第3章_平面问题的有限元法

4.节点的编号
应尽量使同一单元的节点编号相差小些，以减少整体 刚度矩阵的半带宽，节约计算机存储。
上图，节点顺短边编号为好。
3.2 三角形常应变单元的位移模式和形函数
首先以平面单元中最基本的三节点三角形单元为例，介绍 有限元法。
单元分析的步骤可表示如下： 节点位移 位移模式 内部各点 位移
→
应变
→

(c)
深梁（离散化结构）
离散化要注意: 1.单元形状的选择:
平面问题的单元，按其几何 特性可分为两类：
以三节点三角形为基础； 以任意四边形为基础。 这两类都可以增加节点也构成一系列单元： 较高精度的三角形等参数单元； 运用非常广泛的四边形等参数单元。 首选三角形单元和等参数单元。
2.对称性的利用

1 0
0 0 1 2
平面应变问题，弹性矩 阵： 1 E（ 1 - ） D 1 - （ 1 ）（ 1 - 2） 0
1-
1 0
0 1 2 2(1 ) 0
应变矩阵为常量，单元内应力也是常数，相邻单 元的应变与应力将产生突变，但位移是连续的。
求逆得：
1 1 x x i y yi
1 xj yj
1 Li xm L j ym Lm
第1行展开为面积坐标性质1，第2行和第3行展开即为局部的面积坐标 和整体直角坐标的关系：
v Li yi L j y j Lm ym Li yi
应力
→
节点力
单元分析
分为四步求出相邻各量之间的转换关系,综合起来,得出由 节点位移求节点力的转换关系:
k
e
F k
e e
e
单元刚度矩阵
1.位移模式
单元的若干个节点有基本未知量，即
பைடு நூலகம்
ui vi wi ...
e
T
位移模式: 单元内任一点的位移表达式，假定为坐标的简 单函数。 反映单元的位移分布形态，是单元内的插值函数。 在节点处等于该节点位移。 位移模式可表示为：
T

e T
T e B DB tdxdy A

其中：t为单元厚度
虚功原理 W U
Fe
B
T
DB tdxdy e


F e k e e
k e B T DB tdxdy
对于三角形常应变单元：
k e B T DB tA
A为单元面积
单元刚度矩阵ke取决于单元的大小、方向和弹性常数，而 与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改 变。
单元的形状和尺寸可以根据要求进行调整。对于重要或应 力变化急剧的部位，单元应划分得小些；对于次要和应力 变化缓慢的部位，单元可划分得大些；中间地带以大小逐 渐变化的单元来过渡。
单元的划分原则
根据误差分析，应力及位移的误差都和单元的最小内角 正弦成反比，所以单元的边长力求接近相等。即单元的三 （四）条边长尽量不要悬殊太大。
f N
e
N为形态矩阵（形函数矩阵）
平面问题每个节点位移分量有两个，所以整个单元有6 个节点位移分量，即6个自由度。
单元节点位移列阵:
T e iT T j m
ui vi u j

v j u m vm

T
位移模式: 单元内任一点的位移表达式，假定为坐标的简 单函数。 反映单元的位移分布形态。
4.单元刚度矩阵
单元节点力列阵： 单元节点虚位移列阵：
F e Fxi

Fyi
Fxj
Fyj
Fxm
Fym

T
ui
e
vi
u j
v j
um
vm T
节点力在虚位移所做的功：
W ui Fxi vi Fyi u j Fxj v j Fyj um Fym
3.虚位移（功）原理
能量转换与守恒定律，是自然界基本的运动规律之一。 能量法的优点：与坐标系的选择无关，因而应用极为广泛。 实功原理：处于平衡状态的可变形固体，在受外力作用 而变形时外力对其相应的位移所做的功（实功），等于 积蓄在物体中的应变能（实应变能）。
能量法与数学工具—变分法的结合，导出虚位移（虚功 ）原理，使得用数学分析的方法解决力学问题的理论得 到发展而更趋完善。
其中 r i, j, m;
br cs
1 cr bs 2 1 cr cs br bs 2
s i, j , m
例
题
下图为一平面应力的直角三角形单元，直 角边长均为a,厚度为t，弹性模量为E,泊松 比μ=0.3,求单元刚度矩阵。
虚位移（虚功）原理： 理论力学中质点、质点系（刚体）的虚位移原理； 材料力学中杆件的虚位移原理。 弹性力学中的虚位移（虚功）原理： 在外力作用下处于平衡状态的变形体，当给与该物体微小 位移时，外力总虚功在数值上等于变形体的总虚应变能。 虚：微小的、任意的、可能的，变分的思路 实功是力在自己产生位移上所做的功，虚功是力在别的 （人为的）因素产生的位移上做的功。所谓”虚“并不 是虚无，而是可能、虚设的意思。 “虚”的表达：δ
写成矩阵形式
f
Ni I N j I Nk I e N e


式中：I 二阶单位阵，N 形函数矩阵
3.三角形面积坐标
定义：在三角形内任一点P，向三个 角点（节点）连线，将原三角形分割 成三个子三角形，设子三角形的面积 分别是：Ai，Aj，Am，则：
Ai Li A
Lj
Aj A
x Li xi L j x j Lm xm Li xi
例
题
下图为一平面应力的直角三角形单元，直角边长均为a, 厚度为t，弹性模量为E,泊松比μ=0.3,求形函数。
3.3 单元刚度矩阵
1.单元应变
u x x bi 0 b j 0 bm 0 v 1 e y 0 c 0 c 0 c i j m y 2 A c b c b c b j j m m xy u v i i y x
, ci
1 xj 1 xm
i，j，m轮换
令 Ni
1 ai bi x ci y 2A
(i, j, m轮换 )
u N i ui N j u j N m u m N i ui v N i vi N j v j N m vm N i vi
其中Ni，Nj，Nm是坐标的线性函数，反应了单元的位移形态 ，称为形（状）函数。
这种化整为零、化繁为简的方法，正是有限元法的精华。
2.形函数
假设节点i，j，m的坐标分别为(xi,yi),(xj,yj),(xm,ym)
联立求解左边3个方程，得：
其中A为三角形单元的面积
注意：为了使得出的面积值不为负值，节点i,j,m的次序必 须是逆时针。至于将那个节点作为起始点i则没有关系。
1 ai bi x ci y ui a j b j x c j y u j am bm x cm y um u 2A
位移函数一般用多项式来构造。 三角形单元有6个自由度，内部任一点的位移是由6个节点 位移分量完全确定的，位移模式中应含有6个待定系数， 所以位移模式可取为：
u 1 2 x 3 y, v 4 5 x 6 y。
a
在弹性体内，位移变化非常复杂。有限元法将整个弹性体 分割成许多小单元，在每个单元内采用简单的函数来近似 表达单元的真实位移，将各单元连接起来，便可近似表达 整个弹性体的真实位移函数。
B e
应变矩阵 B Bi

Bj
Bm

bi 0 Bi 1 0 c i 2A ci bi
(i, j, m)
应变矩阵为常量，单元内应变是常数
2.单元应力
D DB e S e
S DB D Bi

Bj
Bm Si S j
m-i:Lj=0
推论：三角形内一条平行于三角形任一边的直线 上的各点，具有相同的与该边对应的坐标值。
Li hi H i 形心处： Li L j Lm 1 3
面积坐标与直角坐标的转换：
1 A 1 xj 2 1 xm Ai 1 1 xj 2 1 xm 1 x 1 xi yi yj ym 1 y j (ai bi x ci y ) 2 ym
单元刚度矩阵为对称矩阵。
BiT kii k e BT D B B B j i j m k ji T k mi Bm


kij k jj k mj
kim k jm k mm
对于平面应力问题：
1 b b cr cs r s Et 2 k rs 4(1 2 ) A c b 1 b c r s r s 2
Li Ai 1 (ai bi x ci y ) 将面积坐标的表达式： A 2A ai bi ci 1 Li 1 a b c x 写成矩阵形式： L j j j 2A j am bm cm Lm y
(i,j,m)
第3章 平面问题的有限元法
3.1 结构的离散化
3.2 三角形常应变单元的位移模式和形函数 3.3 单元刚度矩阵 3.4 单元位移函数的选择原则
3.5 整体分析 3.6 等效节点载荷计算
3.7 约束条件的处理 3.8 有限元分析的实例
3.1 结构的离散化
将连续体变换为离散化结构 将连续体划分为有限多个、有限大小的单元， 并使这些单元仅在节点处连结起来，构成所谓 “离散化结构”。

Sm

S——称为应力转换矩阵 应用平面应力问题的弹性矩阵：
bi E μb S i DBi i 2 2(1 μ ) A 1 μ ci 2 μci ci 。 (i, j , m) 1 μ bi 2 (f)
平面应力问题，弹性矩 阵： 1 E D 1 2 0
利用结构和载荷的对称性：如结构和载荷都对于某轴对称， 可以取一半来分析；若对于x轴和y轴都对称，可以取四分之 一来分析。
3.单元的划分原则
通常集中载荷的作用点、分布载荷强度的突变点、 分布载荷与自由边界的分界点，支承点都应取为节点
单元的划分原则
不要把不同厚度或不同材料的区域划分在一个单元里。 单元数量要根据计算精度和计算机的容量来决定。在保 证精度的前提下，尽可能减少单元数量。
Am Lm A
即面积坐标定义为子三角形与原三角形面积之比； 记为：P（Li，Lj，Lm）。
面积坐标的性质： 1.
Ai Aj Am A
Li L j Lm 1
Li，Lj，Lm中只有两个是独立的。 2.三角形三个角点处
i(1,0,0) j (0,1,0) m(0,0,1)
3.三条边上 i-j:Lm=0 j-m:Li=0
Ai 1 (ai bi x ci y ) A 2A
y
（i,j,m)
Li
(i,j,m)
Lm N m
因此：
Li Ni
Lj N j
即三角形面积坐标就是三角形相应的形函数。
所以，位移模式也可以用面积坐标表示为：
u Li ui L j u j Lmum Liui v Li vi L j v j Lm vm Li vi
简写为：
W
F
e T
e
单元虚应变： 单元应力：
B
e
D DB e S e
单元内应力在虚应变上所做的功（虚应变能）：
U ( x x y y xy xy)tdxdy
A
A tdxdy
同理，求解右边的三个方程，得到a4，a5，a6，解得：
整理后得：
1 v ai bi x ci y vi a j b j x c j y v j am bm x cm y vm 2A
式中： ai
xj
yj
xm ym
, bi
1 yj 1 ym