§5.6 二次曲线方程的化简与分类

§5.6 二次曲线方程的化简与分类

一、平面坐标变换

1.移轴和转轴：

如果平面内一点的旧坐标与新坐标分别为 (x, y)与(x', y')，则移轴公式为

或

式中(x0, y0)为新坐标系原点在旧坐标系里的坐标. 转轴公式为

或

式中α为坐标轴的旋转角. 前一公式为正变换公式，后一公式为逆变换公式. 注意两个变换的矩阵互为逆矩阵，因是正交变换，从而互为转置矩阵.

2. 一般坐标变换公式为

或

3.设在直角坐标系里给定了两条相互垂直的直线

l1：A1x＋B1y＋C1＝0,

l2：A2x＋B2y＋C2＝0,

其中A1A2＋B1B2＝0，如果取l1 为新坐标系中的横轴O'x'，而直线l2为纵轴O'y'，并设平面上任意点M的旧坐标与新坐标分别是 (x, y)与 (x'，y'), 则有

其中正负号的选取应使第一式右端x的系数与第二式右端y的系数相等，即要使得这两项的系数是同号的.

二、坐标变换对二次曲线方程系数的影响

1．在移轴下，二次曲线F(x, y)≡a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0的方程变为

即新方程为

这里

因此，在移轴下，二次曲线方程系数的变化规律为：

（1）二次项系数不变；

（2）一次项系数变为 2F1(x0, y0)与 2F2(x0, y0)；

（3）常数项变为F(x0, y0).

从而当二次曲线有中心时，可作移轴，使原点与二次曲线的中心重合，则在新坐标系下二次曲线的新方程中一次项消失.

2．在转轴下，二次曲线

F(x, y)≡a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0

的方程变为

即新方程为

这里

因此，在转轴下，二次曲线方程系数的变化规律为：

（1）二次项系数一般要改变. 新方程的二次项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关.

（2）一次项系数一般要改变. 新方程的一次项系数仅与原方程的一次项系数及旋转角有关，而与二次项系数及常数项无关. 当原方程有一次项时，通过转轴不能完全消去一次项，当原方程无一次项时，通过转轴也不能产生一次项.

（3）常数项不变. 从而当二次曲线方程中a12≠0时，选取旋转角α，使

,

则在新坐标系下二次曲线的新方程中xy项消失.

三、二次曲线的方程化简

1．利用坐标变换化简二次曲线的方程，在中心曲线时一般应先移轴后转轴；在非中心曲线时则一般应先转轴后移轴.

例1．利用移轴与转轴, 化简下列二次曲线的方程，并画出它们的图形.

（1）5x2＋4xy＋2y2－24x－12y＋18＝0；

（2）x2＋2xy＋y2－4x＋y－1＝0；

（3）5x2＋12xy－22x－12y－19＝0；

（4）x2＋2xy＋y2＋2x＋2y＝0.

解：（1）因为I2＝＝6≠0，所以曲线为中心曲线，由

解得中心为(2, 1)，作移轴变换

代入曲线原方程，整理得

5x'2＋4x'y'＋2y'2－12＝0.

由ctg2α＝，

即,

得 tgα＝－2，tgα＝.

不妨取tgα＝，则由图5-1可得

sinα＝，cosα＝,作转轴变换

代入上述化简方程得

6 x"2＋y"－12＝0.

即.（如图5-2）.

（2）因为I2＝＝0，故曲线为无心曲线，由

ctg2α＝＝0,

得α＝.

作转轴变换

代入原方程，整理得

＝ 0,配方得

＝0.

作移轴变换

得到 x"2＋y"＝0, 即 x"2＝－

y". （如图5-3）.

（3）因为I2＝＝－36≠0，所以曲线是中心

曲线，

由,

得中心 (1, 1)，作移轴变换

代入原方程，整理得

5x'2＋12x'y'－36＝0.

由ctg2α＝, 即,

解得tg α＝－，tg α＝.

不妨取tg α＝，则由图5-４可得

sinα＝，cosα＝,作转轴变换

代入上述方程整理得

9 x"2－4y"2＝36,

即.（如图5 – 5）.

（４）因为I2＝＝0，故曲线为线心曲线，由

ctg2α＝＝0,

得α＝，作转轴变换

代入原方程，整理得

＝0, 配方：. 作移轴变换

就

有

x"2＝, （如图5-

6）.

2. 利用转轴来消去二次曲线方程的xy项，其几何意义，

就是把坐标轴旋转到与二次曲线的主方向平行的位置.

如果二次曲线的特征根确定的主方向为，则由得

，

所以

.

因此通过转轴与移轴来化简二次曲线方程的方法，实际上就是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置. 如果是中心曲线，坐标原点与曲线的中心重合；如果是无心曲线，坐标原点与曲线的顶点重合；如果是线心曲线，坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合. 因此二次曲线方程的化简，也可以先求出二次曲线的主直径，以它作为新坐标轴，作坐标变换即可.

例2. 以二次曲线的主直径为新坐标轴，化简下列方程，写出相应的坐标变换公式，并作出图形.

（1）8x2＋4xy＋5y2＋8x－16y－16 ＝0；

（2）x2－4xy－2y2＋10x＋4y ＝0；

（3）4x2－4xy＋y2＋6x－8y＋3＝0；

（4）4x2－4xy＋y2＋4x－2y＝0.