大学物理相对论习题课
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vx 0.8c
（3）根据所选坐标系确定要求物理量
u 0.6c
vx
vx u
1
u c2
vx
s
s'
0.8c 0.6c 1 (0.8 0.6)
0.95c
孙秋华
x (x')
坐标系 s s'
看见船
x1 t1
船撞上彗星 看见彗星
x3 t3
x2 t2
x3 x1 ut t t3 t1
解一：设地面为S系，火车为S’系。在S系中观察到的， 闪电击中火车前后两端的时间间隔为：
t2
t1
(t2
t1) (x2 x1)u / c2 1u2 / c2
0
t2 t1 (x2 x1)u / c2 9.26 10 14 s
孙秋华
解二：设地面为S系，火车为S系。在S 系中观察到的，
E120
E
2 20
E1
E02
E120
E
2 20
2E0
E1
(
M
2 0
m120
m
2 20
2M0
)c2
孙秋华
E12 E120 ( P1c )2
p E12 E120 c2
v c E12 E120 E12
vc
(
M
2 0
m120
m
2 20
)2
4
M
2 0
m120
(
M
孙秋华
d/2
hLeabharlann Ld解：(1) 从列车上观察，隧道的长度缩短，其它尺寸均不
变。隧道长度为
L L
1
v c
2 2
(2) 从列车上观察，隧道以速度v经过列车，它经过列车 全长所需时间为
t L l0 vv
L
1 (v / c)2 l0
v
这也即列车全部通过隧道的时间.
孙秋华
例5.一艘宇宙飞船以速度0.8c中午飞经地球，此时飞船上和 地球上的观察者都把自己的时钟拨到12点。 （1）按飞船上的时钟于午后12：30飞经一星际宇航站，该 站相对于地球固定，其时钟指示的是地球时间，按宇航站 的时间，飞船到达该站的时间是多少？ （2）按地球上的坐标测量，宇航站离地球多远？ （3）在飞船时间午后12：30从飞船发送无线电信号到地球， 问地球何时（按地球时间）接收到信号？ （4）若地球上的地面站在接收到信号后立即发出回答信号， 问飞船何时（按飞船时间）接收到回答信号？
孙秋华
解：令S系中测得正方形边长为a，沿对角线取x轴正方向 (如图)，则边长在坐标轴上投影的大小为
1 ax 2 2a
1 ay 2 2a
面积可表示为：
在以速度v相对于S系沿x 正方向运动的S＇系中
S 2a y ax
y
y
v
ax ax 1( v / c )2
x
=0.6× 1 2a 2
2
dt
P
v
dm
dt
mv E
m0v / mc 2
1v2 /c E0 m0c
EK E E0
E mc 2
E2
E
2 0
P 2c 2
三、基本题型
1、能解决相对论运动学问题。 2、能解决相对论动力学问题。 3、能解决相对论运动学和动力学综合性问题。
孙秋华
四. 典型习题 Ⅰ 相对论运动学问题 例1. 在S参考系中，有一个静止的正方形，其面积为 100 cm2．观测者O＇以 0.8c的匀速度沿正方形的对角线运 动．求O＇所测得的该图形的面积．
闪电击中火车前后两端的时间间隔分别为：
t2
t1
(
t2
t1
)( 1
x2 u2
/
x1 c2
)u
/
c2
x2 x1 (x2 x1)
1 u2 , c2
t2 t1 0
t2 t1 ( x2 x1 )u / c2 9.261014 s
孙秋华
2 0
m120
m
2 20
)2
孙秋华
110．两个质点A和B，静止质量均为m0．质点A静止，质 点B的动能为6m0c2．设A、B两质点相撞并结合成为一个 复合质点．求：复合质点的静止质量． 111．当粒子的动能等于它的静止能量时，它的运动速度 是多少？
孙秋华
Ⅲ 相对论运动学与动力学综合性问题 例7. 两个质子以0.5c的速率从以共同点反向运动，求（1）每 个质子对于共同点的动量和能量；（2）一个质子在另个质 子处于静止的参考系中的动量和能量。（质子的静止质量为 m0)
观察站测得飞船的船身通过观察站的时间间隔是多少？ 宇航员测得船身通过观察站的时间间隔是多少？
孙秋华
108．观察者甲和乙分别静止于两个惯性系K和Kˊ（Kˊ系相对 于K系作平行于x轴的匀速运动）中，甲测得在x轴上两点发 生的两个事件的空间间隔和时间间隔分别为500m和2×10-7s， 而乙测得这两个事件是同时发生的。问：Kˊ系相对于K系以 多大速度运动？
孙秋华
解：（1） t 30 min
固有时间
地面的观察者
t
t 50min
1 u2 c2
12:50 (2)
s s´
s´
u
oo ut
0.8c 50 60 7.21011m
o
o´
孙秋华
(3)
t1
o o c
2.4 103
s
1:30
40min
(4)
s s´
t u x
t
c2
1 u2 c2
孙秋华
t t 1 u2 4s
c2
例4. 一隧道长为L，宽为d，高为h，拱顶为半圆，如图．设 想一列车以极高的速度v沿隧道长度方向通过隧道，若从列 车上观测，
(1) 隧道的尺寸如何？ (2) 设列车的长度为l0，它全部通过隧道的时间是多少？
1u2 / c2
3.相对论中同地的相对性:
4.相对论中同时的相对性:
孙秋华
x2
x1
( x2
x1) 1
u(t2 u2 / c2
t1)
t2
t1
(t2
t1) (x2 x1) 1u2 / c2
u c2
5.相对论的质量 6.相对论的 动量 7.相对论的动能
m m0
x
孙秋华
ay
ay
1 2
2a
在O＇系中测得的图形为菱形，其面积亦可表示为
S 2ay ax 0.6a2 60 Cm2
y
y
v
x
x
孙秋华
例2. 一列火车长0.30km（火车上的观察者观测得到）， 以100km/h的速度行驶，地面上的观察者发现两个闪电同 时击中了火车的前部和后部两端。问火车上的观察者观测 得到的两个闪电击中火车的前部和后部两端的时间间隔为 多少？
解：
eU E E0
eU
E0 v2
1 c2
E0
v c ( eU )2 2E0eU E0 eU
t L0 =4.610-8s
v
L L0
1 v2 c2
=6.7m
孙秋华
112．设快速运动的介子的动能约为E=3000MeV，而这种 介子在静止时的能量为E0=100MeV；若这种介子的固有寿 命是2×10-6s，求：它运动的距离。
s´
ct2 ut2 2oo
u
t 2
2o o cu
c
o
o´
孙秋华
s´
s´
t
2
t 2
1 u2 2oo
c2
c
cu cu
=240min
16:30
孙秋华
s s´
s´
u
c
o
o´
s´
s´
105．一观察者测得一沿米尺长度方向匀速运动着的米尺的 长度为0.5米，则此米尺以多大的速度接近观察者？
109．假设地球上有一观察者测得一宇宙飞船以0.6c的速度向 东飞行，5.0s后该飞船将与一个以0.80c的速率向西飞行的彗星 相碰撞。试问：（1）飞船中的人测得彗星将以多大的速率向 它运动？（2）从飞船的钟来看，还有多少时间容许它离开航 线，以避免与彗星碰撞？
孙秋华
Ⅱ 相对论动力学问题 例6. 静止质量为M0的粒子，在静止时衰变为静止质量为 m10和m20的粒子。试求出静止质量为m10的粒子的能量和 速度？
教学要求:
1.掌握爱因斯坦两条基本理论。
2.掌握洛伦兹时空和速度变换；熟练利用变换解决相对论问 题。
3.掌握质量、动量、动能和能量的关系式，利用它们解决相 对论动力学问题。
孙秋华
一、基本概念 狭义相对论时空观 1.相对论的长度收缩效应:
L L0 1 u2 / c2
2.相对论的时间膨胀效应:
t t0
孙秋华
解：
0 M0; 0
1 m1; v1
2 m2; v2
动量守恒
0 p1 p2
能量守恒
E0 E1 E2
利用能量与动量的关系
E12 E120 ( P1c )2
E
2 2
E
2 20
( P2c
)2
孙秋华
E12
E
2 2
E120
E
2 20
E12
( E0
E1
)2
孙秋华
1： 一只装有无线电和接收装置的飞船正以 4 c 的速率飞离
5
地球。当宇航员发射一无线电信号后，信号经地球反射， 60s后宇航员才受到返回信号。求（1）在地球反射信号的 时刻，从飞船上测得的地球离飞船多远？（2）当飞船接收 到反射信号时，地球上测得的飞船离地球多远？
2：利用质能关系 E mc2 ，运动定律
106．设有宇宙飞船A和B，固有长度均为l0=100m，沿同一 方向匀速飞行，在飞船B上观测飞船A的船头、船尾经过飞 船B船头的时间间隔为(5/3)×10-7s，求：飞船B相对于飞船A 的速度的大小。
107．一艘宇宙飞船的船身固有长度L0=90m，相对于地面以 v=0.8c（c为真空中的光速）的匀速度在一观察站的上空飞 过。问：
x ut 1 u2
c2
t
t u x c2
1 u2 c2
运动学
y y z z
vx
vx u
1
u c2
vx
时间膨胀 t t0
1u2 / c2
长度收缩 L L0 1 u2 / c 2
动力学
m F
m0
dP
/ /
1v2 /c dt m dv
F
d( mv)
dt
及动能定理
dEk
F
dr
等关系，证明粒子的质量公式
m m0 v2
1 c2
孙秋华
例3. （作业109） 地球上的观察者发现一只以速率0.6c向东 航行的宇宙飞船将在5s后同一个以速率0.8c向西飞行的 彗星相撞。
（1）飞船中的人们看到彗星以多大速率向他们接近。 （2）按照他们的钟，还有多少时间允许他们离开原来航线
避免碰撞。
孙秋华
解：（1）选取两惯性参照系
（2）根据所选坐标系确定已知物理量
vx
vy
vy
1
u c2
vx
1
u c
2 2
vy
1
vy u c2
vx
u2 1 c2
vz
vz
1
u c2
vx
1
u2 c2
孙秋华
vz
1
vz u c2
vx
u2 1 c2
3.动力学定律
F
m
dv
vdm
dt dt
孙秋华
狭 义 相 对 论
孙秋华
狭义相对论小结
洛沦兹变换x
p 1mcvv220
1
v2 c2
Ek
m0c2
1
v c
2 2
m0c2
二、基本定律和定理
孙秋华
1. 相对性原理：物理学定律在所有惯性系中都是相同的， 即：描述物理学现象所有惯性系都是等价的 。
2. 光速不变原理：在所有惯性系中，真空中的光速各向相同 的量值c ,与光源的运动无关。
正变换
m0vx
1
v2 x c2
1.33m0c
E mc 2 1.67m0c 2
孙秋华
例8.一 静止电子（静止能量为0.51MeV）被0.13MV的电 势差加速，然后以恒定速度运动 （1）电子在达到最终速度后飞越8.4m的距离需要的时
间？ （2）在电子的静止系中测量，此段距离是多少
孙秋华
逆变换
x x vt
1
v2 c2
t
t
v c2
x
1
v c
2 2
x vt
x
1
v2 c2
t
t
v c2
x
1
v2 c2
y y
y y
z z
孙秋华
z z
洛仑兹速度变换式 正变换
逆变换
vx
vx u
1
u c2
vx
vx
vx u
1
u c2
孙秋华
解：由题意有(设
v2
c2
）
p1 mv
m0v
1 2
0.58m0c
p2 mv
m0v
1 2
0.58m0c
E mc2
m0c 2
1 2
1.15m0c 2
孙秋华
v x
v v v2
1 c 1.25
1
c2
p mvx
（3）根据所选坐标系确定要求物理量
u 0.6c
vx
vx u
1
u c2
vx
s
s'
0.8c 0.6c 1 (0.8 0.6)
0.95c
孙秋华
x (x')
坐标系 s s'
看见船
x1 t1
船撞上彗星 看见彗星
x3 t3
x2 t2
x3 x1 ut t t3 t1
解一：设地面为S系，火车为S’系。在S系中观察到的， 闪电击中火车前后两端的时间间隔为：
t2
t1
(t2
t1) (x2 x1)u / c2 1u2 / c2
0
t2 t1 (x2 x1)u / c2 9.26 10 14 s
孙秋华
解二：设地面为S系，火车为S系。在S 系中观察到的，
E120
E
2 20
E1
E02
E120
E
2 20
2E0
E1
(
M
2 0
m120
m
2 20
2M0
)c2
孙秋华
E12 E120 ( P1c )2
p E12 E120 c2
v c E12 E120 E12
vc
(
M
2 0
m120
m
2 20
)2
4
M
2 0
m120
(
M
孙秋华
d/2
hLeabharlann Ld解：(1) 从列车上观察，隧道的长度缩短，其它尺寸均不
变。隧道长度为
L L
1
v c
2 2
(2) 从列车上观察，隧道以速度v经过列车，它经过列车 全长所需时间为
t L l0 vv
L
1 (v / c)2 l0
v
这也即列车全部通过隧道的时间.
孙秋华
例5.一艘宇宙飞船以速度0.8c中午飞经地球，此时飞船上和 地球上的观察者都把自己的时钟拨到12点。 （1）按飞船上的时钟于午后12：30飞经一星际宇航站，该 站相对于地球固定，其时钟指示的是地球时间，按宇航站 的时间，飞船到达该站的时间是多少？ （2）按地球上的坐标测量，宇航站离地球多远？ （3）在飞船时间午后12：30从飞船发送无线电信号到地球， 问地球何时（按地球时间）接收到信号？ （4）若地球上的地面站在接收到信号后立即发出回答信号， 问飞船何时（按飞船时间）接收到回答信号？
孙秋华
解：令S系中测得正方形边长为a，沿对角线取x轴正方向 (如图)，则边长在坐标轴上投影的大小为
1 ax 2 2a
1 ay 2 2a
面积可表示为：
在以速度v相对于S系沿x 正方向运动的S＇系中
S 2a y ax
y
y
v
ax ax 1( v / c )2
x
=0.6× 1 2a 2
2
dt
P
v
dm
dt
mv E
m0v / mc 2
1v2 /c E0 m0c
EK E E0
E mc 2
E2
E
2 0
P 2c 2
三、基本题型
1、能解决相对论运动学问题。 2、能解决相对论动力学问题。 3、能解决相对论运动学和动力学综合性问题。
孙秋华
四. 典型习题 Ⅰ 相对论运动学问题 例1. 在S参考系中，有一个静止的正方形，其面积为 100 cm2．观测者O＇以 0.8c的匀速度沿正方形的对角线运 动．求O＇所测得的该图形的面积．
闪电击中火车前后两端的时间间隔分别为：
t2
t1
(
t2
t1
)( 1
x2 u2
/
x1 c2
)u
/
c2
x2 x1 (x2 x1)
1 u2 , c2
t2 t1 0
t2 t1 ( x2 x1 )u / c2 9.261014 s
孙秋华
2 0
m120
m
2 20
)2
孙秋华
110．两个质点A和B，静止质量均为m0．质点A静止，质 点B的动能为6m0c2．设A、B两质点相撞并结合成为一个 复合质点．求：复合质点的静止质量． 111．当粒子的动能等于它的静止能量时，它的运动速度 是多少？
孙秋华
Ⅲ 相对论运动学与动力学综合性问题 例7. 两个质子以0.5c的速率从以共同点反向运动，求（1）每 个质子对于共同点的动量和能量；（2）一个质子在另个质 子处于静止的参考系中的动量和能量。（质子的静止质量为 m0)
观察站测得飞船的船身通过观察站的时间间隔是多少？ 宇航员测得船身通过观察站的时间间隔是多少？
孙秋华
108．观察者甲和乙分别静止于两个惯性系K和Kˊ（Kˊ系相对 于K系作平行于x轴的匀速运动）中，甲测得在x轴上两点发 生的两个事件的空间间隔和时间间隔分别为500m和2×10-7s， 而乙测得这两个事件是同时发生的。问：Kˊ系相对于K系以 多大速度运动？
孙秋华
解：（1） t 30 min
固有时间
地面的观察者
t
t 50min
1 u2 c2
12:50 (2)
s s´
s´
u
oo ut
0.8c 50 60 7.21011m
o
o´
孙秋华
(3)
t1
o o c
2.4 103
s
1:30
40min
(4)
s s´
t u x
t
c2
1 u2 c2
孙秋华
t t 1 u2 4s
c2
例4. 一隧道长为L，宽为d，高为h，拱顶为半圆，如图．设 想一列车以极高的速度v沿隧道长度方向通过隧道，若从列 车上观测，
(1) 隧道的尺寸如何？ (2) 设列车的长度为l0，它全部通过隧道的时间是多少？
1u2 / c2
3.相对论中同地的相对性:
4.相对论中同时的相对性:
孙秋华
x2
x1
( x2
x1) 1
u(t2 u2 / c2
t1)
t2
t1
(t2
t1) (x2 x1) 1u2 / c2
u c2
5.相对论的质量 6.相对论的 动量 7.相对论的动能
m m0
x
孙秋华
ay
ay
1 2
2a
在O＇系中测得的图形为菱形，其面积亦可表示为
S 2ay ax 0.6a2 60 Cm2
y
y
v
x
x
孙秋华
例2. 一列火车长0.30km（火车上的观察者观测得到）， 以100km/h的速度行驶，地面上的观察者发现两个闪电同 时击中了火车的前部和后部两端。问火车上的观察者观测 得到的两个闪电击中火车的前部和后部两端的时间间隔为 多少？
解：
eU E E0
eU
E0 v2
1 c2
E0
v c ( eU )2 2E0eU E0 eU
t L0 =4.610-8s
v
L L0
1 v2 c2
=6.7m
孙秋华
112．设快速运动的介子的动能约为E=3000MeV，而这种 介子在静止时的能量为E0=100MeV；若这种介子的固有寿 命是2×10-6s，求：它运动的距离。
s´
ct2 ut2 2oo
u
t 2
2o o cu
c
o
o´
孙秋华
s´
s´
t
2
t 2
1 u2 2oo
c2
c
cu cu
=240min
16:30
孙秋华
s s´
s´
u
c
o
o´
s´
s´
105．一观察者测得一沿米尺长度方向匀速运动着的米尺的 长度为0.5米，则此米尺以多大的速度接近观察者？
109．假设地球上有一观察者测得一宇宙飞船以0.6c的速度向 东飞行，5.0s后该飞船将与一个以0.80c的速率向西飞行的彗星 相碰撞。试问：（1）飞船中的人测得彗星将以多大的速率向 它运动？（2）从飞船的钟来看，还有多少时间容许它离开航 线，以避免与彗星碰撞？
孙秋华
Ⅱ 相对论动力学问题 例6. 静止质量为M0的粒子，在静止时衰变为静止质量为 m10和m20的粒子。试求出静止质量为m10的粒子的能量和 速度？
教学要求:
1.掌握爱因斯坦两条基本理论。
2.掌握洛伦兹时空和速度变换；熟练利用变换解决相对论问 题。
3.掌握质量、动量、动能和能量的关系式，利用它们解决相 对论动力学问题。
孙秋华
一、基本概念 狭义相对论时空观 1.相对论的长度收缩效应:
L L0 1 u2 / c2
2.相对论的时间膨胀效应:
t t0
孙秋华
解：
0 M0; 0
1 m1; v1
2 m2; v2
动量守恒
0 p1 p2
能量守恒
E0 E1 E2
利用能量与动量的关系
E12 E120 ( P1c )2
E
2 2
E
2 20
( P2c
)2
孙秋华
E12
E
2 2
E120
E
2 20
E12
( E0
E1
)2
孙秋华
1： 一只装有无线电和接收装置的飞船正以 4 c 的速率飞离
5
地球。当宇航员发射一无线电信号后，信号经地球反射， 60s后宇航员才受到返回信号。求（1）在地球反射信号的 时刻，从飞船上测得的地球离飞船多远？（2）当飞船接收 到反射信号时，地球上测得的飞船离地球多远？
2：利用质能关系 E mc2 ，运动定律
106．设有宇宙飞船A和B，固有长度均为l0=100m，沿同一 方向匀速飞行，在飞船B上观测飞船A的船头、船尾经过飞 船B船头的时间间隔为(5/3)×10-7s，求：飞船B相对于飞船A 的速度的大小。
107．一艘宇宙飞船的船身固有长度L0=90m，相对于地面以 v=0.8c（c为真空中的光速）的匀速度在一观察站的上空飞 过。问：
x ut 1 u2
c2
t
t u x c2
1 u2 c2
运动学
y y z z
vx
vx u
1
u c2
vx
时间膨胀 t t0
1u2 / c2
长度收缩 L L0 1 u2 / c 2
动力学
m F
m0
dP
/ /
1v2 /c dt m dv
F
d( mv)
dt
及动能定理
dEk
F
dr
等关系，证明粒子的质量公式
m m0 v2
1 c2
孙秋华
例3. （作业109） 地球上的观察者发现一只以速率0.6c向东 航行的宇宙飞船将在5s后同一个以速率0.8c向西飞行的 彗星相撞。
（1）飞船中的人们看到彗星以多大速率向他们接近。 （2）按照他们的钟，还有多少时间允许他们离开原来航线
避免碰撞。
孙秋华
解：（1）选取两惯性参照系
（2）根据所选坐标系确定已知物理量
vx
vy
vy
1
u c2
vx
1
u c
2 2
vy
1
vy u c2
vx
u2 1 c2
vz
vz
1
u c2
vx
1
u2 c2
孙秋华
vz
1
vz u c2
vx
u2 1 c2
3.动力学定律
F
m
dv
vdm
dt dt
孙秋华
狭 义 相 对 论
孙秋华
狭义相对论小结
洛沦兹变换x
p 1mcvv220
1
v2 c2
Ek
m0c2
1
v c
2 2
m0c2
二、基本定律和定理
孙秋华
1. 相对性原理：物理学定律在所有惯性系中都是相同的， 即：描述物理学现象所有惯性系都是等价的 。
2. 光速不变原理：在所有惯性系中，真空中的光速各向相同 的量值c ,与光源的运动无关。
正变换
m0vx
1
v2 x c2
1.33m0c
E mc 2 1.67m0c 2
孙秋华
例8.一 静止电子（静止能量为0.51MeV）被0.13MV的电 势差加速，然后以恒定速度运动 （1）电子在达到最终速度后飞越8.4m的距离需要的时
间？ （2）在电子的静止系中测量，此段距离是多少
孙秋华
逆变换
x x vt
1
v2 c2
t
t
v c2
x
1
v c
2 2
x vt
x
1
v2 c2
t
t
v c2
x
1
v2 c2
y y
y y
z z
孙秋华
z z
洛仑兹速度变换式 正变换
逆变换
vx
vx u
1
u c2
vx
vx
vx u
1
u c2
孙秋华
解：由题意有(设
v2
c2
）
p1 mv
m0v
1 2
0.58m0c
p2 mv
m0v
1 2
0.58m0c
E mc2
m0c 2
1 2
1.15m0c 2
孙秋华
v x
v v v2
1 c 1.25
1
c2
p mvx