用数学方程描述的非圆曲线的轮廓数值计算

用数学方程描述的非圆曲线的轮廓数值计算
数控加工中把除了直线与圆弧之外用数学方程式表达的平面轮廓曲线称为非圆曲线。

非圆曲线的节点就是逼近线段的交点。

一个已知曲线)(x f y =的节点数目主要取决于所用逼近线段的形状（直线或圆弧）、曲线方程的特性以及允许的拟合误差。

将这三个方面利用数学关系来求解，即可求得相应的节点坐标。

下面简要介绍常用的直线逼近节点的计算方法。

（1）等间距直线逼近的节点计算 1）基本原理
等间距法就是将某一坐标轴划分成相等的间距，然后求出曲线上相应的节点。

如图3.1所示，已知曲线方程为)(x f y =，沿X 轴方向取Δx 为等间距长。

根据曲线方程，由i x 求得i y ，i
x ＋１
＝i x ＋Δx ，
)(1x x f y i i ∆+=+，如此求得的一系列点就是节点。

2） 误差校验方法
由图3.1知，当x ∆取得愈大，产生的拟和误差愈大。

设工件的允许拟合误差为δ，一般δ取成零件公差的1/5～1/10，要求曲线)(x f y =与相邻两节点连线间的法向距离小于δ。

实际处理时，并非任意相邻两点间的误差都要验算，对于曲线曲率半径变化较小处，只需验算两节点间距最长处的误差，而对曲线曲率变化较大处，应验算曲率半径较小处的误差，通常由轮廓图形直接观察确定校验的位置。

其校验方法如下：
设需校验mn 曲线段。

n m 和的坐标分别为（m m y x ,）和（n n y x ,），则直线mn 的方程为：
n
m n m n
n y y x x y y x x --=--
令A=n m y y -，B=m n x x -，C=n m n m y x x y -,则上式可改写为A x +B y =C 。

表示公差带范围的直线n m ''与mn 平行，且法向距离为δ。

n m ''直线方程可表示为：
2
2
B A
C By Ax +±=+δ
式中，当直线n m ''在mn 上边时取“+”号，在mn 下边时“-”号。

联立求解方程组：
()⎪⎩⎪⎨⎧+±=+=2
2B
A C By Ax x f y δ
上式若无解，表示直线n m ''不与轮廓曲线)(x f y =相交，拟合误差在允许范围内；若只有一个解，表示直线n m '
'图3.1 等间距直线逼近
图3.2 等步长直线逼近
与)(x f y =相切，拟合误差等于δ；若有两个解，且m x ≤x ≤n x ，则表示超差，此时应减小x ∆重新进行计算，直到满足要求为止。

（2） 等步长直线逼近的节点计算
这种计算方法是使所有逼近线段的长度相等，从而求出节点坐标。

如图3.2所示，计算步骤如下：
1） 求最小曲率半径min R 曲线)(x f y =上任意点的曲率半径为：
y y R '
''+=
2
/32
)
1(
取0/=dx dR ，即：
0)1(32
2
=''''--'''y y y y
根据)(x f y =求得y '、y ''、y '''，并代入上式得x ，再将x 代入前式求得min R 。

2）确定允许的步长l 由于曲线各处的曲率半径不等，等步长后，最大拟合误差max δ必在最小曲率半径min R 处。

因此步长应为：
δδmin 2
min 2
min 8)(2R R R l ≈
--=
3）计算节点坐标 以曲线的起点),(a a y x a 为圆心，步长l 为半径的圆交)(x f y =于b 点，求解圆和曲线的方程组：
⎩⎨
⎧==-+-)
()()(2
22x f y l y y x x a a 求得b 点坐标),(b b y x 。

顺序以b 、c ……为圆心，即可求得c 、d ……各节点的坐标。

由于步长l 决定于最小曲率半径，致使曲率半径较大处的节点过密过多，所以等步长法适用于曲率半径相差不大的曲线。

（3）等误差直线逼近的节点计算
等误差法就是使所有逼近线段的误差δ相等。

如图3.3所示，其计算步骤如下： 1）确定允许误差δ的圆方程 以曲线起点),(
a a y x a 为圆心，δ为半径作圆，此圆方程式为：
2
2
2
)
()(δ
=-+-a a y y x x
2）求圆与曲线公切线PT 的斜率k
P
T P T x x y y k --=
图3.3 等误差直线段逼近
其中T x 、P x 、T y 、P y 由下面的联立方程组求解：
a
P a P P
T P T y y x x x x y y ---
=-- （圆切线方程）
a a P P y x x y +--=
2
2
)(δ
（圆方程）
)(T P
T P T x f x x y y '=-- （曲线切线方程）
)(T T x f y = （曲线方程）
3）求弦长ab 的方程 过a 作直线PT 的平行线，交曲线于b 点，ab 的方程为：
)(a a x x k y y -=-
4）计算节点坐标 联立曲线方程和弦长方程即可求得b 点坐标),(b b y x 。

)
()(x f y x x k y y a a =-=-
按上述步骤顺次求得c 、d 、e ……各节点坐标。

由上可知，等误差法程序段数目最少，但计算较复杂，可用计算机辅助完成。

在采用直线逼近非圆曲线的拟合方法中，是一种较好的方法。