B 知识讲解 直线与双曲线的位置关系(理)

直线与双曲线的位置关系 编稿：张希勇 审稿：李霞

【学习目标】

1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；

2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；

3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】

【要点梳理】

【高清课堂：双曲线的性质 371712一、复习】 要点一、双曲线的定义及其标准方程 双曲线的定义

在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （a 大于0且122a F F <）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.

双曲线的标准方程：

焦点在x 轴上的双曲线的标准方程

说明：焦点是F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)，其中c 2=a 2-b 2

焦点在y 轴上的双曲线的标准方程 双曲线

双曲线的定义与标准方程 双曲线的几何

性质 直线与双曲线的位

置关系 双曲线的综合

问题

双曲线的弦问题

双曲线离心率及渐近线问题

22

221(0,0)

x y a b a b -=>>2

2

22

1(0,0)y x a b a b -=>>

说明：焦点是F 1(0，-c)、F 2(0，c)，其中c 2=a 2-b 2

要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b 的值.

要点二、双曲线的几何性质

标准方程

22

2

21x y a b -=(0,0)a b >> 22

2

21y x a b

-=(0,0)a b >> 图形

性质

焦点 1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c -，2(0,)F c

焦距 2212||2()F F c c a b ==+ 2212||2()F F c c a b ==+

范围 {}x x a x a ≤-≥或，y R ∈ {}y y a y a ≤-≥或，x R ∈

对称

性 关于x 轴、y 轴和原点对称

顶点 (,0)a ±

(0,)a ±

轴 实轴长=a 2，虚轴长=2b

离心率 (1)c

e e a

=

> 渐近线方程

x a

b y ±

= a y x b =±

要点三、直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系

将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22

221x y a b

-=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x

或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.

222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=

若2220,b a k -=即b

k a =±

，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若2220,b a k -≠即b

k a

≠±，

①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦

设直线y kx m =+交双曲线22

221x y a b

-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则

12||PP

12|x x -

同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：

12||x x -

12||y y -双曲线的中点弦问题

遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.

在双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率20

20

b x k a y =-；

涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.

解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 要点四、双曲线的实际应用与最值问题

对于双曲线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用双曲线定义，构建参数a,b,c 之间的关系，得到双曲线方程，利用方程求解

双曲线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种： （1） 利用定义转化

（2） 利用双曲线的几何性质 （3） 转化为函数求最值 【典型例题】

类型一：双曲线的方程与性质

例1.设F 1、F 2是双曲线22

221x y a b

-=1(a >0，b >0)的两个焦点，点P 在双曲线上，若120PF PF ⋅=，且

122PF PF ac ⋅=，其中c =

【解析】由双曲线定义知，||PF 1|－|PF 2||＝2a ， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2， 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2， 又122PF PF ac ⋅=，∴2ac ＝2b 2，

∴b 2＝c 2－a 2＝ac ，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝

12

，

即双曲线的离心率为

12

+. 【总结升华】根据双曲线的定义，几何性质，找到几何量的关系是解决这类问题的关键。 举一反三：

【变式1】求下列双曲线的标准方程．

(1)与椭圆

22

11625x y +=共焦点，且过点(－2的双曲线；

(2)与双曲线

22

1164x y -=有公共焦点，且过点，2)的双曲线． 【答案】(1)∵椭圆22

11625x y +=的焦点为(0，±3)， ∴所求双曲线方程设为：22

22

19y x a a -

=-，

又点(－2在双曲线上， ∴

2210419a a

-=-，解得a 2＝5或a 2＝18(舍去)． ∴所求双曲线方程为22

154

y y -=.

(2)∵双曲线22

1164x y -=的焦点为(±0)， ∴设所求双曲线方程为：22

22

120x y a a -

=-，