概率论论文

概率论与数理统计总结(1-5章节)

第一章&第二章概率论引论& 条件概率

本章知识点:

1.随机事件及其运算(随机试验,随机事件与样本空间,事件之间的关系及其运算)

2.概率的定义、性质及其运算(频率,概率的统计定义,古典概率,概率的公理化定义,概率的性质)

3.条件概率及三个重要公式(乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式)

4.事件的独立性及贝努里(Bernoulli)概型

理解重点:

1、理解随机事件的概念,了解样本空间的概念,掌握事件的关系与基本运算;

2、理解事件频率的概念,了解随机现象的统计规律性,理解概率的公理化定义与概率的其它性质;

3、理解古典概率的定义,掌握古典概率的计算,了解几何概率的定义及计算;

4、掌握概率的基本性质与应用这些性质进行概率计算;

5、理解条件概率的概念,熟练掌握条件概率的计算,熟练掌握乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式以及应用这些公式进行概率计算;

6、理解事件的独立性概念,掌握应用事件独立性进行概率计算,理解贝努利试验的概念,熟练掌握二项概率公式(贝努利概型)及其应用。第一节随机事件

一、概率论序言

二、随机试验与随机事件

(一)随机试验

1.试验可在相同条件下重复进行;

2.每次试验的可能结果不止一个,而究竟会出现哪一个结果,在试验前不能准确地预言;

3.试验所有可能结果在试验前就是明确(已知)的,而每次试验必有其中的一个结果出现,并且也仅有一个结果出现。

满足上述三个特性的试验,叫做随机试验,简称试验,并用字母E 等表示。

(二)随机事件

随机试验的结果称为随机事件,简称事件。

1.必然事件:在试验中一定出现的结果,记作Ω;

2.不可能事件:在试验中一定不会出现的结果,记作Φ;

3.随机事件:在试验中可能出现也可能不出现的结果,常用大写拉丁字母A、B、C…表示;

4.基本事件(样本点):试验最基本的结果,记作ω;

5.样本空间(基本事件空间):所有基本事件的集合,常用Ω表示; 样本空间Ω中的元素就是随机试验的可能结果。样本空间的任一子集称作随机事件。在一次试验中,当且仅当子集A 中的一个样本点出现时,称事件A 发生。显然Ω为必然事件,Φ为不可能事件。

三、随机事件间的关系与运算

(一)随机事件间的关系

1.包含:若事件A 发生必导致事件B 发生,则称事件B 包含事件A,或称A 就是B 的子事件, 记作。A⊂ B,或B⊃ A。

2.相等:若B ⊂A 且A ⊃B,则称事件A 与B 相等,记作A=B 。其直观意义就是事件A 与B的样本点完全相同。

(二)随机事件的运算

1.事件的与(并)

若事件A与事件B 至少有一个发生,则称这样的事件为事件A与B 的与事件,记作B ∪A或B + A。事件B ∪A 就是属于A或属于B 的样本点组成的集合。

2.事件的差

若事件A发生而事件B不发生,则称这样的事件为事件A与事件B 的差,记作A-B。

3.事件的积(交)

若事件A与事件B 同时发生,则称这样的事件为事件A与事件B 的积,记作AB 或A∩B。

4、互不相容事件(或互斥事件)

若事件A与事件B不能同时发生,即Φ= AB (即A与B 同时发生就是不可能事件),则称事件

A与B 就是互不相容(互)事件。其直观意义就是事件A与B 没有公共样本点。

5.对立事件(或互逆事件)

在每次试验中,若事件A与事件B必有一个发生,且仅有一个发生,则称事件A与B 为对立

事件或互为逆事件。即有: Φ= AB ,且Ω= B+ A 。事件A的对立事件记为A。

6.完备事件组:若事件A1,A2··An两两互不相容,且每次试验必出现且只出现一个,则称A1,A2··An构成一个完备事件组。完备事件组中事件个数可以就是有限个,也可以就是可数个。

(三)随机事件的运算规律

对于任意事件A,B,C有:

1.交换律:A+B=B+A;AB=BA

2.结合律:A+B+C=A+(B+C)=(A+B)+C;ABC=A(BC)=(AB)C

3.分配律:A(B+C)=AB+AC;A(B-C)=AB-AC

4.对偶律(德摩根律):B

AB+

=

A

B

+,B

A

A=

交换律、结合律、分配律、对偶律都可推广到任意多个事件的情形。第二节概率的定义

一、概率的统计定义

(一)频率的稳定性

考虑在相同条件下进行的S 轮试验,事件A在各轮试验中的频率形成一个数列M1/N1,M2/N2```Ms/Ns、

当各轮试验次数N1,N2```Ns充分大时,在各轮试验中事件A 出现的频率之间、或者它们某个平均值相差甚微、

(二)概率的统计定义

在实际中,当概率不易求出时,人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值,这种确定概率的方法称为频率方法。

二、概率的古典定义

(一)古典概型

若一个随机试验的结果只有有限个,且每个结果出现的概率都相同,则称这样的试验为古典型

随机试验(或称古典概型)。

(二)古典概率定义

对于古典概型试验中的事件A,其概率为: 样本空间中样本数 中包含的样本点数样本空间中的样本点数

中包含的样本点数A A P )( (三)古典概型中事件概率的计算

1.一次抽取试验中事件概率的计算

2.不放回试验中事件概率的计算

3.有放回试验中事件概率的计算

三、概率的公理化定义与性质

(一)概率的公理化定义

公理 1:任一事件的概率介于 0 与1之间

公理 2:样本事件空间的概率为 1

公理 3:若可列个事件A1,A2```An 两两互不相容,则与事件的概率等于各事件的概率之与

这里事件个数可以就是有限或无限的、