高等数学B第八章

讲授内容§8. 1 多元函数的基本概念

教学目的与要求：

了解平面点集、n维空间、多元函数的基本概念.

教学重难点：

重点—多元函数的基本概念.

难点—聚点的理解.

教学方法：讲练结合教学法

教学建议：

讲清多元函数的概念，理解多元函数与一元函数的区别和联系.

学时：1学时

教学过程

以前我们学习了一元函数的微分学，在本章我们将学习多元函数的微分学的相关知识.

一、平面点集n维空间

1．平面点集

由平面解析几何知道,当在平面上引入了一个直角坐标系后,平面上的点P与有序二元实数组(x,y)之间就建立了一一对应.于是,我们常把有序实数组(x,y)与平面上的点P视作是等同的.这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.

二元的序实数组(x,y)的全体,即R2=R⨯R={(x,y)|x,y∈R}就表示坐标平面.

坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作

E={(x,y)| (x,y)具有性质P}.

例如,平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是

C={(x,y)| x2+y2

如果我们以点P 表示(x , y ), 以|OP |表示点P 到原点O 的距离, 那么集合C 可表成 C ={P | |OP |

邻域:

设P 0(x 0, y 0)是xOy 平面上的一个点, δ是某一正数. 与点P 0(x 0, y 0)距离小于δ的点P (x , y )的全体, 称为点P 0的δ邻域, 记为U (P 0, δ, 即

}|| |{),(00δδ<=PP P P U 或} )()( |) ,{(),(20200δδ<-+-=y y x x y x P

U . 邻域的几何意义: U (P 0, δ)表示xOy 平面上以点P 0(x 0, y 0)为中心、δ >0为半径的圆的内部的点P (x , y )的全体.

点P 0的去心δ邻域, 记作) ,(0δP U , 即

}||0 |{) ,(00δδ<<=P P P P U .

注: 如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0P U

.

点与点集之间的关系:

任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ⊂R 2之间必有以下三种关系中的一种:

(1)内点: 如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )⊂E , 则称P 为E 的内点;

(2)外点: 如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )⋂E =∅, 则称P 为E 的外点

(3)边界点: 如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点.

E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作∂E .

E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E .

聚点: 如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U 内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点.

由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E . 例如, 设平面点集

E ={(x , y )|1

满足1

开集:如果点集E的点都是内点,则称E为开集.

闭集:如果点集的余集E c为开集,则称E为闭集.

开集的例子:E={(x,y)|1

闭集的例子:E={(x,y)|1≤x2+y2≤2}.

集合{(x,y)|1

连通性:如果点集E内任何两点,都可用折线连结起来,且该折线上的点都属于E,则称E为连通集.

区域(或开区域):连通的开集称为区域或开区域.例如E={(x,y)|1 x2+y2 2}.

闭区域:开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域.例如E={(x, y)|1≤x2+y2≤2}.

有界集:对于平面点集E,如果存在某一正数r,使得

E⊂U(O,r),

其中O是坐标原点,则称E为有界点集.

无界集:一个集合如果不是有界集,就称这集合为无界集.

例如,集合{(x,y)|1≤x2+y2 2}是有界闭区域;集合{(x,y)| x+y>1}是无界开区域;集合{(x,y)| x+y≥1}是无界闭区域.

2.n维空间

设n为取定的一个自然数,我们用R n表示n元有序数组(x1,x2,⋅⋅⋅,x n)的全体所构成的集合,即

R n=R⨯R⨯⋅⋅⋅⨯R={(x1,x2,⋅⋅⋅,x n)| x i∈R,i=1, 2,⋅⋅⋅,n}.

R n中的元素(x1,x2,⋅⋅⋅,x n)有时也用单个字母x来表示,即x=(x1,x2,⋅⋅⋅,x n).当所有的x i(i=1, 2,⋅⋅⋅,n)都为零时,称这样的元素为R n中的零元,记为0或O.在解析几何中,通过直角坐标,R2(或R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应,因而R n中的元素x=(x1,x2,⋅⋅⋅,x n)也称为R n中的一个点或一个n维向量,x i称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量.特别地,R n中的零元0称为R n中的

坐标原点或n 维零向量.

为了在集合R n 中的元素之间建立联系, 在R n 中定义线性运算如下: 设x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ), y =(y 1, y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , y n )为R n 中任意两个元素, λ∈R , 规定 x +y =(x 1+ y 1, x 2+ y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n + y n ), λx =(λx 1, λx 2, ⋅ ⋅ ⋅ , λx n ).

这样定义了线性运算的集合R n 称为n 维空间.

R n 中点x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )和点 y =(y 1, y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , y n )间的距离, 记作ρ(x , y ), 规定 2222211)( )()(),(n n y x y x y x -+⋅⋅⋅+-+-=y x ρ.

显然, n =1, 2, 3时, 上术规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至.

R n 中元素x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )与零元0之间的距离ρ(x , 0)记作||x ||(在R 1、R 2、R 3中, 通常将||x ||记作|x |), 即

22221 ||||n

x x x ⋅⋅⋅++=x . 采用这一记号, 结合向量的线性运算, 便得

),()( )()(||||2222211y x y x ρ=-+⋅⋅⋅+-+-=-n n y x y x y x .

在n 维空间R n 中定义了距离以后, 就可以定义R n 中变元的极限:

设x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ), a =(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n )∈R n .

如果

||x -a ||→0,

则称变元x 在R n 中趋于固定元a , 记作x →a .

显然,

x →a ⇔ x 1→a 1, x 2→a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n →a n .

在R n 中线性运算和距离的引入, 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念, 可以方便地引入到n (n ≥3)维空间中来, 例如,

设a =(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n )∈R n , δ是某一正数, 则n 维空间内的点集

U (a , δ)={x | x ∈ R n , ρ(x , a )<δ}