j y v j am bm x cm y vm 2A
式中： ai
xj
yj
xm ym
, bi
1 yj 1 ym
求逆得：
1 1 x x i y yi
1 xj yj
1 Li xm L j ym Lm
第1行展开为面积坐标性质1，第2行和第3行展开即为局部的面积坐标 和整体直角坐标的关系：
v Li yi L j y j Lm ym Li yi
f N
e
N为形态矩阵（形函数矩阵）
平面问题每个节点位移分量有两个，所以整个单元有6 个节点位移分量，即6个自由度。
单元节点位移列阵:
T e iT T j m
ui vi u j
v j u m vm
T
位移模式: 单元内任一点的位移表达式，假定为坐标的简 单函数。 反映单元的位移分布形态。
m-i:Lj=0
推论：三角形内一条平行于三角形任一边的直线 上的各点，具有相同的与该边对应的坐标值。
Li hi H i 形心处： Li L j Lm 1 3
面积坐标与直角坐标的转换：
1 A 1 xj 2 1 xm Ai 1 1 xj 2 1 xm 1 x 1 xi yi yj ym 1 y j (ai bi x ci y ) 2 ym
简写为：
W
F
e T
e
单元虚应变： 单元应力：
B
e
D DB e S e
单元内应力在虚应变上所做的功（虚应变能）：
U ( x x y y xy xy)tdxdy
A
A tdxdy
位移函数一般用多项式来构造。 三角形单元有6个自由度，内部任一点的位移是由6个节点 位移分量完全确定的，位移模式中应含有6个待定系数， 所以位移模式可取为：
u 1 2 x 3 y, v 4 5 x 6 y。
a
在弹性体内，位移变化非常复杂。有限元法将整个弹性体 分割成许多小单元，在每个单元内采用简单的函数来近似 表达单元的真实位移，将各单元连接起来，便可近似表达 整个弹性体的真实位移函数。
第3章 平面问题的有限元法
3.1 结构的离散化
3.2 三角形常应变单元的位移模式和形函数 3.3 单元刚度矩阵 3.4 单元位移函数的选择原则
3.5 整体分析 3.6 等效节点载荷计算
3.7 约束条件的处理 3.8 有限元分析的实例
3.1 结构的离散化
将连续体变换为离散化结构 将连续体划分为有限多个、有限大小的单元， 并使这些单元仅在节点处连结起来，构成所谓 “离散化结构”。
x Li xi L j x j Lm xm Li xi
例
题
下图为一平面应力的直角三角形单元，直角边长均为a, 厚度为t，弹性模量为E,泊松比μ=0.3,求形函数。
3.3 单元刚度矩阵
1.单元应变
u x x bi 0 b j 0 bm 0 v 1 e y 0 c 0 c 0 c i j m y 2 A c b c b c b j j m m xy u v i i y x
其中 r i, j, m;
br cs
1 cr bs 2 1 cr cs br bs 2
s i, j , m
例
题
下图为一平面应力的直角三角形单元，直 角边长均为a,厚度为t，弹性模量为E,泊松 比μ=0.3,求单元刚度矩阵。
虚位移（虚功）原理： 理论力学中质点、质点系（刚体）的虚位移原理； 材料力学中杆件的虚位移原理。 弹性力学中的虚位移（虚功）原理： 在外力作用下处于平衡状态的变形体，当给与该物体微小 位移时，外力总虚功在数值上等于变形体的总虚应变能。 虚：微小的、任意的、可能的，变分的思路 实功是力在自己产生位移上所做的功，虚功是力在别的 （人为的）因素产生的位移上做的功。所谓”虚“并不 是虚无，而是可能、虚设的意思。 “虚”的表达：δ
Sm
S——称为应力转换矩阵 应用平面应力问题的弹性矩阵：
bi E μb S i DBi i 2 2(1 μ ) A 1 μ ci 2 μci ci 。 (i, j , m) 1 μ bi 2 (f)
平面应力问题，弹性矩 阵： 1 E D 1 2 0
Am Lm A
即面积坐标定义为子三角形与原三角形面积之比； 记为：P（Li，Lj，Lm）。
面积坐标的性质： 1.
Ai Aj Am A
Li L j Lm 1
Li，Lj，Lm中只有两个是独立的。 2.三角形三个角点处
i(1,0,0) j (0,1,0) m(0,0,1)
3.三条边上 i-j:Lm=0 j-m:Li=0
3.虚位移（功）原理
能量转换与守恒定律，是自然界基本的运动规律之一。 能量法的优点：与坐标系的选择无关，因而应用极为广泛。 实功原理：处于平衡状态的可变形固体，在受外力作用 而变形时外力对其相应的位移所做的功（实功），等于 积蓄在物体中的应变能（实应变能）。
能量法与数学工具—变分法的结合，导出虚位移（虚功 ）原理，使得用数学分析的方法解决力学问题的理论得 到发展而更趋完善。
单元的形状和尺寸可以根据要求进行调整。对于重要或应 力变化急剧的部位，单元应划分得小些；对于次要和应力 变化缓慢的部位，单元可划分得大些；中间地带以大小逐 渐变化的单元来过渡。
单元的划分原则
根据误差分析，应力及位移的误差都和单元的最小内角 正弦成反比，所以单元的边长力求接近相等。即单元的三 （四）条边长尽量不要悬殊太大。
1 0
0 0 1 2
平面应变问题，弹性矩 阵： 1 E（ 1 - ） D 1 - （ 1 ）（ 1 - 2） 0
1-
1 0
0 1 2 2(1 ) 0
应变矩阵为常量，单元内应力也是常数，相邻单 元的应变与应力将产生突变，但位移是连续的。
利用结构和载荷的对称性：如结构和载荷都对于某轴对称， 可以取一半来分析；若对于x轴和y轴都对称，可以取四分之 一来分析。
3.单元的划分原则
通常集中载荷的作用点、分布载荷强度的突变点、 分布载荷与自由边界的分界点，支承点都应取为节点
单元的划分原则
不要把不同厚度或不同材料的区域划分在一个单元里。 单元数量要根据计算精度和计算机的容量来决定。在保 证精度的前提下，尽可能减少单元数量。
T
e T
T e B DB tdxdy A
其中：t为单元厚度
虚功原理 W U
Fe
B
T
DB tdxdy e
F e k e e
k e B T DB tdxdy
对于三角形常应变单元：
k e B T DB tA
A为单元面积
单元刚度矩阵ke取决于单元的大小、方向和弹性常数，而 与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改 变。
, ci
1 xj 1 xm