1-7 两个重要极限练习题

1-7 两个重要极限练习题

教学过程：

引入：考察极限x

x x sin lim 0

→

当x 取正值趋近于0时，x x sin →1，即+→0lim x x

x sin =1；

当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是

)

()

sin(lim

sin lim 00x x x x x x --=+-→-→． 综上所述，得

一．1sin lim

0=→x x

x ．

1sin lim 0=→x

x

x 的特点：

(1)它是“00”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0

；

(2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂．

推广 如果a

x →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，

则 a

x →lim

()[]()x x ϕϕsin =()()[]()

x x x ϕϕϕsin lim 0→=1．

例1 求x

x

x tan lim

0→．

解 x x x tan lim 0→=111cos 1

lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=⋅=⋅=⋅=→→→→x

x x x x x x x x x x x x ．

例2 求x x

x 3sin lim 0→．

解 x x x 3sin lim 0→=3sin lim 3)3(33sin 3lim 00==→→t

t

t x x x t x 令．

例3 求2

0cos 1lim x x

x -→．

解 2

0cos 1lim

x x

x -→=2

12

2sin

22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim

02

202

2

0=⋅⋅==→→→x x

x x x x x x x x x ．

例4 求x

x

x arcsin lim

0→．

解 令arcsin x =t ，则x =sin t 且x →0时t →0．

所以x x x arcsin lim

0→=1sin lim 0=→t

t

t ．

例5 求30sin tan lim x

x

x x -→． 解 30sin tan lim x x x x -→=3030cos cos 1sin lim sin cos sin lim x

x x

x x x x x x x -⋅

=-→→ =21

cos 1lim cos 1lim sin lim

2000=-⋅⋅→→→x

x x x x x x x ． 考察极限e x

x x =+∞→)1

1(lim

当x 取正值并无限增大时，x x )11(+是逐渐增大的，但是不论x 如何大，x x )1

1(+的值

总不会超过3．实际上如果继续增大x ．即当x →+∞时，可以验证x x

)1

1(+是趋近于一个确

定的无理数e ＝2.8...．

当x →-∞时，函数x x

)1

1(+有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e ．

综上所述，得

二．x x x

)11(lim +∞

→=e ．

x

x x

)11(lim +

∞

→=e 的特点：

（１）lim(1+无穷小)无穷大案

；

（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数．

推广 （１）若a

x →lim ϕ(x )= ∞,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 ()[])()()

(1

1lim ))(11(lim x x x a

x x x ϕϕϕϕϕ+

=+

∞→→=e ；

（２）若a

x →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则

[()

]

()[()]

)

(10

)

(11lim

1lim x x x a

x x x ϕϕϕϕϕ+=+→→=e ．

变形 令

x

1

=t ，则x →∞时t →0，代入后得到 ()e t t t =+→1

01lim ．

如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果1∞，因此通常称之为1∞不定型．

例6 求x x x

)2

1(lim -∞→．

解 令－x 2=t ，则x =－t

2

．

当x →∞时t →0，

于是 x x x

)2

1(lim -∞→=21

02

0])1(lim [)1(lim -→-→+=+t t t t t t =e –2．

例7 求x

x x x )23(lim --∞→．

解 令x x --23=1+u ，则x =2－u

1

．

当x →∞时u →0， 于是 x

x x

x )23(lim --∞→=])1()1[(lim )1(lim 21

01

20u u u u u u u +⋅+=+-→-→

=])1(lim [])1(lim [20

11

u u u u

u +⋅+→-→=e -1．

例8 求x x x cot 0

)tan 1(lim +→．

解 设t =tan x ，则t

1

＝cot x ． 当x →0时t →0，

于是 x x x cot 0

)tan 1(lim +→=t

t t 10

)1(lim +→=e ．

小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。 作业：见首页

§2-1 导数的概念

教学过程： 引入：

一、两个实例

实例1 瞬时速度

考察质点的自由落体运动．真空中，质点在时刻t =0到时刻t 这一时间段内下落的路程

s 由公式s =

2

1g t 2

来确定．现在来求t =1秒这一时刻质点的速度． 当∆t 很小时，从1秒到1+∆t 秒这段时间内，质点运动的速度变化不大，可以这段时间内的平均速度作为质点在t =1时速度的近似．